14  Primfaktorzerlegung und Faktorielle Ringe

Ein Porträt von Emmy Noether (1882-1935).

Emmy Noether (1882-1935) war eine deutsche Mathematikerin, die grundlegende Beiträge zur Abstrakten Algebra und zur Theoretischen Physik lieferte. Insbesondere revolutionierte sie die Theorie der Ringe, Körper und Algebren. Ihr erstes mathematisches Forschungsgebiet war die Invariantentheorie.

14.1 Primfaktorzerlegungen

  • Es ist sinnvoll zu fragen, ob die Primfaktorzerlegung einer ganzen Zahl auch in anderen Ringe als \(\mathbb{Z}\) gilt und, falls ja, in welcher Form. \[\forall\ n : \mathbb{Z},\ n \notin \mathbb{Z}^\times \Rightarrow \exists\ k : \mathbb{N}_{> 0},\ \exists\ p_1,\ \ldots\ , p_k\ \text{Primz.},\ \exists\ (n_1,\ \ldots,\ n_k) : \mathbb{N}_{>0}^{\ k},\ n = \pm p_1^{n_1}\ \ldots\ p_k^{n_k}\]
  • Mit die Bedingungen \(0 < p_1 <\ \ldots\ < p_k\) ist die obige Zerlegung eindeutig im folgenden Sinn: Wenn \(p_1^{n_1}\ \ldots\ p_k^{n_k} = q_1^{m_1}\ \ldots\ q_\ell^{m_\ell}\) gilt, dann muss \(k =\ell\) gelten und, für alles \(i \in \{1,\ \ldots,\ k\}\), \(p_i =q_i\) und \(n_i = m_i\).
  • Erinnern wir uns, dass, in einem Integritätsring \(R\), es im Allgemeinen drei Konzepte gibt, die mit Primalität zu tun haben: irreduzible Elemente, Primelemente und extremal Elemente. Wir werden zunächst Primfaktorzerlegungen und Irreduziblenzerlegungen vergleichen.

14.2 Primfaktorzerlegung und Irreduziblenzerlegung

  • Die wichtigste Bemerkung ist die folgende.

    Satz. Sei \(R\) ein Integritätsring und sei \(a \in R \setminus \{0_R\}\). Nehmen wir an, dass \(a \notin R^\times\) gilt, und dass die folgende Zerlegungen existieren: \[a = u p_1\ \ldots\ p_r\ \text{mit}\ u \in R^\times \wedge \forall\ i \in \{1,\ \ldots\ ,r\},\ p_i\ \text{Primelement in}\ R\] und \[a = v q_1\ \ldots\ q_s\ \text{mit}\ v \in R^\times \wedge \forall\ j \in \{1,\ \ldots\ ,s\},\ q_j\ \text{irreduzibles Element in}\ R.\] Dann ist \(s = r\) und existiert eine Permutation \(\sigma\) von \(\{1,\ \ldots\ ,r\}\), sodass \(\forall i,\ q_i \cong p_{\sigma(i)}.\) Insbesondere sind \(q_1,\ \ldots\ , q_s\) Primelemente.

  • Daraus folgt, dass die Betrachtung von Zerlegungen in Produkte von extremalen Elementen zu keinem weiteren Ergebnis führen würde (Übung!).

14.3 Beweis des Vergleichssatzes zwischen PFZ und IZ

  • Der Beweis läuft durch Induktion auf \(r \geqslant 1\). Die Induktionsannahme ist \[P(r) := \forall\ s \geqslant 1,\ (p_1\ \ldots\ p_r \cong q_1\ \ldots\ q_s \Rightarrow s = r \wedge \exists\ \sigma \in \mathfrak{S}_s,\ \forall\ i, q_i \cong p_{\sigma(i)}\big)~.\]
  • Wenn \(r = 1\) ist, haben wir \(p_1 \cong q_1\ \ldots\ q_s\).
    • Falls \(s = 1\) ist, gilt \(p_1 \cong q_1\).
    • Falls \(s > 1\), beachten wir zunächst, dass \(p_1\) auch irreduzibel ist. Daher existiert ein \(j \in \{1,\ \ldots\ ,s\}\) mit \(q_j\) invertierbar. Dies widerspricht der Irreduzibilität von \(q_j\).
  • Nehmen wir jetzt an, dass \(P(r)\) gilt. Wenn \(p_1\ \ldots\ p_r p_{r + 1} \cong q_1\ \ldots\ q_s\) gilt, mit \(p_{r + 1}\) ein Primelement, muss \(p_{r + 1}\ |\ q_j\) für geeignetes \(j\) gelten. Da \(q_j\) irreduzibel ist, gilt \(p_{r+1} \cong q_j\).
    • Falls \(s = 1\), bedeutet dies, dass \(p_1,\ \ldots\ , p_r\) invertierbar sind, was die Primalität der \(p_i\) widerpricht.
    • Falls \(s > 1\), muss \(p_1\ \ldots\ p_r \cong \prod_{i \not= j} q_j\) gelten und können wir die Induktionsannahme benutzen, um die Permutation \(\sigma\) zu konstruieren.

14.4 PFZ-Ringe

  • Sei \(R\) ein Integritätsring und sei \(a : R \setminus \{0_R\}\). Eine Produktdarstellung \[a = u \displaystyle \prod_{i=1}^r p_i ^{n_i}\ ,\] mit \(u \in R^\times\), \(r \geqslant 1\) und \(n_1,\ \ldots\ , n_r \geqslant 0\) natürliche Zahlen, und \(p_1,\ \ldots\ , p_r\) paarweise nicht assoziierte Primelemente in \(R\), heißt eine Primfaktorzerlegung (oder PFZ) von \(a\).

  • Wir werden uns für Ringe interessieren, in denen Primfaktorzerlegungen existieren.

    Definition. Ein (kommutativer, unitärer) Ring \(R\) wird ein PFZ-Ring genannt, wenn die folgende Eigenschaften gelten:

    1. \(R\) ist ein Integritätsring.
    2. \(\forall\ a : R \setminus \{0_R\}\), gilt \((a \in R^\times) \vee (a\ \text{hat eine PFZ})\).

14.5 PFZ sind „wesentlich eindeutig“

  • Eine wichtige und nützliche Eigenschaft von Primfaktorzerlegungen ist, dass sie bis auf Reihe und Assoziiertheit (RuA) eindeutig sind, im folgenden Sinn.

    Satz. Sei \(R\) ein Integritätsring und sei \(a : R \setminus \{0_R\}\). Nehmen wir an, dass \(a \notin R^\times\) ist, und die folgende Primfaktorzerlegungen besitzt: \[a = u \displaystyle \prod_{i=1}^r p_i ^{n_i}\ \text{und}\ a = v \displaystyle \prod_{i=1}^s q_j ^{m_j}~.\] Dann ist \(s = r\) und existiert eine Permutation \(\sigma\) von \(\{1,\ \ldots\ ,r\}\), sodass \[\forall\ i \in \{1,\ \ldots\ ,r \},\ q_i \cong p_{\sigma(i)} \wedge m_i = n_{\sigma(i)}~.\]

  • Da Primelemente irreduzibel sind, folgt der Beweis unmittelbar von des vorherigen Vergleichssatzes zwischen PFZ und IZ.

14.6 Bemerkungen über Primteiler

  • In einem PFZ-Ring hat ein nicht-invertierbares Element \(a\) endlich viele Primteiler. Beweis. Sei \(a = u p_1\ \ldots\ p_r\) ein PFZ von \(a\) und sei \(p\) ein Primteiler von \(a\). Dann muss \(p\ |\ p_i\) für geeignetes \(i\) gelten, somit \(p \cong p_i\).
  • Für jedes Primteiler \(p\) von \(a \notin R^\times\), existiert außerdem eine eindeutige natürliche Zahl \(n\) mit der Eigenschaft \(p^n\ |\ a \wedge p^{n + 1} \nmid a\). Dies wird die \(p\)-adische Bewertung von \(p\) genannt, und als \(\nu_p(a)\) bezeichnet. Wenn \(p \nmid a\) oder \(a \in R^\times\), setzen wir \(\nu_p(a) = 0\). Beweis. Sei \(a = u \displaystyle \prod_{i=1}^r p_i ^{n_i}\) eine PFZ von \(a\) und sei \(p\) ein Primteiler von \(a\). Dann gilt \(p \cong p_i\) für geeignetes \(i\), somit \(p^{n_i}\ |\ a\) und \(p^{n_i + 1} \nmid a\). Insbesondere gilt \(p^n\ |\ a \Leftrightarrow n \leqslant n_i\).
  • Für alles \(a \notin R^\times\) ist daher \(\displaystyle \prod_{p\ :\ \mathbf{P}(a)} p^{\nu_p(a)}\) die PFZ von \(a\) (bis auf RuA), wobei \(\mathbf{P}(a)\) die Menge aller Primeteiler von \(a\) ist.

14.7 Übung 1

  • Sei \(R\) ein PFZ-Ring und sei \(p : R\) ein Primelement.

  • Zeigen Sie die folgende Eigenschaften:

    1. \(\forall\ a, b : R \setminus \{0_R\},\ \nu_p(ab) = \nu_p(a) + \nu_p(b)\) .
    2. \(\forall\ a, b \notin R \setminus \{0_R\},\ \nu_p(a + b) \geqslant \min(\nu_p(a), \nu_p(b))\) .
    3. \(\forall\ c : R \setminus \{0_R\},\ c\ |\ a \Leftrightarrow \mathbf{P}(c) \subseteq \mathbf{P}(a) \wedge \forall\ p : \mathbf{P}(c),\ \nu_p(c) \leqslant \nu_p(a)\) .

14.8 Irreduzibiltät in einem PFZ-Ring

  • Der Vergleichssatz zwischen PFZ und IZ hat auch die folgende Konsequenz.

    Satz. Sei \(R\) ein PFZ-Ring. Dann ist jedes irreduzible Element \(a\) von \(R\) ein Primelement. Insbesondere ist jedes von ein irreduzibles Element erzeugte Ideal eines PFZ-Rings \(R\) ein Primideal: \[ (R\ \text{PFZ-Ring}) \wedge (a\ \text{irreduzibel in}\ R) \Rightarrow Ra\ \text{Primideal}~.\]

    Beweis. Sei \(p\) ein Primteiler von \(a\) (der existiert, weil \(a\) nicht invertierbar ist, daher ein PFZ besitzt). Dann existiert \(b\) mit \(a = pb\). Da \(a\) irreduzibel ist und \(p\) nicht invertierbar ist, muss \(b\) invertierbar sein. Das heißt, \(a \cong p\), somit \(a\) ein Primelement ist.

  • Wir haben bereits gesehen, dass in einem Ring mit ggT die gleiche Eigenschaft auch gilt, nämlich (\(R\) Ring mit ggT) \(\wedge\) (\(a\) irreduzibel in \(R\)) \(\Rightarrow\) \(a\) Primelement in \(R\). Tatsächlich sind PFZ-Ringe Ringe mit ggT.

14.9 PFZ-Ringe sind Ringe mit ggT

PFZ-Ringe bieten einen konkreten Ansatz zur Existenz eines ggTs.

Satz. Sei \(R\) ein PFZ-Ring und seien \(a, b : R\). Dann gelten die folgende Eigenschaften:

  1. Wenn \(a = 0_R \vee a \in R^\times\), ist \(b\) ein ggT von \(a\) und \(b\).
  2. Wenn \(b = 0_R \vee b \in R^\times\), ist \(a\) ein ggT von \(a\) und \(b\).
  3. Wenn \(a, b \not= 0_R \wedge a, b \notin R^\times\), seien \(\prod_{p : \mathbf{P}(a)} p^{\nu_p(a)}\) und \(\prod_{p : \mathbf{P}(b)} p^{\nu_p(b)}\) die PFZ bis auf RuA von \(a\) und \(b\), und sei \(\mathbf{P}(a) \wedge \mathbf{P}(b)\) die Menge aller gemeinsamten Primteiler von \(a\) und \(b\). Dann ist das folgende Element ein ggT von \(a\) und \(b\) in \(R\): \[d := \prod_{p\ :\ \mathbf{P}(a) \wedge \mathbf{P}(b)} p^{\min(\nu_p(a), \nu_p(b))}~.\]

Den Beweis lasse ich als Übung stehen 🙃 . Hinweis. Siehe Übung 1.(iii)

14.10 Beispiele für Ringe, die keine PFZ-Ringe sind

  • Insbesondere ist ein Ring, der kein Ring mit ggT ist, kein PFZ-Ring.
  • Wir haben ein Beispiel bereits gesehen, nämlich der folgende Unterring von \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}) [X]\). \[R := \{ P \in \mathbb{Q}(\sqrt{2}) [X]\ |\ P(0) \in \mathbb{Q} \}\]
  • In diesem Ring ist das irreduzibel Element \(X\) kein Primelement (weil \(X\) ein Teiler vom Produkt \(2X^2 = (\sqrt{2}X)(\sqrt{2}X)\) aber kein Teiler von \(\sqrt{2}X\) in \(R\) ist). Da \(X\) der eindeutige nicht-invertierbare Teiler von \(2X^2\) in \(R\)ist, folgt daraus, dass das Element \(2X^2\), das nicht invertierbar ist, keine PFZ in \(R\) hat.
  • Außerdem können wir bermerken, dass das Element \(2 X^2 = (2X) X = (\sqrt{2}X)(\sqrt{2}X)\) zwei IZ hat, die nicht bis auf RuA die gleiche sind. Diese Bemerkung ist die Grundlage für eine alternative Definition von PFZ-Ringen.

14.11 eIZ-Ringe

  • Sei \(R\) ein Integritätsring und sei \(a : R \setminus \{0_R\}\). Eine Produktdarstellung \[a = u \displaystyle \prod_{i=1}^r p_i ^{n_i}\ ,\] mit \(u \in R^\times\), \(r \geqslant 1\) und \(n_1,\ \ldots\ , n_r \geqslant 0\) natürliche Zahlen, und \(p_1,\ \ldots\ , p_r\) paarweise nicht assoziierte irreduzible Elemente in \(R\), heißt eine Irreduzibelzerlegung (oder IZ) von \(a\).
  • Wir werden jetzt zeigen, dass PFZ-Ringe genau die Ringe sind, in denen Irreduzibelzerlegungen existieren und wesentlich eindeutig sind. Das heißt, wenn \(a \notin R^\times\) ist, und die folgende Irreduzibelzerlegungen besitzt, \(a = u \displaystyle \prod_{i=1}^r p_i ^{n_i}\) und \(a = v \displaystyle \prod_{i=1}^s q_j ^{m_j},\) dann ist \(s = r\) und existiert eine Permutation \(\sigma\) von \(\{1,\ \ldots\ ,r\}\) mit \[\forall\ i \in \{1,\ \ldots\ ,r \},\ q_i \cong p_{\sigma(i)} \wedge m_i = n_{\sigma(i)}~.\]

14.12 eIZ-Ringe sind PFZ-Ringe und umgekehrt

  • eIZ steht für „eindeutige Irreduzibelzerlegung“.

    Definition. Ein (kommutativer, unitärer) Ring \(R\) wird ein eIZ-Ring genannt, wenn die folgende Eigenschaften gelten:

    1. \(R\) ist ein Integritätsring.
    2. \(\forall\ a : R \setminus \{0_R\}\), gilt \((a \in R^\times) \vee (a\ \text{hat eine eIZ})\).

  • Da Primelemente eines Integritätsrings irreduzibel sind, ist ein PFZ-Ring unbedingt ein eIZ-Ring.

  • Für die Umkehrung reicht es zu zeigen, dass, in einem eIZ, jedes irreduzible Element ein Primelement ist. Aber wenn \(p\) irreduzibel ist und \(p\ |\ ab\) ist, muss, per Eindeutigkeit der IZ, \(p\) ein irreduzibel Faktor entweder von \(a\) oder von \(b\) sein. Das heißt, \(p\ |\ a \vee p\ |\ b\).

14.13 Beispiele für PFZ-Ringe

  • PFZ-Ringe sind wichtig, weil jedes irreduzible Element eines solchen Rings ein Primideal erzeugt (in Bézout-Ringe erzeugen irreduzible Elemente maximale Ideale). Das ist besonders nützlich für Polynomringe.
  • Alle Mathematiker.innen sind sich einig, dass, für alle \(n : \mathbb{N}_{> 0}\) die Ringe \(\mathbb{Z}[X_1,\ \ldots\ , X_n]\) und \(\mathbb{Q}[X_1,\ \ldots\ , X_n]\) PFZ-Ringe sind. Wie dies bewiesen werden kann, hängt von der Wahl einer Logik ab.
  • Insbesondere sind die Ringe \(\mathbb{Z}[X]\) und \(\mathbb{Q}[X,Y]\) PFZ-Ringe.

14.14 Der Standpunkt der klassischen Logik

  • Aus Sicht der klassischen Logik (das heißt, wenn man Axiomen verwendet), gilt das folgende Ergebnis.

    Satz. In einer Logik wobei der SAD gilt, ist ein Integritätsring \(R\) genau dann ein eIZ-Ring (oder PFZ-Ring), wenn die folgende Eigenschaften geten:

    1. \(R\) erfüllt die aufsteigende Kettenbedingung für Hauptideale (aKH).
    2. Jedes irreduzible Element \(p : R\) ist ein Primelement.

  • Tatsächlich entspricht die erste Bedingung genau der Existenz einer IZ, während die zweite Bedingung äquivalent zu der Eindeutigkeit dieser Zerlegung ist.

  • Einen Beweis für diesen Satz finden Sie im Skript vom WS 2024/25 (siehe Satz 5.36 vom 29.11.2024).

14.15 Beispiele für eIZ-Ringe

  • In der klassischen Logik werden PFZ-Ringe auch faktorielle Ringe gennant.

    Satz. Jeder Hauptidealring ist ein faktorieller Ring. Inbesondere ist, für jeden Körper \(\mathbf{K}\), der Ring \(\mathbf{K}[X]\) ein faktorieller Ring.

    Beweis. Da in einem HIR jedes irreduzible Element ein Primelement ist, reicht es zu zeigen, dass ein HIR die aKH erfüllt. Sei \(R a_0 \subseteq\ \ldots\ \subseteq R a_n \subseteq\ \ldots\) eine solche Kette und sei \(J := \displaystyle \bigcup_{n\ :\ \mathbb{N}_{\geqslant 0}} R a_n\). Dann ist \(J\) ein Ideal von \(R\) und, da \(R\) ein HIR ist, ist, dank der klassischen Logik, das Ideal \(J\) ein Hauptideal: \(\exists\ a : R,\ J = R a\). Daher existiert ein \(n : \mathbb{N}_{\geqslant 0}\) mit \(a \in R a_n~,\) somit \(R a \subseteq R a_n \subseteq Ra\) und \(\forall\ k \geqslant n,\ R a_k = R a_n\).

  • Zum Beispiel ist \(\mathbf{K}[X]\) ein faktorieller Ring, da dieser Ring ein euklidischer Ring ist (somit ein HIR, dank der klassischen Logik). Euklid hat fast immer Recht in der klassischen Logik!