4  Faktorgruppen und Isomorphiesätze

Ein Porträt von Leopold Kronecker.

Leopold Kronecker (1823-1891) war ein deutscher Mathematiker. Seine Forschungen lieferten grundlegende Beiträge zur Algebra und Zahlentheorie, aber auch zur Analysis und Funktionentheorie.

4.1 Untergruppen von Faktorgruppen

• Seien \(G\) eine Gruppe und \(N\) ein Normalteiler von \(G\). Die Elemente der Faktorgruppe \(G/N\) sind die Linknebenklassen von \(N\). Da die Untergruppe \(N\) normal ist, ist jede Linksnebenklasse von \(N\) auch eine Rechtsnebenklasse: \(\forall\ g : G,\ g N = N g\).

• Die kanonische Projektion von \(G\) nach \(G/N\), die ein Element \(g : N\) nach die Linknebenklasse \(gN\) abbildet, wird als \(\pi_N : G \to G/N\) bezeichnet. Diese Abbildung ist ein Gruppenhomomorphismus, der die Eigenschaft \(\text{Ker}\ \pi_N = N\) erfüllt.

  Satz. Falls \(V \subset (G/N)\) eine Untergruppe ist, dann ist \(\pi_N^{-1}(V)\) eine Untergruppe von \(G\), die \(N\) enthält. Die Abbildung \(V \mapsto \pi_N^{-1}(V)\) induziert eine Bijektion zwischen Untergruppen von \(G/N\) und Untergruppen von \(G\), die \(N\) enthalten.

4.2 Konstruktion einer inversen Abbildung

• Zunächst überprüfen wir den ersten Teil des Satzes. Das Urbild einer Untergruppe durch einen Gruppenhomomorphismus ist immer eine Untergruppe. Daher ist \(\pi_N^{-1}(V)\) eine Untergruppe von \(G\). Da \(\{e_{G/N}\} \subset V\) enthalten ist, gibt es außerdem \(\pi_N^{-1}(\{e_{G/N}\}) \subset \pi_N^{-1}(V\). Das heißt, \(N = \text{Ker}\ \pi_N \subset \pi_N^{-1} (V)\).
• Jetzt möchten wir eine Abbildung konstruieren, die eine Untergruppe \(U\) von \(G\), die \(N\) enthält, nach eine Untergruppe von \(G/N\) abbildet. Wir setzen einfach \(V := \pi_N(U)\).
• Es bleibt zu beweisen, dass \(\pi_N(\pi_N^{-1}(V)) = V\) und \(\pi_N^{-1}(\pi_N(U)) =U\). Die erste Gleichheit folgt von der Tatsache, dass \(\pi_N\) surjektiv ist. Für die zweite, folgt die Inklusion \(U \subset \pi_N^{-1}(\pi_N(U))\) von der Definition des Urbilds. Für die umgekehrte Inklusion, müssen wir beweisen, dass, für jedes \(g : G\) gilt \(g \in U\), wenn \(\pi_N(g) \in \pi_N(U)\) (siehe unten).

4.3 Ende des Beweises

• Der Satz \(\pi_N(g) \in \pi_NU)\) bedeutet, dass ein Element \(u\) in \(U\) existiert, mit \(\pi_N(g) = \pi_N(u)\).

• Per Definition von \(\pi_N\), ist \(\pi_N(g) = \pi_N(u)\) äquivalent zu \(gN = uN\) als Teilmenge von \(G\). Inbesondere, \(g \in uN\). Das heißt, es existiert \(h : G\), sodass \(h \in N\) und \(g = u h\).

• Da \(N\) eine Untergruppe von \(U\) ist, impliziert die vorherige Gleichheit, dass \(g \in U\).

  Bemerkung. Nach dem Homomorphiesatz, können wir \(\pi_N(U)\) mit der Faktorgruppe \(U/N\) identifizieren. Durch dieser Identifikation sind die Unterguppen von \(G/N\) die Gruppen der Gestalt \(U/N\), wobei \(U\) eine Untergruppe von \(G\) ist, die \(N\) enthält.

  \[ \begin{array}{rcl} \big\{ U \preccurlyeq G\,\ \text{sodass}\ N \subset U \big\} & \overset{\simeq}{\longrightarrow} & \big\{ V \preccurlyeq (G/N) \big\} \\ U & \longmapsto & U \big/ N \end{array} \]

4.4 Erster Isomorphiesatz

• Sei \(U\) eine Untergruppe von \(G\). Auch wenn \(U\) nicht \(N\) enthält, ist \(\pi_N(U)\) eine Untergruppe von \(G/N\). Deshalb existiert eine Untergruppe \(U'\) von \(G\), die \(N\) enthält, sodass \(\pi_N(U) = \pi_N(U')\). Wie können wir die Untergruppen \(\pi_N(U)\) und \(U'\) besser beschreiben?

  Satz. Der Gruppenhomomorphismus \(\pi_N|_U : U \to G/N\) induziert einen Gruppenisomorphismus

  \[ \pi_N(U) \simeq U \big/ (U \cap N) \ .\]

  Außerdem gibt es eine Gleichheit \(\pi_N^{-1}(\pi_N(U)) = UN\) (die von \(U \cup N\) erzeugte Untergruppe von \(G\)) und einen Gruppenisomorphismus \[ UN / N \simeq U \big/ (U\cap N) \ . \]

• Für abelsche Gruppen, schreibt man oft \((U + N)/N \simeq U / (U \cap N)\).

4.5 Beweis des ersten Isomorphiesatzes

• Nach dem Homomorphiesatz, induziert \(\pi_N|_U\) einen Gruppenisomorphimus

  \[U \big/ \big( \text{Ker}\ (\pi_N|_U) \big) \simeq \big( \text{Im}\ \pi_N \big) = \pi_N(U) \]

• Es bleibt daher zu beweisen, dass \(\text{Ker}\ (\pi_N|_U) = U \cap N\). Dies folgt von der Tatsachen, dass \(\text{Ker}\ (\pi_N|_U) = U \cap (\text{Ker}\ \pi_N)\), und \(\text{Ker}\ \pi_N = N\).

• Danach müssen wir noch beweisen, dass \(\pi_N^{-1}(\pi_N (U)) = UN\). Da für alle \(V \preccurlyeq (G/N)\), gilt \(N = \text{Ker}\ \pi_N = \pi_N^{-1}(\{e_{G/N}\}) \subset \pi_N^{-1}(V)\). Da per Definition des Urbilds \(U \subset \pi_N^{-1}(\pi_N(U))\) auch gilt, gibt es tatsächlich \((U \cup N) \subset \pi_{N}^{-1}(\pi_N(U))\). Da \(\pi_{N}^{-1}(\pi_N(U))\) eine Untergruppe von \(G\) ist, impliziert die vorherige Inklusion, dass \(\left< U \cup N \right> \subset \pi_{N}^{-1}(\pi_N(U))\).

• Für die umgekehrte Inklusion, betrachten wir ein \(g : G\), sodass \(g \in \pi_N^{-1}(\pi_N(U))\). Dann existiert ein \(u \in U\), sodass \(gN = uN\). Insbesondere \(g \in uN \subset UN\).

4.6 Zweiter Isomorphiesatz

Alle Untergruppen von \(G/N\) von der Form \(U/N\) sind. Aber für welche \(U\) sind diese Untergruppen Normalteiler von \(G/N\)?

Satz. Sei \(U\) eine Untergruppe von \(G\), die \(N\)enthält. Dann ist \(U/N\) genau dann ein Normalteiler von \(G/N\), wenn \(U\) ein Normalteiler von \(G\) ist. Dann gibt es außerdem ein Gruppenisomorphismus

\[ (G/N) \big/ (U/N) \simeq G / U \ ,\]

der von dem kanonischen Gruppenhomomorphismus

\[ G \underset{\pi_N}{\longrightarrow} G/N \underset{\pi_{U/N}}{\longrightarrow} (G/N) / (U/N)\]

induziert wird.

4.7 Beweis des zweiten Isomorphiesatzes

• Wir haben schon gesehen, dass das Urbild eines Normalteilers durch einen Gruppenhomomorphismus ein Normalteiler ist.
• Wenn der Gruppenhomomorphismus außerdem surjektiv ist, ist das Bild eines Normalteilers auch ein Normalteiler.
• Da der Gruppenhomomorphismus \(\pi_N : G\to G/N\) surjektiv ist, ist eine Untergruppe \(U\) von \(G\), die \(N\) enthält, genau dann ein Normalteiler von \(G\), wenn \(\pi_N(U)\) (das isomorph zu \(U/N\) ist) ein Normalteiler von \(G/N\) ist.
• In diesem Fall, ist der kanonische Gruppenhomomorphismus \(\varphi :G \to (G/N) / (U/N)\) surjektiv (als Komposition von surjektiven Homomorphismus) und wir müssen nur den Kern bestimmen. Da \(\varphi := \pi_{U/N} \circ \pi_N\) ist, ist \(\varphi(g) = e\) äquivalent zu \(\pi_N(g) \in \text{Ker}\ \pi_{U/N} = U/N\), was zu \(g \in \pi^{-1}(U/N) = U\) äquivalent ist. Also \(\text{Ker}\ \varphi = U\).

4.8 Endliche zyklische Gruppen

• Denken Sie daran, dass eine zyklische Gruppe, eine Gruppe \(G\) ist, die von einem einzigen Element erzeugt wird: \(\exists\ g : G, \left< g \right> =G\) als Untergruppen von \(G\). Äquivalent dazu, existiert \(g : G\), sodass der kanonische Gruppenhomomorphismus \(\varphi_g : \mathbb{Z} \to G\) surjektiv ist. Außerdem wissen wir bereits, dass, in diesem Fall, die Gruppe \(G\) genau dann endlich ist, wenn \(\varphi_g\) nicht-injecktiv ist.

• Dann ergibt sich Folgendes unmittelbar vom Homomorphiesatz.

  Satz. Sei \(G\) eine endliche zyklische Gruppe und sei \(n := |G|\) die Ordnung von \(G\) (insbesondere \(n >0\)). Dann gibt es einen Gruppenisomorphismus \(G \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\).

  Beweis. Per Annahme, und durch eine Anwendung des Homomorphiesatzes, existiert \(g : G\) mit \(\mathbb{Z}\ /\ \text{Ker}\ \varphi_g \simeq G\). Da \(\text{Ker}\ \varphi_g\) eine Untergruppe von \(\mathbb{Z}\) ist, ist \(\text{Ker}\ \varphi_g = m \mathbb{Z}\) für ein bestimmtes \(m > 0\). Da die Ordnung von \(\mathbb{Z} / m \mathbb{Z} = m\) ist, gibt es unbedingt \(m =n\).

4.9 Faktorgruppen einer zyklischen Gruppen

• Wir wissen bereits, dass die Untergruppen einer zyklische Gruppe zyklische Gruppen sind. Der analoge Satz gilt für Faktorgruppen einer zyklischen Gruppe.

• Beachten Sie dass eine zyklische Gruppe ist unbedingt abelsche. Daher ist jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe ein Normalteiler.

  Satz. Sei \(G\) eine zyklische Gruppe und sei \(U\) eine Untergruppe von \(G\). Dann ist \(G/U\) zyklisch. Wenn \(U\) nicht-trivial ist, gilt außerdem, dass \(G/U\) endlich ist.

  Beweis. Da \(G\) zyklische ist, gibt es ein surjektiv Gruppenhomomorphismus \(\varphi : \mathbb{Z} \to G\). Da der kanonische Gruppenhomomorphismus \(\pi_U : G \to G/U\) auch surjektiv ist, ist der Gruppenhomomorphismus \(\pi_U \circ \varphi : \mathbb{Z} \to G/U\) wiederum surjektiv. Dies impliziert, dass die Gruppe \(G/U\) zyklisch ist. Falls \(G\) endlich ist, ist \(G / U\) auch endlich. Ansonsten, ist \(G \simeq \mathbb{Z}\) und \(G / U \simeq \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}\) für ein bestimmtes \(n > 0\). Also ist \(G/U\) auch in diesem Fall endlich.

4.10 Übung 1

• Sei \(G\) eine endliche zyklische Gruppe, mit Ordnung \(n\).
• Zeigen Sie, dass, für jeden Teiler \(d\) von \(n\), eine Untergruppe \(U\) von \(G\) existiert, mit \(|U| = d.\)
• Sei \(U\) eine Untergruppe von \(G\), mot Ordnung \(d\). Finden Sie \(k : \mathbb{N}_{>0}\), sodass \(G / U \simeq \mathbb{Z} / k \mathbb{Z}\).

4.11 Struktur endlich erzeugter abelscher Gruppen

• Die Struktur einer Gruppe \(G\) zu bestimmen bedeutet, eine Liste von Gruppen anzugeben, zu denen \(G\) isomorph sein kann. Dies wird auch als Klassifizierungsproblem bezeichnet.
• Das allgemeneine Klassifizierungsproblem für Gruppen ist, sogar für sogenannte endliche einfache Gruppen, eine schwierige Frage.
• Aber für endlich erzeugte abelsche Gruppen haben wir zwei relativ zugänglich Klassifizierungssätze, die wir unten vorstellen werden.
• Wir werden insbesondere sehen, dass die Struktur einer endlichen abelschen Gruppe der Ordnung n vollständig durch die „arithmetische Komplexität“ von n bestimmt wird.

4.12 Gruppen mit Primzahlordnung

• Manchmal ist die Annahme, dass \(G\) abelsch ist, nicht notwendig, um \(G\) zu charakterisieren. Zum Beispiel ist jede zyklische Gruppe isomorph zu \(\mathbb{Z}\) oder \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\).

• Als Nächstes, können wir nach Verwendung des Satzes von Lagrange beweisen, dass alle Gruppen mit Primzahlordnung zyklisch sind. Insbesondere ist eine solche Gruppe abelsch.

  Satz. Sei \(p\) eine Primzahl und sei \(G\) eine endliche Gruppe mit Ordnung \(p\). Dann ist \(G\) eine zyklische Gruppe. Das heißt, es gibt ein Gruppenisomorphismus \(G \simeq \mathbb{Z} / p \mathbb{Z}\).

  Beweis. Da die Ordnung von \(G\) eine Primzahl ist, ist \(|G| > 1\). Das heißt, es gibt ein \(g : G\), sodass \(g \not= e\). Sei \(n \geqslant 1\) die Ordnung des Elements \(g\). Da \(g \not= e\) ist, ist \(n > 1\). Nach dem Satz von Lagrange, ist \(n\) ein Teiler von \(p\). Da \(p\) eine Primzahl ist, impliziert dies, dass \(n =p\). Die Untergruppe \(\left< g \right>\) von \(G\) hat deshalb Ordnung \(p = |G|\). Somit \(G = \left< g \right> \simeq \mathbb{Z} / p \mathbb{Z}\ .\)

4.13 Klassifizierung endlicher abelscher Gruppen

• Endliche Gruppen sind endlich erzeugt. Als ersten Schritt zur Klassifizierung der endlich erzeugten abelschen Gruppen werden wir endliche abelsche Gruppen klassifizieren.

• Das wichtigste Begriff für den Beweis ist das von \(p\)-primären Anteile, für jede Primzahl \(p\), die wir unten studieren werden.

• Der folgende Satz gibt eine komplette Klassifikation endlicher abelscher Gruppen.

  Satz. Sei \(G\) eine endliche abelsche Gruppe. Sei \(n := |G|\) die Ordnung von \(G\) und sei \(n = p_1^{\alpha_1} \ldots p_k^{\alpha_k}\) die Primfaktorzerlegung von \(n\). Dann existieren eindeutige Partitionen \(m_{i, 1} + \ldots + m_{i, s_i} = \alpha_i\), sodass

  \[ G \simeq \prod_{i = 1}^{k}\ \big( \mathbb{Z} / p_i^{m_{i, 1}} \mathbb{Z} \big) \times \ \ldots\ \times \big( \mathbb{Z} / p_i^{m_{i, s_i}} \mathbb{Z} \big) \ . \]

4.14 Anmerkungen zu der Klassifikationssatz endlicher abelscher Gruppen

• Per Definition einer Partition, haben wir \(s_i \geqslant 1\) und \(m_{i, 1} \geqslant \ldots \geqslant m_{i, s_i}\ .\) Wenn wir einen Gruppenisomorphismus \(G \simeq \prod_{i = 1}^{k} \ ( \mathbb{Z} / p_i^{m_{i, 1}} \mathbb{Z} ) \times \ \ldots\ \times ( \mathbb{Z} / p_i^{m_{i, s_i}} \mathbb{Z})\) haben, dann ist \(|G| = \prod_{i=1}^k \ p_i^{m_{i, 1} + \ldots + m_{i, s_i}}\) . Da die Primfaktorzerlegung einer natürtlichen Zahl eindeutig ist, können wir auch den Klassifikationssatz wie folgt formulieren.

  Satz. Sei \(G\) eine endliche abelsche Gruppe. Dann exisitieren eine eindeutige natürliche Zahl \(k\), eindeutige Primzahlen \(p_1,\ \ldots, p_k\) und, für alles \(i \in \{1,\ \ldots \ ,\ k\}\), eine eindeutige endliche Folge \(m_{i, 1} \geqslant \ldots \geqslant m_{i, s_i}\ ,\) sodass \(G\) isomorph zu die Gruppe \(\prod_{i = 1}^{k}\ \big( \mathbb{Z} / p_i^{m_{i, 1}} \mathbb{Z} \big) \times \ \ldots\ \times \big( \mathbb{Z} / p_i^{m_{i, s_i}} \mathbb{Z} \big)\) ist.

• Die natürlichen Zahlen \((p_i^{m_{i, 1}},\ \ldots\ ,\ p_i^{m_{i, s_i}})_{1 \leqslant i \leqslant k}\) werden die elementaren Teiler von \(G\) gennant. Der Klassifikationssatz besagt, dass jede endliche abelsche Gruppe isomorph zu einem Produkt zyklischer Gruppen ist.

4.15 Primären Anteile

• Sei \(G\) eine endliche Gruppe und sei \(n := |G|\). Nach dem Satz von Euler-Fermat, gibt es, für alles \(g : G\), \(g ^ n = e\).

• Sei \(n = p_1^{\alpha_1} \ldots p_k^{\alpha_k}\) die Primfaktorzerlegung von \(n\) und sei \(g : G\). Nach dem Satz von Lagrange, ist die Ordnung von \(g\) ein Teiler von \(n\). Dann ist \(\text{Ord}_G(g)\) unbedingt von der Form \(p_1^{\beta_1} \ldots p_k^{\beta_k}\), für einige natürliche Zahlen \((\beta_i)_{1 \leqslant i \leqslant k}\) , mit \(0 \leqslant \beta_i \leqslant \alpha_i\).

• Die Idee für \(p\)-primären Anteile besteht darin, alle Elemente von eine endliche \(G\) zusammenzufassen, deren Ordnung eine Potenz der Primzahl \(p\) ist.

  Definition. Sei \(G\) eine abelsche Gruppe, nicht unbedingt endlich. Für jede Primzahl \(p,\) wird der \(p\)-primär Anteil, als Teilmenge von \(G\), wie folgt definiert:

  \[ G(p) := \{ g : G\ /\ \exists\ k : \mathbb{N}_{>0},\ g^{p^k} = e \} \ . \]

4.16 Primären Anteile sind Untergruppen

• Für abelsche Gruppe ist es oft praktisch, additive Notation zu verwenden. Das heißt, \(g_1 +_G g_2\) statt \(g_1 \star_G g_2\) und, wenn \(m\) eine natürliche Zahl ist, \(m \cdot g\) statt \(g ^ m\) zu schreiben. Das neutrale Element \(e_G\) wird als \(0_G\) bezeichnet und \(g^{-1}\), das inverse Element zu \(g\), als \(-g\).

  Satz. Der \(p\)-primär Anteil \(G(p) = \{ g : G\ |\ \exists\ k : \mathbb{N}_{>0},\ p^k \cdot g = 0 \}\) ist eine Untergruppe von \(G\). Wenn \(G(p) \not= \{0_G\}\), ist \(p\) ein Teiler von \(|G|\).

  Beweis. Aus \(p \cdot 0_G = 0_G\) folgt, dass \(0_G\) ein Element von \(G(p)\) ist. Danach:

  • Wenn \(g_1, g_2 \in G(p)\), dann gibt es \(k_1, k_2\) mit \(p^{k_1}\cdot g_1 = 0\) und \(p^{k_2} \cdot g_2 = 0\). Somit \(p^{\max(k_1, k_2)} \cdot (g_1 + g_2) = p^{\max(k_1, k_2)} \cdot g_1 + p^{\max(k_1, k_2)} \cdot g_2 = 0 + 0 = 0\).
  • Wenn \(g \in G(p)\), dann \(p^k \cdot g = 0\) für einiges \(k\). Somit \(p^k \cdot (-g) = - (p^k \cdot g) = -0 = 0.\)
  • Wenn \(g \not= 0_G\) und \(p^k \cdot g = 0_G\), gilt \(\text{Ord}_G(g)\ |\ p^k\). Da \(p\) eine Primzahl ist, muss \(p\ |\ |G|\).

4.17 Bemerkungen zu primären Anteile

• \(p ^ k \cdot g = 0\) bedeutet, dass \(g\) endliche Ordung hat und dass die Ordnung von \(g\) ein Teiler von \(p^k\) ist. Da \(p\) eine Primzahl ist, muss \(\text{Ord}(g) = p ^ \alpha\) für einiges \(\alpha \leqslant k\) gelten.

• Die hier betrachteten Konzepte sind Teil eines umfassenderen Zusammenhangs, nämlich dem der Torsion in einem Modul (eine abelsche Gruppe \(G\) kann auch als Modul über \(\mathbb{Z}\) angesehen werden). In diesem Zusammenhang sind die \(p\)-primären Komponente Beispiele für abelsche Torsionsgruppen.

  • Für jedes \(m : \mathbb{Z}\), ist die Teilmenge \(G[a] := \{g : G\ /\ a \cdot g = 0\}\) eine Untergruppe von \(G\), die als die \(a\)-Torsion von \(G\) bezeichnet wird.
  • Wenn \(g : G\) die Eigenschaft \(\exists\ a : \mathbb{Z}\) sodass \(a \cdot g =0\) erfüllt, heißt \(g\) ein Torsionselement von \(G\). Die Teilmenge aller Torsionselemente einer abelschen Gruppe \(G\) ist eine Untergruppe \(\text{Tor}(G) \preccurlyeq G\), die die Torsionsuntergruppe von \(G\) genannt wird.

4.18 Abelsche Torsionsgruppen

• Eine abelsche Gruppe \(G\) wird eine Torsionsgruppe genannt, wenn jedes Element \(g : G\) ein Torsionselement ist. Das heißt, falls \(G = \cup_{a : \mathbb{Z}}\ G[a] = \text{Tor}(G)\). Zum Beispiel, die Torsionsuntergruppe ist eine Torsionsgruppe. Das heißt, \(\text{Tor}(\text{Tor}(G)) = \text{Tor}(G)\).

• Jede endliche Gruppe ist eine Torsionsgruppe. Die Gruppe \(\mathbb{Q} / \mathbb{Z}\), deren Elemente als Einheitswurzeln in \(\mathbb{C}\) angesehen werden können, ist eine unendliche Torsionsgruppe.

• Die Teilmenge

  \[ G[a^{\infty}] := \bigcup_{k : \mathbb{N}_{>0}}\ G[a^k] \ =\ \big\{ g : G\ /\ \exists\ k : \mathbb{N}_{>0},\ a^k \cdot g = 0 \big\} \]

  ist auch eine Untergruppe von \(G\), die als \(a^{\infty}\)-Torsion von \(G\) bezeichnet wird.

• Für eine Primzahl \(p\), wird die Notation \(G(p):= G[p^{\infty}]\) verwendet.

4.19 Elemente mit Primzahlordnung

• Der Satz von Lagrange lässt die folgende partielle Umkehrung zu.

  Satz von Cauchy (kommutativer Fall). Sei \(G\) eine endliche abelsche Gruppe und sei \(p\) ein Primteiler von \(|G|\). Dann existiert ein element \(g : G\) mit \(\text{Ord}_G(g) = p\).

• Als Konsequenz dieses Satzes ist der \(p\)-primär Anteil einer abelsche Gruppe, deren Ordnung durch \(p\) Teilbar ist, nicht trivial:

  \[ p\ |\ |G| \Rightarrow G(p) \not= \{0_G\}\ .\]

• Die Annahme, dass \(p\) eine Primzahl ist, ist wesentlich. Zum Beispiel, hat die Kleinsche Viergruppe \(\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}\) Ordnung \(4\) aber besitzt kein Element mit Ordnung \(4\).

• Die Annahme, dass \(G\) abelsch ist, ist nicht wesentlich (siehe den Satz von Cauchy später im Kurs).

4.20 Bemerkung zum Beweis

• Es reicht zu beweisen, dass ein Element \(g : G\) existiert, sodass \(p\ |\ \text{Ord}_G(g)\).

• Grund dafür ist, wenn \(\text{Ord}_G(g) = p k\), dann \((pk) \cdot g = 0_G\). Das heißt, \(p \cdot (k \cdot g) = 0_G\). Außerdem ist \(g' :=k \cdot g \not= 0_G\), weil \(k < \text{Ord}_G(g)\). Somit \(\text{Ord}_G(g') > 1\) und \(\text{Ord}_G(g')\ |\ p\) . Da \(p\) eine Primzahl ist, gilt \(\text{Ord}_G(g') = p\).

• Sei \(n : \mathbb{N}_{\geqslant 0}\) die natürliche Zahl sodass \(|G| =n +1\). Der Beweis des vorherigen Satzes läuft dann durch vollständige Induktion auf \(n\).

• Genauer gesagt, werden wir beweisen, für jede Primzahl \(p\), dass \(\forall\ n \in \mathbb{N}_{\geqslant 0},\ P(n)\) gilt, wobei \(P(n)\) der folgende Satz ist:

  Für jede endliche abelsche Gruppe \(G\) sodass \(|G| = n + 1\) und \(p\ |\ |G|\), gibt es ein Element \(g : G\), sodass \(p\ |\ \text{Ord}_G(g)\).

4.21 Induktion

• Wenn \(n = 0\), sei \(G\) eine endliche Gruppe sodass \(|G| = 1\) und \(p\ |\ |G|\). Dann muss \(p = 1\) gelten. Aber, per Definition ener Primzahl, gilt \(p > 1\) und erreichen wir einen Widerspruch. 👉 Durch die Ex falso quod libet Regel, reicht das, um den Fall \(n = 0\) zu beweisen.

• Wir müssen noch den Induktionsschritt beweisen (\(n \geqslant 1\)).

• Da \(|G| = n + 1 \geqslant 2\), ist die Gruppe \(G\) nicht-trivial: \(\exists\ g : G, g \not= 0_G\). Sei \(g\) ein solches Element und sei \(U := \left< g \right>\) die durch \(g\) erzeugte Untergruppe von \(G\). Dann \(p\ |\ |U| \vee p \not{|}\ |U|\).

  • Wenn \(p\ |\ |U|\), haben wir unmittelbar \(p\ |\ \text{Ord}_G(g)\). Genau, da \(U = \left< g \right>\), gilt \(|U| = \text{Ord}_G(g)\).
  • Wenn \(p \not{|}\ |U|\), da \(|G| = |U| |G/U|\) und \(p\) eine Primzahl ist, muss \(p\ |\ |G/U|\) (Lemma von Euklid). Da \(|G/U| < |G|\), können wir die Induktionsannahme anwenden.

4.22 Induktionsschritt

• Per Induktion, gibt es eine Nebenklasse \(a + U\) in \(G/U\) (mit additiven Notation), sodass \(p\ |\ \text{Ord}_{G/U}(a + U)\).

• Setzen wir \(m := \text{Ord}_G(a)\) und \(m_U := \text{Ord}_{G/U}(a + U)\). Da \(m \cdot a = 0_G\), gilt auch

  \[ m \cdot (a + U) = m \cdot \pi_U(a) = \pi_U(m \cdot a) = \pi_U(0_G) = 0_{G/U}. \]

• Daher muss \(m_U\) ein Teiler von \(m\) sein. Da \(p\ |\ m_U\) gilt, muss auch \(p\ |\ m\) gelten.

• Das heißt, wir haben ein Element \(a\) in \(G\) gefunden, so dass \(p\ |\ \text{Ord}_G(a)\) und dies beendet die Induktion.

4.23 Übung 2

• Sei \(\varphi : G \to H\) ein Gruppenhomomorphismus, wobei \(G\) und \(H\) nicht unbedingt abelsch sind.

• Sei \(g : G\) und nehmen Sie an, dass \(g\) endliche Ordnung in \(G\) hat.

  1. Zeigen Sie, dass \(\varphi(g)\) endliche Ordnung in \(H\) hat.
  2. Zeigen Sie, dass \(\text{Ord}_{G/U}(gU)\ |\ \text{Ord}_G(g)\).

4.24 Zerlegung in primäre Anteile

• Wir wissen nun, nach diesem Satz und diesem Satz, dass \(G(p) \not= \{0_G\} \Leftrightarrow p\ |\ |G|\). Daher ist die Menge aller Primzahlen \(p\) sodass \(G(p) \not= \{0_G\}\), genau die Menge von Primfaktoren von \(|G| = p_1^{\alpha_1} \ldots p_k^{\alpha_k}\).

• Das folgende Ergebnis erklärt die Nützlichkeit von \(p\)-primären Anteile.

  Satz. Sei \(G\) eine endliche abelsche Gruppe und sei \(n := |G|\), mit Primfaktorzerlegung \(n = p_1^{\alpha_1} \ldots p_k^{\alpha_k}\). Dann gibt es einen Gruppenisomorphismus

  \[ G \simeq G(p_1) \times \ \ldots \ \times G(p_k) \]

  wobei \(G(p) := \{ g : G\ /\ \exists\ k : \mathbb{N}_{\geqslant 0},\ p^k \cdot g = 0\}\) der \(p\)-primäre Anteil von \(G\) ist.

• Explizit werden wir einen solchen Isomorphismus \(\varphi\) so definieren: für jedes \((g_1, \ \ldots \ ,\ g_k) : \prod_{i = 1}^k G(p_i)\), setzt man \(\varphi(g_1,\ \ldots \ ,\ g_k) = g_1 +\ \ldots \ + g_k\ .\)

4.25 Beweis für die Zerlegung in primäre Anteile

• Wir betrachten die folgende Abbildung.

  \[ \begin{array}{rcl} \varphi : G(p_1) \times \ \ldots \ \times G(p_k) &\longrightarrow &G \\ (g_1,\ \ldots \ ,\ g_k) & \longmapsto & g_1 + \ \ldots \ + g_k \end{array} \]

• Diese Abbildung ist ein Gruppenhomomorphismus (Übung).

• Wir werden beweisen:

  1. \(\text{Ker}\ \varphi = \big\{ 0_{G(p_1) \times \ \ldots \ \times G(p_k)} \big\} = \big\{ ( 0_{G(p_1)},\ \ldots\ , 0_{G(p_k)} ) \big\}\). Das heißt, dass \(\varphi\) injektiv ist.
  2. \(\text{Im}\ \varphi = G\). Das heißt, dass \(\varphi\) surjektiv ist.

4.26 Injektivität

• Dass \(\varphi\) injektiv ist, bedeutet:

  \[ \forall\ (g_1,\ \ldots\ , g_k) \in \prod_{i = 1}^k G(p_i)\ , \ \ g_1 + \ \ldots\ + g_k = 0_G \Rightarrow \forall\ i \in \{1,\ \ldots\ , k\},\ g_i = 0_G\ .\]

• Wir werden das durch endliche Induktion auf \(k\) zeigen. Das heißt, wir betrachten den folgenden Satz:

  \[ \forall\ j \in \{1,\ \ldots\ , k\}, \forall\ (g_1,\ \ldots\ , g_j) \in \prod_{i = 1}^j G(p_i)\ , \ \ g_1 + \ \ldots\ + g_j = 0_G \Rightarrow \forall\ i \in \{1,\ \ldots\ , j\},\ g_i = 0_G\ .\]

• Der Fall \(j = 1\) ist klar: \(\forall\ g_1 \in G(p_1)\), wenn \(g = 0_G\), dann \(g = 0_G\).

4.27 Ende vom Beweis der Injektivität

• Betrachten wir jetzt \((g_1,\ \ldots\ , g_{j + 1}) \in \prod_{i = 1}^{j + 1} G(p_i)\) sodass \(g_1 + \ \ldots\ + g_j + g_{j + 1} = 0_G\).

• Da \(g_{i} \in G(p_{i})\), gibt es \(m_i : \mathbb{N}_{> 0}\) sodass \(p_{i}^{m_{i}} \cdot g_{i} = 0_G\). Setzen wir \(a := p_1^{m_1} \ldots p_j^{m_j}\) und \(b := p_{j + 1}^{m_{j + 1}}\). Dann gilt \(a \cdot (g_1 +\ \ldots\ +g_j) = 0_G\) und \(b \cdot g_{j + 1} = 0_G\).

  ⚠️ Aus diesen Gleichungen können wir nicht direkt ableiten, dass \((g_1 +\ \ldots\ +g_j) = 0_G\) und \(g_{j + 1} = 0_G\). Weil \(a\) und \(b\) nicht invertierbar in \(\mathbb{Z}\) sind.

• Außerdem sind \(a\) und \(b\) teilerfr.qmd. Nach dem Lemma von Bézout existieren daher \(u, v : \mathbb{Z}\ ,\) sodass \(u a + v b = 1_{\mathbb{Z}}\). Dann gilt

  \[ g_{j + 1} = 1_{\mathbb{Z}} \cdot g_{j + 1} = (ua + vb) \cdot g_{j + 1} = (ua) \cdot g_{j + 1} + 0_G = -(ua) \cdot (g_1 + \ \ldots \ + g_j) = 0_G \ .\]

• Da \(g_{j + 1} = 0_G\), reduziert die oben Annahme zu \(g_1 + \ \ldots \ + g_j = 0_G\) . Dann impliziert die Induktionsannahme, dass \(\forall\ i\ \in \{1,\ \ldots\ , j\},\ g_i = 0\).

4.28 Surjektivität

• Für die Surjektivität müssen wir beweisen, dass

  \[ \forall\ g : G,\ \exists\ (g_1,\ \ldots\ , g_k) : \prod_{i = 1}^k G(p_i),\ g = g_1 + \ldots + g_k \ . \]

• Erinnern Sie daran, dass \(n := |G|\) mit Primfaktorzerlegung \(n = p_1^{\alpha_1} \ldots p_k^{\alpha_k}\), und dass \(\forall\ g : G,\ n\cdot g = 0_G\) (Satz von Euler-Fermat).

• Für die Surjektivität reicht es daher zu beweisen, dass, für alle \(k : \mathbb{N}_{> 0}\), alle Primzahlen \((p_1,\ \ldots\ , p_k)\), alle natürliche Zahlen \((\alpha_1,\ \ldots\ ,\alpha_k) : \mathbb{N}_{> 0}^{\ k}\), und alles Element \(g : G\) , \[ (p_1^{\alpha_1} \ldots p_k^{\alpha_k}) \cdot g = 0_G \Rightarrow \exists\ (g_1, \ \ldots\ , g_k) : \prod_{i = 1}^k G(p_i),\ g = g_1 + \ \ldots\ + g_k \ .\]

• Dies wird durch vollständige Induktion auf \(k\) bewiesen.

4.29 Folge vom Beweis der Surjektivität

• Wenn \(k = 1\), dann müssen wir beweisen, dass

  \[ \forall\ \text{Primzahl}\ p,\ \forall\ \alpha : \mathbb{N}_{> 0},\ \forall\ g : G,\ \big( p^{\alpha} \cdot g = 0_G \Rightarrow g \in G(p) \big) \ .\]

  Dies folgt aber von der Definition von \(G(p) = \{ g : G\ /\ \exists\ k : \mathbb{N}_{>0},\ p^k \cdot g = 0_G \}\) .

• Für den Induktionsschritt, nehmen wir Primzahlen \((p_1,\ \ldots\ , p_{k + 1})\), natürliche Zahlen \((\alpha_1,\ \ldots\ , \alpha_{k + 1})\) und \(g\) in \(G\) sodass \((p_1^{\alpha_1} \ldots p_k^{\alpha_k} p_{k + 1}^{\alpha_{k + 1}}) \cdot g = 0_G\) und setzen wir \(a := p_1^{\alpha_1} \ldots p_k^{\alpha_k}\) und \(b := p_{k + 1}^{\alpha_{k + 1}}\). Dann gilt \((ab) \cdot g = 0_G\).

• Da \(b\) und \(a\) teilerfr.qmd sind, existieren \(u, v : \mathbb{Z}\), sodass \(ub + va = 1\). Dann gilt \(g = 1_{\mathbb{Z}} \cdot g = (ub) \cdot g + (va) \cdot g\). Setzen wir \(h_1 := (ub) \cdot g\) und \(h_2 := (va) \cdot g\) .

• Dann gilt \(g = h_1 + h_2\) mit \(a \cdot h_1 = a \cdot ((ub) \cdot g) = (aub) \cdot g = u \cdot ((ab) \cdot g) = u \cdot 0_G = 0_G\) und \(b \cdot h_2 = v \cdot ((ab) \cdot g) = v \cdot 0_G = 0_G\) .

4.30 Ende vom Beweis der Surjektivität

• Da \(a = p_1^{\alpha_1} \ldots p_k^{\alpha_k}\), aus \(a \cdot h_1 = 0_G\) und der Induktionsannahme, folgt die Existenz von \((g_1,\ \ldots\ , g_k) : \prod_{j = 1}^k G(p_j)\), sodass \(h_1 = g_1 +\ \ldots\ + g_k\).

• Da \(b = p_{k+1}^{\alpha_{k + 1}}\), aus \(b \cdot h_2 = 0_G\) folgt \(h_2 \in G(p_{k + 1}) .\) Setzen wir dann \(g_{k + 1} := h_2\).

• Dann gilt \(g = h_1 + h_2 = (g_1 +\ \ldots\ + g_k) + g_{k+1}\), mit \(\forall\ j \in \{1,\ \ldots\ , k + 1\},\ g_j \in G(p_j)\) und dies beendet die Induktion.

  Bemerkung. Man kann die Zerlegung in primäre Anteile \(G \simeq G(p_1) \times \ \ldots \ \times G(p_k)\) auch als direkte Summe von Untergruppen schreiben:

  \[ G = G(p_1) \oplus \ \ldots\ \oplus G(p_k) \ .\]

  Dies bedeutet, dass jedes \(g : G\) eindeutig als \(g = g_1 + \ \ldots + g_k\) mit \(g_i \in G(p_i)\) geschrieben werden kann.