5  Struktur endlicher abelscher Gruppen

Ein Porträt von Camille Jordan.

Camille Jordan (1838-1922) war ein französischer Mathematiker. Er hat fundamentale Beiträge zur Analysis, Gruppentheorie und Topologie geleistet. Sein Lehrbuch Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) war das erste Buch über Gruppentheorie.

5.1 p-Gruppen

Definition. Für eine Primzahl \(p\) ist eine \(p\)-Gruppe eine nicht-triviale Gruppe \(G\) in der die Ordnung jedes Elements eine Potenz von \(p\) ist: \(\forall\ g : G,\ \exists\ k : \mathbb{N}_{\geqslant 0},\ g^{p^k} = e_G\).

  • Eine p-Gruppe ist nicht unbedingt endlich. Sie ist auch nicht unbedingt abelsch.

  • Eine nicht-triviale endliche Gruppe \(G\) ist genau dann eine \(p\)-Gruppe wenn ihre Ordnung eine Potenz von \(p\) ist. Das heißt, wenn \(\exists\ n : \mathbb{N}_{>0},\ |G| = p^n\).

    • „\(\Rightarrow\)“ Sei \(q\) eine Primzahl, die ein Teiler von \(|G|\) ist. Nach dem Satz von Cauchy (den wir derzeit nur im abelschen Fall bewiesen haben), gibt es \(g : G\) mit \(\text{Ord}(g) = q\). Dann muss \(q = p\) und \(|G| = p^n\) für einziges \(n : \mathbb{N}_{> 0}\).
    • „\(\Leftarrow\)“ Nehmen wir an, dass \(|G| = p ^n\). Nach dem Satz von Lagrange, muss \(\text{Ord}(g)\) für jedes \(g : G\) ein Teiler von \(p\) sein. Da \(p\) eine Primzahl ist, muss \(\text{Ord}(g) = p ^k\) gelten.

5.2 Beispiele für p-Gruppen

  • Eine zyklische Gruppe der Gestalt \(\mathbb{Z} / p ^ n \mathbb{Z}\) ist eine (endliche abelsche) \(p\)-Gruppe. Eine zyklische Gruppe der Gestalt \(\mathbb{Z} / (pq)\mathbb{Z}\) mit \(p, q\) unterschiedliche Primzahlen ist keine \(p\)-Gruppe: nach dem Satz von Cauchy besitzt diese Gruppe ein Element mit Ordnung \(q\).
  • Produkten der Gestalt \(\mathbb{Z} / p ^ {n_1} \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / p ^ {n_2} \mathbb{Z}\) sind \(p\)-Gruppen. Die Gruppen \(\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}\) und \(\mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z}\) sind \(p\)-Gruppen, aber das Produkt \(\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z}\) ist keine \(p\)-Gruppe (das Element \((1, 1)\) hat Ordnung \(6\), die keine Potenz einer Primzahl ist).
  • Die Symmetriegruppe eines Quadrats ist eine nicht-abelsche endliche \(2\)-Gruppe mit Ordnung \(8 = 2 ^ 3\) (die Elemente \(r\) und \(r^3\) haben Ordnung \(4\) und die andere nicht-triviale Elemente haben Ordnung \(2\)).
  • Die Gruppe \(\{ z : \mathbb{C}\ /\ \exists\ k : \mathbb{N}_{> 0},\ z ^ {p ^ k} = 1 \}\), bestehend aus der Elemente in \(\mathbb{C}\), mit Ordnung eine Potenz von \(p\), ist eine unendliche abelsche \(p\)-Gruppe.

5.3 Primäre Anteile

  • Denken Sie daran, dass jede endliche abelsche Gruppe \(G\) isomorph zum Produkt ihrer primären Anteile ist.

  • Das heißt, wenn \(n := |G|\), mit Primfaktorzerlegung \(n = p_1^{\alpha_1} \ldots p_k^{\alpha_k}\), dann gibt es einen Gruppenisomorphismus

    \[ \varphi : \begin{array}{rcl} G(p_1) \times \ \ldots \ \times G(p_k) & \longrightarrow & G \\ (g_1,\ \ldots\ , g_k) & \longmapsto & g_1 + \ \ldots \ + g_k \end{array} \]

    (das heißt, eine Zerlegung \(G = G(p_1) \oplus \ \ldots \ \oplus G(p_k)\)) wobei

    \[ G(p) := \{ g : G\ /\ \exists\ k : \mathbb{N}_{\geqslant 0},\ p^k \cdot g = 0\} \]

    der \(p\)-primäre Anteil von \(G\) ist.

  • Insbesondere ist der \(p\)-primäre Anteil \(G(p)\) per Definition eine \(p\)-Gruppe.

5.4 Die Ordnung eines primären Anteils

  • Wir möchten als nächsten die Struktur von der \(p\)-primären Anteile \(G(p_i)\) erklären.

  • Aber zunächst geben wir wieder einen formalen Beweis, dass die Ordung einer solchen Untergruppe \(G(p)\) eine Potenz der Primzahl \(p\) ist.

    Satz. Sei \(G\) eine nicht-triviale endliche abelsche Gruppe und sei \(p\) ein Primfaktor von \(|G|\). Dann existiert eine natürliche Zahl \(\alpha : \mathbb{N}_{> 0}\), sodass \(|G(p)| = p^\alpha\).

    Beweis. Sei \(g \in G(p)\) sodass \(g \not= 0_G\). Sei \(q\) eine Primzahl, mit \(q\ |\ |G(p)\). Nach dem Satz von Cauchy, existiert ein \(g : G(p)\) mit \(\text{Ord}_{G(p)}(g) = q\). Da \(g\) ein Element von \(G(p)\) ist, muss \(q = p^k\) für ein bestimmtes \(k : \mathbb{N}_{> 0}\). Da \(q\) ein Primzahl ist, impliziert dies, dass \(k = 1\) und \(q = p\). Dann haben wir bewiesen, dass die eindeutige Primzahl, die \(|G(p)|\) teilt, \(p\) ist. Daher gilt \(|G(p)| = p ^ {\alpha}\) für einziges \(\alpha : \mathbb{N}_{>0}\).

5.5 Klassifikationssatz für endliche abelsche p-Gruppen

Satz. Sei \(H\) eine endliche abelsche \(p\)-Gruppe mit Ordnung \(|H| = p^{\alpha}\) für ein bestimmtes \(\alpha : \mathbb{N}_{>0}\). Dann existiert eine eindeutige Partition \(m_{1} + \ldots + m_{s} = \alpha\), sodass

\[ H \simeq \big( \mathbb{Z} / p^{m_1} \mathbb{Z} \big) \times \ \ldots\ \times \big( \mathbb{Z} / p^{m_s} \mathbb{Z} \big) \ . \]

  • Um diesen Satz besser zu verstanden, betrachten wir zunächst die Produktgruppe

    \[ G := \big( \mathbb{Z} / p^{m_1} \mathbb{Z} \big) \times \ \ldots\ \times \big( \mathbb{Z} / p^{m_s} \mathbb{Z} \big) \]

    mit \(m_1 \geqslant\ \ldots \ \geqslant m_s\) .

  • Dann gilt \(\forall\ i,\ p^{m_{i + 1}}\ |\ p^{m_i}\) und, als Konsequenz davon, \(\forall\ g : G,\ p^{m_1} \cdot g = 0_G\).

  • Da das Element \(g := (1, 0,\ \ldots\ ,0)\) Ordnung \(p^{m_1}\) hat, ist außerdem \(m_1\) die größte natürliche Zahl \(m\) sodass ein \(g : G\) mit \(\text{Ord}(g) = p^m\) existiert. Beachten Sie, dass \((1, 1, 0,\ \ldots\ , 0)\) auch Ordnung \(p^{m_1}\) hat.

5.6 Eindeutigkeit der Partition

  • Nehmen wir an, dass ein Gruppenisomorphismus

    \[ H \simeq \big( \mathbb{Z} / p^{m_1} \mathbb{Z} \big) \times \ \ldots\ \times \big( \mathbb{Z} / p^{m_s} \mathbb{Z} \big) \]

    existiert, mit \(m_1 \geqslant\ \ldots \ \geqslant m_s \geqslant 1\). Dann ist

    \[ m_1 = \textstyle \max \big\{ m : \mathbb{N}_{> 0}\ /\ \exists\ h : H,\ \text{Ord}(h) = p ^ m \big\} \ .\]

  • Betrachten wir danach die Faktorgruppe

    \[ H \big/ (\mathbb{Z} / p^{m_1} \mathbb{Z}) \simeq \big( \mathbb{Z} / p^{m_2} \mathbb{Z} \big) \times \ \ldots\ \times \big( \mathbb{Z} / p^{m_s} \mathbb{Z} \big)\ . \]

    Dann ist \(m_2\) die größte \(m : \mathbb{N}_{> 0}\) sodass ein \(h : H / (\mathbb{Z} / p^{m_1} \mathbb{Z})\) existiert, mit \(\text{Ord}(h) = p^m\).

  • Dies zeigt, dass die Folge \(m_1, m_2, \ \ldots \ , m_s\) von \(H\) eindeutig bestimmt ist.

5.7 Formales Argument für den Beweis der Eindeutigkeit

  • Wenn \(m_1 + \ldots + m_s = |H| = n_1 + \ldots + n_t\) die beide Partionen von \(|H|\) sind, so dass

    \[ \big( \mathbb{Z} / p^{m_1} \mathbb{Z} \big) \times \ \ldots\ \times \big( \mathbb{Z} / p^{m_s} \mathbb{Z} \big)\ \ \simeq\ H\ \simeq \ \big( \mathbb{Z} / p^{n_1} \mathbb{Z} \big) \times \ \ldots\ \times \big( \mathbb{Z} / p^{n_t} \mathbb{Z} \big) \ \]

    gilt, dann ist \(m_1 = n_1 = \max \{ m : \mathbb{N}_{> 0}\ /\ \exists\ h : H,\ \text{Ord}(h) = p ^ m \}\).

  • Dann ist die Faktorgruppe \(H / (\mathbb{Z} / p^{m_1} \mathbb{Z})\) eine endliche abelsche \(p\)-Gruppe und erhalten wir einen Gruppenisomorphismus:

    \[ \big( \mathbb{Z} / p^{m_2} \mathbb{Z} \big) \times \ \ldots\ \times \big( \mathbb{Z} / p^{m_s} \mathbb{Z} \big)\ \simeq \big( \mathbb{Z} / p^{n_2} \mathbb{Z} \big) \times \ \ldots\ \times \big( \mathbb{Z} / p^{n_t} \mathbb{Z} \big) \ . \]

  • Durch Induktion auf der Ordnung der \(p\)-Gruppe \(H\), gilt \(s = t\) und \(\forall\ i \in \{1,\ \ldots\ , s\}\), \(m_i = n_i\).

5.8 Beispiel: abelsche p-Gruppen mit Ordnung 8

  • Ist \(G\) eine abelsche Gruppen mit Ordnung \(8 = 2 ^ 3\), dann ist \(G\) eine endliche abelsche \(p\)-Gruppe. Die Möglichkeiten für Partitionen von \(3\) sind: \((1 + 1 + 1)\), \((2 + 1)\) und \(3\).

  • Es gibt dann, bis auf Gruppenisomorphismus, die folgende drei Möglichkeiten für eine endliche abelsche Gruppe mit Ordnung \(8\):

    1. \(G \simeq \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}\) .
    2. \(G \simeq \mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}\) .
    3. \(G \simeq \mathbb{Z} / 8 \mathbb{Z}\) .

  • In diesem Beispiel sehen wir klar, dass die drei Möglichkeiten schließen sich gegenseitig aus (zum Beispiel gibt es kein Element mit Ordnung \(4\) oder \(8\) in dem ersten Produkt).

  • ⚠️ Es gibt auch nicht-abelsche \(p\)-Gruppen mit Ordnung \(8\).

5.9 Beweis des Klassifikationssatzes für endliche abelsche p-Gruppen

Satz. Sei \(H\) eine endliche abelsche \(p\)-Gruppe mit Ordnung \(|H| = p^{\alpha}\) für einziges \(\alpha : \mathbb{N}_{>0}\). Dann existieren eine Partition \(m_{1} + \ldots + m_{s} = \alpha\) und ein Gruppenisomorphismus

\[ H \simeq \big( \mathbb{Z} / p^{m_1} \mathbb{Z} \big) \times \ \ldots\ \times \big( \mathbb{Z} / p^{m_s} \mathbb{Z} \big) \ . \]

  • Wir müssen noch diesen Existenzsatz beweisen. Die Idee ist

    \[m_1 := \textstyle \max \big\{ m : \mathbb{N}_{> 0}\ /\ \exists\ h : H,\ \text{Ord}(h) = p ^ m \big\}\]

    zu setzen. Da \(H\) endlich ist, ist \(m_1\) wohldefiniert.

  • Sei \(h_1 : H\) mit \(\text{Ord}(h_1) = m_1\) und \(H_1 := \left< h_1 \right>\) die durch \(h_1\) erzeugte Untergruppe von \(H\). Dann gilt \((H = H_1) \vee (H \not= H_1)\).

    • Falls \(H = H_1\), dann gilt \(m_1 = \alpha\) und \(H \simeq \mathbb{Z} / p^{\alpha} \mathbb{Z}\). Der Satz wird daher bewiesen.
    • Falls \(H \not= H_1\) werden wir \(H/H_1\) betrachten und durch Induktion argumentieren.

5.10 Induktionsschritt

  • Da \(\left< h_1 \right> = H_1 \not= H\) und \(|H_1| = p ^ {m_1}\), ist die Gruppe \(H / H_1\) eine endliche abelsche \(p\)-Gruppe mit Ordnung \(p^{\alpha - m_1} < p ^ \alpha\). Per die Induktionsannahme existieren eine Partition \(m_2 + \ldots + m_s = \alpha - m_1\) und ein Gruppenisomorphismus

    \[ H / H_1 \simeq \underbrace{\big( \mathbb{Z} / p^{m_2} \mathbb{Z} \big)}_{=: H'_2} \times \ \ldots\ \times \underbrace{\big( \mathbb{Z} / p^{m_s} \mathbb{Z} \big)}_{=: H'_s} \ . \]

  • Wir können jede Gruppe \(H'_i\) als Untergruppe von \(H / H_1\) ansehen. Da \(H'_i\) zyklisch ist, gibt es ein Element \(h'_i : H / H_1\) mit \(H'_i = \left< h'_i \right>_{H/H_1}\). Inbesondere ist \(\text{Ord}_{H/H_1}(h'_i) = p^{m_i}\).

  • Von hier aus, möchten wir Folgendes beweisen:

    1. Es gibt \(h_i : H\), sodass \(\pi_{H/H_1} ( h_i ) = h'_i\) und \(\text{Ord}_H(h_i) = p ^ {m_i}\).
    2. Es gibt ein Gruppenisomorphismus \(H \simeq H_1 \times H_2 \times \ \ldots \ \times H_s\), wobei \(H_i := \left< h_i \right>\) .

5.11 Lifting-Lemma

Lemma. Sei \(h' : H / H_1\), wobei \(H_1\) wird wie zuvor definiert (\(m_1\) maximal, sodass \(H_1\) zyklisch mit Ordnung \(p^{m_1}\) ist). Dann existiert \(h : H\) mit \(\text{Ord}_H(h) = \text{Ord}_{H/H_1}(h')\).

Bemerkungen.

  • Da \(\pi_{H/H_1} : H \to H/H_1\) surjektiv ist, existiert \(g : H\) mit \(\pi_{H/H_1} (g) = h'\). Da \(\pi_{H/H_1}\) ein Gruppenhomomorphismus ist, gibt es (in multiplikative Notation)

    \[ (h') ^ {\text{Ord}_H(g)} = \pi_{H/H_1}(g) ^ {\text{Ord}_H(g)} = \pi_{H/H_1} \big( g ^ {\text{Ord}_H(g)} \big) = \pi_{H/H_1} ( e_H ) = e_{H/H_1} \]

    somit \(\text{Ord}_{H/H_1}(h')\ |\ \text{Ord}_{H}(g)\). Das Lemma besagt, dass wir ein Repräsentant \(g' \sim g\) von \(h'\) finden können, sodass \(\text{Ord}_H(g')\) genau das Gleiche als \(\text{Ord}_{H/H_1}(h')\) ist.

  • Da \(H/H_1\) eine \(p\)-Gruppe ist, ist \(\text{Ord}_{H/H_1}(h')\) eine Potenz von \(p\).

5.12 Beweis vom Lifting-Lemma

  • Setzen wir \(p^m := \text{Ord}_{H/H_1}(h')\) und nehmen wir \(g : H\) sodass \(\pi_{H/H_1}(g) = h'\). Wir werden \(\pi_{H/H_1}\) einfach als \(\pi_1 : H \to H/H_1\) schreiben. Dann gilt (in additive Notation)

    \[ \pi_1(p^m \cdot g) = p^m \cdot \pi_1(g) = p^m \cdot h' = 0_{H/H_1} \ ,\]

    das heißt, \(p^m \cdot g \in \text{Ker}\ \pi_1 = H_1\).

  • Da \(H_1 = \left< h_1\right>_H\), können wir \(p^m \cdot g = r \cdot h_1\) für ein bestimmtes \(r : \mathbb{N}_{>0}\) schreiben. Außerdem können wir \(r = p^\ell u\) schreiben, für ein bestimmtes \(\ell : \mathbb{N}_{\geqslant 0}\) und ein bestimmtes \(u : \mathbb{N}_{>0}\) mit \(p \not{|}\ u\).

  • 🔥 Dann haben wir \(p^m \cdot g = p^\ell \cdot (u \cdot h_1)\). Da \(|H_1| = p ^ {m_1}\) und \(p \not{|}\ u\), muss \(\text{Ord}_{H_1}(u \cdot h_1) = p^{m_1}\) (Übung). Falls \(\ell \geqslant m_1\), gilt daher \(p^m \cdot g = p^{\ell - m_1} \cdot ( p^{m_1} \cdot (u \cdot h_1) ) = 0_H\). Falls \(\ell < m_1\), gilt \(\text{Ord}_{H}(p^{\ell} \cdot (u \cdot h_1)) = p^{m_1 -l}\), somit \(\text{Ord}_H(p^m \cdot g) = p^{m_1 - \ell}\).

5.13 Ende vom Beweis des Lifting-Lemmas

  • Wir sind noch im Fall wobei \(\ell < m_1\) und \(p^{m_1 - \ell}\cdot (p^m \cdot g) = 0_H\). Außerdem folgt aus der Konstruktion, dass \(\text{Ord}_H(g) = p^{m_1 - \ell + m}\) (Übung).
  • Aus der Maximalität von \(m_1\) folgt \(m_1 - \ell + m \leqslant m_1\), somit \(m \leqslant \ell\). Dann gilt \(p^m \cdot (g - p^{\ell - m}u \cdot h_1)) = 0_H\). Setzen wir dann \(h := g - p^{\ell - m}u \cdot h_1\). Dieses \(h\) ist ein Element von \(H,\) das \(p^m \cdot h = 0\) erfüllt. Das heißt, \(\text{Ord}_H(h)\ |\ p ^ m = \text{Ord}_{H/H_1}(h')\).
  • Außerdem gilt \(\pi_1(h) = \pi_1(g - p^{\ell -m} u \cdot h_1) = \pi_1(g) - p^{\ell - m} \cdot \pi_1(h_1) = \pi_1(g) = h'\). Daher gilt auch \(\text{Ord}_{H/H_1}(h')\ |\ \text{Ord}_H(h)\).
  • Da \(\text{Ord}_H(h)\ |\ p ^ m = \text{Ord}_{H/H_1}(h')\) und \(\text{Ord}_{H/H_1}(h')\ |\ \text{Ord}_H(h)\), gilt \(\text{Ord}_H(h) = \text{Ord}_{H/H_1}(h')\).
  • Dann haben wir ein Element \(h : H\) aufgebaut, sodass \(\pi_{H / H_1}(h) = h'\) und \(\text{Ord}_{H}(h) = \text{Ord}_{H/H_1}(h')\) . Dies beendet den Beweis des Lifting-Lemmas.

5.14 Zerlegung als Produkt

  • Dann gehen wir zurüch zum Induktionsschritt. Es gibt ein eine Partition \(m_2 + \ \ldots \ + m_s = m - m_1\) und eine Zerlegung als direkte Summe von Untergruppen

    \[ H/H_1 \simeq H'_2 \oplus \ \ldots \ \oplus H'_s \]

    wobei \(H'_i := \left< h'_i \right>_{H/H_1}\) mit \(\text{Ord}_{H/H_1}(h'_i) = p^{m_i}\).

  • Nach dem Lifting-Lemma existiert, für jedes \(i \in \{2, \ \ldots \ , s\}\), ein Element \(h_i : H\) mit \(\text{Ord}_H (h_i) = p^{m_i}\). Außerdem haben wir, per Definition von \(H_1 = \left< h_1 \right>_H\), \(\text{Ord}_H(h_1) = p ^ {m_1}\) .

  • Dann setzen wir \(H_i :=\left< h_i \right>_H\) und betrachten wir die folgende Abbildung

    \[ \begin{array}{rcl} \varphi : H_1 \times H_2 \times\ \ldots\ \times H_s & \longrightarrow & H \\ (x_1, x_2, \ \ldots \ , x_s) & \longmapsto & x_1 + x_2 + \ \ldots \ + x_s \end{array} \]

    die ein Gruppenhomomorphismus ist. Am Nächsten zeigen wir, dass \(\varphi\) bijektiv ist.

5.15 Injektivität

  • Zeigen wir zunäscht, dass \(\varphi\) injektiv ist. Das heißt, \(\text{Ker}\ \varphi = \{ (0_H, \ \ldots \ , 0_H)\}\).

  • Sei \((x_1, x_2, \ \ldots \ , x_s) : H_1 \times H_2 \times \ \ldots \ \times H_s\), mit \(x_1 + x_2 + \ \ldots \ + x_s = 0_H\). Da \(H_i = \left< h_i \right>\) mit \(\text{Ord}_H(h_i) = p^{m_i}\) gilt, existiert für jedes \(i\) ein \(\lambda_i \in \{0_{\mathbb{Z}},\ \ldots ,\ p^{m_i} - 1_{\mathbb{Z}} \}\) mit \(x_i = \lambda_i \cdot h_i .\)

  • Durch Abbildung der kanonischen Projektion \(\pi_1 : H \to H/H_1 \simeq H'_2 \times \ \ldots \ \times H'_s\) , gilt \(\pi_1(x_1 + x_2 + \ \ldots \ + x_s) = \pi_1(0_H) = 0_{H/H_1}\) und

    \[ \begin{array}{rcl} \pi_1(x_1 + x_2 + \ \ldots \ + x_s) & = & \lambda_1 \cdot \pi_1(h_1) + \lambda_2 \cdot \pi_1(h_2) + \ \ldots \ + \lambda_s \cdot \pi_1(x_s)\\ & = & 0_{H/H_1} + \lambda_2 \cdot h'_2 + \ \ldots \ + \lambda_s \cdot h'_s \end{array} \]

  • Da \(H / H_1 = \left< h'_2 \right> \oplus \ \ldots \ \oplus \left< h'_s \right>\), impliziert die Gleichung \(\lambda_2 \cdot h'_2 + \ \ldots \ + \lambda_s \cdot h'_s = 0_{H / H_1}\), dass, für jedes \(i \in \{2, \ \ldots \ ,s \}\), \(\lambda_i \cdot h'_i = 0_{H'_i}\), das heißt, \(p ^ {m_i} = \text{Ord}(h'_i)\ |\ \lambda_i\) , somit \(\lambda_i = 0_{\mathbb{Z}}\).

  • Aus \(x_1 + x_2 + \ \ldots\ + x_s = 0_H\) folgt dann \(\lambda_1 \cdot h_1 = 0_H\) und, wie zuvor, \(\lambda_1 = 0_{\mathbb{Z}}\).

5.16 Surjektivität

  • Sei \(x : H\). Da \(H / H_1 = \left< h'_2 \right> \oplus \ \ldots \ \oplus \left< h'_s \right>\), können wir \(\pi_1(x) = x'_2 + \ \ldots \ + x'_s\) mit \(x'_i \in \left< h'_i \right>_{H/H_1}\) schreiben. Dann existiert, für jedes \(i \in \{2,\ \ldots\ , n\}\), ein Element \(\lambda_i \in \{0_{\mathbb{Z}},\ \ldots\ , p^{m_i} - 1\}\), sodass \(x'_i = \lambda_i \cdot h'_i\).

  • Setzen wir danach \(x_i := \lambda_i \cdot h_i \in \left< h_i \right> = H_i \preccurlyeq H\) und \(x_1 := x - ( x_2 + \ \ldots \ + x_s)\). Dann gilt

    \[ \pi_1(x_1) = \pi_1(x) - (\lambda_2 \cdot \pi_1(h_2) + \ \ldots \ + \lambda_s \cdot \pi_1(h_s) ) = \pi_1(x) - (x'_2 +\ \ldots \ + x'_s) = 0_{H/H_1} \]

    das heißt, \(x_1 \in \text{Ker}\ \pi_1 = H_1\).

  • Dann gilt \(x = x_1 + x_2 + \ \ldots \ + x_s\) mit, für jedes \(i \in \{ 1,\ \ldots\ , s \}\), \(x_i \in H_i\).

  • Dies beendet den Beweis des Klassifikationssatzes für endliche abelsche p-Gruppen.

5.17 Klassifikationssatz für endliche abelsche Gruppen

Aus der vorherigen Klassifikationssatz für endliche abelsche \(p\)-Gruppen und die Zerlegung einer endliche abelsche \(p\)-Gruppe als Produkt/direkte Summe ihrer primären Anteile, folgt der folgende Klassifikationssatz für endliche abelsche Gruppe, den wir bereits vorgestellt haben.

Satz. Sei \(G\) eine endliche abelsche Gruppe. Sei \(n := |G|\) die Ordnung von \(G\) und sei \(n = p_1^{\alpha_1} \ldots p_k^{\alpha_k}\) die Primfaktorzerlegung von \(n\). Dann existieren eindeutige Partitionen \(m_{i, 1} + \ldots + m_{i, s_i} = \alpha_i\), sodass

\[ G \simeq \prod_{i = 1}^{k}\ \big( \mathbb{Z} / p_i^{m_{i, 1}} \mathbb{Z} \big) \times \ \ldots\ \times \big( \mathbb{Z} / p_i^{m_{i, s_i}} \mathbb{Z} \big) \ . \]

Beweis. Gilt die Zerlegung \(G = G(p_1) \oplus \ \ldots \oplus G(p_k)\). Dann für jedes \(i\) existiert eine eindutige Partition \(m_{i, 1} + \ldots + m_{i, s_i} = \alpha_i\) sodass \(G(p_i) \simeq \big( \mathbb{Z} / p_i^{m_{i, 1}} \mathbb{Z} \big) \times \ \ldots\ \times \big( \mathbb{Z} / p_i^{m_{i, s_i}} \mathbb{Z}\big )\).

5.18 Bemerkungen zum Klassifikationssatz für endliche abelsche Gruppen

  • In einer Partition \(m_{i,1} + \ \ldots \ + m_{i, s_i}\), gilt \(m_{i, 1} \geqslant \ \ldots \ \geqslant m_{i, s_i}\). Es kann sein, dass \(m_{i, j} = m_{i, j + 1} = \ldots = m_{i, j + q_i}\) gilt. Daher schreibt man manchmal \(n_{i, 1} > \ \ldots \ > n_{i, \ell_i}\) mit \(q_1 n_{i, 1} + \ \ldots \ + q_{\ell_i} n_{i, \ell_i} = \alpha_i\) (statt \(m_{i, 1} + \ \ldots \ + m_{i, s_i} \alpha_i\)) und

    \[G \simeq \prod_{i=1}^k (\mathbb{Z} / p_i^{n_{i, 1}} \mathbb{Z})^{q_1} \times \ \ldots \ (\mathbb{Z} / p_i^{n_{i, \ell_i}} \mathbb{Z})^{q_{\ell_i}}\]

    statt \(G \simeq (\mathbb{Z} / p_i^{m_{i, 1}} \mathbb{Z}) \times \ \ldots\ \times ( \mathbb{Z} / p_i^{m_{i, s_i}} \mathbb{Z} )\) .

  • Wie zuvor gesagt, die hier betrachteten Konzepte sind Teil eines breiteren Zusammenhangs, nämlich Modulntheorie über einem Haupidealring (wie zum Beispiel \(\mathbb{Z}\)), wobei jeder endlich erzeugte Torsionsmodul eine primäre Zerlegung hat, und jeder primäre Anteil eine Zerlegung in direkte Summe von zyklischen Untermoduln hat. Wir werden diese Konzepte später im Kurs wieder antreffen.

5.19 Die Elementareteiler einer endlichen abelschen Gruppen

  • Die wichtigste Information im Klassifikationssatz für endliche abelsche Gruppen ist die endliche Folge \((p_i^{m_{i, j}})_{1 \leqslant i \leqslant k,\ 1 \leqslant j \leqslant s_i}\). Diese Folge bestimmt vollständig die Isomorphieklasse der Gruppe G. im folgenden Sinne:

    \[ G \simeq \prod_{i = 1}^{k}\ \big( \mathbb{Z} / p_i^{m_{i, 1}} \mathbb{Z} \big) \times \ \ldots\ \times \big( \mathbb{Z} / p_i^{m_{i, s_i}} \mathbb{Z} \big) \ . \]

  • Insbesondere bestimmt diese Folge die Ordnung von \(G\) (\(|G| = \prod_{i = 1}^k p_i^{m_{i, 1} + \ \ldots \ + m_{i, s_i}}\)).

    Definition. Die endliche Folge \((p_i^{m_{i, j}})_{1 \leqslant i \leqslant k,\ 1 \leqslant j \leqslant s_i}\) heißt die Folge von Elementarteiler der Gruppe \(G\).

    Zum Beispiel, ist die Folge der Elementarteiler der Gruppe \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) die endliche Folge \((2, 2, 2)\).

5.20 Die aus den Elementarteilern aufgebaut Matrix

Mit den Konventionen \(p_1 < \ \ldots < p_k\) und \(m_{i,1} \geqslant \ \ldots \ \geqslant m_{i, s_i}\), können wir die folgende \(k \times s\) Matrix \((\beta_{i,j})_{1 \leqslant i \leqslant k,\ 1 \leqslant j \leqslant s}\) konstruieren, wobei \(s := \max_{1 \leqslant i \leqslant k}\ s_i\) .

\[ \beta := \begin{bmatrix} p_1^{m_{1, 1}} & p_1^{m_{1, 2}} & \ldots & \ldots & p_1^{m_{1, s_1}} & 1 & 1 \\ p_2^{m_{2, 1}} & p_1^{m_{2, 2}} & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & p_2^{m_{2, s_2}} \\ \vdots & & & \\ p_k^{m_{k, 1}} & p_k^{m_{k,2}} & \ldots & p_k^{m_{k, s_k}} & 1 & \ldots & 1 \\ \end{bmatrix} \]

Das heißt:

\[ \beta_{i,j} := \left\{ \begin{array}{cl} p_i^{m_{i,j}} & \text{if}\ j \leqslant s_i \ , \\ 1 & \text{if}\ s_i < j \leqslant s \ . \end{array} \right.\]

Wenn \(\beta_{i,j} = 1\), dann ist \(\mathbb{Z} / \beta_{i,j}\mathbb{Z}\) die triviale Gruppe. Daher gilt \(G \simeq \prod_{i = 1}^k \prod_{j = 1}^s \mathbb{Z} / \beta_{i,j} \mathbb{Z}\). Wir können auch \(m_{i,j} = 0\) für alles \(j\) mit \(s_i < j \leqslant s\) setzen.

5.21 Invarianten Faktoren

  • Setzen wir, für alles \(j \in \{1,\ \ldots\ , s\}\), \(d_j := \prod_{i=1}^k \beta_{i,j}\) (das Produkt der Elemente der \(j\)-ten Spalte). Die \((d_j)_{1 \leqslant j \leqslant s}\) werden die invarianten Faktoren von \(G\) genannt.

  • Dann gelten die folgende Eigenschaften:

    • Da \(\forall\ i,\ m_{i, j + 1} \leqslant m_{i, j}\) , ist \(d_{j + 1} = \prod_{i=1}^k p_i^{m_{i, j + 1}}\) ein Teiler von \(d_j = \prod_{i = 1}^k p_i^{m_{i, j}}\).

    • In der \(j\)-ten Spalte, sind Elemente \(\beta_{i_1, j}\) und \(\beta_{i_2, j}\) in verschiedenen Zeilen teilerfr.qmd. Nach dem chinesischen Restsatz, gibt es daher ein Gruppenisomorphismus

      \[ \prod_{i=1}^k \big( \mathbb{Z} / \beta_{i,j}\mathbb{Z} \big) \ \ \simeq \ \ \mathbb{Z} \big/ \left( \textstyle\prod_{i=1}^k \beta_{i,j}\right) \mathbb{Z} \ = \ \mathbb{Z} / d_j \mathbb{Z}\]

    • Die Primfaktorzerlegung von \(d_j\) ist genau \(\prod_{i\in \{1\leqslant i \leqslant k\ /\ m_{i,j} > 0\}} p_{i}^{m_{i,j}}\). Wir können daher die Elementarteiler \((p_i^{m_{i,j}})_{i, j}\) von den invarianten Faktoren \((d_j)_{1 \leqslant j \leqslant s}\) erneut finden.

5.22 Der Satz über invariante Faktoren

  • Als Konsequenz der vorherigen Bemerkungen, gilt der folgende Satz.

    Satz. Sei \(G\) eine endliche abelsche Gruppe. Dann existiert eine eindeutige endliche Folge \((d_1, \ \ldots \ , d_s)\) mit:

    1. \(\forall\ j \in \{1,\ \ldots\ , s - 1\},\ d_{j+1}\ |\ d_j\).
    2. \(G \simeq (\mathbb{Z} / d_1 \mathbb{Z} ) \times \ \ldots \ \times (\mathbb{Z} / d_s \mathbb{Z})\).

  • Dies gibt eine andere Zerlegung von \(G\) als Produkt zyklischer Gruppen. Das heißt, es gibt einen anderen Klassifikationssatz. Natürlich ist \(|G| = d_1\ \ldots \ d_s\) .

  • Die Eindutigkeit der invarianten Faktoren folgt aus der Eindeutigkeit der Elementarteiler.

  • Eine abstrakte Version dieses Ergebnisses hat Anwendungen in der linearen Algebra (Frobenius-Normalform).

5.23 Abelsche Gruppen mit Ordnung 600

  • Sei \(G\) eine abelsche Gruppe mit Ordnung \(600 = 2^3 \times 3^1 \times 5^2\). Dann haben drei Primzahlen \(p_1 = 2\), \(p_2 = 3\) und \(p_3 = 5\), mit Exponente \(\alpha_1 = 3\), \(\alpha_2 = 1\) und \(\alpha_3 = 2\).
  • Die Möglichkeiten für die Partionen für \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), \(\alpha_3\) sind:
    • \(3 = 1 + 1 + 1\), \(3 = 2 + 1\), und \(3 = 3\) (drei Möglichkeiten).
    • \(1 = 1\) (eine einzige Möglichkeit).
    • \(2 = 1 + 1\) und \(2 = 2\) (zwei Möglichkeiten).
  • Das heißt, wir haben \(3 \times 1 \times 2 = 6\) Möglichkeiten für die Isomorphieklasse von \(G\).

5.24 Erster Fall

  • Falls \(3 = 1 + 1 + 1\), \(1 = 1\) und \(2 = 1 + 1\) die Partinionen von \(3\), \(1\) und \(2\) sind, dann sind die Elementarteiler von \(G\) die natürliche Zahlen \((2, 2, 2, 3, 5, 5)\) und gilt

    \[G\ \ \simeq\ \ \underbrace{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}_{2\text{-primaere Anteil von}\ G} \quad \times \underbrace{\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}}_{3\text{-primaere Anteil von}\ G} \times \quad \underbrace{\mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}}_{5\text{-primaere Anteil von}\ G}\ .\]

  • Dann betrachten wir die Matrix

    \[ \begin{bmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \\ 5 & 5 & 1 \end{bmatrix} \]

    und die invarianten Faktoren \(d_1 = 2 \times 3 \times 5 = 30\), \(d_2 = 2 \times 1 \times 5 = 10\) und \(d_3 = 2 \times 1 \times 1 = 2\). Dann gilt \(d_3\ |\ d_2\ |\ d_1\) und existiert ein Gruppenisomorphismus

    \[ G \simeq \mathbb{Z} / 30 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} /10 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}\ . \]

5.25 Zweiter Fall

  • Falls \(3 = 1 + 1 + 1\), \(1 = 1\) und \(2 = 2\), gibt es \((2,2,2,3,25)\) für die Elementarteiler und

    \[G\ \ \simeq\ \ \big( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \big) \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/25\mathbb{Z} \ .\]

  • Dann ist die Matrix von Elementarteiler

    \[ \begin{bmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \\ 25 & 1 & 1 \end{bmatrix} \]

    und sind die invarianten Faktoren \(d_1 = 2 \times 3 \times 25 = 150\), \(d_2 = 2\) und \(d_3 = 2\), sodass \(d_3\ |\ d_2\ |\ d_1\) und

\[G \simeq \mathbb{Z}/150\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \ .\]

5.26 Übung 1

  • Berechnen Sie die Elementarteiler und die invarianten Faktoren in den verbleibenden vier Fällen.
  • Es wird Fälle geben, in denen es nur \(2\) oder wenig invariaten Faktoren gibt. Zum Beispiel, \(G \simeq \mathbb{Z} /600 \mathbb{Z}\) .
  • Im Allgemeinem ist die „Normalform“ einer endlichen abelschen Gruppe mit den invarianten Faktoren praktischer und kürzer zu schreiben als die Normalform mit den Elementarteilern.

5.27 Übung 2

Sei \(m, n : \mathbb{N}_{>0}\).

  • Zeigen Sie, dass die Gruppen \(\mathbb{Z}/ mn \mathbb{Z}\) und \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\) genau dann isomorph sind, wenn \(m\) und \(n\) teilerfr.qmd sind.
  • Zeigen Sie danach, dass ein Produkt zweier zyklischer Gruppen mit teilerfr.qmden Ordnungen wieder zyklisch ist.

5.28 Übung 3

  • Sei \(G\) eine (nicht unbedingt abelsche) endliche Gruppe. Sei

    \[\omega(G) := \min \{ n : \mathbb{N}_{>0}\ /\ \forall\ g : G,\ g^n = e_G\}\ .\]

    Zeigen Sie, dass \(\omega(G)\) wohldefiniert ist.

  • Jetzt nehmen wir außerdem \(G\) abelsch an.

    • Zeigen Sie, dass \(\omega(G)\) das kleinstes gemeinsames Vielfaches der Ordnungen der Elemente von \(G\) ist.
    • Zeigen Sie, dass \(\exists\ \alpha : \mathbb{N}_{> 0},\ |G|\ |\ \omega(G)^\alpha\). Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass \(|G|\) und \(\omega(G)\) die gleichen Primteiler haben.