2 Untergruppen und endlich erzeugte Gruppen

$\begin{array}{c|cccc} & id & \sigma & \tau & R \\ \hline id & \cellcolor{pink} id & \cellcolor{pink} \sigma & \tau & R \\ \sigma & \cellcolor{pink} \sigma & \cellcolor{pink} id & R & \tau \\ \tau & \tau & R & id & \sigma \\ R & R & \tau & \sigma & id \end{array} \quad \begin{array}{c|cccc} & id & \sigma & \tau & R \\ \hline id & \cellcolor{LightGreen} id & \sigma & \cellcolor{LightGreen}\tau & R \\ \sigma & \sigma & id & R & \tau \\ \tau & \cellcolor{LightGreen} \tau & R & \cellcolor{LightGreen} id & \sigma \\ R & R & \tau & \sigma & id \end{array} \quad \begin{array}{c|cccc} & id & \sigma & \tau & R \\ \hline id & \cellcolor{LightBlue} id & \sigma & \tau & \cellcolor{LightBlue} R \\ \sigma & \sigma & id & R & \tau \\ \tau & \tau & R & id & \sigma \\ R & \cellcolor{LightBlue} R & \tau & \sigma & \cellcolor{LightBlue} id \end{array}$

2.1 Untermonoide

Sei $M := (A, \star, e)$ ein Monoid.
Die Idee ist, dass ein Untermonoid von $M$ aus einer Teilmenge $A'$ von $A$ konstruiert werden kann, wenn die Verknüpfung von $M$ eine Monoidstruktur auf $A'$ induziert.
Genauer gesagt, bitten wir um folgenden Eigenschaften für die Teilmenge $A' : \text{Teil}(A)$.
- $e \in A'$.
- $\forall\ a, b : A, a \in A' \wedge b\in A' \Rightarrow a \star b \in A'$.

2.2 Formaler Standpunkt und Notation

Sei $M := (A, \star, e)$ ein Monoid.
Ein Untermonoid von $M$ ist ein Tupel $M' := (A', \textcolor{blue}{e\text{-dadrin}}, \textcolor{blue}{\star\text{-stabil}})$, wobei:
- $A'$ eine Teilmenge von $A$ ist.
- $\textcolor{blue}{e\text{-dadrin}}$ ein Beweis für $e \in A'$ ist.
- $\textcolor{blue}{\star\text{-stabil}}$ ein Beweis ist, dass das Produkt zweier Elemente von $A$, die zu $A'$ gehören, immer noch zu $A'$ gehört: \[\forall\ a, b : A, a \in A' \wedge b\in A' \Rightarrow a \star b \in A'.\]
In diesem Fall, sagen wir auch einfach, dass die Teilmenge $A'$ ein Untermonoid von $M$ ist.

2.3 Begründung für die Definition

Seien $M := (A, \star, e)$ ein Monoid und $A'$ ein Untermonoid von $M$ (normalerweise schreiben wir die Eigenschaften $\textcolor{blue}{e\text{-dadrin}}$ und $\textcolor{blue}{\star\text{-stabil}}$ nicht).
Dann gibt es eine Verknüpfung $(\cdot\ \star'\ \cdot)$ auf $A'$, die durch $(\cdot\ \star\ \cdot)$ induziert wird (siehe unten).
Da die Verknüpfung $(\cdot\ \star\ \cdot) : A \times A \to A$ assoziativ ist, ist die Verknüpfung $(\cdot\ \star'\ \cdot) : A ' \times A' \to A'$ auch assoziativ.
Außerdem, da $e \in A'$ gilt, hat die Verknüpfung $(\cdot\ \star'\ \cdot)$ ein neutrales Element.
Ein Submonoid kann daher automatisch als Monoid angesehen werden (siehe unten).

2.4 Eine Bemerkung über Teilmengen

Sei $A$ eine Menge. Aufgrund des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten, wird eine Teilmenge $A' : \text{Teil}(A)$ durch eine Indikatorfunktion $\chi_{A'} : A \to \{0, 1\}$ definiert.
Aus solcher Funktion $\chi_{A'} : A \to \{0, 1\}$ können wir die folgende Menge definieren: \[A' := \{a : A\ /\ \chi_{A'}(a) = 1\}.\]
Gegeben ein Element $a : A$, wenn wir $a \in A'$ schreiben, meinen wir $\chi_{A'}(a) = 1$. Das heißt, der Ausdruck $a \in A'$ ist eine Eigenschaft des Elements $a$ von $A$, und $A'$ ist die Menge, die aus den Elementen von $A$ konstruiert wird, die diese Eigenschaft erfüllen.
Wegen dieser Definitionen sollte ein Element $a'$ der Teilmenge $A' : \text{Teil}(A)$ als Paar $a ' := (a, \textcolor{blue}{p_a})$ geschrieben werden, wobei $a$ ein Element von $A$ ist, und $\textcolor{blue}{p_a}$ ein Beweis für die Eigenschaft $\chi_{A'}(a) = 1$ ist.

2.5 Die induzierte Verknüpfung

Sei $(A, \star, e)$ ein Monoid und $(A', \textcolor{blue}{e\text{-dadrin}}, \textcolor{blue}{\star\text{-stabil}})$ ein Untermonoid davon. Insbesondere ist $A'$ eine Teilmenge von $A$ und $\textcolor{blue}{\star\text{-stabil}}$ ein Beweis für die folgende Eigenschaft: \[\forall\ a, b : A, a \in A' \wedge b\in A' \Rightarrow a \star b \in A'\]
Dann können wir eine Verknüpfung auf der Menge $A'$ definieren: \[(a, \textcolor{blue}{p_a}) \star' (b, \textcolor{blue}{p_b}) := (a \star b, \textcolor{blue}{p_{a \star b}})\] wobei $\textcolor{blue}{p_{a \star b}}$ der Beweis ist, dass $a \star b \in A'$.
Dieser Beweis $\textcolor{blue}{p_{a \star b}}$ wird aus $\textcolor{blue}{p_a}, \textcolor{blue}{p_b}$ und $\textcolor{blue}{\star\text{-stabil}}$ abgeleitet.

2.6 Eigenschaften der induzierten Verknüpfung

Da per Definition $(a, \textcolor{blue}{p_a}) \star' (b, \textcolor{blue}{p_b}) := (a \star b, \textcolor{blue}{p_{a \star b}})$, und die Verknüpfung $\star$ assoziativ ist, ist die Verknüpfung $\star'$ auch assoziativ.
Um ehrlicher zu sein, müssen wir, für alle $a, b, c : A$ die folgende Gleichheit beweisen: \[\big( (a \star b) \star c, \textcolor{blue}{p_{(a \star b) \star c}} \big) = \big( (a \star (b \star c), \textcolor{blue}{p_{a \star (b \star c)}} \big)\]
Dies ergibt sich aus dem Beweis für die Gleichheit $(a \star b) \star c = a \star (b \star c)$ und der Tatsache (die wir akzeptieren werden), dass wenn $(a \star b) \star c = a \star (b \star c)$, dann $\textcolor{blue}{p_{(a \star b) \star c}} = \textcolor{blue}{p_{a \star (b \star c)}}$ ist (dies ist der schwierige Teil).
Außerdem ist das Element $e' := (e, \textcolor{blue}{e\text{-dadrin}})$ ein neutrales Element für die Verknüpfung $\star'.$ Der Beweis dafür geht um dieselben Ideen wie oben.
Wenn Ihnen dieser formale Standpunkt nicht gefällt, können Sie die Beweise (in Blau) einfach nicht schreiben.

2.7 Untermonoide können als Monoide angesehen werden

Sei $M := (A, \star, e)$ ein Monoid und $M' := (A', \textcolor{blue}{e\text{-dadrin}}, \textcolor{blue}{\star\text{-stabil}})$ ein Untermonoid davon. Insbesondere ist $A'$ eine Teilmenge von $A$.
Aus diesem Untermonoid können wir ein Monoid $\widehat{M'} := (A', \star', e')$ konstruieren, wobei:
- die zugrundeliegende Menge von $\widehat{M'}$ die Menge $A'$ ist,
- die Verknüpfung von $\widehat{M'}$ die Verknüpfung $\star'$ ist,
- das neutrales Element von $\widehat{M'}$ das Element $e' := (e, \textcolor{blue}{e\text{-dadrin}})$ ist.
Beachten Sie, dass $M'$ und $\widehat{M'}$ sind unterschiedliche Konzepte: $M'$ ist ein Untermonoid von $M$, während $\widehat{M'}$ ein Monoid ist, das aus $M'$ konstruiert wurde.

2.8 Konventionen und Notation

Wie gesagt, in der Praxis, schreibt man oft „Sei $(A, \star, e)$ ein Monoid und $A'$ ein Untermonoid“, wobei $A'$ eine Teilmenge von $A$ ist.
Das heißt, die Eigenschaften, dass $e$ zu $A'$ gehört und dass die Teilmenge $A'$ unter der Verknüpfung $\star$ stabil bleibt, erscheinen nicht explizit.
Es ist auch üblich, ein Untermonoid von $(A, \star, e)$ einfach als ein Monoid zu betrachten, dessen zugrunde liegende Menge eine Teilmenge $A'$ von $A$ ist. Das heißt, man identifiziert oft die Teilmenge $A'$ mit dem Monoid $(A', \star', e)$.

2.9 Beispiele für Untermonoide

Betrachten wir das Monoid $(\mathbb{Z}, + , 0)$ und eine ganze Zahl $n : \mathbb{Z}$. Die Teilmenge \[n \mathbb{Z} := \{m \in \mathbb{Z}\ /\ \exists\ q : \mathbb{Z},\ m = q * n\}\] von Vielfachen von $n$ ist ein Untermonoid von $\mathbb{Z}$ (das heißt, diese Teilmenge erfüllt die Eigenschaften eines Untermonoids):
- Da $n * 0 = 0$ ist, gilt $0 \in n \mathbb{Z}$.
- Wenn $m_1 = q_1 * n$ ist und $m_2 = q_2 * n$ ist, gilt $m_1 + m_2 = (q_1 + q_2) * n$, somit $(m_1 + m_2) \in n \mathbb{Z}$.
Die Teilmenge $\mathbb{Z}_{\geqslant 0} := \{n : \mathbb{Z}\ /\ n \geqslant 0\}$ ist ein Untermonoid von $\mathbb{Z}$.
Die Teilmenge $\mathbb{Z}_{> 0} := \{n : \mathbb{Z}\ /\ n > 0\}$ ist kein Untermonoid von $(\mathbb{Z}, + , 0)$. Grund dafür ist, dass das neutrales Element $0$ nicht zu dieser Teilmenge gehört.

2.10 Untergruppen

Sei $G := (A, \star, e)$ eine Gruppe und $A' : \text{Teil}(A)$ eine Teilmenge von $A$.
Wir sagen, dass $A'$ eine Untergruppe von $G$ ist, wenn die folgende Eigenschaften gelten:
- $e \in A'$.
- $\forall\ a, b : A, a \in A' \wedge b \in A' \Rightarrow a \star b \in A'$.
- $\forall\ a : A, a \in A' \Rightarrow a^{-1} \in A'$.
Aus formaler Sicht, ist eine Untergruppe von $G := (A, \star, e)$ daher ein Tupel \[U := (A', \textcolor{blue}{e\text{-dadrin}}, \textcolor{blue}{\star\text{-stabil}}, \textcolor{blue}{\text{inv-stabil}}),\] wobei $(A', \textcolor{blue}{e\text{-dadrin}}, \textcolor{blue}{\star\text{-stabil}})$ ein Untermonoid von $(A, \star, e)$ ist und $\textcolor{blue}{\text{inv-stabil}}$ ein Beweis ist, dass $\forall\ a : A, a \in A' \Rightarrow a^{-1} \in A'$.

2.11 Beispiele für Untergruppen

Sei $G := (A, \star, e)$ eine Gruppe und $A'$ die Teilmenge $\{e\}$ von $A$. Dann ist $A'$ eine Untergruppe von $G$. Wenn wir $A$ als eine Teilmenge seiner selbst betrachten, dann ist $A$ auch eine Untergruppe von $(A, \star, e)$. Die leere Teilmenge ist keine Untergruppe.
Betrachten wir die Gruppe $(\mathbb{Z}, + , 0)$ und eine ganze Zahl $n : \mathbb{Z}$. Die Teilmenge \[n \mathbb{Z} := \{m : \mathbb{Z}\ /\ \exists\ q : \mathbb{Z},\ m = q * n\}\] von Vielfachen von $n$ ist eine Untergruppe von $\mathbb{Z}$:
- Wir haben bereits bewiesen, dass $n \mathbb{Z}$ ein Untermonoid von $(\mathbb{Z}, + , 0)$ ist.
- Wenn $m = q * n$, gilt $-m = -(q * n) = (-q) * n$, somit $(-m) \in n \mathbb{Z}$.
Die Teilmenge $\{n : \mathbb{Z}\ /\ n \geqslant 0\}$ ist ein Untermonoid von $(\mathbb{Z}, + , 0)$, die keine Untergruppe ist. Grund dafür ist, dass (zum Beispiel) $1$ zu dieser Teilmenge gehört, aber$-1$ nicht.

2.12 Untergruppen der Symmetriegruppe eines Quadrats

In der Symmetriegruppe eines Quadrats, ist die Teilmenge $\{ id, r, r^2, r^3 \}$ eine Untergruppe. Diese Untergruppe ist genau die Gruppe der direkten Symmetrien des Quadrats (die Reihenfolge der Punkte A, B, C, D ändert sich nach eine Rotation nicht).
Die Teilmenge $\{ id, s \}$, $\{ id, t \}$,$\{ id, \sigma \}$ und $\{ id, \tau \}$ sind auch Untergruppe der Symmetrie gruppe des Quadrats.

2.13 Direkte Symmetrien des Quadrats

Die Verknüpfungstafel der Untergruppe $\{ id, r, r^2, r^3 \}$ ist unten sichtbar. Sie ist sozusagen in der Verknüpfungstafel der Umbgebungsgruppe abgeschlossen.

\[\begin{array}{c|cccccccc} & id & r & r^2 & r^3 & s & t & \sigma & \tau \\ \hline id & \cellcolor{pink} id & \cellcolor{pink} r & \cellcolor{pink} r^2 & \cellcolor{pink} r^3 & s & t & \sigma & \tau \\ r & \cellcolor{pink} r & \cellcolor{pink} r^2 & \cellcolor{pink} r^3 & \cellcolor{pink} id & \sigma & \tau & t & s \\ r^2 & \cellcolor{pink} r^2 & \cellcolor{pink} r^3 & \cellcolor{pink} id & \cellcolor{pink} r & t & s & \tau & \sigma \\ r^3 & \cellcolor{pink} r^3 & \cellcolor{pink} id & \cellcolor{pink} r & \cellcolor{pink} r^2 & \tau & \sigma & s & t \\ s & s & \tau & t & \sigma & id & r^2 & r^3 & r \\ t & t & \sigma & s & \tau & r^2 & id & r & r^3 \\ \sigma & \sigma & s & \tau & t & r & r^3 & id & r^2 \\ \tau & \tau & t & \sigma & s & r^3 & r & r^2 & id \end{array}\]

2.14 Andere Untergruppen

Bei anderen Untergruppen kann es etwas komplizierter sein, die Verknüpfungstafel zu visualisieren, aber immer noch möglich.

\[\begin{array}{c|cccccccc} & id & r & r^2 & r^3 & s & t & \sigma & \tau \\ \hline id & \cellcolor{LightGreen} id & r & r^2 & r^3 & \cellcolor{LightGreen} s & t & \sigma & \tau \\ r & r & r^2 & r^3 & id & \sigma & \tau & t & s \\ r^2 & r^2 & r^3 & id & r & t & s & \tau & \sigma \\ r^3 & r^3 & id & r & r^2 & \tau & \sigma & s & t \\ s & \cellcolor{LightGreen} s & \tau & t & \sigma & \cellcolor{LightGreen} id & r^2 & r^3 & r \\ t & t & \sigma & s & \tau & r^2 & id & r & r^3 \\ \sigma & \sigma & s & \tau & t & r & r^3 & id & r^2 \\ \tau & \tau & t & \sigma & s & r^3 & r & r^2 & id \end{array}\]

2.15 Untergruppen der Gruppe der ganzen Zahlen

Wir kommen endlich zu einem konkreten und nützlichen Satz 😅 .

Satz. Die nicht-trivialen Untergruppen von $(\mathbb{Z}, +, 0)$ sind genau die Teilmengen der Gestalt $n \mathbb{Z}$ für ein eindeutiges bestimmtes $n \in \mathbb{Z}_{> 0}$.

Mit nicht-trivialer Untergruppe einer Gruppe $G := (A, \star, e)$ meinen wir eine Untergruppe $U := A'$, die die folgende Eigenschaft erfüllt: \[\exists\ a : A, (a \in A') \wedge (a \not= e).\]
Dies wird normalerweise als $U \not= \{e\}$ geschrieben. Ob dies eine primitive Definition oder eine Konsequenz der Definition von $U = \{e\}$ ist, hängt davon ab, wie frei Sie das Prinzip des ausgeschlossenen Dritten anwenden.
Es ist auch möglich, $\exists\ a : G, (a \in U) \wedge (a \not= e)$ zu schreiben.

2.16 Satz und Beweis

Satz. Sei $U$ eine Untergruppe von $(\mathbb{Z}, +, 0)$. Wenn $U$ nicht-trivial ist, dann existiert es eine eindeutige positive ganze Zahl $n \in \mathbb{Z}_{> 0}$, so dass $U = n \mathbb{Z}$ ist.

Beweis. Beachten Sie, dass dieser Satz aus zwei Teilen besteht:

Existenz: \[\exists\ n \in \mathbb{Z}_{> 0}, U = n \mathbb{Z}.\]
Eindeutigkeit: \[\forall\ m, n : \mathbb{Z}_{> 0}, (U = m \mathbb{Z}) \wedge (U = n \mathbb {Z}) \Rightarrow m =n.\]

👉 Wir können auch $\mathbb{N}$ statt $\mathbb{Z}_{> 0}$ schreiben. So oder so, wenn wir $n \mathbb{Z}$ schreiben, müssen wir das Element $n$ von $\mathbb{Z}_{>0}$ oder $\mathbb{N}$ als Element von $\mathbb{Z}$ interpretieren.

2.17 Existenz

Zeigen wir zuerst, dass $U \cap \mathbb{N} \not= \emptyset$. Da per Annahme $U$ nicht-trivial ist, existiert ein $n : \mathbb{Z}$, so dass $n \in U$ und $n \not= 0$. Diese $n$ erfüllt $n > 0 \vee n < 0$. Wir können daher zwei Fälle unterscheiden.
- Falls $n > 0$, dann haben wir es bewiesen, dass $U \cap \mathbb{N} \not= \emptyset$ ist.
- Falls $n < 0$, dann ist $-n > 0$. Aber $-n \in U$ (da $n \in U$ ist und $U$ eine Untergruppe ist). Dann gilt wieder $U \cap \mathbb{N} \not= \emptyset.$
Da $U \cap \mathbb{N}$ eine nicht-leere Teilmenge von $\mathbb{N}$ ist, existiert es ein minimales Element $n_0$ in $U \cap \mathbb{N}$ (das heißt, $n_0 \in U \cap \mathbb{N}$ und $\forall\ m : \mathbb{N}$, $m \in U \cap \mathbb{N} \Rightarrow n_0 \leqslant m$). Insbesondere $n_0 \in U$.
Wir werden nun zeigen, dass $n_0 \mathbb{Z} = U$ (für dieses $n_0$, deren Existenz wir bewiesen haben). Es reicht, $n_0 \mathbb{Z} \subseteq U$ und $U \subseteq n_0 \mathbb{Z}$ zu zeigen.

2.18 Direkte Inklusion

Zeigen wir zunächst, dass $n_0 \mathbb{Z} \subseteq U$ ist. Das heißt, $\forall\ m : \mathbb{Z}, m \in n_0 \mathbb{Z} \Rightarrow m \in U$. Gegeben $m : \mathbb{Z}$ sodass $m \in n_0 \mathbb{Z}$ ist, existiert ein $q : \mathbb{Z}$, sodass $m = q * n$ ist. Dieses $q$ erfüllt $(q \geqslant 0) \vee (q < 0)$. Durch Fallunterscheidung, erhalten wir Folgendes. - Falls $q \geqslant 0$ ist, gilt $m = q * n_0 = n_0 +\ ...\ +\ n_0$ ($q$ mal). Da $0 \in U$ und $n_0 \in U$, können wir durch Induktion auf $q$ zeigen, dass $q * n_0 \in U$ ist. Das heißt, $m_0 \in U$ ist. - Wenn $q < 0$, dann gibt es $-m = - (q * n_0) = (-q) * n_0$. Aus dem vorherigen Fall folgern wir, dass $-m \in U$. Da $U$ eine Untergruppe ist, gilt auch $m \in U$.

2.19 Umgekehrte Inklusion und Ende des Existenzbeweises

Zeigen wir danach, dass $U \subseteq n_0 \mathbb{Z}$ ist.
Gegeben $m : \mathbb{Z}$ sodass $m \in U$ ist, die Division mit Rest von $m$ durch $n_0$ (die $>0$ ist) ergibt ganze Zahlen $q$ und $r$, so dass $m = q * n_0 + r$ und $0 \leqslant r < n_0$. Insbesondere, $r = m - q * n_0$ ist. Da $U$ eine Untergruppe ist, impliziert die vorherige Gleichheit, dass $r \in U$ (denn $m \in U$ ist und $n_0 \in U$). Wenn $r \not= 0$ ist, widerspricht das der Minimalität von $n_0$ als Element von $U \cap \mathbb{Z}_{>0}$. Dann gilt $r = 0$ und $m = q * n_0$. Das heißt, $m \in n_0 \mathbb{Z}$.
Da $n_0 \mathbb{Z} \subseteq U$ ist und $U \subseteq n_0 \mathbb{Z}$ ist, haben wir bewiesen, dass $U = n_0 \mathbb{Z}$ ist.

2.20 Eindeutigkeit

Nehmen wir an, dass es $m : \mathbb{Z}$ und $n : \mathbb{Z}$ gibt, sodass $n > 0$, $m > 0$ und $n \mathbb{Z} = m\mathbb{Z}$ gelten. Wir werden es zeigen, dass dies $n = m$ impliziert.
Von der Gleichheit $n\mathbb{Z} = m \mathbb{Z}$ folgern wir, dass die ganze Zahl $m$ die ganze Zahl $n$ teilt, und dass die ganze Zahl $n$ die ganze Zahl $m$ teilt. Das heißt, es existiert $a$ sodass $n = a * m$ ist, und $b$ sodass $m = b * n$ ist. Dann gilt $n = a * b * n$.
Da $n \not= 0$, impliziert die vorherige Gleichheit, dass $a * b = 1$ ist, mit $a$ eine ganze Zahl. Insbesondere gilt $a = 1$ oder $a = -1$.
Da $n = a * m$ und $n, m > 0$, muss $a$ auch positiv sein. Dann gilt $a = 1$, somit $n = m$.

2.21 Vergleich der Untergruppen einer Gruppe

Sei $G = (A, \star, e)$ eine Gruppe und seien $U_1 = (A'_1,\ ...\ )$ und $U_2 = (A'_2,\ ...\ )$ Untergruppen von $G$, wobei $A'_1$ und $A'_2$ Teilmenge von $A$ sind. Können wir $U_1$ und $U_2$ vergleichen?
Betrachten wir die folgende Relation: \[ U_1 \preccurlyeq U_2 := A'_1 \subseteq A'_2. \]
Da $\subseteq$ eine Ordnungsrelation auf $\text{Teil(A)}$ ist, ist die Relation $\preccurlyeq$ eine Ordnungsrelation (zwischen Untergruppen von $G$).

2.22 Eine Bemerkung über binäre Relationen

Denken wir zunächst daran, dass die Relation $A'_1 \subseteq A'_2$ Folgendes bedeutet: \[\forall\ a : A, a \in A'_1 \Rightarrow a \in A'_2.\]
So wie die Zugehörigkeit von einem Element $a : A$ zu einer Teilmenge $A'$ durch ein unäres Prädikat $\chi_{A'} : A \to \{0, 1\}$ definiert wird, wird eine Relation auf einer Menge $B$ durch ein binäres Prädikat $R : B \times B \to \{0, 1\}$ definiert.
Zum Beispiel, für $B := Teil(A)$, wird das binäre Prädikat $\subseteq$ durch die Funktion $R_{\subseteq}$ definiert, die ein Paar Teilmengen $(A'_1, A'_2)$ genau dann nach $1$ abbildet, wenn $\forall\ a : A, a \in A'_1 \Rightarrow a \in A'_2$.
Wenn wir versuchen, diese Funktion explizit zu berechnen, erhalten wir Folgendes: \[R_{\subseteq} (A'_1, A'_2) := \inf_{a : A} \Big( \max \big(1 - \chi_{A'_1}(a), \chi_{A'_2}(a) \big) \Big).\]

2.23 Von einer Teilmenge erzeugte Untergruppe

Sei $G := (A, \star, e)$ eine Gruppe. Gegebene eine Teilmenge $E : \text{Teil}(A)$, gibt es eine kleinste Untergruppe $U := (A',\ ...\ )$ von G, sodass $E \subseteq A'$ ?
Da wir Untegruppen von $G$ vergleichen können, ist die Frage sinnvoll. Das heißt, das Konzept eines kleinsten Elements ist in diesem Zusammenhang sinnvoll.
Beachten wir zunächst, dass es mindestens eine Untergruppe $U := (A',\ ...\ )$ gibt, sodass $E \subseteq A'$ ist. Nämlich, die Untergruppe $G = (A,\ ...\ )$.
Wir werden nun auf zwei verschiedenen Arten zeigen, dass die Menge aller dieser Untergruppen ein minimales Element hat.

2.24 Durchschnitt von Untergruppen

Seien $G = (A, \star, e)$ eine Gruppe und $(U_i)_{i : I}$ eine Familie Untergruppen von $G$. Das heißt, für jedes $i : I$, eine Untergruppe $U_i := (A'_i, \textcolor{blue}{e\text{-dadrin}}, \textcolor{blue}{\star\text{-stabil}}, \textcolor{blue}{\text{inv-stabil}})$ von $G$.
Wir möchten eine Untergruppe $\wedge_{i : I} U_i := (A',\ ...\ )$ von $G$ konstruieren, mit

\[ A' := \cap_{i : I} A'_i. \]
Es reicht dazu, die folgende Eigenschaften zu beweisen:
- $e \in A'$ (das heißt, $\forall\ i : I, e \in A'_i$).
- $\forall\ a, b : A, a \in A' \wedge b \in A' \Rightarrow \forall\ i : I, a \star b \in A'_i$.
- $\forall\ a : A, a \in A' \Rightarrow \forall\ i : I, a^{-1} \in A'_i$.
Alle drei Eigenschaften ergeben sich aus der Tatsache, dass für jedes $i : I$, $A' \subseteq A'_i$ ist.

2.25 Erzeugte Untergruppe: erste Konstruktion

Seien $G := (A, \star, e)$ eine Gruppe und $E : \text{Teil}(A)$ eine Teilmenge von $A$.
Betrachten wir die folgende Menge, die als Teilmenge von der Menge der Untergruppen von $G$ definiert wird:

\[ I:= \{ U := (A',\ ...\ ) : \text{Untergruppe}(G)\ /\ E \subseteq A' \} \]
Da es eine Projektion $\text{pr}_1 : I \to \text{Untergruppe}(G)$ gibt, können wir eine Familie $(U_i)_{i : I}$ definieren. Explizit ist $i : I$ aus der Form $(U, p_U)$, wobei $U := (A',\ ...\ )$ eine Untergruppe von $G$ ist, und $p_U$ ein Beweis für die Eigenschaft $E \subseteq A'$ ist. Dann wird $\text{pr}_1(U, p_U)$ als $U$ definiert. Wir setzen dann, für jedes $i : I$, $U_i := \text{pr}_1(i)$.
Es ist deshalb sinnvoll, die Untergruppe $\left< E \right>_G := \wedge_{i :I} U_i$ einzuführen. Diese Untergruppe $\wedge_{i :I} U_i$ wird die von der Teilmenge $E$ erzeugte Untergruppe gennant (und oft einfach als $\left< E \right>$ bezeichnet).

2.26 Die kleinste Untergruppe, die eine Teilmenge enthält

Seien $G := (A, \star, e)$ eine Gruppe und $E : \text{Teil}(A)$ eine Teilmenge von $A$. Sei $(U_i)_{i : I}$ die Familie aller Untergruppen von $G$, die die Eigenschaft $E \subseteq A'_i$ erfüllen, wobei $A'_i$ die zugrundeliegende Menge der Untergruppe $U_i$ ist. Wie zuvor gesehen, ist die zugrundeliegende Menge der Untergruppe $\left< E \right> := \wedge_{i :I} U_i$ die Teilmenge $\cap_{i : I} A'_i$.
Dann können wir überprüfen, dass die Untergruppe $\left< E \right>$ die kleinste Untergruppe $U :=(A',\ ...\ )$ von $G$ ist, die die Eigenschaft $E \subseteq A'$ erfüllt. Das heißt:
- Die Untergruppe $\left< E \right>$ erfüllt diese Eigenschaft.
- Für jede Untergruppe $U$, die diese Eigenschaft erfüllt, gilt $\left< E \right> \preccurlyeq U$.
Die erste Eigenschaft folgt von der Tatsache, dass $E \subseteq \cap_{i : I} A_i$ ist (per Definition von $A_i$, gilt für jedes $i : I$, dass $E \subset A_i$ ist). Die zweite Eigenschaft folgt von der Tatsache, dass $\forall\ j : I, \cap_{i : I} A_i \subseteq A_j$ ist.

2.27 Induktive Definition

Es gibt eine andere, explizitere Konstruktion der Untergruppe $\left< E \right>$. Nämlich, durch die direkte Definition eines Prädikats $\chi_{\left< E \right>} : A \to \{0, 1\}$.
Gegeben $a : A$, setzen wir genau dann $\chi_{\left< E \right>}(a) := 1$, wenn eine der folgenden Bedingungen gilt:
- $a = e$.
- $a \in E$.
- $a = a_1 \star a_2$, mit $a_1, a_2 : A$, sodass $\chi_{\left< E \right>} (a_1) = 1$ und $\chi_{\left< E \right>} (a_2) = 1$.
- $a = b^{-1}$, mit $b : A$, sodass $\chi_{\left< E \right>} (b) = 1$.
Dieses Prädikat definiert eine Teilmenge $\left< E \right> : \text{Teil}(A)$, nämlich: \[\left< E \right> := \{ a : A\ /\ \chi_{\left< E \right>} (a) = 1 \}\]

2.28 Erzeugte Untergruppe: zweite Konstruktion

Überprüfen wir, dass die Teilmenge $\left< E \right> : \text{Teil}(A)$ eine Untergruppe von $G$ definiert.
Es reicht dazu, die folgende Eigenschaften zu beweisen:
- $\chi_{\left< E \right>}(e) = 1$.
- $\forall\ a_1, a_2 : A, \chi_{\left< E \right>}(a_1) = 1 \wedge \chi_{\left< E \right>}(a_2) = 1 \Rightarrow \chi_{\left< E \right>}(a_1 \star a_2) = 1.$
- $\forall\ b : A, \chi_{\left< E \right>}(b) = 1 \Rightarrow \chi_{\left< E \right>}(b^{-1}) = 1$.
Alle drei Eigenschaften folgen unmittelbar aus der Definition des Prädikats $\chi_{\left< E \right>}$. Es gibt fast nichts zu beweisen!

2.29 Induktiver Beweis

Außerdem haben wir $\forall\ a : A, a \in E \Rightarrow \chi_{\left< E \right>}(a) = 1$, auch per Definition des Prädikats $\chi_{\left< E \right>}$. Das heißt, die Untergruppe $\left< E \right>$ erfüllt die Bedingung $E \subset \left< E \right>$ (als Teilmenge von $A$).
Schließlich ist die induktiv definiert Untergruppe $\left< E \right>$ die kleinste Untergruppe, die die vorherige Bedingung erfüllt.
Um das zu zeigen, reicht es Folgendes zu bemerken: Wenn $U := (A',\ ...\ )$ eine Untergruppe mit $E \subseteq A'$ ist, dann ist $\left< E \right> \subseteq A'$. Das heißt, für jedes $g : G$,

\[ g \in \left< E \right> \Rightarrow g \in A'. \]
Da die Eigenschaft $g \in \left< E \right>$ induktiv definiert wurde, können wir die vorherige Implikation durch Induktion auf $g$ beweisen. Dann folgt das Ergebnis aus der Definition von $g \in \left< E \right>$ und der Tatsache, dass $A'$ eine Untergruppe ist. Die Einzelheiten werden nun erklärt.

2.30 Einzelheiten zum induktiven Beweis

Induktionsanfang. Zunächst müssen wir überprüfen, ob, wenn $a = e$ oder $a \in E$, dann $a \in A'$ ist. Dies folgt aus der Tatsache, dass $A'$ eine Untergruppe von $G$ ist, die $E$ enthält.
Induktionsschritt. Danach müssen wir überprüfen, ob, wenn $a = a_1 \star a_2$ mit $a_1, a_2 \in \left< E \right>$ ist, dann $a \in A'$ ist. Durch Induktion können wir annehmen, dass $a_1 \in A'$ ist und $a_2 \in A'$ ist 🪄 . Da $A'$ eine Untergruppe ist, ergibt sich deshalb $a_1 \star a_2 \in A'$. Schließlich müssen wir überprüfen, ob, wenn $a =b^{-1}$ mit $b \in \left< E \right>$ ist, dann $a \in A'$ ist. Durch Induktion können wir annehmen, dass $b \in A'$ ist. Dann folgt das Erggebnis erneut aus der Tatsache, dass $A'$ eine Untergruppe ist.

👉 Diese Art von Beweis lässt sich mit einem Beweisassistenten einfacher schreiben!

2.31 Endlich erzeugte Gruppen und zyklische Gruppen

Sei $G = (A,\ ...,\ )$ eine Gruppe. Man sagt, dass die Gruppe $G$ endlich erzeugt ist, wenn es eine endliche Teilmenge $E : \text{Teil}(A)$ gibt, sodass $\left< E \right> = A$ ist (als Teilmenge von $A$). Man schreibt oft: \[ \exists\ n : \mathbb{N}_{\geqslant 0},\ \exists\ g_0,\ ...\ g_n : G,\ \left< g_0,\ ...,\ g_n \right> = G. \]
In diesem Fall wird die Teilmenge $\{g_0,\ ...,\ g_n\} : \text{Teil}(A)$ als Erzeugendensystem für die Gruppe $G$ bezeichnet.
Wenn $G$ durch ein einziges Element $g_0$ erzeugt werden kann (das heißt, wenn $E = \{g\}$ ist), wird die Gruppe $G$ eine zyklische Gruppe gennant:

\[ \exists\ g : G, \left< g \right> = G \ \text{(als Untergruppe von $G$)}. \]

2.32 Übung 1

Seien $G$ eine Gruppe und $E$ ein Erzeugendsystem für $G$. Zeigen Sie, dass die Elemente von $G$ die folgende Beschreibung zulassen. \[\forall\ g : G,\ \exists\ n : \mathbb{N}_{\geqslant 0},\ \exists\ g_0,\ ...,\ g_n \in E,\ \exists\ \varepsilon_0,\ ...,\ \varepsilon_n : \{\pm 1\},\ g = g_0^{\varepsilon_0}\ ...\ g_n^{\varepsilon_n}. \] Hinweis. Die Annahme ist, dass $G = \left< E \right>$ ist. Deshalb können Sie das Ergebnis durch Induktion über $g \in \left< E \right>$ zeigen. Oder, benuzten Sie einen anderen Ansatz und zeigen Sie, dass die Teilmenge \[ T := \{g : G\ /\ \exists\ n : \mathbb{N}_{\geqslant 0},\ \exists\ g_0,\ ...,\ g_n \in E,\ \exists\ \varepsilon_0,\ ...,\ \varepsilon_n : \{\pm 1\},\ g = g_0^{\varepsilon_0}\ ...\ g_n^{\varepsilon_n}. \} \] eine Untergruppe von $G$ ist, die $E$ enthält, und die in jeder Untergruppe $U$ enthalten ist, die $E$ enthält.

2.33 Übung 2

Die von einer Vereinigung Untergruppen erzeugte Untergruppe

Wie wir in der linearen Algebra gelernt haben, ist die Vereinigung zweier Untergruppen im Allgemeinen keine Untergruppe.
Seien $G$ eine Gruppe und $U, V$ Untergruppen von $G$. Zeigen Sie, dass die Teilmenge

\[ P(U, V) := \{g : G\ /\ \exists\ u : U,\ \exists\ v : V,\ g = u \star v \} \]

ein Erzeugendsystem für die Untergruppe $UV := \left< U \cup V \right>$ ist.

2.34 Der Kern eines Gruppenhomomorphismus

Seien $G := (A, \star_G, e_G)$ und $H := (B, \star_H, e_H)$ Gruppen und sei $\varphi : \text{Hom}_{\text{Gpp}}(G, H)$ ein Gruppenhomomorphismus.
Bezeichnen wir noch die zugrundeliegende Abbildung von $\varphi$ mit $\varphi : A \to B$, und die davon induzierte Abbildung $\text{Teil}(B) \to \text{Teil}(A)$ mit $\varphi^{-1}$. Für jede $B' : \text{Teil}(B)$, heißt die Teilmenge $\varphi^{-1} (B') := \{ a : A\ /\ \varphi(a) \in B \}$ von $A$ das Urbild von $B'$.

Satz. Die Teilmenge \[ \text{ker}\ \varphi := \varphi^{-1}(\{ e_H \})= \{ a : A\ /\ \varphi(a) = e_H\} \] ist eine Untergruppe von $G$.
Die Untergruppe $\text{ker}\ \varphi \preccurlyeq G$ wird als Kern des Homomorphismus $\varphi$ bezeichnet.

2.35 Ein Beweis, dass der Kern eine Untergruppe ist

Es reicht zu überprüfen:
1. $e_G \in \text{ker}\ \varphi$.
2. $\forall\ g_1, g_2 : G,\ g \in \text{ker}\ \varphi \Rightarrow (g_1 \star_G g_2) \in \text{ker}\ \varphi$.
3. $\forall\ g : G,\ g \in \text{ker}\ \varphi \Rightarrow g^{-1} \in \text{ker}\ \varphi$.
Dazu berechnen wir:
1. $\varphi(e_G) = e_H$ (per Definition eines Gruppenhomomorphismus).
2. $\varphi(g_1 \star_G g_2) = \varphi(g_1) \star_H \varphi(g_2) = e_H \star_H e_H = e_H$.
3. $\varphi(g^{-1}) = \varphi(g)^{-1} = e_H ^{-1} = e_H$.
Anmerkung. Die Eigenschaft $\varphi(g^{-1}) = \varphi(g)^{-1}$ wurde im Vortrag 1.a, Übung 4 bewiesen.

2.36 Das Bild eines Gruppenhomomorphismus

Seien $G := (A, \star_G, e_G)$ und $H := (B, \star_H, e_H)$ Gruppen und sei $\varphi : \text{Hom}_{\text{Gpp}}(G, H)$ ein Gruppenhomomorphismus.
Bezeichnen wir noch die zugrundeliegende Abbildung von $\varphi$ mit $\varphi : A \to B$, und die davon induzierte Abbildung $\text{Teil}(A) \to \text{Teil}(B)$ immer noch mit $\varphi$. Für jede $A' : \text{Teil}(A)$, heißt die Teilmenge $\varphi (A') := \{ b : B\ /\ \exists\ a : A, \varphi(a) = b \}$ von $A$ das Bild von $B'$ unter $\varphi$. Wenn $A' = A$, schreiben wir auch $\varphi(G)$ statt $\varphi(A)$.

Satz. Die Teilmenge \[ \text{im}\ \varphi := \varphi(G) = \{h : H\ /\ \exists\ g : G, \varphi(g) = h\} \] ist eine Untergruppe von $H$.
Die Untergruppe $\text{im}\ \varphi \preccurlyeq H$ wird das Bild des Homomorphismus $\varphi$ gennant.

2.37 Ein Beweis, dass das Bild eine Untergruppe ist

Wie zuvor:

Mit $g := e_G$ gibt es $\varphi(e_G) = e_H$. Somit $e_H \in \varphi(G)$.
Falls $h_1 = \varphi(g_1)$ ist und $h_2 = \varphi(g_2)$ ist, mit $g_1, g_2 : G$, dann ergibt sich

\[ h_1 \star_H h_2 = \varphi(g_1) \star_H \varphi(g_2) = \varphi(g_1 \star_G g_2) \in \varphi(G).\]

Falls $h = \varphi(g)$ ist, mit $g : G$, dann ergibt sich $h^{-1} = \varphi(g)^{-1} = \varphi(g^{-1})$, somit $h^{-1} \in \varphi(G)$.

2.38 Injektive und surjektive Gruppenhomomorphismen

Ein Gruppenhomorphismus $\varphi$ wird injektiv/surjektiv genannt, wenn die zugrundeliegende Abbildung injektiv/surjektiv ist.
Dann gelten die folgenden Eigenschaften, die zu der von linearen Algebra ähnlich sind.
Satz. Seien $G$ und $H$ Gruppen und sei $\varphi : \text{Hom}_{\text{Gpp}}(G, H)$ ein Gruppenhomomorphismus.
1. $\varphi$ ist genau dann injektiv, wenn $\text{ker}\ \varphi = \{ e_G \}$.
2. $\varphi$ ist genau dann surjektiv, wenn $\text{im}\ \varphi = H$.
Die zweite Eigenschaft folgt von der Definition des Bildes. Zeigen wir die erste.

2.39 Erinnerung an die (Nicht-)Injektivität

Eine Abbildung $f : A \to B$ heißt nicht-injektiv, falls gilt \[ \exists\ a_1, a_2 : A,\ a_1 \not= a_2 \wedge f(a_1) = f(a_2). \]
Wenn dies nicht passiert, sagt man das $f$ injektiv ist. Das heißt,

\[ \begin{array}{rcl} f\ \text{injektiv} & := & \neg \big( \exists\ a_1, a_2 : A,\ a_1 \not= a_2 \wedge f(a_1) = f(a_2) \big)\\ & \Leftrightarrow & \forall\ a_1, a_2 : A, f(a_1) = f(a_2) \Rightarrow \neg (a_1 \not= a_2) \\ & \Leftrightarrow & \forall\ a_1, a_2 : A, f(a_1) = f(a_2) \Rightarrow a_1 = a_2 \end{array} \]

Die Eigenschaft $\neg (a_1 \not= a_2) \Leftrightarrow a_1 = a_2$ sollte als Eigenschaft der Unterscheidungsrelation $\not=$ betrachten werden.
Der Punkt ist: Da per Definition ($f\ \text{injektiv}) := \neg (f\ \text{nicht-injektiv})$ ist, haben wir immer $f\ \text{nicht-injektiv} \Rightarrow \neg (f\ \text{injektiv})$. Aber ohne LEM gilt die umgekehrte Implikation nicht, nur $\neg (f\ \text{injektiv}) \Rightarrow \neg \neg (f\ \text{nicht-injektiv})$, deren Schlussfolgerung schwächer ist. ⚠️

2.40 Beweis für die Charakterisierung der Injektivität

„$\Rightarrow$“ Nehmen wir zunächst an, dass $\varphi$ injektiv ist, und zeigen wir, dass $\text{ker}\ \varphi = \{ e_G \}$. Da immer gilt $e_G \in \text{ker}\ \varphi$, reicht es zu überprüfen, dass $\text{ker}\ \varphi \subset \{ e_G \}$. Das heißt, für alle $g : G,\ \varphi(g) = e_H \Rightarrow g = e_G$. Sei $g : G$ solches Element, mit $\varphi(g) = e_H$. Da $\varphi(e_G) = e_H$ auch gilt, und $\varphi$ injektiv ist, ergibt sich $e_G = g$.
„$\Leftarrow$“ Nehmen wir jetzt an, dass $\text{ker}\ \varphi = \{e_G\}$ ist, und zeigen wir, dass $\varphi$ injektiv ist. Es reicht zu überprüfen, ob, wenn $\varphi(g_1) = \varphi(g_2)$ in $H$ ist, dann $g_1 = g_2$ in $G$ ist. Seien $g_1, g_2 : G$, sodass $\varphi(g_1) = \varphi(g_2)$. Da $\varphi$ ein Gruppenhomomorphismus ist, impliziert die vorherige Gleicheit, dass $\varphi(g_1 \star_G g_2^{-1}) = e_H$. Das heißt, $g_1 \star_G g_2^{-1} \in \text{ker}\ \varphi$ ist. Da $\text{ker}\ \varphi = \{e_G\}$ ist, folgt daraus, dass $g_1 \star_G g_2^{-1} = e_G$ ist, somit $g_1 = g_2$.

2.41 Übung 3

Seien $G, H$ Gruppen und $\varphi : \text{Hom}_{\text{Gpp}}(G, H)$ ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie die folgende Eigenschaften:
1. Wenn $U \preccurlyeq G$ ($U$ eine Untergruppe von $G$) ist, ist $\varphi(U) \preccurlyeq H$.
2. Wenn $V \preccurlyeq H$ ist, ist $\varphi^{-1}(V) \preccurlyeq G$.
3. Wenn $E : \text{Teil}(G)$ ist, gilt $\varphi( \left< E \right> ) = \left< \varphi(E) \right>$ als Untergruppe von $G$.
4. Wenn $F : \text{Teil}(H)$ ist, gilt im Allgemeinem $\varphi^{-1} ( \left< F \right> ) \neq \left< \varphi^{-1}(F) \right>$.
Hinweis. Für den letzten, betrachten Sie das Beispiel \[ G = (\mathbb{Z}, +),\ N = \{ 1 \},\ \text{und}\ \forall\ n : \mathbb{Z},\ \varphi(n) := 0. \]

2.42 Übung 4

Seien $G, H$ Gruppen und sei $\varphi : \text{Hom}_{\text{Gpp}}(G, H)$ ein Gruppenhomomorphismus. Gegeben $b : H$, die Menge $\varphi^{-1}(\{b\}) : \text{Teil}(H)$ heißt die Faser von $\varphi$ über $b$.
Zum Beispiel, ist die Faser von $\varphi$ über $e_H$ genau der Kern von $\varphi$. \[ \varphi^{-1} \big( \{ e_H \} \big) = \text{ker}\ \varphi\]
Zeigen Sie, dass die Fasern von F die folgende Beschreibung zulassen: \[ \forall\ b : H,\ \varphi^{-1}(b) \not= \emptyset\ \Rightarrow\ \forall\ a \in \varphi^{-1}(\{b\}), \varphi^{-1}(b) = a (\text{ker}\ \varphi)\] wobei $a(\text{ker}\ \varphi) := \{ g : G\ /\ \exists\ c : G,\ g = a \star_G c \}$.

👉 Dies ähnelt dem bekannten Ergebnis aus der linearen Algebra: wenn sie nicht leer ist, kann die Menge der Lösungen eines linearen Gleichungssystems $Ax = b$ als $a + ker A$ beschrieben werden, wobei a eine beliebige Lösung von $Ax = b$ ist.

2.43 Elemente endlicher Ordnung

Sei $G$ eine Gruppe und sei $g$ ein Element von $G$. Per Definition: \[ g ^ 0 := e_G\ \text{und}\ \forall\ m : \mathbb{N}_{\geqslant 0}, g ^{m + 1} := g ^ m \star_G g. \]
Dies ist tatsächlich eine Abbildung $G \times \mathbb{N}_{\geqslant 0} \to G$, die $(g, n)$ nach $g ^ n$ abbildet. Durch Induktion können Sie es beweisen, dass die folgende Eigenschaft gilt. \[ \forall\ m : \mathbb{N}_{\geqslant 0},\ g ^ {m + 1} = g \star_G g ^m .\]
Man sagt, dass $g$ endliche Ordnung hat, falls die folgende Eigenchaft gilt.

\[\exists\ n : \mathbb{N}_{> 0},\ g ^ n = e_G. \]

2.44 Die Ordnung eines Elements

Falls $g : G$ endliche Ordnung hat, kann man Folgendes festlegen: \[ \text{Ord}_G(g) := \min \{ n : \mathbb{N}_{> 0}\ /\ g ^ n = e_G\} \]
Die natürliche Zahl $\text{Ord}_G(g)$ heißt die Ordnung von $g$. Mittels euklidischer Division können wir die Struktur der Menge $\{ n : \mathbb{N}_{> 0}\ /\ g ^ n = e_G\}$ verdeutlichen. Man schreibt einfach $\text{Ord}(g)$ statt $\text{Ord}_G(g)$.
Wenn $g$ nicht endliche Ordnung hat, sagt man, dass $g$ unendliche Ordnung hat, und setzt $\text{Ord}(g) := +\infty$.
Da in diesem Fall die Menge $\{ n : \mathbb{N}_{> 0}\ /\ g ^ n = e_G\}$ leer ist, entspricht diese Definition der üblichen Konvention, dass $\inf \emptyset = +\infty$ ist.

2.45 Potenzen eines Elements

Satz. Sei $g : G$ und $n : \mathbb{N}_{>0}$. Dann gilt,

\[ g ^ n = e_G \Leftrightarrow \big( g\ \text{hat endliche Ordnung und Ord}(g)\ |\ n \big)\ . \]

Als Konsequenz, zulässt die durch $g$ erzeugte Untergruppe von $G$ die folgende Beschreibung als Teilmenge von $G$:

\[ \left< g \right> = \big\{ e_G, g, g ^ 2,\ ...\ ,\ g ^ {\text{Ord}(g) - 1} \big\}. \]

Beweis des Satzes.

„$\Leftarrow$“ Wenn es $k : \mathbb{N}_{>0}$ gibt, sodass $n = k * \text{Ord}(g)$, dann gilt $g ^ n = (g ^ \text{Ord(g)})^k = e_G ^ k = e_G$.
„$\Rightarrow$“ Falls $g ^ n = e_G$ ist, schreibt man $n = k * \text{Ord}(g)+ r$ mit $0 \leqslant r < \text{Ord}(g)$. Dann gilt $e_G = g^n = (g^{\text{Ord}(g)})^k \star g^r = g ^r$. Wenn $r > 0$ ist, widerspricht dies der Minimalität von $\text{Ord}(g)$. Somit $r = 0$ und $n = k * \text{Ord}(g)$.

2.46 Zyklische Gruppen

Seien $G$ eine Gruppe und $g : G$ ein Element von $G$.
Durch die universelle Eigenschaft der Gruppe $(\mathbb{Z}, +)$, gibt es einen eindeutigen Gruppenhomomorphismus $\varphi_g : (\mathbb{Z}, +) \to G$, sodass $\varphi_g(1) = g$. Nämlich, der Homomorphismus, der durch $\forall\ n : \mathbb{Z}, \varphi_g(n) := g ^ n$ definiert wird.

Satz. Die Gruppe $G$ ist genau dann zyklisch, wenn es ein Element $g : G$ gibt, sodass der kanonische Gruppenhomomorphismus $\varphi_g : \mathbb{Z} \to G$ surjektiv ist.

Beweis. Per Definition, ist die Gruppe $G$ zyklisch, falls Folgendes gilt: $\exists\ g : G, \left< g \right> = G$. Ausserdem, auch per Definition, ist $\text{im}\ \varphi_g = \{h : G\ /\ \exists\ n : \mathbb{N}_{\geqslant 0},\ h = g ^ n \}$. Es reicht deshalb zu überprüfen, dass die Teilmenge $\{h : G\ /\ \exists\ n : \mathbb{N}_{\geqslant 0},\ h = g ^ n \}$ von $G$ die kleinste Untergruppe von $G$ ist, die die Teilmenge $\{g\}$ enthält (Übung).

2.47 Endliche zyklische Gruppen

Eine Gruppe $G := (A, \star, e_G)$ wird endlich genannt, falls die Menge $A$ endlich ist.

Satz. Die Gruppe $\left< g \right>$ ist genau dann eine endliche Gruppe, wenn der kanonische Gruppenhomomorphismus $\varphi_g : (\mathbb{Z}, +) \to G$ nicht-injektiv ist.

Beweis. Beachten wir, dass $\left< g \right>$ genau dann endlich ist, wenn $g$ endliche Ordnung hat.

„$\Rightarrow$“ Nehmen wir an, dass $\left< g \right>$ endlich ist, und zeigen wir, dass $\varphi_g$ nicht-injektiv ist. Dies folgt von der Tatsache, dass eine Abbildung $f$ von $\mathbb{Z}$ nach $\{1,\ ...\ ,\ n\}$ nicht-injektiv ist (Grund dafür ist, dass es zwei gleiche Elemente) in der Teilmenge $\{ f(0),\ ...\ ,\ f(n) \}$ gibt.
„$\Leftarrow$“ Nehmen wir an, dass $\varphi_g$ nicht-injektiv ist. Da $\varphi_g$ ein Gruppenhomorphismus ist, impliziert dies, dass $\text{ker}\ \varphi_g \not= \{ e_G \}$ ist. Das heißt, es existiert $n : \mathbb{N}_{> 0}$, sodass $g ^ n = e_G$. Was bedeutet, dass $g$ endliche Ordnung hat, mit $\text{Ord}(g) = \text{Kard}( \left< g \right> )$.

2.48 Eine Anmerkung zur Unterscheidung von Teilmengen

Für $A_1, A_2 : \text{Teil}(A)$ ist es wichtig, $A_1 \not\subseteq A_2$ als $\exists\ a : A, a \in A_2 \wedge a \not\in A_1$ zu interpretieren.
Angesichts der vorherigen Definition für $A_1 \not\subseteq A_2$, können wir setzen: \[ A_1 \not= A_2 := A_1 \not\subseteq A_2 \vee A_2 \not\subseteq A_1.\]
Mit dieser Definition, wenn $\varphi : G \to H$ ein Gruppenhomomorphismus ist, gilt \[ \varphi\ \text{nicht-injektiv} \Leftrightarrow \text{ker}\ \varphi \not= \{e_G\} .\]
Im vorherigen Satz über zyklische Gruppen, sind die für die Praxis relevanten Implikationen die folgenden: \[ \varphi_g\ \text{nicht-injektiv} \Rightarrow g\ \text{hat endliche Ordnung} \Rightarrow \neg (\varphi\ \text{injektiv}). \]

2.49 Untergruppen einer zyklischen Gruppe

Beispiel. Die Gruppe $(\mathbb{Z}, +)$ ist zyklisch, denn $\mathbb{Z} = \left< 1 \right>$ als Teilmenge von $\mathbb{Z}$. Wie zuvor gesehen, sind alle Untergruppen von $\mathbb{Z}$ von der Form $U = n\mathbb{Z}$. Da $n\mathbb{Z} = \left< n \right>$ als Teilmenge von $\mathbb{Z}$, sind alle Untegruppen von $(\mathbb{Z}, +)$ zyklisch.

Satz. Sei $G$ eine zyklische Gruppe und sei $U$ eine nicht-triviale Untergruppe von $G$. Dann ist $U$ zyklisch.

Beweis. Sei $g : G$, sodass $G = \left< g \right>$. Sei $U \preccurlyeq G$ eine nicht-triviale Untergruppe. Dann existiert es per Definition $a : G$, sodass $a \in U$ ist und $a \not= e_G$ ist.

Da dieses $a$ ein Element von $G$ ist, gibt es $n : \mathbb{N}_{> 0}$, sodass $a = g ^ n$ ist. Das heißt, $\{ n : \mathbb{N}_{> 0}\ /\ g ^n \in U \} \not= \emptyset$ ist. Sei dann $n_0 := \min \{ n : \mathbb{N}_{> 0}\ /\ g ^n \in U \}$ und $h := g ^ {n_0}$.
Wir werden nun beweisen, dass $U = \left< h \right>$ ist.

2.50 Ende des Beweises

Da $U$ eine Untergruppe ist, folgt aus $h \in U$, dass $\left< h \right> \subseteq U$ ist.
Umgekehrt, sei $a \in U$ und schreiben wir $a = g ^ k$ für ein bestimmtes $k : \mathbb{N}_{\geqslant 0}$. Es genügt zu zeigen, dass $a \in \left< g ^ {n_0} \right>$.
- Durch Division mit Rest ist $g ^ k = g ^ {q n_0 + r}$, mit $0 \leqslant r < n$. Insbesondere ergibt sich $g ^ r = g ^{k - q n_0} =g ^ k \star (g ^ {q n_0})^{-1} \in U$, als Produkt von Elementen von $U$.
- Wenn $r \not= 0$ ist, widerspricht dies der Minimalität von $n_0$ als Element von $\{ n : \mathbb{N}_{> 0}\ /\ g ^n \in U \}$. Somit $r = 0$ und $a = g ^ k = (g ^ {n_0}) ^ q \in \left< g ^ {n_0} \right>$.