20  Normale Erweiterungen

Ein Porträt von Ernst Kummer (1810-1893).

Ernst Kummer (1810-1893) war ein deutscher Mathematiker und Hochschullehrer, der sich vor allem als Zahlentheoretiker bekannt wurde. Er führte 1847 beim Studium von dessen Ring ganzer Zahlen ideale Zahlen ein, woraus später die Idealtheorie durch Dedekind und Kronecker wurde, eine der Grundlagen der Entwicklung der abstrakten Algebra.

20.1 Homomorphismen von Algebren über einem festen Körper

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• Sei \(K\) ein Körper (immer mit entscheidbarer Gleichheit). Ein Homomorphismus von \(K\)-Algebren \(\sigma : A_1 \to A_2\) wird \(K\)-Homomorphismus genannt. Die Menge aller solchen Homomorphismen wird als \(\text{Hom}_K(A_1, A_2)\) bezeichnet.
• Die Bedingung, dass ein Ringhomomorphismus \(\sigma : A_1 \to A_2\) ein \(K\)-Homomorphismus ist, kann durch die Kommutativität des obigen Diagramms ausgedrückt werden.
• Ist jede \(A_i = L_i\) eine Körpererweiterung von \(K\), dann sind alle Abbildungen in den obigen Diagramm injektiv und ist ein Ringhomomorphismus \(\sigma : L_1 \to L_2\) genau dann ein \(K\)-Homomorphismus, wenn \(\sigma|_{K} = id_K\) ist (das heißt, wenn \(\forall\ x : L_1,\ \sigma(x) = x\) in \(L_2\)).

20.2 Konjugierte Elemente

• Als Beispiele für \(K\)-Homorphismen, können wir die Menge \(\text{Hom}_{K}(K[a], L)\) aller \(K\)-Homomorphismen von einer Zwischenerweiterung \(K[a] \subseteq L\) nach die Erweiterung \(L\) untersuchen.
• In diesem Zusammenhang werden wir annehmen, dass \(a\) algebraisch über \(K\) ist. Dann gibt es einen \(K\)-Isomorphismus \(K[a] \simeq K[X]\ / \left< P_a \right>\) , wobei \(P_a\) das Minimalpolynom von \(a : L\) ist. Da \(\sigma : \text{Hom}_K(K[a], L)\) ein \(K\)-Algebra Homomorphismus ist, gilt, für jedes Polynom \(F : K[X]\), dass \(F(\sigma(a)) = \sigma( F(a) )\) ist (Übung). Insbesondere ist \(\sigma(a)\) eine Würzel von \(P_a\) in \(L\), denn \(P_a(\sigma(a)) = \sigma(P_a(a)) = \sigma(0_L) = 0_L\) .
• Umgekehrt induziert jede Wurzel \(b\) von \(P_a\) in \(L\) einen \(K\)-Homomorphismus von \(\sigma : K[a] \to L\), der eindeutig durch die Bedingung \(\sigma(a) = b\) bestimmt ist. Eine Wurzel von \(P_a\) in \(L\) heißt ein Konjugiert (oder konjugiertes Element) von \(a\) in \(L\).

20.3 Übung 1

• Sei \(L/K\) eine Körpererweiterung und sei \(a : L\) ein algebraisches Element über \(K\).
• Sei \(b : L\) ein Konjugiert von \(a\) in \(L\). Zeigen Sie, dass \(P_b = P_a\) ist (wobei \(P_a\) und \(P_b\) die Minimalpolynome von \(a\) und \(b\) sind).
• Sei \(\sigma : \text{Hom}_K(L, L)\). Zeigen Sie, dass \(\sigma(a)\) algebraisch über \(K\) ist, und dass \(P_{\sigma(a)} = P_a\) ist.

20.4 Die Menge aller Konjugierte eines algebraischen Element

Satz. Sei \(L/K\) eine Körpererweiterung und sei \(a : L\). Wenn \(a\) algebraisch über \(K\) ist, mit Minimalpolynom \(P_a : K[X]\), ist die folgende Abbildung eine Bijektion. \[\begin{array}{rcl} \Phi : \text{Hom}_K(K[a], L) & \longrightarrow & \text{Konj}_L(a) := \{ b : L\ /\ P_a(b) = 0_L \}\\ \sigma & \longmapsto & \sigma(a) \end{array} \] Insbesondere hat \(\text{Hom}_K(K[a], L)\) hochstens \(\deg P_a = [K[a] : K]\) Elemente.

• Die inverse Abbildung \(\Psi : \text{Konj}_L(a) \to \text{Hom}_K(K[a], L)\) bildet ein konjugiertes Element \(b\) von \(a\) nach der eindeutige \(K\)-Homomorphismus \(\tau_b : K[X]\ / \left< P_a \right> \to L\) ab, der \(a\) (\(=\) die Klasse von \(X\) in \(K[a]\)) nach \(b\) abbildet. Das heißt, gilt \(\tau_b(a) = b\).
• Der Homomorphismus \(\tau_b\) ist dank der universellen Eigenschaften von \(K[X]\) und \(K[X]\ / \left<P_a\right>\) wohldefiniert, denn \(P_a(b) = 0_L\). Gilt dann \((\Phi \circ \Psi)(b) = \tau_b(a) = b\) und \((\Psi \circ \Phi)(\sigma) = \sigma\), denn \(\tau_{\sigma(a)}(a) = \sigma(a)\). Außerdem hat \(\text{Konj}_L(a)\) hochstens \(\deg P_a\) Elemente.

20.5 Beispiele für Konjugierte und Erweiterunghomomomorpshismen

• Seien \(K := \mathbb{Q}\) und \(L := \overline{\mathbb{Q}}\). Sei \(a := ~^4\sqrt{2}\), mit Minimalpolynom \(P_a := X^4 - 2\), deren Wurzeln in \(\overline{\mathbb{Q}}\) die folgende sind: \(^4\sqrt{2}\), \(-(^4\sqrt{2})\), \(i(^4\sqrt{2})\) und \(-i(^4\sqrt{2})\). Der Körper \(K[a] = \mathbb{Q}[^4\sqrt{2}]\) enthält die Wurzeln \(\pm^4\sqrt{2}\) von \(P_a\) , aber nicht die Wurzeln \(\pm i(^4\sqrt{2})~.\)
• Dann gilt \[\text{Hom}_{\mathbb{Q}} \big(\mathbb{Q}[^4\sqrt{2}], \mathbb{Q}[^4\sqrt{2}] \big) \simeq \text{Konj}_{\mathbb{Q}[^4\sqrt{2}]}(^4\sqrt{2}) = \big\{ ^4\sqrt{2}, -^4\sqrt{2} \big\}~.\] und \[\text{Hom}_{\mathbb{Q}} \big(\mathbb{Q}[^4\sqrt{2}], \overline{\mathbb{Q}} \big) \simeq \text{Konj}_{\overline{\mathbb{Q}}}(^4\sqrt{2}) = \big\{ ^4\sqrt{2}, -(^4\sqrt{2}), i(^4\sqrt{2}), -i(^4\sqrt{2}) \big\}~\]
• Der Körper \(M := \mathbb{Q}[^4\sqrt{2}, i] = \mathbb{Q}[^4\sqrt{2}, i(^4\sqrt{2})]\) ist ein Zerfällungskörper für \(P_a\) und eine Erweiterung von \(K[a]\). Da alle Konjugierte von \(^4\sqrt{2}\) in \(\overline{\mathbb{Q}}\) zu \(\mathbb{Q}[^4\sqrt{2}, i]\) gehören, gilt \[\text{Hom}_{\mathbb{Q}} \big( \mathbb{Q}[^4\sqrt{2}], \overline{\mathbb{Q}} \big) = \text{Hom}_{\mathbb{Q}} \big( \mathbb{Q}[^4\sqrt{2}], \mathbb{Q}[^4\sqrt{2}, i] \big)~.\]

20.6 Endomorphismen einer algebraischen Erweiterung

Die Menge \(\text{End}_K(L) := \text{Hom}_K(L, L)\) ist besonders interessant, weil jeder Endomorphismus einer algebraischen Erweiterung tatsächlich ein Automorphismus ist 🤔 .

Satz. Sei \(L/K\) eine algebraische Körpererweiterung. Dann ist jeder \(K\)-Endomorphismus von \(L\) ein \(K\)-Automorphismus.

Beweis. Es reicht zu zeigen (Übg.), dass jeder \(K\)-Endomorphismus \(\sigma : L \to L\) eine Bijektion ist.

• Da \(L\) ein Körper ist, ist der Ringhomomorphismus \(\sigma\) injektiv. Sei nun \(b : L\), mit Minimalpolynom \(P_b : K[X]\). Da \(\sigma|_K = id_K\), gilt \(P_b(\sigma(b)) = \sigma(P_b(b)) = \sigma(0_L) = 0_L\). Dies bedeutet, dass \(\sigma\) eine (injektive) Abbildung \(\sigma|_{\text{Konj}_L(b)} : \text{Konj}_L(b) \to \text{Konj}_L(b)\) induziert.
• Da \(\text{Konj}_L(b)\) per Definition die Menge aller Wurzeln von \(P_b\) in \(L\) ist, hat diese Menge hochstens \(\deg P_b\) Elemente. Da \(\forall\ n : \mathbb{N},\ \sigma^n(b)\) eine Wurzel von \(P_b\) ist, existieren daher \(m, p : \mathbb{N}\), mit \(p \not= 0\) und \(\sigma^m(b) = \sigma^{m + p}(b)\). Da \(\sigma\) injektiv ist, gilt \(b = \sigma^p(b) = \sigma( \sigma^{p-1}(b) )\).

20.7 Übung 2

• Sei \(L/K\) eine endliche Körpererweiterung.
• Zeigen Sie, dass es eine \(m : \mathbb{N}_{> 0}\) gibt, sodass die Gruppe \(\text{Aut}_K(L)\) hochstens \(m\) Elemente hat. Hinweis. Schreiben Sie \(L = K[a_1,\ \ldots\ , a_n]\) für geeignete \(a_i : L\), und bauen Sie eine injektive Abbildung \[\Phi : \text{Aut}_K(L) \longrightarrow \prod_{i=1}^n \text{Konj}_L(a_i)\ ,\] dann setzen Sie \(m := \prod_{i=1}^n [K(a_i) : K]\).

20.8 Normale Körpererweiterungen

• Das Konzept einer normalen Erweiterung wird analog zu dem einer (algebraischen) separablen Erweiterung definiert.

• Das heißt, wir führen zunächst die Notion des normalen Element ein, dann die der normalen Erweiterung, als eine Erweiterung, in der jedes Element normal ist.

  Definition. Sei \(L/K\) eine Körpererweiterung.

  • Ein Element \(x : L\) heißt normal über \(K\) wenn es algebraisch ist und ein Polynom \(P : K[X]\) mit Leitkoeffizient \(1_K\) existiert, sodass \(P\) in lineare Faktoren über \(L\) zerfällt. Das heißt, wenn \(P = \prod_{i=1}^n (X-x_i)\) in \(L[X]\).
  • Wenn \(L/K\) eine Körpererweiterung ist, heißt diese Erweiterung normal, wenn jedes Element \(x : L\) normal über \(K\) ist.

20.9 Charakterisierung normaler Elementen einer endlichen Erweiterung

Wie für separable Elemente, haben wir eine äquivalente Charakterisierung der normalen Elemente einer endlichen Körpererweiterung \(L/K\).

Satz. Sei \(L/K\) eine endliche Körpererweiterung und sei \(x : L\) ein algebraisches Element. Dann ist \(x\) genau dann normal über \(K\), wenn das Minimapolynom \(P_x : K[X]\) in lineare Faktoren über \(L\) zerfällt.

Beweis:

• Um „\(\Leftarrow\)“ zu beweisen, reicht es \(P := P_x\) (das Minimalpolynom von \(x\)) zu setzen.
• Für „\(\Rightarrow\)“, sei \(P\) ein Polynom mit \(P(x) = 0_L\) und \(P = \prod_{i=1}^n (X-x_i)\) in \(L[X]\). Dann gilt \(P_x\ |\ P~.\) Folgt daraus, dass \(P_x\) in lineare Faktoren über zerfällt. Genauer gesagt, gilt \(P_x = \prod_{j=1}^k (X - x_{i_j})\) für geeignete \(k\) und \(\{i_1,\ \ldots\ ,i_k \} \subseteq \{1,\ \ldots\ ,n \}\) (Übung).

20.10 Erweiterungen, die keine normale Erweiterung sind

• In der Praxis ist es nicht immer klar, wie zu überprüfen, dass jedes Element einer angegebenen Erweiterung \(L/K\) normal über \(K\) ist. Wir werden unten sehen, dass es zu zeigen reicht, dass \(L\) ein Zerfällungskörper ist.

• Es ist etwas einfacher, es zu zeigen, dass eine angegebene endliche Erweiterung \(L/K\) keine normale Erweiterung ist:

  • Es reicht ein algebraisches Element \(a : L\) zu finden, dessen Minimalpolynom \(P_a\) in lineare Faktoren über \(L\) nicht zerfällt.
  • Zum Beispiel ist \(\mathbb{Q}[^3\sqrt{2}]\) keine normale Erweiterung von \(\mathbb{Q}\), weil das Minimalpolynom \(P_a := X^3 - 2\) von \(a := ^3\sqrt{2}\) hat Wurzeln \(\pm j (^3\sqrt{2})\), die nicht zu \(\mathbb{Q}[^3\sqrt{2}]\) gehören.

20.11 Übung 3

• Sei \(K\) ein vollkommener Körper und sei \(L/K\) eine normale Körpererweiterung.
• Sei \(a : L\) , mit Minimalpolynom \(P_a\).
• Zeigen Sie, dass die Menge \(\text{Konj}_L(a)\) enthält genau \(\deg P_a\) Elemente.

20.12 Endliche normale Erweiterungen sind Zerfällungskörper

• Sei \(L/K\) eine endliche Körpererweiterung und nehmen wir an, dass \(L\) normal über \(K\) ist.
• Dann können wir \(L = K[a_1,\ \ldots\ , a_n]\) schreiben, mit \(a_i : L\) normal über \(K\). Das heißt,für jedes \(i\) existiert ein geeigenetes Polynom \(P_i\) mit \(P_i(a_i) = 0_L\), sodass \(P_i\) in lineare Faktoren über \(L\) zerfällt.
• Es ist dann unmittelbar, dass \(L\) ein Zerfällungskörper für das Polynom \(P := P_1\ \ldots\ P_n\) ist, denn \(P\) zerfällt in lineare Faktoren über \(L\) und die Wurzeln von \(P\) erzeugen \(L\) als \(K\)-Algebra.

20.13 Zerfällungskörper sind normale Erweiterungen

• Die Umkehrung der vorherigen Satzes kann als erster Schritt der Galois-Theorie angesehen werden.

  Satz. Sei \(K\) ein Körper. Sei \(P : K[X]\) und nehmen wir an, dass \(L/K\) eine Erweiterung von \(K\) ist, die ein Zerfällungskörper für \(P\) ist. Dann ist \(L/K\) eine normale Erweiterung.

• Zum Beispiel ist \(\mathbb{Q}[^4\sqrt{2},i]\) eine normale Erweiterung von \(\mathbb{Q}\), weil \(\mathbb{Q}[^4\sqrt{2},i] = \mathbb{Q}[^4\sqrt{2},i ^4\sqrt{2}]\) von den Wurzeln von \(P := X^4 - 2\) erzeugt wird und alle Wurzeln von \(P\) enthält (genauer gesagt, \(P\) zerfällt in lineare Faktoren über \(\mathbb{Q}[^4\sqrt{2}, i]\)).

• In ähnlicher Weise ist der Körper \(\mathbb{Q}[ ^3\sqrt{2}, j]\) ein Zerfällungskörper für \(P := X^3 -2\) . Daher ist \(\mathbb{Q}[ ^3\sqrt{2}, j] / \mathbb{Q}\) eine normale Erweiterung.

20.14 Symmetrischen Polynome

• Für den Beweis des vorherigen Satzes, brauchen wir das folgende Ergebnis.
• Sei \(n : \mathbb{N}_{> 0}\) und sei \(P : K[X_1,\ \ldots\ , X_n]\) ein Polynom in \(n\) Unbestimmnten. Dann heißt \(P\) symmetrisch, wenn für alle Permutation \(\pi : \mathfrak{S}_n\), gilt \[P \big( X_{\pi(1)},\ \ldots\ , X_{\pi(n)} \big) = P \big(X_1,\ \ldots\ , X_n \big)~.\]
• Zum Beispiel ist die Potenzsumme \(N_k(X_1,\ \ldots\ , X_n) := X_1^k +\ \ldots\ + X_n^k\) symmetrisch.
• Die sogenannte elementarsymmetrischen Poynome in \(n\) Unbestimmnten sind die folgende Polynome \(s_i(X_1,\ \ldots\ , X_n)\). \[s_1 := \sum_{i=1}^n X_i~,\ s_2 := \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} X_i X_j~,\ \ldots\ ,\ s_n := X_1\ \ldots\ X_n~.\]

20.15 Elementarsymmetrischen Polynome

Die Relevanz elementarsymmetrischer Polynomen liegt in den folgenden zwei Tatsachen:

• Die Relationen zwischen Koeffizienten und Wurzeln:

  • Sei \(P := X^n + a_{n-1} X^{n-1} +\ \ldots\ + a_1 X + a_0\) und nehmen wir an, dass \(P = \prod_{j = 1}^n (X-x_j)\). Dann gilt, \(\forall\ i \in \{1,\ \ldots\ , n\}, a_{n-i} = (-1)^i s_i(x_1,\ \ldots\ , x_n)\).
  • Insbesondere gilt: Wenn \(P\) hat Koeffizienten in \(K\), dann sind die elementarsymmetrischen Funktionen der Wurzeln von \(P\) Elemente von \(K\), selbst wenn die Wurzeln von \(P\) zu einer Erweiterung von \(K\) gehören.

• Der Hauptsatz über elementarsymmetrische Polynome:

  • Dies behauptet, dass jedes symmetrische Polynom \(P\) eindeutig als Polynom \(Q(s_1,\ \ldots\ , s_n)\) dargestellt werden kann.
  • Zum Beispiel gilt \(X_1^2 + X_2^2 = (X_1 + X_2)^2 - 2 X_1 X_2 = s_1^2 -2 s_2\).

20.16 Beweis des Satzes über Zerfällungskörper

• Nehmen wir an, dass \(L\) eine Erweiterung von \(K\) ist, die ein Zerfällungskörper für ein gegebener Polynom \(P : K[X]\) mit Leitkoeffizient \(1_K\) ist. Dann gilt \(P = \prod_{i=1}^n (X-x_i)\) über \(L\), und \(L = K[x_1,\ \ldots\ , x_n]\) .
• Sei \(x : L\) . Wir müssen zeigen, dass \(x\) normal über \(K\) ist.
• Da \(x\) der Gestalt \(x = F(x_1,\ \ldots\ , x_n)\) für ein geeignetes \(F : K[X_1,\ \ldots\ , X_n]\) ist, ist die Idee das folgende Polynom \(Q\) in \((n+1)\) Unbestimmten einzuführen: \[Q(X, X_1,\ \ldots\ , X_n) := \prod_{\pi\ :\ \mathfrak{S}_n} \big( X - F(X_{\pi(1)},\ \ldots\ , X_{\pi(n)}) \big)~.\]
• Dann ist \(Q\), als Element von \(K[X][X_1,\ \ldots\ , X_n]\), ein symmetrisches Polynom. Zum Beispiel, wenn \(n = 2\) ist, gilt \(Q(X , X_1 , X_2) := ( X - F(X_1 , X_2) ) ( X - F(X_2 , X_1) )\), das heißt \(Q(X, X_1, X_2) = X^2 - (F(X_1 , X_2) + F(X_2 , X_1) ) X + F(X_1, X_2) F(X_2 , X_1)\) .

20.17 Fortführung des Beweises

• Genauer gesagt ist jedes Koeffizient von \(Q\) als Element von \(K[X_1 ,\ \ldots\ , X_n][X]\) eine elementarsymmetrische Funktion in die \(n!\) Unbestimmnten \(F^\pi := F( X_{\pi(1)} ,\ \ldots\ , X_{\pi(n)})\).

• Man kann das wie folgt schreiben: \(Q(X , X_1 , \ \ldots\ , X_n) = \prod_{\pi\ : \ \mathfrak{S}_n} (X - F^\pi)\), somit \[Q(X , X_{\varrho(1)} , \ \ldots\ , X_{\varrho(n)}) = \prod_{\pi\ : \ \mathfrak{S}_n} (X - F^{\pi \varrho})\ = \prod_{\pi'\ : \ \mathfrak{S}_n} (X - F^{\pi'}) = Q(X, X_1,\ \ldots\ , X_n)\] und \[Q = X^{n!} + \sum_{i=1}^{n!}(-1)^i t_i\big( (F^\pi)_{\pi\ :\ \mathfrak{S}_n} \big) X^{n-i}\] wobei die \((t_i)_{1 \leqslant n!}\) die elementarsymmetrische Funktionen in \(n!\) Unbestimmten sind.

  Das heißt, eine symmetrische Funktion aller Permutationen der Unbestimmten \((X_1,\ \ldots\ , X_n)\) ist selbst eine symmetrische Funktion in \((X_1,\ \ldots\ , X_n)\).

20.18 Ende des Beweises

• Existieren daher Polynome \(G_i : K[X_1,\ \ldots\ X_n]\), mit \[Q(X, X_1,\ \ldots\ , X_n) = X^n + \sum_{i = 1}^n G_i(s_1,\ \ldots\ , s_n) X^{n-i}\] wobei die \((s_i)_{1 \leqslant n}\) die elementarsymmetrische Funktionen in \(n\) Unbestimmten sind.
• Daraus folgt, dass die Koeffiziente von \(Q(X, x_1,\ \ldots\ , x_n) : L[X]\) sind Polyome in \((s_i(x_1,\ \ldots\ , x_n))_{1 \leqslant i \leqslant n}\). Da \((x_1,\ \ldots\ , x_n)\) die Wurzeln von \(P : K[X]\) sind, ist \((-1)^i s_i(x_1,\ \ldots\ , x_n)\) genau der Koeffizient des Monoms \(X^i\) im Ausdruck von \(P : K[X]\).
• Dann ist \(Q_1(X) := Q(X, x_1,\ \ldots\ , x_n)\) ein Element von \(K[X]\), sodass \(Q_1(x) = 0_L\) ist und \[Q_1(X) = \prod_{\pi\ :\ \mathfrak{S}_n} \big( X - F( x_{\pi(1)},\ \ldots\ , x_{\pi(n)} ) \big)\] in lineare Faktoren über \(L\) zerfällt. Daher ist \(x : L\) normal über \(K\).

20.19 Übung 4

• Sei \(K\) ein Körper und sei \(\Omega/K\) eine Erweiterung von \(K\), die ein algebraisch abgeschlossener Körper ist. Sei \(\overline{K}\) die Menge aller Elemente in \(\Omega\), die algebraisch über \(K\) sind.
• Begründen Sie kurz, warum \(\overline{K}\) ein algebraischer Abschluss für \(K\) ist.
• Zeigen Sie, dass eine Zwischenerweiterung \(K \subseteq L \subseteq \overline{K}\) genau dann normal ist, wenn für alles \(a : L\), alle Konjugierte von \(a\) in \(\overline{K}\) zu \(L\) gehören. Hinweis. Da \(P_a\) in lineare Faktoren über \(\overline{K}\) zerfällt, sind die Konjugierte von \(a\) in \(\overline{K}\) genau die Wurzeln von \(P\).

20.20 Normale Erweiterungen sind invariant unter Automorphismen

Der folgende Satz stellt eine Beziehung zwischen normalen Zwischenrerweiterungen einer Körpererweiterung \(L/K\) und Invarianz unter \(K\)-Automorphismen von \(L\) her.

Satz. Sei \(L/K\) eine Körpererweiterung und sei \(K \subseteq M \subseteq L\) eine Zwischenerweiterung. Wenn \(M/K\) normal ist, dann gilt \(\forall\ \sigma : \text{Aut}_K(L),\ \sigma(M) = M\).

Beweis. Es genügt zu zeigen (Warum?), dass \(\forall\ \sigma : \text{End}_K(L),\ \sigma(M) \subseteq M\) .

• Sei \(a : L\) mit \(a \in M\). Da \(a\) normal über \(K\) ist, existiert \(P : K[X]\) mit Leitkoeffizient \(1_K\), sodass \(P(a) = 0_L\) gilt, und \(P\) in lineare Faktoren über \(M\) zerfällt. Das heißt, \(P = \prod_{i=1}^n (X - a_i)\) in \(M[X]\).
• Sei \(\sigma : \text{End}_K(L)\). Dann gilt \(P(\sigma(a)) = \sigma(P(a)) = \sigma(0_L) = 0_L\).
• Da alle Wurzeln \((a_i)_{1 \leqslant i\leqslant n}\) von \(P_a\) in \(L\) zu \(M\) gehören, gilt \(\sigma(a) \in M\).

20.21 Erweiterungen, die invariant unter Automorphismen sind

Unter zusätzlichen Annahme, gilt eine Umkehrung des vorherigen Satzes.

Satz. Sei \(L/K\) eine endliche und normale Körpererweiterung und sei \(M/K\) eine Zwischenerweiterung. Wenn \(\forall\ \sigma : \text{Aut}_K(L),\ \sigma(M) = M\) gilt, dann ist auch \(M/K\) eine normale Erweiterung.

Beweis. Sei \(a : L\) mit \(a \in M\). Wir möchten zeigen, dass \(a\) normal über \(K\) ist.

• Da \(L/K\) eine endliche Erweiterung ist, ist \(a\) algebraisch über \(K\). Sei \(P_a : K[X]\) das Minimalpolynom von \(a\). Dann gilt \(P_a = \prod_{i=1}^n (X - a_i)\) in \(L[X]\).
• Wir möchten zeigen, dass jedes \(a_i\) zu \(M\) gehört. Sei \(\tau_i\) der eindeutige \(K\)-Homomorphismus \(\tau_i : K[a] \to L\), der \(a\) nach \(a_i\) abbildet. Nun reicht es zu beweisen, dass \(\tau_i\) eine Fortsetzung \(\widehat{\tau_i} : L \to L\) besitzt. Hier wird die Annahme verwendet, dass \(L/K\) normal ist (siehe unten). Dies genügt, weil dann \(\widehat{\tau_i}(M) = M\) gilt, somit \(a_i = \widehat{\tau}_i(a) \in M~.\)

20.22 Fortsetzung der Homomorphismen aus Zwischenerweiterungen

Die folgende Eigenschaft einer endlichen normalen Erweiterung wird oft benutzt.

Lemma. Sei \(L/K\) eine Körpererweiterung und sei \(K \subseteq M \subseteq L\) eine Zwischenerweiterung. Nehmen wir an, dass \(L/M\) endlich ist, und dass \(L/K\) normal ist. Dann existiert, für jeden \(K\)-Homomorphismus \(\sigma : \text{Hom}_K(M, L)\), eine Forsetzung \(\widehat{\sigma} : \text{Hom}_K(L, L)\), das heißt ein \(K\)-Homomorphismus \(\widehat{\sigma} : L \to L\) , mit \(\widehat{\sigma}|_M = \sigma\).

Bemerkungen.

• Eine solche Fortsetzung \(\widehat{\sigma} : L \to L\) ist ein \(K\)-Endomorphismus von \(L\) , somit auch ein \(K\)-Automorphismus von \(L\).
• In der Praxis (zum Beispiel im vorherigen Satz über Erweiterungen, die invariant unter Automorphismen sind), gilt oft, dass \(L\) endlich-dimensional als \(K\)-Vektorraum ist.