17 Algebraischer Abschluss und transzendente Erweiterungen

Ein Porträt von Jacob Lüroth (1844-1910).

Jacob Lüroth (1844-1910) war ein deutscher Mathematiker, der auf verschiedenen Gebieten der Geometrie arbeitete. Ab 1863 studierte er Mathematik an der Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg, an der er 1865 bei Otto Hesse (und Gustav Kirchhoff) promoviert wurde.

17.1 Algebraischer Abschluss eines Körpers

Definition. Sei \(K\) ein Körper. Eine Erweiterung \(\overline{K}/K\) wird einen algebraischen Abschluss für \(K\) genannt, wenn die folgende Eigenschaften gelten:

Jedes \(x : \overline{K}\) ist algebraisch über \(K\) (das heißt, \(\overline{K}/K\) ist eine algebraische Erweiterung).

\(\overline{K}\) ist ein algebraisch abgeschlossener Körper.

Wir werden nun sehen, wie man einen algebraischen Abschluss für einen Körper \(K\) konstruieren kann. Genauer gesagt, werden wir die folgenden beiden Situationen untersuchen:

Wenn \(K \subseteq \Omega\) ist, mit \(\Omega\) ein algebraisch abgechlossener Körper.
Wenn \(K\) anzählbar ist.

Beispiel. Der Körper \(\mathbb{C}\) ist ein algebraischer Abschluss für \(\mathbb{R}\).

17.2 Relativ algebraischer Abschluss

Wir wissen bereits, dass, wenn \(\Omega/K\) eine Körpererweitetung ist, die Menge \[\overline{K}^\Omega := \{x : \Omega\ /\ x\ \text{algebraisch ueber}\ K\}\] bestehend aus aller Elementen in \(\Omega\) die algebraisch über \(K\) sind, ein Teilkörper von \(\Omega\) ist.
Per Definition einer algebraischen Erweiterung ist der Körper \(\overline{K}^{\Omega}\) eine algebraische Erweiterung von \(K\).
Wir werden nun zeigen, dass, wenn \(\Omega\) algebraisch abgeschlossen ist, auch der Teilkörper \(\overline{K}^{\Omega}\) algebraisch abgeschlossen ist.
Damit werden wir gezeigt haben, dass \(\overline{K}^{\Omega}\) ein algebraischer Abschluss für \(K\) ist.
Beispiel. Wenn wir \(K := \mathbb{Q}\) und \(\Omega := \mathbb{C}\) betrachten, heißt der Körper \(\overline{\mathbb{Q}}^{\mathbb{C}}\) der Körper der algebraischen Zahlen.

17.3 Ketten algebraischer Erweiterungen

Ziel ist es zu zeigen, dass jedes nichtkonstante Polynom \(P : \overline{K}^{\Omega}[X]\) eine Wurzel in \(\overline{K}^{\Omega}\) besitzt.
Da \(\Omega\) algebraisch abgeschlossen ist, existiert \(x\) in \(\Omega\), sodass \(P(x) = 0_{\Omega}\) gilt. Es reicht daher zu zeigen, dass ein solches \(x\) unbedingt zu der Teilmenge \(\overline{K}^{\Omega} \subset \Omega\) gehört.
Die abstrakte Situation ist die folgende. Wir haben eine Kette von Körpererweiterungen \[K \subseteq M \subseteq L\] mit \(M/K\) algebraisch. Wir werden nun zeigen, dass ein Element \(x : L\), das algebraisch über \(M\) ist, auch algebraisch über \(K\) ist.
Als Sonderfall erreichen wir das folgende Ergebnis.

Satz. Wenn \(L/M\) und \(M/K\) algebraisch sind, dann ist \(L/K\) auch algebraisch.

17.4 Wurzel von Polynomen, deren Koeffizienten über einem Teilkörper algebraisch sind

Sei \(K \subseteq M \subseteq L\) eine Kette von Körpererweiterungen und nehmen wir an, dass \(M\) algebraisch über \(K\) ist. Wir möchten zeigen, dass jedes Element \(x : L\), das algebraisch über \(M\) ist, auch algebraisch über \(K\) ist.
Da \(x\) algebraisch über \(M\) ist, existiert eine algebraische Gleichung der Gestalt \(a_0 + a_1 x +\ \ldots\ + a_n x^n + x^{n+1} = 0_L\), mit \(a_i \in M\) für jedes \(i \in \{0,\ \ldots\ , n\}\). Inbesondere ist \(x\) algebraisch auch über den Teilkörper \(M_0 := K(a_0, a_1,\ \ldots\ , a_n) \subset M\), der von \(K\) und die Elemente \(a_0, a_1,\ \ldots\ , a_n\) erzeugt wird.
Da jedes \(a_i\) algebraisch über \(K\) ist, ist \(M_0 := K(a_0, a_1,\ \ldots\ , a_n)\) ein endlich erzeugter \(K\)-Vektorraum. Da \(x\) algebraisch über \(M_0\) ist, ist die \(M_0\)-Algebra \(M_0[x]\) als \(M_0\)-Vektorraum endlich erzeugt, somit auch als \(K\)- Vektorraum. Daher ist jedes Element von \(M_0[x]\), insbesondere \(x\), algebraisch über \(K\) (typisches Argument in Beweise für Algebraizität).

17.5 Übung 1

Sei \(\Omega/K\) eine Körpererweiterung, mit \(\Omega\) algebraisch abgeschlossen. Sei \(\overline{K}^{\Omega}\) der relativ algebraische Abschluss von \(K\) in \(\Omega\).
Nehmen wir an, dass \(K\) abzählbar ist. Zeigen Sie, dass auch \(\overline{K}^{\Omega}\) abzählbar ist.
Als Beispiel können Sie den Körper der algebraischen Zahlen betrachten. \[\overline{\mathbb{Q}}^{\mathbb{C}} := \left\{0, 1, 2,\ \ldots\ , -1, -2,\ \ldots\ , \frac{p}{q}, \sqrt{2}, i,\ \ldots \right\} \subset \mathbb{C}\]
Zeigen Sie, dass \(\overline{\mathbb{Q}}^{\mathbb{C}}\) ein algebraischer Abschluss für \(\overline{\mathbb{Q}}^{\mathbb{C}} \cap \mathbb{R}\) ist.

17.6 Algebraischer Abschluss eines abzählbaren Körper

In der vorherigen Situation, wenn es ein Oberkörper \(\Omega\) von \(K\) gibt, der algebraisch abgeschlossen ist, kann man einen algebraischen Abschluss \(\overline{K}^{\Omega}\) explizit konstruieren.
Die nützliche Bermerkung dafür ist die folgende: Gegeben eine Körpererweiterung \(L/K\) und einen Zweischenkörper \(K \subseteq M \subseteq L\), wenn ein Element \(x : L\) eine Nullstelle eines Polynoms \(P : M[X]\) ist, deren Koeffizienten algebraisch über \(K\) sind, dann ist auch \(x\) algebraisch über \(K\).
Es gibt eine andere Situation, in der man einen algebraischen Abschluss für einen Körper \(K\) konstruieren kann, und zwar wenn \(K\) abzählbar ist.

Satz. Sei \(K\) ein abzählbarer Körper mit entscheidbarer Gleichheit. Dann existiert ein algebraischer Abschluss \(\overline{K}\) für \(K\).

17.7 Konstruktion eines algebraischen Abschlusses

Da per Annahme \(K\) abzählbar ist, ist auch \(K[X]\) abzählbar. Sei \(P_1, P_2\ \ldots\) eine Aufzählung aller nichtkonstanten Polynome in \(K[X]\).
Sei \(K_0 := K\) und \(K_1\) ein Zerfällungskörper für \(P_1\) über \(K_0\). Dann bauen wir eine Folge \((K_n)_{n\ :\ \mathbb{N}_{\geqslant 0}}\) von Körpern, wobei \(K_{n + 1}\) ein Zerfällungskörper für \(P_{n + 1}\) über \(K_n\) ist. Insbesondere ist, für jedes \(n\), der Körper \(K_{n + 1}\) eine Erweiterung des Körpers \(K_n\). Das heißt, es gibt einen injektiven Ringhomomorphismus \(j_n : K_n \hookrightarrow K_{n + 1}\).
In dieser Situation existiert ein sogenannter direkter Limes (oder induktiver Limes) des Systems \((K_n, j_n)_{n\ :\ \mathbb{N}_{n \geqslant 0}}\), der ein Körper ist, und zwar: \[\varinjlim_{n\ :\ \mathbb{N}_{\geqslant 0}} K_n := \Big(\coprod_{n\ :\ \mathbb{N}_{n \geqslant 0}} K_n \Big) \Big/ \sim \] wobei \((x : K_n) \sim (y : K_m)\) ist, wenn ein \(p \geqslant n, m\) existiert, mit \(j_n(x) = j_m(y)\) in \(K_p~\).

17.8 Eigenschaften des direkten Limes (Übung)

Zunächst sollten wir überprüfen, dass die obige definierte Relation \(\sim\) eine Äquivalenzrelation über \(\displaystyle \coprod_{n\ :\ \mathbb{N}_{n \geqslant 0}} K_n\) ist.
Außerdem ist \(\varinjlim_{n\ :\ \mathbb{N}_{\geqslant 0}} K_n\) mit den folgenden Abbildungen ausgestattet \[\pi_n : K_n \longrightarrow \big(\varinjlim_{n\ :\ \mathbb{N}_{\geqslant 0}} K_n \big)\] die die Eigenschaft \(\forall\ n,\ \pi_{n+1} \circ j_n = \pi_n\) erfüllen.
Schließlich ist \(\displaystyle \varinjlim_{n\ :\ \mathbb{N}_{\geqslant 0}} K_n\) ein Körper und sind die Abbildungen \(\pi_n\) Ringhomomorphismen.

17.9 Universelle Eigenschaft des direkten Limes

Die universelle Eigenschaft eines direkten Limes

Der direkte Limes eines direkten System \((K_n, j_n)_{n\ :\ \mathbb{N}_{n \geqslant 0}}\) besitzt die folgende universelle Eigenschaft. Ob wir Mengen, Ringe, Körper usw. betrachten, spielt keine Rolle.
Gegeben eine Menge \(L\), mit Morphismen \(\varphi_n : K_n \to L\), sodass \(\forall\ n,\ \varphi_n = \varphi_{n + 1} \circ j_n\), existiert ein eindeutiger Morphismus \(\varphi : \varinjlim_{n\ :\ \mathbb{N}_{\geqslant 0}} K_n \to L\), so dass \(\forall\ n,\ \varphi \circ \pi_n = \varphi_n\).

17.10 Der direkte Limes ist ein algebraischer Abschluss

Nun behaupten wir, dass der Körper \(\overline{K} := \displaystyle \varinjlim_{n\ :\ \mathbb{N}_{\geqslant 0}} K_n\) eine algebraische Erweiterung von \(K\) ist und ein algebraisch abgeschlossener Körper. Das heißt, \(\overline{K}\) ist ein algebraicher Abschluss für \(K\).
Zunächst gilt, dass \(\overline{K}\) algebraisch über \(K\) ist, denn jedes \(x : \overline{K}\) zu einem Körper \(K_n\), für geeigenetes \(n\), gehört, und \(K_n\) algebraisch über \(K\) ist.
Sei \(P : \overline{K}[X]\) ein nichtkonstantes Polynom mit Koeffizienten in \(\overline{K}\). Da \(\overline{K}\) abzählbar ist (Übung!), existiert eine Körpererweiterung \(L/\overline{K}\), in der \(P\) eine Wurzel \(x\) besitzt. Da die Koeffiziente von \(P\) algebraisch über \(K\) sind, ist \(x\) algebraisch über \(K\) (Dasselbe Argument wie zuvor 💡). Dann existiert ein \(n : \mathbb{N}_{\geqslant 0}\), mit \(P_n(x) = 0_L\) (\(P_n : K[X]\) nichtkonstante).
Da alle Wurzeln von \(P_n\) zu \(K_{n+1}\) gehören, muss \(x \in K_{n+1} \subseteq \overline{K}\) gelten. Das heißt, das Polynom \(P : \overline{K}[X]\) hat eine Wurzel in \(\overline{K}\), der entsprechend algebraisch abgeschlossen ist.

17.11 Endliche Körper

Zum Beispiel, wenn \(K\) ein endlicher Körper ist, können wir nach dem obigen Verfahren einen algebraischen Abschluss für \(K\) bauen.
Erinnern Sie sich daran, dass ein endlicher Körper nie algebraisch abgeschlossen ist, weil das Polynom \[P := (X-x_1)\ \ldots\ (X-x_n) + 1_K\] keine Wurzel in \(K = \{x_1,\ \ldots\ , x_n\}\) besitzt. Bemerkung. Dieses Polynom \(P\) zeigt auch, dass, wenn \(K\) endlich ist, \(P \not= 1_{K[X]}\) (weil \(\deg P > 0\)) gilt, aber \(\forall\ x : K,\ P(x) = 1_K\).

17.12 Algebraische Unabhängigkeit

Sei \(L/K\)eine Körpererweiterung und seien \(x_1,\ \ldots\ , x_n : L\).

Definition. Die Elemente \(x_1,\ \ldots\ , x_n : L\) werden algebraisch unabhängig genannt, wenn zwischen ihnen keine algebraische Relation besteht, im folgenden Sinne: \[\forall\ P : K[X_1,\ \ldots\ , X_n],\ P(x_1,\ \ldots\ , x_n) = 0_L \Rightarrow P = 0_{K[X]}~.\]
Dies verallgemeinert das Konzept der linearen Unabhängigkeit für Vektoren \(x_1,\ \ldots\ , x_n\) in einem \(K\)-Vektorraum \(L\): \[\forall\ (\lambda_1,\ \ldots\ , \lambda_n : K^n),\ \lambda_1 x_1 +\ \ldots\ + \lambda_n x_n = 0_L \Rightarrow \lambda_1 =\ \ldots\ = \lambda_n = 0_K~.\]

17.13 Übung 2

Sei \(L/K\)eine Körpererweiterung und seien \(x_1,\ \ldots\ , x_n : L\).
Zeigen Sie, dass \(x_1,\ \ldots\ , x_n\) genau dann algebraisch unabhängig über \(K\) sind, wenn der kanonische \(K\)-Algebrahomomomorphismus \(K[X_1,\ \ldots\ , X_n] \to L\), der \(X_i\) nach \(x_i\) abbildet, ein Körperisomorphismus \[K(X_1,\ \ldots\ , X_n) \simeq K(x_1,\ \ldots\ , x_n) \subseteq L\] induziert.

17.14 Algebraisch Abhängigkeit

Wenn der Körper \(K\) entscheidbare Gleichheit hat (zum Beispiel, unter Verwendung des SAD), sagt man, dass die Elemente \(x_1,\ \ldots\ , x_n : L\) algebraisch abhängig sind, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist: \[\exists\ P : K[X],\ P \not= 0_{K[X]} \wedge P(x_1,\ \ldots\ , x_n) =0_L~.\]
Es ist eine gute Übung, zu beweisen, dass, wenn \(K\) entscheidbare Gleichheit hat, die folgenden Bedingungen äquivalent sind:
1. \(\forall\ P : K[X_1,\ \ldots\ , X_n],\ P(x_1,\ \ldots\ , x_n) = 0_L \Rightarrow P = 0_{K[X]}~.\)
2. \(\neg \big( \exists\ P : K[X],\ P \not= 0_{K[X]} \wedge P(x_1,\ \ldots\ , x_n) =0_L \big)~.\)
Das heißt, die Elemente \(x_1,\ \ldots\ , x_n : L\) sind genau dann algebraisch unabhängig, wenn sie nicht algebraisch abhängig sind. Hinweis. Der Ring \(K[X_1,\ \ldots\ , X_n]\) hat auch entscheidbare Gleichheit.

17.15 Algebraisch Abhängigkeit und algebraische Elemente

Der folgende Satz stellt eine Beziehung zwischen algebraischer Abhängigkeit und algebraischen Elementen her.

Satz. Sei \(L/K\) eine Körpererweiterung (zwischen Körper mit entscheidbarer Gleichheit) und sei \(n : \mathbb{N}_{>0}\). Dann sind \(x_1,\ \ldots\ , x_n, x_{n + 1}\) genau dann algebraisch abhängig über \(K\), wenn entweder \(x_1,\ \ldots\ , x_n\) algebraisch abhängig über \(K\) sind, oder \(x_{n + 1}\) algebraisch über \(K(x_1,\ \ldots\ , x_n)\) ist.

Für den Beweis, genügt es, (1) \(\Leftrightarrow\) (2) \(\vee\) (3) zu beweisen, wobei:

\(\exists\ P \not= 0_{K[X_1,\ \ldots\ , X_{n+1}]},\ P(x_1,\ \ldots\ , x_{n+1}) = 0_L\) .
\(\exists\ R \not= 0_{K[X_1,\ \ldots\ , X_n]},\ R(x_1,\ \ldots\ , x_n) = 0_L\) .
\(\exists\ Q \not= 0_{K(x_1,\ \ldots\ , x_n)[X]},\ Q(x_{n+1}) = 0_L\) .

17.16 Beweis des vorherigen Satzes

„(1) \(\Rightarrow\) (2) \(\vee\) (3)“

Nehmen wir an, dass \(\exists\ P \not= 0_{K[X_1,\ \ldots\ , X_{n+1}]},\ P(x_1,\ \ldots\ , x_{n+1}) = 0_L\) gilt. Dann ist \(Q := P(x_1,\ \ldots\ , x_n, X_{n+1})\) ein Polynom mit Koeffizienten \(s_i(x_1,\ \ldots\ , x_n) : K[x_1,\ \ldots\ , x_n]\), somit auch in \(K(x_1,\ \ldots\ , x_n)\), sodass \(Q(x_{n + 1}) = 0_L\) gilt. Da \(P \not= 0_{K[X_1,\ \ldots\ , X_n] [X_{n+1}]}\) ist, sind nicht alle Polynome \(s_i : K[X_1,\ \ldots\ , X_n]\) Null.
Da die Eigenschaft \(\forall\ i,\ s_i(x_1,\ \ldots\ , x_n) = 0_{K[x_1,\ \ldots\ , x_n]}\) entscheidbar ist, können wir durch Fallunterscheidung argumentieren:
- Wenn \(\forall\ i,\ s_i(x_1,\ \ldots\ , x_n) = 0_{K[X_1,\ \ldots\ X_n]}\) ist, dann gibt es mindestens eine algebraische Abhängigkeitsrelation \(R\) zwischen den \((x_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}\) über \(K\) (gilt (2)).
- Wenn \(\exists\ i,\ s_i(x_1,\ \ldots\ , x_n) \not= 0_{K[X_1,\ \ldots\ X_n]}\), dann ist \(Q \not= 0_{K(x_1,\ \ldots\ , x_n)[X]}\) und ist \(x_{n + 1}\) algebraisch über \(K(x_1,\ \ldots\ , x_n)\) (gilt (3)).

17.17 Ende des Beweises

„(2) \(\vee\) (3) \(\Rightarrow\) (1)“

Es reicht „(2) \(\Rightarrow\) (1)“ und „(3) \(\Rightarrow\) (1)“ zu beweisen.
„(3) \(\Rightarrow\) (1)“ folgt aus den Definitionen: Wenn \(R(x_1,\ \ldots\ , x_n) = 0_L\) mit \(R \not= 0_{K[X_1,\ \ldots\ , X_n]}\) , dann gilt \(P(x_1,\ \ldots\ , x_n, x_{n+1}) = 0_L\), mit \[P := R(X_1,\ \ldots\ , X_n) + 0_K X_{n+1} \not= 0_{K[X_1,\ \ldots\ X_n, X_{n+1}]}~.\] Daher sind \(x_1,\ \ldots , x_n, x_{n+1}\) algebraisch abhängig über \(K\).
Für „(2) \(\Rightarrow\) (1)“, schreiben wir das Polyom \(Q : K(x_1,\ \ldots\ x_n)[X_{n+1}]\) als \(Q = \frac{P(x_1,\ \ldots\ ,x_n, X_{n+1})}{F(x_1,\ \ldots\ , x_n)}\) mit \(P : K[X_1,\ \ldots\ . X_n, X_{n+1}]\), \(F : K[X_1,\ \ldots\ , X_n]\), \(P \not= 0_{K[X_1,\ \ldots\ , X_n, X_{n+1}]}\) und \(F(x_1,\ \ldots\ , x_n) \not= 0_{K(x_1,\ \ldots\ , x_n)}\). Da \(Q(x_{n+1}) = 0_L\) ist, muss \(P(x_1,\ \ldots\ , x_n, x_{n+1}) = 0_L\) gelten. Daher sind \(x_1,\ \ldots , x_n, x_{n+1}\) algebraisch abhängig über \(K\).

17.18 Transzendenzbasis und Grad

Wenn \(L = K(x_1,\ \ldots\ , x_n)\) mit \((x_1,\ \ldots\ , x_n)\) algebraisch unabhängig über \(K\) sind, sagt man, dass \(L\) eine rein transzendentale Erweiterung von \(K\) ist, und dass \((x_1,\ \ldots\ , x_n)\) eine Transzendenzbasis für \(L\) ist.
Als Folgerung des vorherigen Satzes, ist die Anzahl der Elemente zweier beliebiger Transzendenzbasen gleich (zugelassen). Diese Anzahl heißt der Transzendenzgrad der Erweiterung \(L\) und wird als \(\text{tr.deg}_K L\) bezeichnet. Dann gelten Eigenschaften wie die folgende (zugelassen):

Sei \(K \subseteq M \subseteq L\) eine Kette von Körpererweiterungen. Wenn zwei der drei vorherigen Erweiterungen (endliche) Transzendenzbasen haben, so hat auch die dritte eine Transzendenzbasis, und es gilt die folgende Gleichheit: \[ \text{tr.deg}_K L = \text{tr.deg}_K M + \text{tr.deg}_M L~.\]