16 Zerfällungserweiterungen und algebraisch abgeschlossene Körper

Ein Porträt von Bartel van der Waerden (1903-1996).

Bartel van der Waerden (1903-1996) war ein niederländischer Mathematiker. Bekannt wurde er durch sein zweibändiges Lehrbuch der Algebra, dessen erste Auflage 1930 unter dem Titel Moderne Algebra erschien und auf den Vorlesungen von Emil Artin und Emmy Noether basiert.

16.1 Wurzeln von Polynomen

Sei \(K\) ein Körper (mit entscheidbarer Gleichheit) und sei \(P : K[X]\) ein Polynom.
Ist es möglich, einen Körper \(L\) und einen (unitären) Ringhomomorphismus \(\varphi : K \to L\) zu konstruieren, sodass es ein Element \(x : L\) gibt, mit \(P(x) = 0_L\) ?
Ein solches Element heißt eine Wurzel oder eine Nullstelle für \(P\).
Wenn \(P\) irreduzibel ist, lautet die Antwort auf die obige Frage ja. Nämlich, der Körper \(L\) ist die Adjunktion \(K[X]\ / \left\), der Ringhomomorphismus \(\varphi\) ist die kanonische Projektion \[\text{Kl} : K[X] \to K[X]\ / \left~,\] und das Element \(x\) ist die Klasse \(x := \text{Kl}(X)\) von \(X\) modulo \(P\). Da \(\text{Kl}\) ein \(K\)-Algebrahomomorphismus ist, gilt genau \[P(x) = P \big( \text{Kl(X)} \big) = \text{Kl} \big( P(X) \big) = 0_L~.\]
Was passiert, wenn \(P\) nicht irreduzibel ist?

16.2 Bemerkungen über Algebren und Körper

Ein Ringhomomorphismus \(\varphi : R \to S\) induziert eine \(R\)-Algebrastruktur auf \(S\), nämlich die eindeutige \(R\)-Algebrastruktur bezüglich dessen \(\varphi\) ein \(R\)-Algebrahomomorphismus ist.
Nämlich, die skalare Multiplikation von \(R\) auf \(S\) ist die Verknüpfung \(\ \cdot\ : R \times S \to S\), die für alles \(a : R\) und alles \(x : S\) durch \(a \cdot x := \varphi(a) \times_S x\) definiert wird, wobei \(\times_S\) die Multiplikation im Ring \(S\) ist. Hier ist es wichtig, \(\varphi(1_R) = 1_S\) zu haben.
In der vorherigen Situation, wobei \(K\) ein Körper ist, ist ein Ringhomomorphismus \(\varphi : K \to L\) unbedingt injektiv. Daher ist \(L/K\) ein Körpererweitrung.
Das heißt, gegeben ein Polynom \(P : K[X]\), möchten wir eine Körpererweiterung \(L/K\) finden, in der die Eigenschaft \(\exists\ x : L,\ P(x)= 0_L\) erfüllt ist.

16.3 Hinzufügen von Wurzeln eines beliebigen Polynoms

Sei \(K\) ein Körper und \(P :K[X]\) ein Polynom. Nehmen wir an, dass wir ein Polynom \(P_1 : K[X]\) haben, sodass \(P\) ein irreduzibler Faktor von \(P\) ist. Wenn \(K\) endlich ist, ist das entscheidbar, weil es in diesem Fall nur endlich viele Polynome \(P_1\) mit \(\deg P_1 \leqslant \deg P\) gibt, und \(P_1\ |\ P\) entscheidbar ist.
Dann bietet die Adjunktion \(L_1 := K[X]\ / \left< P_1 \right>\) eine Lösung für unser Problem: \(L_1\) ist eine Erweiterung von \(K\), in der \(P_1\), somit auch \(P\), eine Nullstelle hat, nämlich die Klasse von \(X\) modulo \(P_1\).
In der klassischen Logik ist das Problem dann vollständing gelöst, weil der Ring \(K[X]\) ein eIZ-Ring ist (ein Ring mit eindeutiger Irreduzibelzerlegung).
Ohne zusätzliche Axiome müssen wir jedoch weitere Annahmen über \(K\) treffen, zum Beispiel dass \(K[X]\) ein eIZ ist. In der Praxis können wir das manchal direkt beweisen, wie zum Beispiel für \(K = \mathbb{Q}\) (der Satz von Kronecker).

16.4 Abzählbare Körper und Ringe

Um unser Problem zu lösen, reicht es ein maximales ideal \(\mathfrak{m} \subset K[X]\) mit \(P \in \mathfrak{m}\) zu finden. Dann ist \(L := K[X] / \mathfrak{m}\) ein Körper, in dem die Klasse \(X\ \text{mod}\ \mathfrak{m}\) eine Nullstelle für \(P\) ist.
Zum Beispiel, wenn \(P_1\) ein irreduzibler Faktor von \(P\) ist, können wir \(\mathfrak{m} := \left< P_1 \right>\) nehmen. Da \(K[X]\) ein Hauptidealring ist und \(P_1\) irreduzibel ist, ist das Ideal \(\left< P_1 \right>\) maximal.
Wir werden nun zeigen, dass, wenn \(K\) abzählbar ist, ein solches Ideal \(\mathfrak{m}\) ohne Faktorisierung von \(P\) konstruiert werden kann.
Hier ist die Definition von Abzählbarkeit die folgende: Eine Menge \(X\) heißt abzählbar (oder hochstens abzählbar), wenn es eine Teilmenge \(J \subseteq \mathbb{N}\) und eine Abbildung \(f : J \to X\) gibt, mit \(f\) surjektiv.
Tatsächlich sollen wir auch fordern, dass das Prädikat \(x \in J\) entscheidbar ist. Das heißt, gilt \(\forall\ n : \mathbb{N},\ (n \in J) \vee (n \notin J)\) (in diesem Fall heißt die Teilmenge \(J \subseteq \mathbb{N}\) abtrennbar).

16.5 Übung 1

Sei \(R\) ein abzählbarer Ring.
Zeigen Sie, dass der Polynomring \(R[X]\) abzählbar ist.

16.6 Übung 2

Zeigen Sie die folgende Eigenschaften:
- Die leere Menge ist abzählbar.
- Eine nicht-leere Menge \(X\) ist genau dann abzählbar, wenn es eine Abbildung \(f : \mathbb{N} \to X\) gibt, mit \(f\) surjektiv.

16.7 Maximale Ideale in abzählbaren Ringen

Später werden wir den folgenden Satz in Polynomringen mit Koeffizienten in einem abzählbaren Ring anwenden.

Satz. Sei \(R\) ein abzählbarer Ring, in dem endlich erzeugter Ideale abtrennbar sind, und sei \(I \subset R\) ein echtes Ideal von \(R\). Dann existiert ein maximales Ideal \(\mathfrak{m}\) in \(R\), mit \(\mathfrak{m}\) abtrennbar und \(I \subseteq \mathfrak{m}\).
Bemerkung. Wenn wir ein solches Ideal in \(R := K[X]\) konstruieren könnten, das auch endlich erzeugt wäre, dann würde daraus folgen, dass, wenn \(K\) abzählbar ist, jedes Polynom \(P : K[X]\) einen irreduziblen Faktor \(P_1\) besitzt (weil jedes endlich erzeugt Ideal von \(K[X]\) ein Hauptideal ist). In der klassischen Logik gelten alle diese Eigenschaften.

16.8 Konstruktion eines geeigneten maximalen Ideals

Geben wir den Beweis des vorherigen Satzes. Sei \(x_0, x_1,\ \ldots\) eine Aufzählung des Rings \(R.\) Wir werden eine steigende Folge \((I_n)_{n : \mathbb{N}_{\geqslant 0}}\) von Idealen bauen, mit \(I_0 := I\) und \(\mathfrak{m} := \bigcup_{n : \mathbb{N}_{\geqslant 0}} I_n\) ein maximales Ideal.
Um \(I_{n+1}\) zu definieren, betrachten wir die entscheidbare Eigenschaft \(1_R \in I_n + R r_n\).
- Wenn \(1_R \in I_n + R x_n\), dann setzen wir \(I_{n+1} := I_n\).
- Wenn \(1_R \notin I_n + R x_n\), dann setzen wir \(I_{n+1} := I_n + R x_n\).
Dann gilt \(\forall\ n : \mathbb{N}_{\geqslant 0},\ I_n \subseteq I_{n+1}\) und, per Konstruktion der Folge \((I_n)_{n : \mathbb{N}_{\geqslant 0}}\) , \[\forall\ k : \mathbb{N}_{\geqslant 0},\ x_k \in \bigcup_{\mathbb{N}_{\geqslant 0}} I_n \Leftrightarrow x_k \in I_{k+1} \Leftrightarrow 1_R \notin I_k + R x_k~.\]
Dann ist \(\mathfrak{m} := \bigcup_{n : \mathbb{N}_{\geqslant 0}} I_n\) ein Ideal (Übung), das abtrennbar und maximal ist (weil \(x_k \notin \mathfrak{m} \Leftrightarrow 1_R \in I_k + R x_k \Rightarrow x_k\) invertierbar modulo \(\mathfrak{m}\) ist).

16.9 Polynomringe mit Koeffizienten in einem abzählbaren Körper

Satz. Sei \(K\) ein abzählbarer Körper (mit entscheidbarer Gleichheit) und sei \(P : K[X]\) ein nicht konstantes Polynom. Dann existiert eine Körpererweiterung \(L/K\) und ein Element \(x : L\) mit \(P(x) = 0_L\). Außerdem ist \(L\) abzählbar, mit entscheidbarer Gleichheit.

Beweis.

Da \(P\) kein konstantes Polynom ist, ist das Ideal \(\left\) ein echtes Ideal von \(K[X]\), der ein abzählbarer Ring ist. Außerdem folgt aus der Existenz der Division mit Rest für Polynome, dass die endlich erzeugte Ideale von \(K[X]\) Hauptideale sond. Daher sind sie auch abtrennbar, weil die Teilbarkeitsrelation entscheidbar ist.
Dann folgt aus dem vorherigen Satz, dass \(\left \subseteq \mathfrak{m}\) für geeignetes maximales Ideal \(\mathfrak{m}\). Daher gilt, dass \(L := K[X]/\mathfrak{m}\) ein abzählbarer Körper ist, mit \(x := \text{Kl}(X)\) eine Nullstelle für \(P\) in \(L\). Da \(\mathfrak{m} \subset K[X]\) abtrennbar ist, ist die Gleichheit von \(L\) entscheidbar.

16.10 Zerfällung eines Polynoms als Produkt von Linearfaktoren

Wir haben unser Problem gelöst: Hinreichende Bedingungen auf \(K[X]\) zu finden, so dass, für alles \(P : K[X]\), eine Körpererweiterung \(L/K\) existiert, in der \(P\) eine Wurzel hat.
Dies erreichten wir entweder durch die Annahme vom SAD oder durch die Annahme, dass \(K\) abzählbar ist.
Auf jedem Fall haben wir bewiesen, dass das Polynom \(X - x\) ein Teiler von \(P\) in \(L[X]\) ist. Das heißt, existiert ein \(Q : L[X]\), mit \(P = (X - x) Q\). Insbesondere gilt \(\deg Q < \deg P\).
Durch eine endliche Wiederholung dieses Vorgangs, können wir einen Körper \(L_n\) bauen, in dem \(P = a_n(X - x_1)\ \ldots\ (X - x_n)\) gilt, wobei \(n := \deg P\geqslant 1\) und \(a_n \in K\) der Leitkoeffizient von \(P\) ist.
Außerdem können wir den Teilkörper \(M := K(x_1,\ \ldots\ , x_n) \subset L_n\) betrachten, und gilt noch \(P = a_n(X - x_1)\ \ldots\ (X - x_n)\) in \(M\), mit \(x_i\) algebraisch über \(K\) (weil \(P(x_i) = 0_M\)).

16.11 Zerfällungserweiterungen

Ein Körper der Gestalt \(K(x_1,\ \ldots\, x_n)\), wobei \(x_1,\ \ldots\ , x_n\) die Wurzeln eines Polynoms \(P : K[X]\) sind, heißt eine Zerfällungserweiterung.
Bevor wir zur formalen Definition kommen, möchten wir den folgenden Satz beweisen.
Satz. Sei \(L/K\) eine Körpererweiterung und nehmen wir an, dass \(L = K(x_1,\ \ldots\ ,x_n)\) für bestimmte \(x_1,\ \ldots\ , x_n\) in \(L\). Dann sind die folgende Bedingungen äquivalent:
1. \(K(x_1,\ \ldots\ , x_n)\) ist eine algebraische Erweiterung von \(K\).
2. \(\forall\ i \in \{1,\ \ldots\ , n\},\ x_i\) ist algebraisch über \(K\).
3. \(K(x_1,\ \ldots\ , x_n)\) ist als \(K\)-Vektorraum endlich erzeugt.
In diesem Fall gilt außerdem \(L = K[x_1,\ \ldots\ , x_n]\). Das heißt, wenn \(\forall\ i,\ x_i\) algebraisch über \(K\) ist, ist die endlich erzeugte \(K\)-Algebra \(K[x_1,\ \ldots\ , x_n]\) ein Körper.

16.12 Endliche Algebren

Eine endliche \(K\)-Algebra ist eine \(K\)-Algebra \(A\), die als \(K\)-Vektorraum endlich erzeugt ist. Das heißt, es gibt Elemente \(a_1,\ \ldots\ , a_d\) in \(A\), sodass \(A =K a_1 +\ \ldots\ + K a_d\) gilt.
Inbesondere ist eine solche Algebra \(A\) auch als \(K\)-Algebra endlich erzeugt. Das heißt, es gibt Elemente \(x_1,\ \ldots\ , x_n\) in \(A\), sodass \(A =K[x_1,\ \ldots\ , x_n]\) gilt.
Der vorherige Satz sagt genau, dass ein Körper \(L\) der Gestalt \(K(x_1,\ \ldots\ , x_n)\) genau dann eine algebraische Erweiterung von \(K\) ist, wenn \(K(x_1,\ \ldots\ x_n)\) endlich als \(K\)-algebra ist. ⚠️ In diesem Fall ist das Erzeugendsystem \((x_1,\ \ldots\ , x_n)\) von \(A\) als \(K\)-Algebra im Allgemeinen kein Erzeugendsystem von \(K(x_1,\ \ldots\ x_n)\) als \(K\)-Vektorraum.

16.13 Algebraizität für endliche Erweiterungen

Beweisen wir den vorheringen Satz. Sei \(L = K(x_1,\ \ldots\ , x_n)\) eine Erweiterung von \(K\), die endlich erzeugt als Körper ist.
„(i) \(\Rightarrow\) (ii)“. Wenn \(L/K\) algebraisch ist, ist insbesondere jedes \(x_i\) algebraisch über \(K\).
„(ii) \(\Rightarrow\) (iii)“. Zeigen wir, durch endliche Induktion über \(n \geqslant 1\), dass \(K(x_1,\ \ldots\ , x_n)\) als \(K\)-Vektorraum endlich erzeugt ist, und dass \(K(x_1,\ \ldots\ , x_n) = K[x_1,\ \ldots\ , x_n]\)) gilt.
- Wenn \(k = 1\) ist, gilt (\(x_1\) algebraisch über \(K\)) \(\Rightarrow\) \(K(x_1) = K[x_1]\) und \(K[x_1]\) als \(K\)-Vektorraum endlich erzeugt.
- Wenn die Induktionsannahme für \(k\) erfüllt ist, und \(x_{k+1}\) algebraisch über \(K\) ist, dann ist \(x_{k + 1}\) auch algebraisch über \(M := K(x_1,\ \ldots\ , x_k) = K[x_1,\ \ldots\ , x_k]\), der als \(K\)-Vektorraum endlich erzeugt ist. Dann ist \(M(x_{k+1}) = M[x_{k+1}]\) endlich erzeugt als \(M\)-Vektorraum, somit auch als \(K\)-Vektorraum. Dies beendet die Induktion.

16.14 Ende des Beweises

„(iii) \(\Rightarrow\) (i)“.
- Es verbleibt zu beweisen, dass, wenn \(K(x_1,\ \ldots\ , x_n)\) als \(K\)-Vektorraum endlich erzeugt ist, dann ist jedes \(x\) in \(K(x_1,\ \ldots\ , x_n)\) algebraisch über \(K\).
- Dies folgt aus der Tatsache, die wir bewiesen haben, dass, wenn eine \(K\)-Teilalgebra eines Körpers \(A \subseteq L\) endlich erzeugt als \(K\)-Vektoraum ist, jedes Element \(x \in A\) algebraisch über \(K\) ist (wir wenden dies auf die \(K\)-Algebra \(A := K(x_1,\ \ldots\ , x_n)\) an).
Bemerkung. Nach einem Lemma von Zariski, gilt tatsächlich auch die Folgerung \(L = K[x_1,\ \ldots\ , x_n] \Rightarrow L/K\) algebraisch (zugelassen). Genauer gesagt, behauptet dieses Lemma Folgendes (was einen Beweis des Hilbertschen Nullstellensatzes bietet):

Sei \(L := K[x_1,\ \ldots\ , x_n]\) eine endlich erzeugte \(K\)-Algebra.Wenn \(L\) ein Körper ist, dann ist \(L\) eine algebraische Erweiterung von \(K\) (die unbedingt endlich ist).

16.15 Formale Definition von Zerfällungserweiterungen

Definition. Sei \(L/K\) eine Körpererweiterung und sei \(P : K [X]\). Der Körper \(L\) heißt eine Zerfällungserweiterung für das Polynom \(P\), wenn Elemente \(x_1,\ \ldots\ , x_n\) in \(L\) existieren, mit:

\(P = a (X - x_1)\ \ldots\ (X - x_n)\) in \(L[X]\) (\(P\) zerfällt in lineare Faktoren über \(L\)).

\(L = K[x_1,\ \ldots\ , x_n]\) (mit \(x_i\) algebraisch über \(K\)).

Bemerkungen.

Das heißt, alle Wurzeln des Polynoms \(P\) liegen in \(L\) und \(L\) wird von diesen Wurzeln als \(K\)-Algebra erzeugt.
In diesem Fall haben wir auch \(L = K(x_1,\ \ldots\ , x_n)\) als Körper (mit, für jedes \(i\), \(x_i\) algebraisch über \(K\)).

16.16 Beispiele für Zerfällungserweiterungen

Wenn \(P : K[X]\) ein irreduzibles Polynom ist, ist \(L := K[X]\ / \left\) genau dann eine Zerfällungserweiterung für \(P\), wenn \(P\) zerfällt in Linearfaktoren über \(L\).

Sei \(L := \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \subseteq \mathbb{R}\). Das Element \(\sqrt{2}\) ist algebraisch über \(\mathbb{Q}\), mit Minimalpolynom \(P := X^2 -2\). Insbesondere, \([\mathbb{Q}(\sqrt{2}) : \mathbb{Q}] = \deg P = 2\). Da \(P = (X - \sqrt{2})(X + \sqrt{2})\) über \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\), ist \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, -\sqrt{2})\) eine Zerfällungserweiterung für \(P\).
Sei \(L := \mathbb{Q}(^3\sqrt{2}) \subseteq \mathbb{R}\). Das Element \(^3\sqrt{2}\) ist algebraisch über \(\mathbb{Q}\), mit Minimalpolynom \(P := X^3 -2\). Insbesondere, \([\mathbb{Q}(^3\sqrt{2}) : \mathbb{Q}] = \deg P = 3\). Da \(P = (X - ^3\sqrt{2})(X^2 + ^3\sqrt{2} X + (^3\sqrt{2})^2)\) mit \(X^2 + ^3\sqrt{2} X + (^3\sqrt{2})^2\) irreduzibel über \(\mathbb{Q}(^3\sqrt{2})\), ist \(\mathbb{Q}(^3\sqrt{2})\) keine Zerfällungserweiterung für \(P\).

16.17 Weitere Beispiele für Zerfällungserweiterungen

Sei \(L := \mathbb{Q}(^3\sqrt{2}, j) \subseteq \mathbb{C}\), mit \(j := e^{i \frac{2\pi}{3}}\). Da \(j ^3\sqrt{2}\) und \(j^2 (X - \ ^3\sqrt{2})\) Elemente von \(L\) sind, und \(X^3 - 2 = (X - \ ^3\sqrt{2})(X - j \ ^3\sqrt{2}) (X - j^2 \ ^3\sqrt{2})\) über \(L\), mit \(L= \mathbb{Q}(^3\sqrt{2}, j\ ^3\sqrt{2}, j^2\ ^3\sqrt{2}),\) ist \(L\) eine Zerfällungserweiterung für \(P = X^3 - 2\).
Sei \(P := X^4 - 2\). Dann ist \(\mathbb{Q}(^4\sqrt{2}) \subseteq \mathbb{R}\) keine Zerfällungserweiterung für \(P\) aber ist \(\mathbb{Q}(^4\sqrt{2}, i) \subseteq \mathbb{C}\) eine Zerfällungserweiterung für \(P\) (Übung). Beachten Sie, dass, in diesem Beispiel, das Polynom \(P\) nicht irreduzibel über \(\mathbb{Q}\) ist.
Sei \(\mathbb{F}_2 := \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) und sei \(P :=1_{\mathbb{F}_2} + X + X^2\). Da \(P(0_{\mathbb{F}_2}) = P(1_{\mathbb{F}_2}) = 1_{\mathbb{F}_2} \not= 0_{\mathbb{F}_2}\), hat \(P\) keine Wurzel in \(\mathbb{F}_2\). Da \(\deg P = 2\) ist, ist deshalb \(P\) irreduzibel über \(\mathbb{F}_2\). Setzen wir \(\mathbb{F}_4 := \mathbb{F}_2[X]\ / \left< 1 + X + X^2 \right>\). Da \(\deg P = 2\) ist, und \(P\) eine Wurzel \(\xi := \text{Kl}(X)\) in \(\mathbb{F}_4\) hat, muss \(\mathbb{F}_4\) eine Zerfällungserweiterung für \(P\) sein. Explizit gilt \(\mathbb{F}_4 = \mathbb{F}_2[\xi] = \mathbb{F}_2[\xi,\xi^2]\) mit \(\xi^2 = 1_{\mathbb{F}_2} + \xi \not= \xi\) die zweite Wurzel von \(P\) in \(\mathbb{F}_4\) (beachten Sie, dass \(\mathbb{F}_4\) aus den Elementen \(0_{\mathbb{F}_2}, 1_{\mathbb{F}_2}, \xi\) und \(\xi^2\) besteht, und dass \(1_{\mathbb{F}_2} + (1_{\mathbb{F}_2} + \xi) + (1_{\mathbb{F}_2} + \xi)^2 = 1_{\mathbb{F}_2} + \xi + \xi ^ 2 = 0_{\mathbb{F}_2}\) gilt).

16.18 Existenz von Zerfällungserweiterungen

Sei \(K\) ein Körper. Nehmen wir an, dass für alles \(P : K[X]\), eine Erweiterung \(L_1\) von \(K\) konstruiert werden kann, in der \(P\) eine Wurzel \(x_1\) hat. Das gilt, zum Beispiel, wenn \(K\) abzählbar ist, oder wenn \(P\) ein irreduzibles Faktor hat. Inbesondere gilt das unter Verwendung des SAD.
Dann gilt \(P = (X-x_1) Q_1\) in \(K[x_1][X] \subseteq L[X]\), mit \(\deg Q_1 < \deg P\). Wenn \(K\) abzählbar ist, oder wenn man den SAD verwendet, kann man dieses Argument wiederholen, um eine Erweiterung \(K[x_1, x_2]\) von \(K\) zu konstruieren, in der \(P = (X - x_1) (X - x_2) Q_2\), mit \(\deg Q_2 < \deg Q_1\). Durch endliche Induktion erreichen wir das folgende Ergebnis.

Satz. Sei \(K\) ein Körper mit der oben genannten Eigenschaft. Dann, für alles \(P : K[X]\) existiert eine Zerfällungserweiterung \(L\) für \(P\).

16.19 Übung 3

Sei \(K\) ein abzählbarer Körper mit entscheidbarer Gleichheit.
Sei \(P : K[X]\). Wir haben bereits bewiesen, dass es ein abzählbarer Körper mit entscheidbarer Gleichheit \(L_1\) gibt, in dem \(P\) eine Wurzel \(x_1\) hat.
Zeigen Sie, dass, durch wiederholung dieses Prozesses, ein abzählbarer Körper mit entscheidbarer Gleichheit \(L_n\) konstruieren werden kann, in dem \(P = a(X- x_1)\ \ldots\ (X-x_n)\).
Zeigen Sie danach, dass \(K(x_1,\ \ldots\ , x_n) \subseteq L_n\) eine Zerfällungserweiterung für \(P\) ist. Bemerkung. Dies gibt einen etwas anderen Beweis für die Existenz von Zerfällungserweiterungen.

16.20 Körper mit entscheidbarer Gleichheit

In gewisser Weise ist die Annahme, dass \(K\) abzählbar ist, nicht wesentlich.

Satz. Sei \(K\) ein Körper mit entscheidbarer Gleichheit und sei \(P : K[X]\). Dann existiert ein Körper \(L_P\), in dem \(P\) in Linearfaktoren zerfällt.

Beweis. Sei \(\mathbf{k}_P \subseteq K\) der kleinste Teilkörper von \(K\), der die Koeffiziente von \(P\) enthält. Dann ist \(\mathbf{k}_P\) abzählbar (siehe unten), mit entscheidbarer Gleichheit, und gilt \(P \in \mathbf{k}_P[X]\). Daher existiert eine Erweiterung \(L_P/\mathbf{k}_P\), sodass \(L_P\) eine Zerfällungserweiterung von \(P : \mathbf{k}_P[X]\) ist.
Der Unterschied zur vorherigen Situation besteht darin, dass hier \(L_P\) keine Erweiterung von \(K\) ist. Stattdessen ist \(L_P\) eine Erweiterung des Teilkörpers \(\mathbf{k}_P \subseteq K\).
Der Körper \(\mathbf{k}_P\) ist selbst eine Erweiterung des sogenannten Primkörpers \(K_0\) von \(K\), der aus allen Elementen von \(K\) der Gestalt \(\frac{n \cdot 1_K}{m \cdot 1_K}\) besteht, mit \(n, m : \mathbb{Z}\) und \(m \cdot 1_K \not= 0_K\).

16.21 Übung 4

Zeigen Sie, dass der Primkörper eines Körpers \(K\) ein Teilkörper von \(K\) ist.
Zeigen Sie, dass der Primkörper \(K_0\) von \(K\) abzählbar ist, und dass, für alles \(P = a_0 + a_1 X +\ \ldots\ + a_n X^n\) mit \(a_i \in K\), der Körper \(\mathbf{k} := K_0[a_0,\ \ldots\ , a_n]\) abzählbar ist.

16.22 Algebraisch abgeschlossene Körper

Definition. Ein Körper \(\Omega\) heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes Polynom \(P : \Omega[X]\) mit \(\deg P \geqslant 1\) eine Wurzel in \(\Omega\) hat.

Durch Verwendung der Division mit Rest für Polynome ist die obige Bedingung äquivalent zu der Tatsache, dass jedes \(P : \Omega[X]\) eine Zerfällung in Linearfaktoren in \(\Omega\) hat.

Beispiele und Gegenbeispiele.

Der Körper der komplexen Zahlen \(\mathbb{C}\) ist algebraisch abgeschlossen (Gauß).
Der Körper der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) ist nicht algebraisch abgeschlossen, weil \(X^2 + 1\) keine Wurzel in \(\mathbb{R}\) hat (Warum?).
Ein endlicher Körper ist nicht algebraisch abgeschlossen (Übung).

16.23 Eigenschaften algebraisch abgeschlossener Körper

Satz. Wenn \(\Omega\) algebraisch abgeschlossen ist, gelten die folgende Eigenschaften:

Ist \(P : \Omega[X]\) ein irreduzibles Polynom, dann gilt \(\deg P = 1\).

Ist \(L/\Omega\) eine algebraische Erweiterung, dann ist \(L = \Omega\).

Beweis.

Sei \(P : \Omega[X]\) ein irreduzibles Polynom. Da \(P\) eine Wurzel \(x\) in \(\Omega\) hat, ist \(P = a (X- x)\).
Sei \(P_x\) das Minimalpolynom von \(x : L\). Nach (i), muss \(P = X - x\) gelten, somit \(x \in \Omega\).

16.24 Übung 5

Zeigen Sie dass, wenn der Körper \(\Omega\) abzählbar ist, oder wenn jedes nicht-invertierbar Polynom \(P : \Omega[X]\) ein irreduzibles Faktor hat, die folgende Bedingungen äquivalent sind:

\(\Omega\) ist algebraisch abgeschlossen.
Ist \(P : \Omega[X]\) ein irreduzibles Polynom, dann gilt \(\deg P = 1\).
Ist \(L/\Omega\) eine algebraische Erweiterung, dann ist \(L = \Omega\).

16.25 Übung 6

Sei \(K\) ein Körper, \(P : K[X]\) ein Polynom mit \(n := \deg P \geqslant 1\) und \(\Omega\) eine Erweiterung von \(K,\) die ein algebraisch abgeschlossener Körper ist. Zeigen Sie, dass \(P\) in Linearfaktoren in \(\Omega\) zerfällt.
Seien \(x_1,\ \ldots\ , x_n\) die Nullstelle von \(P\) in \(\Omega\). Zeigen Sie, dass der Körper \(L := K(x_1,\ \ldots\ , x_n)\) der eindeutige Teilkörper von \(\Omega\), der eine Zerfällungserweiterung für \(P\) ist.