7  Gruppenoperationen und Anwendungen

Die Würfelgruppe.

Die Gruppe der Symmetrieabbildungen des Würfels (genannt die „Würfelgruppe“) operiert auf der Menge der Ecken, auf der Menge der Kanten, auf der Menge der Raumdiagonalen usw.

7.1 Gruppenoperationen

• Wir haben bereits verschiedene Beispiele für Gruppe gesehen, die Symmetriegruppen geometrischen Figuren waren. Zum Beispiel, die Symmetriegruppe eines Rechtecks oder eines Quadrats.

• Diese Symmetriegruppen sind auch Beispiele für Gruppen, die auf einer Menge wirken.

  Definition. Sei \(G\) eine Gruppe und \(X\) eine Menge. Eine Aktion (oder Operation, oder Wirkung) von \(G\) auf \(X\) ist eine Abbildung \(\mu : G \times X \to X\), die die folgende Eigenschaften erfüllt:

  1. Für alles \(x : X\), \(\mu(e, x) = x\), wobei \(e\) das neutrale Element von \(G\) ist.
  2. Für alle \(g_1, g_2 : G\) und alles \(x : X\), \(\mu(g_1, \mu(g_2, x)) = \mu(g_1 g_2, x)\).

• Die übliche Notation ist \(\mu(g, x) = g \cdot x\) (auf Wikipedia sehen Sie auch \(g \rhd x\)).

7.2 Die Symmetrische Gruppe einer Menge

• Die Bedeutung der zweiten Bedingung \[g_1 \cdot (g_2 \cdot x) = (g_1 g_2) \cdot x\]

  ist wie folgt: Die Wirkung von \(g_2\) über \(x\), gefolgt von der Wirkung von \(g_1\) über \((g_2 \cdot x)\), ist die gleiche wie die Wirkung von \(g_1 g_2\) (\(=\) das Produkt von \(g_1\) und \(g_2\) in der Gruppe \(G\)).

• Sei \(X\) eine Menge. Die Gruppe \(\text{Bij}(X)\), bestehend aus Bijektionen \(f : X \to X\) wirkt auf \(X\) durch \(f \cdot x := f(x)\):

  1. \(\forall\ x : X,\ id_X \cdot x = id_X ( x ) = x\).
  2. \(\forall\ f_1, f_2 : \text{Bij}(x),\ \forall\ x : X,\ f_1 \cdot (f_2 \cdot x) = f_1 (f_2 (x)) = (f_1 \circ f_2)(x)\).

• Die Gruppe \(\text{Bij}(X)\) wird auch als \(S(X)\) oder \(\mathfrak{S}(X)\) bezeichnet, und die symmetrische Gruppe von \(X\) genannt. Jede Untergruppe \(G \preccurlyeq \text{Bij}(X)\) wirkt auf \(X\).

7.3 Aktionen als Gruppenhomomorphismen

• Sei \(\mu : G \times X \to X\) eine Gruppenaktion von \(G\) auf \(X\). Dann ist, für jedes \(g : G\), die partielle Abbildung \(\mu_g: X \to X\), die durch \(x \mapsto \mu(g, x)\) definiert wird, eine Bijektion von \(X\) nach \(X\), mit inversen Bijektion \(\mu_{g^{-1}}\) :

  • \(\forall\ x : X,\ g^{-1} \cdot (g \cdot x) = (g^{-1}g) \cdot x = e \cdot x = x\).
  • \(\forall\ x : X,\ g \cdot (g^{-1} \cdot x) = (gg^{-1}) \cdot x = e \cdot x = x\).

• Allgemeiner gesagt gilt \(\mu_{g_1} \circ \mu_{g_2} = \mu_{g_1 g_2}\) : \[\forall\ x : X,\ (\mu_{g_1} \circ \mu_{g_2})(x) = \mu_{g_1} \big( \mu_{g_2} ( x ) \big) = g_1 \cdot (g_2 \cdot x) = (g_1 g_2) \cdot x = \mu_{g_1 g_2} (x)\]

• Das heißt, das Datum einer Aktion von \(G\) auf \(X\) ist äquivalent zum Datum eines Gruppenhomomorphismus \(\widehat{\mu} : G \to \text{Bij}(X)\) : gegeben einen solchen \(\widehat{\mu}\), ist die Abbildung \(\mu(g, x) := \widehat{\mu}(g)(x)\) eine Aktion von \(G\) auf \(X\) (Übung).

7.4 Currying

• Die Korrespondenz zwischen Aktionen von \(G\) auf \(X\) und Gruppenmorphismen von \(G\) nach \(\text{Bij}(X)\) wird in Wirklichkeit durch eine allgemeinere Korrespondenz induziert, die als Currying bekannt ist. \[\begin{array}{rcl} \big\{ \text{Operationen von}\ G\ \text{auf}\ X \big\} & \longmapsto & \text{Hom}_{\text{Gpp}} \big( G, \text{Bij}(X) \big) \\ \big( \mu : G \times X \to X \big) & \longmapsto & \big( \widehat{\mu} : G \to (X \to X) \big) \end{array}\]

• Per Definition gilt \(\widehat{\mu}(g) := \mu_g\) (die partielle Abbildung \(x \mapsto \mu(g, x))\). Hier, \((X \to X)\) ist Notation für die Menge \(\text{Abb}(X, X)\), bestehend aus Abbildungen von \(X\) nach sich selbst.

• Die Abbildung \(\widehat{\mu}\) ist die Curried-Version von \(\mu\) (die eine Funktion mit zwei Variablen ist()). Das heißt, \(\mu\) ist eine Abbildung, die eine Abbildung zurückgibt. Das Konzept des Currying ist in der funktionalen Programmierung wichtig.

7.5 Rechtsaktionen

• Was wir definiert haben heißt tatsächlich eine Linksaktion: \[\forall\ x : X, \big( (e \cdot x = x) \wedge (\forall\ g_1, g_2 : G, g_1 \cdot (g_2 \cdot x) = (g_1 g_2) \cdot x ) \big)~.\]

• Es gibt auch Rechtsaktionen, das heißt Abbildungen \(\mu : X \times G \to X\), sodass \[\forall\ x : X, \big( (x \cdot e = x) \wedge (\forall\ g_1, g_2 : G, (x \cdot g_1) \cdot (g_2) = x \cdot (g_1 g_2) \big)~.\]

• Der Unterschied liegt darin, dass die Wirkung von \(g_1g_2\) über \(x\) jetzt die gleiche ist, wie die Wirkung von \(g_1\) zuerst, gefolgt von der von \(g_2\).

• Zum Beispiel wirkt die Gruppe \(\text{Bij}(M)\) rechts auf der Menge \(X = \text{Abb}(M, N)\) durch \(\varphi \cdot f := \varphi \circ f\) (Übung). Beachten Sie auch, dass die Gruppe \(\text{Bij}(N)\) wirkt links auf der selben Menge, durch \(g \cdot \varphi := g \circ \varphi\). Der erste Teil der Übung besteht darin, den Typ von \(f\), \(\varphi\) und \(g\) in den vorherigen Ausdrücken zu bestimmen.

7.6 Übung 1

• Sei \(G = (A, \star)\) eine Gruppe. Sei \(\star^{\text{op}} : A \times A \to A\) die Verknüpfung, die für alle \(a, b : A\) durch \(a \star^{\text{op}} b := b \star a\) definiter wird. Zeigen Sie, dass der Tupel \(G^{\text{op}} := (A, \star^{\text{op}})\) eine Gruppe ist. Diese Gruppe heißt die Gegengruppe von \(G\). Zeigen Sie, dass \((G^{\text{op}})^{\text{op}} = G\).
• Zeigen Sie, dass das Datum einer Rechtsaktion von \(G\) auf einer Menge \(X\) das Gleiche ist, wie das Datum einer Linksaktion von \(G^{\text{op}}\) auf \(X\).
• In ähnlicher Weise, kann man einen Gruppenantihomomorphismus \(\varphi : G_1 \to G_2\) als eine Abbildung \(\varphi\) mit \(\varphi(a \star_{G_1} b) = \varphi(b) \star_{G_2} \varphi(a)\) definieren. Dann ist eine Rechtsaktion von \(G\) auf \(X\) das Gleiche, wie ein Gruppenantihomomorphismus von \(G\) nach \(\text{Bij}(X)\).
• Außerdem ist eine Gruppenantihomomorphismus \(\varphi : G_1 \to G_2\) das Selbe wie ein Gruppenhomomorphismus von \(G_1^{\text{op}}\) nach \(G_2\), oder von \(G_1\) nach \(G_2^{\text{op}}\).

7.7 G-Menge

• Sei \(G\) eine Gruppe. Eine \(G\)-Menge ist ein Paar \((X, \mu)\), wobei

  • \(X\) eine Menge ist.
  • \(\mu : G \times X \to X\) eine Wirkung von \(G\) auf \(X\) ist.

  Oft sagt man einfach „Sei \(X\) eine \(G\)-Menge“, mit \(\mu\) implizit.

• Ein Homomorphismus von \(G\)-Mengen zwischen \(G\)-Mengen \((X_1, \mu_1)\) und \((X_2, \mu_2)\) ist eine Abbildung \(f : X_1 \to X_2\), sodass \(\forall\ g : G,\ \forall\ x : X_1, \ f(\mu_1(g,x)) = \mu_2(g, f(x))\) . Oft schreibt man einfach \[f(g \cdot x) = g \cdot f(x) \]

  und sagt man, dass die Abbildung \(f\) eine \(G\)-äquivariant Abbildung ist.

• Wir werden später auf Beispiele stoßen.

7.8 Treue Aktionen

• Seien \(G\) eine Gruppe und \((X, \mu)\) eine \(G\)-Menge. In äquivalenter Weise, kann man das Paar \((X, \widehat{\mu})\) betrachten, wobei \(\widehat{\mu}: G \to \text{Bij}(X)\) ein Gruppenhomomorphismus ist. Nämlich, der Gruppenhomomorphismus \(\widehat{\mu}(g) := (x \mapsto \mu(g, x))\).

• Wenn \(\widehat{\mu}\) injektiv ist, sagt man, dass die Aktion \(\mu\) treu ist. In äquivalenter Weise, ist die Aktion \(\mu\) genau dann treu, wenn das eindeutige Element \(g : G\), das wie \(id_X\) wirkt, ist das neutrale Element \(e_G\). \[\mu\ \text{treu} \Leftrightarrow \big( \forall\ g : G,\ (\forall x : X,\ g \cdot x = x) \Rightarrow g = e_G \big)~.\]

• Oft sagt man auch, dass ein injektiver Gruppenhomomorphismus \(\widehat{\mu} : G \hookrightarrow \text{Bij}(X)\) eine treue Darstellung von \(G\) ist.

7.9 Übung 2

• Sei \(G\) eine Gruppe und sei \((X, \mu)\) eine \(G\)-Menge.

• Zeigen Sie, dass \(\mu\) genau dann treu ist, wenn die folgende Bedingung erfüllt wird: \[\forall g_1, g_2 : G, \big( \forall\ x : X,\ g_1 \cdot x = g_2 \cdot x \big) \Rightarrow (g_1 = g_2)~.\]

• Das heißt, eine Aktion genau dann treu ist, wenn beliebige Elemente \(g_1, g_2\), die auf die gleiche Weise auf der Menge \(X\) wirken, gleich sind.

7.10 Der Satz von Cayley

• Der Satz von Cayley besagt, dass jede Gruppe auf einiger Menge treu wirkt. Das heißt, abstrakte Gruppen kann als Symmetriegruppen betrachten werden.

  Satz von Cayley. Sei \(G\) eine Gruppe und sei \(\mu : G \times G \to G\) die Aktion, von \(G\) auf sich selbst durch Linkstranslationen: \[\forall\ g,h : G,\ \mu_g(h) := \mu(g,h) := gh~.\]

  Dann ist diese Aktion treu. Das heißt, wir haben einen injektiven Gruppenhomomorphismus \(\widehat{\mu}: G \hookrightarrow \text{Bij}(G)\).

  Beweis. Sei \(g : G\) und nehmen wir an, dass \(\forall\ h : G, gh = h\). Mit \(h := e_G\), gilt \(g := e_G\) 🤷.

• Wenn \(G\) endlich ist, mit \(n := |G|\), dann ist \(\text{Bij}(X)\) isomorph zu die symmmetrische Gruppe \(S_n\) (Übung). Dann besagt der Satz von Cayley, dass jede Gruppe mit Ordnung \(n\), als Untergruppe von \(S_n\) betrachten werden kann. Bemerkung. \(|S_n| = n!\) (Fakultät \(n\)).

7.11 Bahnen

• Sei \(G\) eine Gruppe und sei \((X, \mu)\) eine \(G\)-Menge.

• Für alles \(x : X\) heißt die Teilmenge \[\text{Orb}_G (x) := \{ y : X\ |\ \exists\, g : G,\ y = g \cdot x\} \subset X\]

  die Bahn (oder der Orbit) von \(x\) unter \(G\). Die Notation \(G \cdot x\) ist auch üblich.

• In äquivalenter Weise ist \(G \cdot x\) das Bild der Abbildung \(\mu(\ \cdot\ , x) : G \to X\), die durch \(g \mapsto g \cdot x\) definiert wird.

• Eine Teilmenge \(\mathcal{O} \subset X\) wird als \(G\)-Orbit bezeichnet, wenn es ein Element \(x : X\) gibt, mit \(\mathcal{O} = G \cdot x\).

7.12 Beispiele für Bahnen

In diese Bilder werden einigen Bahnen von Wirkungen der Gruppe \((\mathbb{R}^*, \times)\) auf der Menge \(\mathbb{R}^2\) dargestellt. Die erste Wirkung ist \(t \cdot (x,y)= (tx, t^{-1}y)\). Die zweite ist \(t \cdot (x,y)= (tx, ty)\).

7.13 Bahnen als Äquivalenzklassen

• Sei \(R : X \times X \to \{0, 1\}\) die Relation „in der selben Bahn liegen“. Das heißt, \(R(x, y) = 1\) genau dann wenn \(\exists\ g : G,\ y = g \cdot x\). Dann ist \(R\) eine Äquivalenzrelation (Übung). Die Äquivalenzklassen dieser Relation sind genau die Bahnen der Aktion.

• Zum Beispiel, wann sind \((x, y)\) und \((x', y')\) sind genau dann in der gleichen Bahn für die vorherigen Aktion von \(\mathbb{R}^\ast\) auf \(\mathbb{R}^2\), wenn es ein \(t : \mathbb{R}^\ast\) gibt, sodass \(x' = tx\) und \(y' = t^{-1}y\). Es gibt dann vier Möglichkeiten:

  • \(x \not = 0\) und \(y \not= 0\). Dann ist \(t = \frac{x'}{x}\) und \(y = t y' = \frac{x'}{x} y'\), somit \(xy = x'y'\). Daher ist, für jedes \(k \in \mathbb{R}^\ast\), die Teilmenge \(\{(x, y) : \mathbb{R}^2\ /\ x y = k\}\) eine Bahn dieser Aktion.
  • \(x \not = 0\) und \(y = 0\). Dann ist \(x' \not = 0\) und \(y' = 0\). Daher ist \(\{(x, 0)\ \text{mit}\ x \not=0\}\) eine Bahn.
  • \(x = 0\) und \(y \not = 0\). Dann ist \(x' = 0\) und \(y' \not= 0\). Daher ist \(\{(0, y)\ \text{mit}\ y \not=0\}\) eine Bahn.
  • \(x = 0\) und \(y = 0\). Dann ist \(x' = 0\) und \(y' = 0\). Daher ist \(\{(0, 0)\}\) eine Bahn.

7.14 Weitere Beispiele: Nebenklassen als Bahnen

• Sei \(U \preccurlyeq G\) eine Untergruppe. Die Bahnen der Wirkung von \(U\) auf \(G\) durch Linkstranslation sind genau die Rechtsnebenklassen \(Ua\) von \(U\) in \(G\).
• Für die Linksnebenklassen muss man die Wirkung durch Rechstranslation, die eine Rechtsaktion ist.
• In diesem Beispiel wissen wir, wie eine Menge den Links oder Rechtsnebenklassen zu bauen. Die Konstruktion funktioniert für eine beliebige Äquivalenzrelation. Gegeben eine Äquivalenzrelation, können wir die Menge der Äquivalenzklassen betrachten.

7.15 Orbiträume

• Sei \(G\) eine Gruppe und sei \(X\) eine Menge, mit einer Linksaktion \(\mu^L : G \times X \to X\). Dann wird die Menge der Bahnen dieser Aktion als \(G \backslash X\) bezeichnet, und einen Orbitraum genannt.

• Zum Beispiel, wenn \(U \preccurlyeq G\) eine Untergruppe von \(G\) ist, ist die Menge der Rechtsnebenklassen von \(U\) in \(G\) der Orbitraum \(U \backslash G\).

• Für eine Rechtsaktion \(\mu^R : X \times G \to X\), schreibt man \(X/G\) für den Orbitraum.

• Zum Beispiel ist die Menge der Linknebenklassen \(G/U\) ein Orbitraum.

  Bemerkung. Viele Leute, mich eingeschlossen, schreibt oft \(X/G\) für den Orbitraum einer Linksaktion… 😳

7.16 Isotropiegruppen

• Sei \(X\) eine \(G\)-Menge, für eine Gruppe \(G\). Für alles \(x : X\) ist die Teilmenge \[\text{Stab}_G(x) := \{g : G\ /\ g \cdot x = x \} \]

  eine Untergruppe von \(G\), die als Isotropiegruppe (oder Stabilisator) von \(x\) bezeichnet wird. Die Notation \(G_x\) ist auch üblich. Beweis. Da \(e \cdot x = x\), gilt \(e \in \text{Stab}_G(x)\). Wenn \(g_1, g_2 \in \text{Stab}_G(x)\), dann gilt \((g_1 g_2) \cdot x = g_1 \cdot (g_2 \cdot x) = g_1 \cdot x = x\). Das heißt, \((g_1 g_2) \in \text{Stab}_G(x)\). Schließlich, wenn \(g \in \text{Stab}_G(x)\), gilt \(g \cdot x\), und daher \[g^{-1} \cdot x = g^{-1} \cdot (g \cdot x) = (g^{-1} g) x = e \cdot x = x~.\]

  Das heißt, \(g^{-1} \in \text{Stab}_G(x)\).

• In äquivalenter Weise ist \(\text{Stab}_G(x)\) die Faser über \(x\) der Abbildung \(\mu(\ \cdot\ , x) : G \to X\), die durch \(g \mapsto g \cdot x\) definiert wird.

7.17 Bahnensatz

• Sei \(X\) eine \(G\)-Menge, für eine Gruppe \(G\).

  Bahnensatz. Sei \(\mathcal{O} \subset X\) eine Bahn der Wirkung von \(G\) auf \(X\).

  1. Für alles \(x :X\), ist \(G_{g \cdot x} = g G_x g^{-1} := \{g' : G\ /\ \exists\ h \in G_x,\ g' = g h g^{-1} \}\).

  2. Für alles \(x \in \mathcal{O}\) induziert die Abbildung \(g \mapsto g \cdot x\) eine Bijektion \[G/G_x \overset{\simeq}{\longrightarrow} G \cdot x = \mathcal{O}~.\]

  3. Wenn \(G\) endlich ist, ist inbesondere die Bahn \(G \cdot x\) auch endlich und sie hat die gleiche Mächtigkeit als die Menge von Linknebenklasse von \(G_x\). Das heißt, die Kardinalität einer Bahn ist gleich dem Index der Isotropiegruppe eines beliebigen Punkts dieser Bahn: \[|G \cdot x| = [G :: G_x]\]

7.18 Beweis des Bahnensatzes

• Sei \(g' : G\). Dann gilt genau dann \(g' \in G_{g \cdot x}\), wenn \(g' \cdot (g \cdot x) = g \cdot x\). Das heißt, wenn \((g^{-1} g' g) \cdot x = x\), oder in äquivalenter Weise \(h := g^{-1} g' g \in G_x\).
• Per Definition einer Bahn ist die durch \(g \mapsto g \cdot x\) Abbildung \(G \to G \cdot x\) surjektiv. Dann haben zwei Elemente \(g_1, g_2\) genau das selbe Bild durch dieser Abbildung, wenn \(g_1 \cdot x = g_2 \cdot x\). Das heißt, wenn \(g_1^{-1} g_2 \in G_x\), oder in äquivalenter Weise \(g_2 \in g_1 G_x\). Dies bedeutet genau, dass die induzierte Abbildung, die durch \(gG_x \mapsto g \cdot x\) definiert wird, injektiv ist.
• Die dritte Eigenschaft folgt dann aus den ersten zwei und der Definition des Index.

7.19 Übung 3

Seien \(G\) eine Gruppe und \(U \preccurlyeq G\) eine Untergruppe.

• Zeigen Sie, dass \(G\) wirkt aud der Menge \(G/U\) durch die Aktion \(g \cdot (aU) := (ga)U\).
• Zeigen Sie, dass diese Aktion eine eindeutige Orbit hat.

7.20 Bahnengleichung

• Sei \(X\) eine \(G\)-Menge, für eine bestimmte Gruppe \(G\).

• Wir nehmen an, dass \(X\) endlich ist. Seien \((\mathcal{O}_i)_{1 \leqslant i \leqslant k}\) die Orbiten der Aktion von \(G\) auf \(X\).

  Satz. Sei \((x_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}\) ein beliebiges Vertretersystem von der Orbiten \((\mathcal{O}_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}\). Das heißt, für alles \(i\), \(x_i \in \mathcal{O}_i\). Dann gilt die folgende Gleichung für die Kardinalität von \(X\): \[|X| = \sum_{i = 1}^n \big[ G :: \text{Stab}_G(x_i) \big]~.\]

  Beweis. Da die Orbiten einer Aktion die Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation sind, gilt \(X = \sqcup_{i = 1}^n \mathcal{O_i}\). Daher gilt \(|X| = \sum_{i = 1}^n |O_i|\). Aber nach dem Bahnensatz gilt, für alles \(x \in \mathcal{O}_i\), \(|O_i| = [G :: \text{Stab}_G(x_i)]\).

7.21 Fixpunktgleichung

• Sei \(X\) eine \(G\)-Menge und sei \(x : X\). Wenn \(G_x = G\), heißt \(x\) einen Fixpunkt der Aktion (die Bedingung \(G = G_x\) bedeutet genau, dass \(\forall\ g : G,\ g \cdot x = x\)). Die Menge aller Fixpunkte wird als \(\text{Fix}_G(X) := \{x : X\ /\ \forall\ g : G,\ g \cdot x = x\}\) bezeichnet.

• Zum Beispiel ist \((0, 0)\) ein Fixpunkt der oben definierte Aktion \(t \cdot (x, y) = (tx, t^{-1} y)\). Per Definition ist die Bahn eines Fixpunkts ein Singleton.

• Wenn \(X\) eine endliche \(G\)-Menge ist, können wir die Bahngleichung wie folgt umschreiben.

  Satz. Sei \((x_i)_{1 \leqslant i \leqslant k}\) ein Vertretersystem von der Orbiten der \(G\)-Aktion, die mehr als ein Element haben. Dann gilt die folgende Gleichung für die Kardinalität von \(X\): \[|X| = |\text{Fix}_G(X)| + \sum_{i = 1}^{k} \big[ G :: \text{Stab}_G(x_i) \big]~.\]

7.22 Klassengleichung

• Die Fixpunktgleichung ist insbesondere nützlich, wenn man sie für die Aktion durch Konjugation schreibt. Das heißt, die Aktion von \(G\) auf sich selbst, die durch \(g \cdot h := ghg^{-1}\) definiert wird. Die Bahnen dieser Aktion werden Konjugationklassen genannt.

• Diese Aktion besitzt besondere Eigenschaften:

  • Für jedes \(g: G\), ist die Abbildung \(h \mapsto ghg^{-1}\) ein Gruppenautomorphismus.
  • Als Konsequenz der vorheringen Bemerkung, ist die Fixpunktmenge der Konjugation-Aktion eine Untergruppe von \(G\), die das Zentrum von \(G\) heißt: \[\mathcal{Z}(G) := \{h : G\ /\ \forall\ g : G, ghg^{-1} = h\}~.\]

  Satz. Sei \(G\) eine endliche Gruppe. Dann gilt \(|G| = |\mathcal{Z}(G)| + \sum_{i = 1}^{k}|\mathcal{C}_i|\), wobei \((\mathcal{C_i})_{1 \leqslant i \leqslant k}\) die Konjugationklassen in \(G\) sind, die mehr als ein Element haben.

7.23 Übung 4

• Sei \(G\) eine Gruppe und sei \[\mathcal{Z}(G) := \{h : G\ /\ \forall\ g : G,\ g h = h g \} \]

  das Zentrum von \(G\).

• Zeigen Sie, dass:

  • \(\mathcal{Z}(G)\) eine normale Untergruppe von \(G\) ist.
  • \(\mathcal{Z}(G)\) eine abelsche Gruppe ist.
  • \(G\) ist genau dann abelsch, wenn \(G = \mathcal{Z}(G)\) ist.

7.24 Zentrum einer p-Gruppe

• Denken Sie daran, dass, für eine Primzahl \(p\), eine \(p\)-Gruppe, eine nicht-triviale Gruppe ist, in der die Ordnung jedes Element eine Potenz von \(p\) ist. Wenn \(G\) endlich ist, ist das äquivalent zur Tatsache, dass die Ordnung von \(G\) eine Potenz von \(p\) ist.

• Eine \(p\)-Gruppe ist nicht unbedingt abelsch. Aber das Zentrum einer \(p\)-Gruppe ist nicht trivial:

  Satz. Sei \(\mathcal{Z}(G)\) das Zentrum einer \(p\)-Gruppe \(G\). Dann ist \(p\) ein Teiler von \(|\mathcal{Z}(G)|\).

  Beweis. Nach der Klassengleichung und dem Bahnensatz, gilt \(p^\alpha = |G| = |\mathcal{Z}(G)| + \sum_{i=1}^k [G :: \mathcal{Z}_G(x_i)]\), wobei \(\mathcal{Z}_G(x_i) = \{g : G\ /\ g x_i = x_i g\} \neq G\) die Isotropiegruppe von \(x_i\) bezüglich Konjugtion ist. Nach dem Satz von Lagrange ist \([G :: \mathcal{Z}_G(x_i) = \frac{|G|}{| \mathcal{Z}_G(x_i)|}=p^{\alpha - n_i}\), für ein bestimmtes \(n_i : \mathbb{N}_{\geqslant 0}\), mit \(n_i < \alpha\). Da \(p\) ein Teiler von \(|G|\) und von jedem \([G :: \mathcal{Z}_G(x_i)]\) ist, muss \(p\) auch ein Teiler von \(|\mathcal{Z}(G)|\) sein.

7.25 Gruppen mit Ordnung das Quadrat einer Primzahl

• Der vorherige Satz hat Konsequenzen für die Struktur von \(p\)-Gruppen.

• Zum Beispiel, eine Gruppe mit Ordnung \(9\) oder \(25\) muss abelsch sein.

  Satz. Sei \(G\) eine Gruppe mit Ordnung \(|G| = p^2\). Dann ist \(G\) abelsch.

  Beweis. Da \(G\) eine \(p\)-Gruppe ist, ist \(p\) ein Teiler von \(|\mathcal{Z}(G)|\). Insbesondere ist \(|\mathcal{Z}(G)| \geqslant p\). Nehmen wir an, dass ein \(g_0 : G\) mit \(g_0 \not\in \mathcal{Z}(G)\) existiert. Da die Isotropiegruppe \(\mathcal{Z}_G(x)\) bezüglich Konjugation eine Untergruppe von \(G\) ist, die \(\mathcal{Z}(G)\) und \(g_0\) enthält, muss \(|\mathcal{Z}_G(g_0)|\) ein Teiler von \(p^2\) und \(\geqslant p + 1\) sein. Das heißt, \(|\mathcal{Z}_G(g_0))| = p^2\), somit \(\mathcal{Z}_G(g_0) = G\). Aber dies bedeutet, dass \(g_0 \in \mathcal{Z}(G)\), was unserer Annahme widerspricht. Dann muss \(\mathcal{Z}(G) = G\) gelten. Das heißt, die Gruppe \(G\) ist abelsch.

• Die Untergruppe \(\mathcal{Z}_G(g_0) = \{g : G\ /\ g g_0 = g_0 g \}\) ist auch als Zentralisator von \(g_0\) bekannt.

7.26 Übung 5

• Sei \(G\) eine Gruppe mit Ordung \(|G| = p^2\).
• Zeigen Sie, dass \(G\) isomorph zu \(\mathbb{Z} / p^2 \mathbb{Z}\) oder zu \(\mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / p \mathbb{Z}\) ist, je nachdem, ob \(G\) ein Element mit Ordnung \(p^2\) besitzt oder nicht.
• Können Sie dieses Ergebnis erhalten, ohne Anwendung des Struktursatzes für abelsche endliche \(p\)-Gruppen? Hinweis. Falls \(G\) kein Element mit Ordnung \(p^2\) hat, dann muss \(G\) ein Element \(g_0\) mit Ordnung \(p\) haben. Betrachten Sie, in diesem Fall, die Untergruppen \(U := \left< g_0 \right>\) und \(V := \left< g_1 \right>\), mit \(g_1 : G\) sodass \(g_1 \not\in U\), und zeigen Sie dass \(g_1\) auch Ordnung \(p\) hat, und dass \(G = \left< U \cup V \right> \simeq U \times V\).

7.27 Aktionen von p-Gruppen

Satz. Sei \(G\) eine \(p\)-Gruppe und sei \(X\) eine endliche \(G\)-Menge. Dann gilt \[|\text{Fix}_G(X)| \equiv |X|\ (\text{mod}\ p)\]

Beweis. Das ist eine direkte Anwending der Fixpunktgleichung. \[|X| = |\text{Fix}_G(X)| + \sum_{i = 1}^{k} \big[ G :: \text{Stab}_G(x_i) \big]\ \]

wobei \((x_i)_{1 \leqslant i \leqslant k}\) ein Vertretersystem von der Orbiten der \(G\)-Aktion ist, die mehr als ein Element haben. Das heißt, für jedes \(i\), gilt \(\text{Stab}_G(x_i) \not= G\). Dann muss \[[G :: \text{Stab}_G(x_i)] = \frac{|G|}{|\text{Stab}_G(x_i)|} = p^{\alpha - n}\]

mit \(n < \alpha\). Insbesondere ist \(p\) ein Teiler von \([G :: \text{Stab}_G(x_i)]\). Daher \([G :: \text{Stab}_G(x_i)] \equiv 0\ (\text{mod}\ p)\) und \(|X| \equiv |\text{Fix}_G(X)|\ (\text{mod}\ p)\).

7.28 Das Lemma von Burnside

• Dieses Lemma berechnet die Anzahl der Bahnen der Aktion einer endlichen Gruppe \(G\) auf einer endlichen Menge \(X\). Das heißt, die Kardinalität der Menge \(|G \backslash X|\).

  Satz. Seien \(G\) und \(X\) endlich. Dann erfüllt die Kardinalität des Orbitraums \(G \backslash X\) die folgende Gleichung: \[|G \backslash X| = \frac{1}{|G|} \sum_{g : G} |\text{Fix}_g(X)|\ ,\]

  wobei \(\text{Fix}_g(X) := \{ x : X\ /\ g \cdot x = x\}\) die Teilmenge aller Elementen von \(X\) ist, die Fixpunkte für \(g\) sind.

7.29 Beweis des Lemmas von Burnside

• Die Idee für den Beweis besteht darin, die folgende Menge zu betrachten und ihre Mächtigkeit auf zwei verschiedenen Arten zu berechnen. \[E := \big\{ (g,x) : G \times X\ /\ g \cdot x = x\big\}~.\]

• Zunächst beachten wir, dass \((g, x) \in E \Leftrightarrow g \in \text{Stab}_G(x) \Leftrightarrow x \in \text{Fix}_g(X)\). Dann gilt \[E = \bigsqcup_{g : G} \text{Fix}_g(X) = \bigsqcup_{x : X} \text{Stab}_G(x)\]

  und \[|E| = \sum_{g : G} |\text{Fix}_g(X)| = \sum_{x : X} |\text{Stab}_G(x)|~.\]

• Um das Lemma von Burnside zu beweisen, reicht es daher zu zeigen, dass \(\sum_{x : X} |\text{Stab}_G(x)| = |G|\ |G\backslash X|\) gilt.

7.30 Ende des Beweises des Lemmas von Burnside

• Betrachten wir die Summe \(\sum_{x : X} |\text{Stab}_G(x)|\). Nach dem Bahnensatz, gilt, für jedes \(x : X\), \(|\text{Stab}_G(x)| = \frac{|G|}{|G \cdot x|}\).
• Außerdem können wir \(X = (G \cdot x_1) \sqcup \ \ldots\ \sqcup (G \cdot x_n)\) als disjunkte Vereinigung von Bahnen schreiben, wobei \(n\) die Anzahl der Bahnen ist. Das heißt, \(n = |G \backslash X|\).
• Da für jedes \(x \in (G \cdot x_i)\), \(G \cdot x = G \cdot x_i\) gilt, erhalten wir: \[\sum_{x : X} |\text{Stab}_G(x)| = \sum_{i = 1}^n \sum_{x \in (G \cdot x_i)} \frac{|G|}{|G \cdot x|} = |G| \sum_{i = 1}^n \sum_{x \in (G \cdot x_i)} \frac{1}{|G \cdot x_i|} = |G| \times n = |G| \ |G \backslash X|~.\]

7.31 Übung 6 - Ein Beweis des Satzes von Cauchy

• Der folgende Beweis geht auf den Mathematiker James H. McKay im Jahren 1959 zurück.

  Satz von Cauchy. Sei \(G\) eine endliche Gruppe und sei \(p\) eine Primzahl, sodass \(p\ |\ |G|.\) Dann besitzt \(G\) ein Element mit Ordnung \(p\).

• Die Idee ist, die Menge \(X := \{ (g_1,\ \ldots\ , g_p) : G^p\ |\ g_1\ \ldots\ g_p =e_G \}\) einzuführen: Wenn \(X\) ein Element von der Form \((g,\ \ldots\ , g)\) besitzt, dann erfüllt dieses \(g\) die Bedingung \(g^p = e_G\).

  1. Zeigen Sie, dass die zyklische Gruppe \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} = \left< \sigma \right>\) wirkt auf \(X\) durch Potenzen der zyklischen Permutation \(\sigma(g_1,\ \ldots\ , g_{p-1}, g_p) := (g_p, g_1,\ \ldots\ , g_{p-1})\).
  2. Zeigen Sie, dass es eine Bijektion \(X \simeq G^{p-1}\) gibt. Insebesondere gibt es \(p\ |\ |X|\).
  3. Nach einer Anwendung der Fixpunktgleichung, zeigen Sie, dass \(|\text{Fix}_{\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}}(X)| \geqslant p\) ist, und leiten Sie daraus den Satz von Cauchy ab. Hinweis. Ein Fixpunkt der Aktion von \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) muss von der Form \((g,\ \ldots\ ,g)\) sein.