9 Ringe und Ringhomomorphismen
Das Konzept des Ringes geht auf Richard Dedekind zurück. Das obiges Foto zeigt ihn um das Jahr 1900. Die Bezeichnung Ring wurde allerdings von David Hilbert eingeführt.
9.1 Distributivgesetze
Betrachten wir eine Menge \(A\) mit Verknüpfungen \(\star : A \times A \to A\) und \(\diamond : A \times A \to A\).
Die Verknüpfung \(\diamond\) heißt linksdistributiv über \(\star\), wenn für alle \(a, b, c : A\), gilt \[a \diamond (b \star c) = (a \diamond b) \star (a \diamond c)~.\]
Die Verknüpfung \(\diamond\) heißt rechtssdistributiv über \(\star\), wenn für alle \(a, b, c : A\), gilt \[(b \star c) \diamond a = (b \diamond a) \star (c \diamond a)~.\]
Die Verknüpfung \(\diamond\) heißt distributiv über \(\star\), wenn sie links- und rechtsdistributiv über \(\star\) ist.
Übung. Zeigen Sie, dass, falls \(\diamond\) kommutativ ist, dann ist \(\diamond\) genau dann linksdistributiv über \(\star\), wenn sie rechtsdistributiv über \(\star\) ist.
9.2 Beispiele für Distributivgesetze
- Für alle \(p, q, r : \mathbb{Z}\), gilt \(p \times (q + r) = (p \times q) + (p \times r)\) und \((q + r) \times p = (q \times p) + (r \times p)\). Haben Sie jemals einen Beweis dafür gesehen? 😅
- Im Gegensatz dazu, ist im Allgemeinen \(p + (q \times r) \not= (p + q) \times (p + r)\) in \(\mathbb{Z}\).
- Für alle \(x, y, z : \mathbb{Q}\), gilt \((x + y) / z = (x / z) + (y / z)\), aber im Allgemeinen ist \(z / (x + y) \not= (z / x) + (z / y)\). Das heißt, \(/\) ist rechtdistributiv über \(+\) aber nicht linksdistributiv über \(+\).
- In der Potenzmenge \(\text{Teil}(A)\), gilt, für alle \(B, C, D \subset A~,\) \[B \cap (C \cup D) = (B \cap C) \cup (B \cup D)\ \text{und}\ (C \cup D) \cap B = (C \cap B) \cup (D \cap B)\] und auch \[B \cup (C \cap D) = (B \cup C) \cap (B \cup D)\ \text{und}\ (C \cap D) \cup B = (C \cup B) \cap (D \cup B)~.\]
9.3 Ringe
Es gibt verschiedene Weisen, die Definition eines Ringes zu präsentieren. In alle Definitionen werden wir ein Tupel \(R = (A,\ \ldots\ )\) sehen, wobei \(A\) eine Menge ist, die mit einer algebraischer Struktur ausgestattet ist.
Beginnen wir mit einer kurzen Definition:
Definition. Ein Ring ist ein Tupel \(R = (A, +, 0, -, \times)\), oder einfach \((A, +, \times)\), wobei:
- Das Tupel \((A, +, 0, -)\), oder einfach \((A, +)\), ist eine abelsche Gruppe.
- Das Tupel \((A, \times)\) ist eine Halbgruppe.
- Die Verknüpfung \(\times\) ist distributiv über \(+~\).
Bemerkung. Im Tupel \((A, +, 0, -)\) bezeichnet die Notation \(- : A \to A\) die Funktion, die ein Element \(a : A\) auf sein inverses Element bezüglich \(+\) abbildet: \(a + (-a) = 0\).
9.4 Formale Definition
Die Formale Definition ist expliziter und enthält alle die notwendige Information:
Definition. Ein Ring ist ein Tupel \[R = (A, +, 0, -, \times, \textcolor{blue}{+\text{-assoz}}, \textcolor{blue}{0\text{-neutral}}, \textcolor{blue}{\text{inv}}, \textcolor{blue}{+\text{-komm}}, \textcolor{blue}{\times\text{-assoz}}, \textcolor{blue}{\text{links-dist}}, \textcolor{blue}{\text{rechts-dist}})~,\]
- Das Tupel \((A, +, -, 0, \textcolor{blue}{+\text{-assoz}}, \textcolor{blue}{0\text{-neutral}}, \textcolor{blue}{\text{inv}}, \textcolor{blue}{+\text{-komm}})\) ist eine abelsche Gruppe.
- Das Tupel \((A, \times, \textcolor{blue}{\times\text{-assoz}})\) ist eine Halbgruppe.
- \(\textcolor{blue}{\text{links-dist}}\) ist ein Beweis, dass die Verknüpfung \(\times\) linksdistributiv über \(+\) ist.
- \(\textcolor{blue}{\text{rechts-dist}}\) ist ein Beweis, dass die Verknüpfung \(\times\) rechtsdistributiv über \(+\) ist.
Subversiver Anspruch: Diese beweistheoretische Sichtweise ist bei Mathematikern, die aktuell in einflussreichen Positionen sind, ziemlich unbeliebt. Ähnlich wie damals, als Cantor die mengentheoretische Perspektive einführte. Was wird sich durchsetzen?
9.5 Kommutative und nicht-kommutative Ringe
- Ein Ring \(R = (A, +, \times)\) wird kommutativ genannt, wenn die Verknüpfung \(\times : A \times A \to A\) kommutativ ist. Das heißt, wenn für alle \(a, b : A\), \(a \times b = b \times a\).
- Zum Beispiel ist der Ring \((\mathbb{Z}, +, \times)\) ein kommutativer Ring. So auch ist \((\mathbb{Q}, +, \times)\).
- Sei \(n : \mathbb{N}_{>0}\). Auf der Menge aller \(n \times n\) Matrizen mit Koeffizienten in einem Ring \(R\), können wir eine Ringstruktur konstruieren, mit Verknüpfungen: \[\begin{array}{rcl} (a_{ij})_{1 \leqslant i, j \leqslant n} +_{\mathrm{Mat}} (b_{ij})_{1 \leqslant i, j \leqslant n} & := & (a_{ij} +_R b_{ij})_{1 \leqslant i, j \leqslant n} \\ (a_{ij})_{1 \leqslant i, j \leqslant n} \times_{\mathrm{Mat}} (b_{ij})_{1 \leqslant i, j \leqslant n} & := & \Big( \sum_{k = 1}^{n} (a_{ik} \times_R b_{kj}) \Big)_{1 \leqslant i, j \leqslant n} \end{array}\]
- Übung. Zeigen Sie, dass \((\mathrm{Mat}(n \times n, R), +_{\mathrm{Mat}}, \times_{\mathrm{Mat}})\) ein Ring ist, der im Allgemeinen nicht kommutativ ist.
9.6 Rechnenregeln
- Sei \(R = (A, +, 0, -, \times)\) ein Ring.
- In der abelschen Gruppe \((A, +, 0)\) haben wir die Regel \[\forall\ a, b, c :A,\ a + b + c := (a + b) + c~.\] Wenn wir also \(a + b + c\) berechnen, berechnen wir zuerst \(a + b\) und addieren dann \(c\).
- Gelten auch die Regeln \(a - b := a + (-b)\) und \(a - b + c := (a - b) + c\).
- In ähnlicher Weise, gilt \(a \times b \times c := (a \times b) \times c\) in der Halbgruppe \((A, \times)\).
- Dann haben eine neue Regel: \[\forall\ a, b, c : A,\ a + b * c = a + (b * c)~.\]
- Da \(+\) kommutativ ist, müssen wir auch \(b * c + a := (b * c) + a\) setzen.
- Um Computer zu verwirren, schreiben wir \(ab\) statt \(a \times b\).
9.7 Übung 1
- Sie \(R = (A, +, 0, -, \times)\) ein Ring. Zeigen Sie, dass \(\forall\ a : A,\ (0 \times a = 0) \wedge (a \times 0 = 0)\).
- Sei \(n : \mathbb{N}_{\geq 0}\) und sei \(a : A\). Schreiben Sie die Definition von \(a ^ n\), in der Halbgruppe \((A, \times)\).
- Zeigen Sie, dass \(a^{n + m} = a ^n \times a ^ m\), und dass \(a ^ {nm} = (a^n)^m\).
- Nehmen Sie an, dass \(R\) kommutativ ist. Zeigen Sie, dass \((a \times b)^n = a^n \times b^n\), und dass \[\forall\ n : \mathbb{N}_{\geqslant 0}, \forall\ a, b : A,\ (a + b)^n = \sum_{k=0}^n \big((^n_k) \cdot (a^k b^{n-k})\big)~,\] wobei \((^n_k) := \frac{k!(n-k)!}{n!}\) eine ganze Zahl ist und \(\cdot\) die Wirkung der Gruppe \(\mathbb{Z}\) auf der abelschen Gruppe \((A, +, 0, -)\) ist.
- Zusätzlich sollten Sie noch überprüfen, dass \((nm)\cdot a = n \cdot (m \cdot a)\) und \(n \cdot (a + b) = n \cdot a + n \cdot b\) auch gelten.
9.8 Ringe mit Einselelement
Im Kurs Algebra 1, betrachten wir tatsächlich nur Ringe, die ein Einselelement haben. Sagt man auch unitärer Ring.
Definition. Ein Ring mit Einselelement ist ein Tupel \(R = (A, +, 0, -, \times, 1)\), oder einfach \((A, +, \times)\), wobei:
- Das Tupel \((A, +, 0, -)\), oder einfach \((A, +)\), ist eine abelsche Gruppe.
- Das Tupel \((A, \times, 1)\) ist ein Monoid.
- Die Verknüpfung \(\times\) ist distributiv über \(+~\).
Dies bedeutet, dass \(1\) ein neutrales Element bezüglich die Verknüpfung \(\times\) ist: \[\forall\ a : A, 1 \times a = a \times 1 = a~.\] Das heißt, das Tupel \((A, \times, 1)\) ist ein Monoid.
9.9 Übung 2
- Sei \(R\) ein unitäre Ring.
- Zeigen Sie die folgende Rechnenregel: \[\forall\ a : A,\ (-1)\times a = -a~.\]
9.10 Übung 3
Zeigen Sie, dass:
- Die Ringe \(\mathbb{Z}\) und \(\mathbb{Q}\) unitäre sind.
- Der Ring \(2\mathbb{Z}\) nicht unitär ist.
Zeigen Sie dass, wenn \(R\) ein unitäre Ring ist, so auch der Ring \(\mathrm{Mat}(n \times n, R)~\).
9.11 Unterringe
- Ist \(R = (A, +, 0_R, -, \times)\) ein Ring, dann heißt Unterring von \(R\) jede Untergruppe \(U \preccurlyeq (A, +, 0_R, -)\), sodass außerdem \(\forall\ a, b : A,\ (a \in U) \wedge (b \in U) \Rightarrow (a \times b) \in U\).
- Ein Unterring \(U\) kann daher bezüglich die induzierte Verknüpfungen als Ring betrachten werden. Der Beweis ist das Gleiche wie für Untermonoide.
- Ist jetzt \(R = (A, +, 0_R, -, \times, 1_R)\) ein unitäre Ring, dann heißt unitäre Unterring jede Unterring \(U \preccurlyeq (A, +, 0, -, \times)\), sodass außerdem \(1_R \in U\).
- Um Unklarheiten zu vermeiden, ist es hilfreich, die Struktur, an der wir interessiert sind, vollständigaufzuschreiben. Zum Beispiel, ist die Teilmenge \(2\mathbb{Z}\) eine Unterstruktur des Ringes \((\mathbb{Z}, +, 0, -, \times)\) aber keine Unterstruktur des unitären Ringes \((\mathbb{Z}, +, 0, -, \times, 1)\). Wenn man nur \((\mathbb{Z}, +, \times)\) schreibt, ist die Bedeutung des vorherigen Satzes nicht eindeutig.
9.12 Ringhomomorphismen
Sind \(R = (A_R, +_R, 0_R, -_R, \times_R)\) und \(R' = (A_{R'}, +_{R'}, 0_{R'}, -_{R'}, \times_{R'})\) Ringe, dann ist ein Ringhomomorphismus eine Abbildung \(f : A \to A'\), sodass die folgende Eigenschaften gelten:
- \(\forall\ a, b : A,\ f(a +_R b) = f(a) +_{R'} f(b)\).
- \(\forall\ a, b : A,\ f(a \times_R b) = f(a) \times_{R'} f(b)\).
Insbesondere induziert \(f\) einen Gruppenhomorphismus von \((A_R, +_R, 0_R, -_R)\) nach \((A_{R'}, +_{R'}, 0_{R'}, -_{R'})\). Daher gelten automatisch die folgende Eigenschaften:
- \(f(0_R) = 0_{R'}\).
- \(\forall\ a : A\), \(f(-_R a) = -_{R'} f(a)\).
9.13 Homomorphismen unitärer Ringe
Sind \(R = (A_R, +_R, 0_R, -_R, \times_R, 1_R)\) und \(R' = (A_{R'}, +_{R'}, 0_{R'}, -_{R'}, \times_{R'}, 1_R)\) Ringe, dann ist ein Ringhomomorphismus eine Abbildung \(f : A \to A'\), sodass die folgende Eigenschaften gelten:
- \(\forall\ a, b : A,\ f(a +_R b) = f(a) +_{R'} f(b)\) .
- \(\forall\ a, b : A,\ f(a \times_R b) = f(a) \times_{R'} f(b)\) .
- \(f(1_R) = 1_{R'}\) .
⚠️ Die dritte Bedingung ist nicht automatisch! Siehe unten für ein Beispiel einer solchen Funktion \(f : \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\).
Insbesondere induziert die Abbildung \(f\) einen Monoidhomomorphismus von \((A_R, \times_R, 1_R)\) nach \((A_{R'}, \times_{R'}, 1_{R'})\). Als Konsequenz, wenn ein Element \(a : A\) invertierbar bezüglich \(\times_R\) ist, dann ist \(f(a)\) invertierbar bezüglich \(\times_{R'}\) und gilt \(f(a^{-1}) = f(a)^{-1}\).
9.14 Übung 4
- Sei \(R\) ein unitäre Ring.
- Zeigen Sie, dass genau ein Homomorphismus von unitären Ringe \(\varphi : \mathbb{Z} \to R\) mit \(\varphi(1_{\mathbb{Z}}) = 1_R\) existiert.
- Sagen Sie explizit, was das Element \(n_R := \varphi(n)\) ist, für jedes \(n : \mathbb{Z}\).
9.15 Division mit Rest
- Wir können die abeslche Gruppe \(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}\) als kommutativer Ring betrachten. Die Multiplikation wird wie folgt definiert: \[\forall\ a, b : \mathbb{Z},\ (a\ \text{mod}\ n) \times_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} (b\ \text{mod}\ n) := (a \times_{\mathbb{Z}} b)\ \text{mod}\ n~.\]
- Das ist die eindeutige Ringsstrauktur auf der abelschen Gruppe \(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}\), die die kanonische Projektion \(a \mapsto [a] := a\ \text{mod}\ n\) in einen Ringhomomorphismus umwandelt.
- Natürlich muss mann überprüfen, dass diese Verknüpfung wohldefiniert ist, und dass \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}, \times_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}})\) ein (unitäre) Ring ist.
- Beachten Sie, dass \(f([n]) := [4n]\), zwischen dem unitären Ring \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) und sich selbst, ist ein Ringendomorphismus, der die Bedingung \(f([1]) = [1]\) nicht erfüllt. In diesem Beispiel ist es wichtig zu überprufen, dass \([4(nm)] = [4n][4m]\). Dies gilt, weil \((4 \times 4)\ \text{mod}\ 6 = 4\).
9.16 Funktionen mit Werten in einem Ring
- Sei \(M\) eine Menge und sei \(R\) ein Ring. Wir können eine Ringstrukur auf der Menge \(R^M\) aller Funktionen von \(M\) nach \(R\) konstruieren.
- Addition: \((f_1 + f_2)(x) := f_1(x) +_R f_2(x)~\).
- Multiplikation: \((f_1 \times f_2)(x) := f_1(x) \times_R f_2(x)~\).
- Nullfunktion: \(\mathbf{0}(x) = 0_R\).
- Inverse Funktion bezüglich die Addition: \((-f)(x) := -_R f(x)~\).
- Ist \(R\) unitär, dann ist \(R^M\) auch unitär: die Einsfunktion ist \(\mathbf{1}(x) := 1_R\).
- Zum Beispiel können wir den Ring \(R := \mathbb{R}^\Omega\), wobei \(\Omega \subseteq R\) eine Teilmenge von \(\mathbb{R}\) ist.
9.17 Polynome mit Koeffizienten in einem unitären Ring
- Sei \(R\) ein unitäre Ring. Um die zugrundeliegende Menge des Ringes der Polynome mit Koeffizienten in \(R\) ist die Menge aller Folgen \((a_n)_{(n : \mathbb{N}_{\geqslant 0})}\), die die folgende Eigenschaft erfüllen: \[\exists\ n_0 : \mathbb{N}_{\geqslant 0},\ \forall\ n \geqslant n_0,\ a_n = 0_R~.\] Diese Menge wird als \(R^{(\mathbb{N}_{\geqslant 0})}\) bezeichnet. Es ist eine Teilmenge von \(R^{\mathbb{N_{\geqslant 0}}}\).
- Die Addition und Multiplikation auf \(R^{(\mathbb{N}_{\geqslant 0})}\) wird durch die folgende Verknüpfungen auf \(R^{\mathbb{N_{\geqslant 0}}}\) induziert (Übung): \[(a_n)_n + (b_n)_n := (a_n +_R b_n)_n\ \text{und}\ (a_n)_n \times (b_n)_n := \left(\textstyle \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\right)_n\]
- Das Nullelement ist die Folge \((0_R, 0_R,\ \ldots\ )\). Das Einselelement ist die Folge \((1_R, 0_R,\ \ldots\ )\).
9.18 Polynomringe
- Sei \(R\) eine unitäre Ring. In der Menge \(R^{(\mathbb{N}_{\geqslant 0})}\), setzen wir \(X^0 := (1_R,0_R,0_R,0_R,\ \ldots\ )\), \(X^1 := (0_R, 1_R, 0_R, 0_R,\ \ldots\ )\), \(X^2 = (0_R, 0_R, 1_R, 0_R, \ \ldots\ )\) und so weiter. Dann gilt \[\forall\ n, m : \mathbb{N}_{\geqslant 0},\ X^n \times X^m = X^{n + m}~.\]
- Außerdem kann jedes Element \((a_n)_n\) eindeutig als formale lineare Kombination der \((X^n)_{n \in \mathbb{N}_{\geqslant 0}}\) geschrieben werden. Nämlich, \((a_n)_n = \sum_{n : \mathbb{N}_{\geqslant 0}} a_n X^n~\). Wir setzen auch: \(1 := X^0\) und \(X := X^1\) in dieser Menge \(R^{(\mathbb{N}_{\geqslant 0})}\).
- Mit dieser Notation kann die Multiplikation wie folgt geschrieben werden: \[\begin{array}{rcl} & & \big( a_0 1 + a_1 X + a_2 X^2 +\ \ldots\ \big) \times \big( b_0 1 + b_1 X^1 + b_2 X^2 +\ \ldots\ \big)\\ & = & (a_0 b_0) 1 + (a_0 b_1 + a_1 b_0) X + (a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0)X^2 +\ \ldots\ ~.\end{array}\]
- Der so konstruierte unitäre Ring wird als \(R[X]\) bezeichnet. Wenn der Ring \(R\) kommutativ ist, ist der Ring \(R[X]\) auch kommutativ. In der Praxis schreibt man einfach \(a\) statt \(a 1\).
9.19 Polynomfunktionen
- Wenn \(R\) kommutativ ist, induziert jeder Polynom \(P : R[X]\) eine funktion \(f_P : R \to R\), mit der Eigenschaft, dass \(P \mapsto f_P\) ein Ringhomomorphismus ist. Das heißt, \(f_{P_1 + P_2} = f_{P_1} + f_{P_2}\), \(f_{P_1 P_2} = f_{P_1} f_{P_2}\), und \(f(1) = 1_R\).
- Da \((1_R X) \times (a_0 1) = a_0 X = (a_0 1) \times (1_R X)\), ist die Annahme, dass \(R\) kommutativ ist, notwendig, um einen Ringhomomorphismus \(P \mapsto f_P\) zu erhalten.
- Unter dieser Annahme, können wir, für alles \(x : R\), ein Element \(f_P(x) : R\) definieren, in dem wir \(X^n\) durch \(x^n\) in der Aussage für \(P\) ersetzen: \[\text{Wenn}\ P = a_0 X^0 + a_1 X^1 + a_2 X^2 +\ \ldots\ ,\ \text{dann ist}\ f_P(x) := a_0 1_R + a_1 x + a_2 x^2 +\ \ldots\ ~.\]
- Wenn \(R'\) ein kommutativer Ring ist, der \(R\) als Unterring enthält, dann induziert ein Polynom \(P : R[X]\) auch eine Funktion \(f_P : R' \to R\).
9.20 Polynome in mehreren Unbestimmten
- Der Ring \(R[X]\) ist der Ring von Polynomen in der Unbestimmte \(X\). Zum Beispiel können wir betrachten die Ringe \(\mathbb{Z}[X]\) oder \(\mathbb{Q}[X]\).
- Aber wir können auch den Ring \(R[X][Y]\) betrachten, der als \(R[X,Y]\) bezeichnet wird.
- Die folgende Rechnenregeln gelten: \[\begin{array}{rcl} P_0(X)Y^0 + P_1(X) Y^1 +\ \ldots & = & (a_{00} X^0 + a_{01} X^1 +\ \ldots\ ) Y^0 + (a_{10} X^0 + a_{11} X^1 +\ \ldots\ ) Y^1 + \ldots\ \\ & = & a_{00} X^0 Y^0 + \big( a_{01} X^0 Y^1 + a_{10} X^1 Y^0 \big) +\ \ldots\ \\ & = & \displaystyle\sum_{k : \mathbb{N}_{\geqslant 0}} \ \sum_{\{0 \leqslant i, j \leqslant k\ /\ i +j = k\}} a_{ij} X^i Y^j \end{array}\]
- Zum Beispiel können wir die Ringe \(\mathbb{Z}[X,Y]\) oder \(\mathbb{Q}[X,Y]\) betrachten. Das heißt, für \(a_{ij}\) in \(\mathbb{Z}\) oder \(\mathbb{Q}\).
- Wenn \(R\) kommutativ ist, induziert \(P : R[X,Y]\) eine Funktion \(f_P : R' \times R' \to R\) für jeden Ring \(P\), der \(R\) als Unterring enthält.
9.21 Ideale
Sei \(R\) ein kommutative Ring.
Definition. Eine Teilmenge \(I \subset R\) heißt ein Ideal von \(R\), wenn die folgende Eigenschaften gelten:
- \(0_R \in I~\).
- \(\forall\ x, y : R,\ x \in I \wedge y \in I \Rightarrow (x + y) \in I~\).
- \(\forall\ x : R,\ x \in I \Rightarrow \forall\ a : R, ax \in I~\).
In nicht-kommutativen Ringen, ist die obige Definition der eines Linksideals. Man kann auch Rechtsideale definieren, die \(\forall\ x : R,\ x \in I \Rightarrow \forall\ a : R, xa \in I\) erfüllen. In einem kommutativen Ring ist jedes Linksideal ein Rechtsideal.
9.22 Eigenschaften und Beispiele
- Beachten Sie, dass \(\{0_R\}\) und \(R\) Ideale von \(R\) sind. Außerdem, gegeben ein Ideal \(I\), gilt \(I = R \Leftrightarrow 1_R \in I\). Um diese Äquivalenz zu beweisen, reicht es die Implikation „\(\Leftarrow\)“ zu beweisen. Aber wenn \(1_R \in I\), dann, da \(I\) ein Ideal ist, gilt \(\forall\ a : R, a = a1_R \in I\).
- Da \(-x = (-1_R) x\), sind Ideale insbesondere Untergruppe (Übung).
- Der Kern eines Ringhomorphismus \(\varphi : R \to R'\) ist ein Ideal: Es ist eine Untergruppe und, wenn \(\varphi(x) = 0_{R'}\), dann gilt \(\forall\ a : R,\ \varphi(ax) = \varphi(a)\varphi(x) = \varphi(a) 0_{R'} = 0_{R'}\). Das heißt, \((ax) \in \text{Ker}\ \varphi\).
- Alle Untergruppe von \(\mathbb{Z}\) sind Ideale! Da die Untergruppe von \(\mathbb{Z}\) bekannt sind, reicht es zu beweisen, dass für jedes \(n : \mathbb{N}_{>0}\), die Teilmenge \(n \mathbb{Z}\) ein Ideal ist: Es ist eine Untergruppe und, wenn \(x = nb\) für geeignetes \(b : \mathbb{Z}\), dann ist \(ax = a(nb) = n (ab)\) auch ein Vielfach von \(n\).
9.23 Übung 5
- Sei \(R\) ein kommutativer Ring.
- Zeigen Sie, dass, wenn \(R\) ein Einselement \(1_R\) (das heißt, \(1_R\) ist ein neutrales Element bezüglich \(\times\)) hat, dann ist \(I = R\) das eindeutige Ideal, das ein unitäre Unterring des unitären Ringes \(R\) ist.
- Das heißt, in einem unitären Ring, ist ein Ideal im Allgemeinen kein Unterring. Beachten Sie, dass \(\mathbb{Z}\) ein Unterring von \(\mathbb{Q}\) ist, der kein Ideal von \(\mathbb{Q}\) ist.
9.24 Übung 6
Sei \(\varphi : R \to R'\) ein Ringhomomorphismus. Zeigen Sie die folgende Eigenschaften:
- \(\varphi\ \text{injektiv} \Leftrightarrow \text{Ker}\ \varphi = \{0_R\}\) und \(\varphi\ \text{surjektiv} \Leftrightarrow \text{Im}\ \varphi = R'\).
- \(\varphi\) ist genau dann ein Ringisomorphismus, wenn \(\varphi\) bijektiv ist.
Zeigen Sie die folgende Eigenschaften:
- Für jedes Ideal \(J \subset R'\), ist die Teilmenge \(\varphi^{-1}(J) \subset R\) ein Ideal von \(R\).
- Wenn \(\varphi\) surjektiv ist und \(I \subset R\) ein Ideal von \(R\) ist, dann ist \(\varphi(I)\) ein Ideal von \(R'\).
Zeigen Sie die folgende Eigenschaften:
- Für jeden Unterring \(R'_0 \subset R'\), ist \(R_0 := \varphi^{-1}(R'_0) \subset R\) ein Unterring von \(R\).
- Für jeden Unterring \(R_0 \subset R\), ist \(R'_0 := \varphi(R'_0) \subset R\) ein Unterring von \(R'\).
9.25 Faktorringe
- Sei \(R\) ein Ring und sei \(I\) ein Ideal. Auf der abeslchen Gruppe \(R/I\) können wir eine eindeutige Ringstruktur konstruieren, sodass die kanonische Projektion \(\pi_I : R \to R/I\) ein Ringhomomorphismus ist.
- Nämlich setzen wir, für alle \(a, b : R~\), \[(a + I) (b + I) := (ab) + I\] und überprüfen wir, dass diese Verknüpfung wohldefiniert ist.
- Es ist hilfreich, die Notation \(a\ \text{mod}\ I := a + I\) zu benuzten. Die Intuition ist, dass die Beziehung der Zugehörigkeit zu einem Ideal die Beziehung der Teilbarkeit verallgemeinert.
9.26 Übung 7
- Sei \(R\) ein Ring und sei \(I\) ein Ideal von \(R\).
- Schlagen Sie eine universelle Eigenschaft für den Faktorring \(R/I\) vor, und beweisen Sie sie.
- Zeigen Sie, dass eine Bijektion existiert, zwischen Idealen von \(R/I\) und Idealen von \(R\), die \(I\) enthalten.
9.27 Von einer Teilmenge erzeugte Ideal
- Sei \(R = (A, +, 0, -, \times, 1)\) ein Ring und sei \((I_j)_{j : J}\) eine Familie Idealen von \(R\). Dann ist das Durchschnitt \(I := \cap_{j : J} I_j\) ein Ideal von \(R\). Der Beweis verläuft wie für Normalteilern.
- Wenn \(E : \text{Teil}(R)\) eine Teilmenge von \(R\) ist (das heißt, wenn \(E \subset A\)), dann wird das Ideal \[\left< E \right>_R := \bigcap_{j\ :\ J} I_j\] wobei \(J := \{I : \text{Ideal}(R)\ /\ E \subset I\}\) die Familie aller Ideale von \(R\) ist, die \(E\) enthalten, das durch \(E\) erzeugte Ideal von \(R\).
- Die explizite Beschreibung dieses Ideals ist die folgende (Übung): \[\left< E \right>_R = \Big\{ a : R\ /\ \exists\ (\lambda_x)_{x : E} : R^{(E)},\ a = \sum_{x : E} \lambda_x x \Big\}~.\]
- Wenn \(E = \{x_1,\ \ldots\ , x_n\}\), schreiben wir \(\left< x_1,\ \ldots\ ,x_n \right>_R\) statt \(\left< E \right>_R\).
9.28 Übung 8
- Sei \(R\) ein Ring und sei \(E : \text{Teil}(R)\).
- Schlagen Sie eine induktive Definition des von \(E\) erzeugten Ideals vor.
- Zeigen Sie, mit beiden Definitionen, dass \(\left< E \right>_R\) das kleinste Ideal von \(R\) ist, das \(E\) enthält.
- Finden Sie ähnliche Beschreibungen für Unterringe von \(R\), die von einer Teilmenge \(E\) erzeugt werden.
9.29 Summe und Produkt von Idealen
Sei \(R\) ein Ring.
Definition. Für alle Ideale \(I, J\) von \(R\), setzen wir
- \(I + J := \left< I \cup J \right>_R~\).
- \(IJ := \Big< \big\{a : R\ /\ \exists\ x, y : R,\ (x \in I \wedge y \in J) \wedge (a = xy) \big\} \Big>~\).
Das heißt, \(I + J\) ist das kleinste Ideal von \(R\), das \(I\) und \(J\) enthält, und \(IJ\) ist das kleinste Ideal von \(R\), das alle Produkte \(xy\) mit \(x \in I\) und \(y \in J\) enthält.
9.30 Direkte Beschreibung der Summe und des Produkts von Idealen
Sie \(R\) ein Ring und seien \(I\) und \(J\) Ideale von \(R\).
Satz. Die Ideale \(I + J\) und \(IJ\) lassen sich wie folgt direkt beschreiben:
- \(I + J = \{a : R\ /\ \exists\ x, y : R,\ (x \in I \wedge y \in J) \wedge (a = x + y)\}\).
- \(IJ = \{ a : R\ /\ \exists\ n : \mathbb{N}_{>0},\ \exists\ (x_k)_{1 \leqslant k \leqslant n} : I^n,\ \exists\ (y_k)_{1 \leqslant k \leqslant n} : J^n,\ a = \sum_{k = 1}^n x_k y_k \} ~\)
Hinweis für den Beweis. Für das erste geht es zunächst um zeigen, dass die Teilmenge \(\{a : R\ /\ \exists\ x, y : R,\ (x \in I \wedge y \in J) \wedge (a = x + y)\}\) ein Ideal von \(R\) ist.
Es ist üblich, einfach \(I + J = \{x + y\ /\ x \in I \wedge y \in J\}\) und \(IJ = \{ \sum_{k = 1} ^n x_k y_k\ /\ \forall\ k \in \{1,\ \ldots\ , n\},\ x_k \in I \wedge b_k \in J\}\) zu schreiben.
9.31 Bemerkungen zu operationen an Ideale
- Die Operationen Summe und Produkt von Idealen sind assoziativ. Wenn \(R\) kommutativ ist, sind sie auch kommutativ.
- Wir setzen \(I^0 = R\) und \(I^{n + 1} = I^n I\). Dann gilt \((IJ)^n = I^n J^n\) usw. Das heißt, Ideale verhalten sich wie Zahlen. Kümmer und Dedekind nannten sie Idealzahlen und führten eine Klasse von Ringen ein, für die ein Analogon der Primfaktorzerlegung gilt.
- Gilt die Inklusion \(IJ \subset I \cap J\), aber im Allgemeinen nicht die umgekehrte Inklusion. Zum Beispiel, wenn \(I = 2\mathbb{Z}\) und \(J = 4\mathbb{Z}\), dann gilt \(I \cap J = J = 4 \mathbb{Z}\) und \(IJ = 8 \mathbb{Z}\). In diesem Beispiel, verhält sich \(IJ\) wie das Produkt von \(2\) und \(4\), während \(IJ\) sich wie ein kleines gemeinsames Vielfaches verhält. Beachten Sie auch, dass \(2 \mathbb{Z} + 4 \mathbb{Z} = 2\mathbb{Z}\). Das heißt, in diesem Beispiel verhält sich \(I + J\) wie ein größter gemeinsamer Teiler von \(2\) und \(4\).
9.32 Produkt von Ringen
- Seien \(R_1, R_2\) Ringe. Dann können wir einen Produktring \(R_1 \times R_2\) konstruieren.
- Die Verknüpfungen für \(R_1 \times R_2\) sind: \[(a_1, a_2) +_{R_1 \times R_2} (b_1, b_2) := (a_1 +_{R_1} b_1, a_2 +_{R_2} b_2)~,\] \[(a_1, a_2) \times_{R_1 \times R_2} (b_1, b_2) := (a_1 \times_{R_1} b_1, a_2 \times_{R_2} b_2)~.\]
- Das Nullelement ist \(0_{R_1 \times R_2} := (0_{R_1}, 0_{R_2})\) und, wenn \(R_1\) und \(R_2\) unitäre sind, ist das Einselelement \(1_{R_1 \times R_2} := (1_{R_1}, 1_{R_2})\). Die inverse Operation bezüglich \(+\) in \(R_1 \times R_2\) ist \(-(a_1, a_2) := (-a_1, a_2)\).
- Beachten Sie, dass die kanonische Inklusion \(R_1 \hookrightarrow R_1 \times R_2\) Ringhomomorphismen ist, die \(1_{R_1}\) nicht nach \((1_{R_1}, 1_{R_2})\) abbildet, außer wenn \(1_{R_2} = 0_{R_2}\).
9.33 Proklamation
- Von nun an, wenn wir Ring sagen, meinen wir einen unitären und kommutativen Ring.
- Außerdem, wenn wir Ringhomomorphismus sagen, meinen wir einen Homomorphismus unitärer Ringe.
- Schließlich, betrachten wir nur kommutativen Ringe.
9.34 Relativ prim Ideale
Sei \(R\) ein (kommutativer unitärer) Ring und seien \(I\) und \(J\) Ideale von \(R\).
Definition. Die Ideale \(I\) und \(J\) heißen relativ prim (oder koprim), wenn \(I + J = R\).
Dies geschieht genau dann, wenn \(1 \in I + J\). Das heißt, wenn \(\exists \ x, y : R\), sodass \(x \in I\), \(y \in J\) und \(1_R = x + y\).
Satz. Wenn \(I\) und \(J\) relativ prim sind, dann gilt \(I \cap J = IJ~\).
Beweis. Es reicht zu zeigen, dass \(I \cap J \subset IJ\) gilt. Da \(I\) und \(J\) relativ prim sind, können wir \(1_R = x + y\) mit \(x \in I\) und \(y \in J\) schreiben. Dann, für alles \(a \in I \cap J\), gilt \(a = 1_R a = (x + y)a = xa + ya = xa + ay\), mit \(xa \in IJ\) und \(ay \in IJ\). Das heißt, \(a \in IJ\).
9.35 Übung 9
Sei \(R\) ein Ring und seien \(I_1,\ \ldots\ , I_n\) Ideale von \(R\).
Zeigen Sie die Isomorphiesätze \(J/(J \cap I) \simeq (J + I) / I\) und \((K/I) /(J/I) \simeq K/J\).
Man sagt, dass die Ideale \(I_1,\ \ldots\ , I_n\) paarweise relativ prim sind, wenn \(\forall\ i, j \in \{1,\ \ldots\ , n\}, i \not= j \Rightarrow I_i + I_j =R~\).
Zeigen Sie dass, wenn \(I_1,\ \ldots\ , I_n\) paarweise relativ Prim sind, die folgende Eigenschaften gelten:
- \(\forall\ i \in \{1,\ \ldots\ , n\},\ I_i + \cap_{j \not= i} I_j = R\).
- \(I_1 \cap\ \ldots\ \cap I_n = I_1\ \ldots\ I_n\).
Hinweis für (i). Im Fall \(n = 3\), können wir zunächt \(1_R = x_1 + x_2\) und \(1_R = y_1 + y_3\) schreiben, mit \(x_j, y_j \in I_j\). Dann gilt \(1_R = x_1 + x_2 = x_1 + (y_1 + y_3)x_2 = (x_1+ x_2 y_1) + x_2 y_3.\)
9.36 Chinesischer Restsatz (die abstrakte Version)
Chinesischer Restsatz. Sei \(R\) ein (kommutativer unitärer) Ring und seien \(I_1,\ \ldots\ , I_n\) Ideale von \(R\). Wenn \(I_1,\ \ldots\ I_n\) paarweise relativ prim sind, induziert der Ringhomomorphismus \[\begin{array}{rcl} \varphi : R & \longrightarrow & R/I_1 \times \ldots \times R/I_n \\ a & \longmapsto & \big( a\ \text{mod}\ I_1,\ \ldots\ , a \ \text{mod}\ I_n \big) \end{array}\] einen Ringisomorphismus \[R \Big/ \textstyle \prod_{k = 1}^n I_k\ \simeq\ \displaystyle \prod_{k=1}^n R/ I_k\]
Es ist klar, dass \(\varphi\) ein Ringhomomorphismus ist. Wir werden beweisen, dass \(\varphi\) surjektiv ist, und dass \(\text{Ker}\ \varphi = \cap_{k=1}^n I_k\). Der Beweis wird durch Induktion auf \(n > 0\) erfolgt. Da der Fall \(n = 1\) klar ist, und für alles \(k\) die Ideale \(I_k\) und \(\cap_{j \not= k} I_j\) relativ prim sind, es reicht den Fall \(n = 2\) zu beweisen.
9.37 Beweis für die Surjektivität
- Wir werden tatsächlich zeigen, dass der kanonische Ringhomomorphismus \(\varphi : R \to R/I_1 \times R/I_2\) genau dann surjektiv ist, wenn \(I_1\) und \(I_2\) relativ prim sind.
- Wenn \(\varphi\) surjektiv ist, existiert \(a : R\) mit \(a\ \text{mod}\ I_1 = 1_{R/I_1} = 1_R\ \text{mod}\ I_1\) und \(a\ \text{mod}\ I_2 = 0_{R/I_2}~\). Das heißt, \((1_R - a) \in I_1\) und \(a \in I_2\). Somit \(1_R = (1_R - a) + a \in I_1 + I_2\).
- Wenn \(I_1 + I_2 = R\), existieren \(x_1 \in I_1\) und \(x_2 \in I_2\) mit \(x_1 + x_2 = 1_R\). Jetzt suchen wir, für alle \(a_1, a_2 : R\), ein Element \(a : R\), sodass \(a\ \text{mod}\ I_1 = a_1\ \text{mod}\ I_1\) und \(a\ \text{mod}\ I_2 = a_2\ \text{mod}\ I_2\). Da \(x_1\ \text{mod}\ I_2 = 1_{R/I_2}\) und \(x_2\ \text{mod}\ I_1 = 1_{R/I_1}\), ist die Idee \(a := a_1 x_2 + a_2 x_1\) zu setzen.
- Da \(x_1 \in I_1\) und \(x_2 \in I_2\), gilt \(a_2 x_1 \in I_1\) und \(a_1 x_2 \in I_2\). Daher gilt \(a\ \text{mod}\ I_1 = (a_1 x_2)\ \text{mod}\ I_1 + 0_{R/I_1)} = (a_1\ \text{mod}\ I_1)(x_2\ \text{mod}\ I_1)= a_1\ \text{mod}\ I_1\) und, in ähnlicher Weise, \(a\ \text{mod}\ I_2 = a_2\ \text{mod}\ I_2\).
9.38 Bestimmung des Kerns
- Wir möchten zeigen, dass \(\text{Ker}\ \varphi = I_1 I_2\).
- Da \(I_1\) und \(I_2\) relativ prim sind, reicht es zu beweisen, dass \(\text{Ker}\ \varphi = I_1 \cap I_2\).
- Dies folgt direkt aus der Definition von \(\varphi(a) = (a\ \text{mod}\ I_1, a\ \text{mod}\ I_2)\): \[\big( (a\ \text{mod}\ I_1 = 0_{R/I_1}) \wedge (a\ \text{mod}\ I_2 = 0_{R/I_2}) \big) \Leftrightarrow \big( a \in I_1 \wedge a \in I_2 \big) \Leftrightarrow a \in I_1 \cap I_2~.\]
Beispiel. Wenn \(n, m : \mathbb{Z}\) teilerfremd sind, dann gilt \(n\mathbb{Z} + m\mathbb{Z} = \mathbb{Z}\). Somit \(n\mathbb{Z} \cap m \mathbb{Z} = (nm) \mathbb{Z}\) und \[\mathbb{Z}/(nm)\mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}~.\]
9.39 Idempotente Elemente
- Sei \(R\) ein Ring. Ein Element \(x : R\) heißt idempotent, wenn \(x^2 = x\) gilt.
- Jeder Ring \(R\) besitzt idempotente Elemente, nämlich \(0_R\) und \(1_R\). Dies sind die triviale idempotente Elemente.
- Beachten Sie, dass \(R = \{0_R\}\) äquivalent zu \(1_R = 0_R\) ist. Ein solcher Ring heißt wird trivial genannt.
- In einem Produktring \(R = R_1 \times R_2\) von nicht-trivialen Ringen existieren nicht-trivialen idempotente Elemente, nämlich \(x = (1_{R_1}, 0_{R_2})\) und \(x = (0_{R_1}, 1_{R_2})\).
- Es stellt sich heraus, dass auch das Umgekehrte gilt.
- Bemerkung. Wenn \(f : R \to R'\) die Bedingung \(f(ab) = f(a) f(b)\) erfüllt, und \(R\) ein Einselelement \(1_R\) hat, dann muss \(f(1_R)\) idempotent sein. Weil \(f(1_R) = f(1_R^2) = f(1_R)^2\). Wenn \(R'\) kein nicht-triviales idempotentes Element hat, gilt \(f(1_R) = 1_{R'}\) oder \(f \equiv 0\).
9.40 Ringe mit nicht-triviale idempotente Elemente
Satz. Sei \(R\) ein (kommutativer unitärer) Ring, der ein nicht-triviales idempotentes Element \(e\) besitzt. Dann existieren (kommutativen unitäre) Ringe \(R_1, R_2\) und ein (unitärer) Ringisomorphismus \(R \simeq R_1 \times R_2\).
Beweis. Da \(e^2 = e\), gilt auch \((1 - e)^2 = 1 - 2e + e^2 = 1 - e\). Sei \(R_1 := Re\) und \(R_2 := R(1-e)\), wobei \(Rx := \{y : R\ /\ \exists\ a : R,\ y = ax \}\). Da \(x^2 = x\) gilt, ist \(Rx\) ein kommutativer unitärer Ring, mit \(1_{Rx} = x\). Außerdem ist die Abbildung \[\begin{array}{rcl} \varphi: R_1 \times R_2 & \longrightarrow & R \\ ( x_1, x_2 ) & \longmapsto & x_1 + x_2 \end{array}\] ein (unitärer) Ringisomorphismus. Um das zu zeigen, reicht es zu beweisen, dass \(\varphi\) ein bijektiver Ringisomorphismus ist (siehe unten).
9.41 Fortführung des Beweises
Zunächst gilt
\[\begin{array}{rcl} \varphi \big( (x_1, x_2) + (y_1, y_2) \big) & = & \varphi ( x_1 + y_1, x_2 + y_2 ) \\ & = & (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) \\ & = & (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) \\ & = & \varphi(x_1, x_2) + \varphi(y_1, y_2) \end{array}\]
und \(\varphi(1_{R_1, R_2}) = \varphi(1_{R_1}, 1_{R_2}) = \varphi(e, 1_R - e) = e + (1_R - e) = 1_R\).
Für die Eigenchaft \(\varphi((x_1, x_2) (y_1, y_2)) = \varphi(x_1,x_2) \varphi(y_1,y_2)\), berechnen wir separat: \[\varphi \big( (x_1, x_2) (y_1, y_2) \big) = \varphi( x_1 y_1, x_2 y_2 ) = x_1 y_1 + x_2 y_2\] und \[\varphi(x_1, x_2) \varphi(y_1, y_2) = (x_1 + x_2) (y_1 + y_2) = x_1 y_1 + x_1 y_2 + x_2 y_1 + x_2 y_1 ~.\] Es reicht daher zu beweisen, dass \(x_1 y_2 + x_2 y_1 = 0_R\).
9.42 Endes des Beweises
- Da \(e^2 = e\), gilt \(e(1-e) = e^2 -e = 0_R\).
- Für alle \(x : Re\) und \(y : R(1-e)\), gilt dann \(xy = ae \times b(1-e) = ab \times e(1-e) = 0_R\). Somit \(x_1 y_2 + x_2 y_1 = 0_R\) und \(\varphi((x_1, x_2) (y_1, y_2)) = \varphi(x_1,x_2) \varphi(y_1,y_2)\).
- Dann reicht es zu beweisen, dass \(\varphi\) bijektiv ist.
- Da \(\varphi(ae, a(1_R-e)) = ae + a(1_R - e) = a\), ist \(\varphi\) surjektiv,
- Wenn \(\varphi(x_1 , x_2) = 0_R\), existieren \(a_1, a_2 : R\), sodass \(x_1 = a_1 e\), \(x_2 = a_2 (1_R - e)\), und \(0_R = x_1 + x_2 = a_1 e + a_2 (1_R - e)\). Daher gilt \(a_2 = (a_2 - a_1) e\) und \(0_R = a_1 e + a_2 (1_R - e) = a_1 + (a_2 - a_1) e(1_R - e) = a_1 e + 0_R = a_1 e\). Das heißt, \(x_1 = a_1 e = 0_R\). Dann gilt auch \(0_R = x_1 + x_2 = 0_R + x_2 = x_2\).
9.43 Bereichen
Die vorherige Bemerkung motiviert die folgende Definition.
Definition. Ein (kommutativer unitärer) Ring \(R\) heißt ein Bereich, wenn \(R\) kein nicht-triviales idempotentes Element besitzt. Das heißt, wenn die folgende Eigenschaft gilt: \[\forall\ x : R,\ (x \neq 0_R \wedge x \neq 1_R) \Rightarrow x^2 \not= x\]
Die obige Bedingung ist äquivalent zu die folgende: \[\neg \big( \exists\ x : R,\ (x \not= 0_R \wedge x\not= 1_R) \wedge x^2 = x \big)~.\]
Nach dem vorherigen Satz, ist das äquivalent zu der Tatsache, dass es keinen Ringisomorphismus \(R \simeq R_1 \times R_2\) gibt. Das heißt, ein Bereich ist ein (kommutativer unitärer) Ring, der keine Zerlegung als Produktring hat.
9.44 Beispiele für Bereichen
- Wir werden bald sehen, dass jeder Integritätsring mit entscheidbarer Gleichheit ein Bereich ist. Ein Bereich ist allerdings nicht unbedingt ein Integritätsring.
- Zum Beispiel, für \(p\) eine Primzahl, ist für alles \(k\) der Ring \(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}\) ein Bereich (siehe unten), aber nur wenn \(k = 1\) ist er ein Integritätsring (siehe die nächste Vorlesung).
- Die Analogie mit der Topologie ist, dass ein Bereich wie ein zusammenhängender topologischer Raum ist, während ein Integritätsbereich wie ein irreduzibler topologischer Raum ist (was im Allgemeinen stärker ist). In der algebraischen Geometrie ist diese Analogie ein Satz.
9.45 Übung 10
- Sei \(n : \mathbb{Z}\) und nehmen wir an, dass \(n ^ 2 \equiv n\ (\text{mod}\ p^k)\), wobei \(p\) eine Primzahl ist, und \(k : \mathbb{N}_{> 0}.\)
- Zeigen Sie, dass \(p^k\ |\ n\) oder \(p^k\ |\ (n-1)\). Hinweis. \(n^2 - n \equiv 0\ (\text{mod}\ p^k)\) bedeutet, dass \(p^k\ |\ (n^2 - n)\).
- Leiten Sie davon ab, dass der Ring \(\mathbb{Z} / p^k \mathbb{Z}\) kein nicht-triviales idempotentes Element besitzt.