12  Primalität

Ein Porträt von Carl Friedrich Gauß (1777-1855).

Carl Friedrich Gauß (1777-1855) war ein deutscher Mathematiker, Statistiker, Astronom, Geodät, Elektrotechniker und Physiker. Wegen seiner überragenden wissenschaftlichen Leistungen galt er bereits zu seinen Lebzeiten als Princeps mathematicorum (Fürst der Mathematiker).

12.1 Primideale

  • Sei \(R\) ein (kommutativer, unitärer) Ring.

    Definition. Ein Ideal \(\mathfrak{p}\) von \(R\) heißt ein Primideal, wenn der Ring \(R / \mathfrak{p}\) ein Integritätsring ist.

  • Nach der Charakterisierung eines Integritäsrings, ist ein Ideal \(\mathfrak{p}\) von \(R\) genau dann ein Primideal, wenn die folgende Eigenschaften erfüllt sind:

    1. \(1_R \notin \mathfrak{p}\) (das heißt, \(\mathfrak{p} \not= R\)).
    2. \(\forall\ a, b : R,\ ab \in \mathfrak{p} \wedge a \notin \mathfrak{p} \Rightarrow b \in \mathfrak{p}\) .

12.2 Weitere Charakterisierung von Primidealen

  • Wenn das Prädikat \(P(a) := a \in \mathfrak{p}\) außerdem entscheidbar ist (das heißt, wenn \(a \in \mathfrak{p} \vee a \not\in \mathfrak{p}\) gilt), dann ist \(R /\mathfrak{p}\) ein Integritätsring mit entscheidbarer Gleichheit.

  • In diesem Fall ist die obige Bedingung (ii) äquivalent zu der Eigenschaft: \[\forall\ a, b : R,\ ab \in \mathfrak{p} \Rightarrow a \in \mathfrak{p} \vee b \in \mathfrak{p}~.\]

    Der Beweis ist zum Beweis der Charakterisierung der Integrität in Ringen mit entscheidbarer Gleichheit ähnlich.

  • Beachten Sie, dass ein Hauptideal \(I = Rb\) genau dann ein entscheidbares Prädikat \(a \in Rb\) induziert, wenn \(\forall\ c : R,\ (b\ |\ c) \vee (b\ \nmid c)\) gilt (Übung). Wenn diese Eigenschaft für alles \(b\) gilt, sagt man, dass die Teilbarkeitsrelation von \(R\) entscheidbar ist.

  • Wenn man den SAD annimmt, dann sind alle Prädikaten und alle Relationen entscheidbar.

12.3 Maximale Ideale

  • Sei \(R\) ein (kommutativer, unitärer) Ring.

    Definition. Ein Ideal \(\mathfrak{m}\) von \(R\) heißt ein maximales Ideal, wenn der Ring \(R / \mathfrak{m}\) ein Körper ist. Daher ist ein maximales Ideal insbesondere ein Primideal.

  • Nach der Charakterisierung eines Körpers, ist ein Ideal \(\mathfrak{m}\) von \(R\) genau dann ein maximales Ideal, wenn die folgende Eigenschaften erfüllt sind:

    1. \(1_R \not\in \mathfrak{m}\).
    2. \(\forall\ a : R,\ a \notin \mathfrak{m} \Rightarrow \exists\ b, c : R,\ (c \in \mathfrak{m}) \wedge (ab + c = 1_R)\) .

  • Die Bedingung (ii) bedeutet genau Folgendes: Wenn \(a\) nicht zu \(\mathfrak{m}\) gehört, dann ist \([a]\) invertierbar in \(R / \mathfrak{m}\) (sagt man auch invertierbar modulo \(\mathfrak{m}\)).

12.4 Übung 1

  • Sei \(R\) ein (kommutativer, unitärer) Ring und sei \(\mathfrak{m} \subseteq R\) ein Ideal.

  • Zeigen Sie, dass \(\mathfrak{m}\) genau dann ein maximales Ideal von \(R\) ist, wenn die folgende Eigenschaften gelten:

    1. \(\mathfrak{m} \not= R\).
    2. Für alles Ideal \(I\) von \(R\), gilt \((\mathfrak{m} \subseteq I) \wedge (I \not= \mathfrak{m}) \Rightarrow I =R\) .

    Hinweis. Um die Folgerung „\(\Rightarrow\)“ zu beweisen, erinnern Sie sich daran, dass \((\mathfrak{m} \subseteq I) \wedge (I \not= \mathfrak{m})\) Folgendes bedeutet, \(\exists\ a : R,\ (a\in I) \wedge (a \notin \mathfrak{m})\), und betrachten Sie das Ideal \(\mathfrak{m} + Ra\). Um die Folgerung „\(\Leftarrow\)“ zu beweisen, nehmen Sie \(a \notin \mathfrak{m}\) und betrachten Sie wieder das Ideal \(\mathfrak{m} + Ra\).

12.5 Eine Bemerkung zu maximaler Idealen

  • Wenn das Prädikat \(P(a) := a \in \mathfrak{m}\) außerdem entscheidbar ist, dann ist \(R /\mathfrak{m}\) ein Körper mit entscheidbarer Gleichheit.

  • In diesem Fall ist jedes maximale Ideal \(\mathfrak{m}\) ein maximales Element unter den echten Idealen von \(R\), wobei ein Ideal \(I\) von \(R\) echt heißt, wenn die Bedingung \(\neg(I = R)\), oder in äquivalenter Weise \(1 \notin I\), erfüllt ist. \[\forall\ \text{Ideal}\ I,\ \big( \mathfrak{m} \subseteq I \wedge \neg(I = R) \big) \Rightarrow I = \mathfrak{m}~.\]

    Beweis. Nehmen wir an, dass \(I\) ein Ideal von \(R\) ist, das die Bedingung \[(\mathfrak{m} \subseteq I) \wedge \neg(I = R) \Rightarrow I\]

    erfüllt. Da \(\mathfrak{m} \subseteq I\) gilt, reicht es zu zeigen, um \(I = \mathfrak{m}\) zu beweisen, dass \(I \subseteq \mathfrak{m}\) ist. Sei dann \(a \in I\). Wir möchten zeigen, dass \(a \in \mathfrak{m}\). Da \(a \in \mathfrak{m}\) entscheidbar ist, können wir durch Fallunterscheidung argumentieren.

12.6 Ende des Beweises und eine weitere Bemerkung

  • Gilt \(a \in \mathfrak{m} \vee a \notin \mathfrak{m}\).

    • Falls \(a \in \mathfrak{m}\) ist, dann gilt \(a \in \mathfrak{m}\).
    • Falls \(a \notin \mathfrak{m}\) ist, betrachten wir das Ideal \(J := \mathfrak{m} + Ra\). Da \(a \notin \mathfrak{m}\) ist, gilt \(\mathfrak{m} \subseteq J \not= \mathfrak{m}\). Da \(\mathfrak{m}\) ein maximales ideal ist, muss dann, nach der Übung 1, \(J = R\) gelten. Das heißt, es gilt \(\mathfrak{m} + Ra =R\). Aus \(\mathfrak{m} + Ra \subseteq I\) folgt dann \(I =R\), was die Annahme \(\neg(I = R)\) widerspricht. Aus einer Anwendung von ex falso folgt auch \(a \in \mathfrak{m}\).

  • Dies beendent den Beweis.

    Bemerkung. Falls das Prädikat \(P_I(a) := a \in I\) für alles Ideal \(I\) von \(R\) entscheidbar ist, gilt auch die umgekehrte Folgerung: \[\Big( \big( \mathfrak{m} \not= R \big) \wedge \big( \forall\ \text{Ideal}\ I,\ \big( \mathfrak{m} \subseteq I \wedge (1 \notin I) \big) \Rightarrow I = \mathfrak{m} \big) \Big) \Rightarrow \mathfrak{m}\ \text{maximales Ideal}~.\]

12.7 Übung 2

  • Sei \(R\) ein Ring, in dem, für alles Ideal \(I\), das Prädikat \(P_I(a) := a \in I\) entscheidbar ist (wir werden Beispiele für solche Ringe sehen, nämlich Euklidische Ringe).
  • Zeigen Sie, dass \(\mathfrak{m}\) genau dann ein maximales Ideal von \(R\) ist, wenn die folgende Eigenschaft gilt: \[\big( \mathfrak{m} \not= R \big) \wedge \big(\forall\ \text{Ideal}\ I,\ \mathfrak{m} \subseteq I \Rightarrow I =\mathfrak{m} \vee I =R \big)~.\]

12.8 Primalität und Primideale

  • Sei \(R\) ein Integritätsring und sei \(p\) ein extremales Element. Da das Ideal \(Rp\) ein maximales Element ist, ist dieses Ideal \(Rp\) auch ein Primideal.

  • Dies bedeutet, dass das Element \(p\), das nicht Null und nicht invertierbar ist, auch die folgende Eigenschaft erfüllt: \[\forall\ a, b : R,\ (ab \in Rp) \wedge (a \notin Rp) \Rightarrow b \in Rp~.\]

    Das heißt, \(p\ |\ ab \wedge p\ |\ a \Rightarrow p\ |\ b\). Tatsächlich gilt sogar die folgende stärker Eigenschaft.

    Satz. Sei \(R\) ein Integritätsring und sei \(p : R\) ein extremales Element. Dann erfüllt \(p\) die folgende Eigenschaft. \[\forall\ a, b : R,\ p\ |\ ab \Rightarrow p\ |\ a \vee p\ |\ b~.\]

12.9 Extremale Elemente sind Primelemente (Beweis)

  • Geben wir den Beweis für den vorherigen Satz.

  • Seien \(a, b : R\), sodass \(p\ |\ ab\). Da \(p\) extremal in \(R\) ist, gilt \((p\ |\ a) \vee (a \in (R/Rp)^\times)\).

    • Wenn \(p\ |\ a\), dann \(p\ |\ a\) 🥳.

    • Wenn \(a\) invertierbar modulo \(p\) ist, existieren \(s, t : R\), mit \(sa + tp = 1_R\). Da per Annahme \(p\ |\ ab\), existiert auch ein \(c : R\), mit \(ab = pc\). Dann gilt \[s(pc) = s(ab) = (sa) b = (1_R - tp) b = b - tpb~.\]

      somit \(b = p(tb + sc)\) und \(p\ |\ b\).

    Dies beendet den Beweis.

12.10 Primelemente

  • Die formale Definition eines Primelements in einem Integritätsring \(R\) ist die folgende.

    Defintion. Sei \(R\) ein Integritätsring. Ein Element \(p : R\) wird ein Primelement genannt, wenn die folgende Eigenschaften gelten.

    1. \((p \not= 0_R) \wedge (p \notin R^\times)\) .
    2. \(\forall\ a, b : R,\ p\ |\ ab \Rightarrow p\ |\ a \vee p\ |\ b\) .

  • Bemerkungen:

    1. Ein Primelement \(p :R\) erzeugt ein Primideal \(Rp\) (Übung). Wenn das Prädikat \(P(a) := p\ |\ a\) entscheidbar ist, dann gilt die umgekehrte Folgerung.
    2. Jedes extremale Element ist ein Primelement.
    3. Unten werden wir beweisen, dass ein Primelement irreduzibel ist.

12.11 Primelemente sind irreduzibel

  • Die folgende Bemerkung ist wesentlich.

    Satz. Sei \(R\) ein Integritätsring und sei \(p : R\) ein Primelement. Dann ist \(p\) irreduzibel.

    Beweis. Es geht um zeigen, dass \(p\) nicht Null und nicht invertierbar ist, und dass die folgende Eigenschaft gilt: \[\forall\ a, b : R \setminus \{0_R\},\ p = ab \Rightarrow (a \in R^\times) \vee (b \in R^\times)~.\]

    Da \(p\) ein Primelement ist, ist \(p\) insbesondere nicht Null und nicht invertierbar. Seien dann \(a, b : R\), mit \(p = ab\). Dann gilt \(p\ |\ ab\) und, da \(p\) ein Primelement ist, gilt auch \(p\ |\ a \vee p\ |\ b\).

    • Wenn \(p\ |\ a\), dann existiert \(c : R\), mit \(a = pc\). Daher gilt \(p = ab = pcb\), somit, da \(R\) ein Integritätsring ist, \(1_R =cb\). Das heißt, \(b \in R^\times\).
    • In analoger Weise, wenn \(p\ |\ b\), dann muss \(a \in R^\times\).

12.12 Zusammenfassung über Primalität

  • Wenn R ein Integritätsring ist: \[\text{extremal}\ \Rightarrow\ \text{Primelement}\ \Rightarrow\ \text{irreduzibel}~.\]
  • Wenn \(R\) ein Bézout-Ring ist: \[\text{irreduzibel}\ \Rightarrow\ \text{extremal}~.\] Daher sind in einem Bézout-Ring die drei Notionen paarweise äquivalent.
  • Jetzt werden wir zeigen, dass, wenn, \(R\) ein Ring mit ggT ist, die folgende Eigenschaft gilt: \[\text{irreduzibel}\ \Rightarrow\ \text{Primelement}~.\] Daher gilt in einem Ring mit ggT die äquivalenz zwischen ein Primelement zu sein und irreduzibel zu sein.

12.13 Irreduzibilität in einem Ring mit ggT

  • In einem Ring mit ggT \(R\), ist ein irreduzibel Element \(p: R\) nicht unbedingt extremal, aber doch ein Primelement. Das heißt, das Ideal \(Rp\) ist nicht unbedingt ein maximales Ideal, aber doch ein Primideal. Zum Beispiel, in \(\mathbb{Q}[X,Y]\), ist das Element \(X\) ein Primelement (da \(\mathbb{Q}[X,Y] /\left< X \right> \simeq \mathbb{Q}[Y]\) ein Integritätsring ist ) aber kein extremales Element (da \(\mathbb{Q}[Y]\) kein Körper ist). Wir werden später sehen, dass \(\mathbb{Q}[X,Y]\) ein Ring mit ggT ist.

  • Der wichtige Satz läuft wie folgt.

    Satz. Sei \(R\) ein Ring mit ggT und sei \(p : R\) ein irreduzibel Element. Dann ist \(p\) ein Primelement. Insbesondere ist das Ideal \(Rp\) ein Primideal.

    Bemerkung Primzahlen in \(\mathbb{Z}\) sind als irreduzible Elemente definiert (\(p \notin \{0, +1, -1\}\) und \(p = ab \Rightarrow a \in \mathbb{Z}^\times \vee b \in \mathbb{Z}^\times\). Aber sie sind tatsächlich Primelemente (\(p\ |\ ab \Rightarrow p\ |\ a \vee p\ |\ b\)). Obwhohl es Variationen gibt, ist das manchmal als das Lemma von Euklid bekannt.

12.14 Irreduzibilität in einem Ring mit ggT (Beweis)

  • Da ein irreduzibel Element nicht Null und nicht invertierbar ist, reicht es die folgende Eigenschaft zu zeigen: \[\forall\ a, b : R,\ p\ |\ ab \Rightarrow p\ |\ a \vee p\ |\ b~.\]

  • Seien \(a, b : R\) und nehmen wir an, dass \(p\ |\ ab\) gilt. Die Idee ist, die Symmetrie des Problems zu brechen und einen ggT von \(p\) und \(a\) einzuführen. Nennen wir ihn \(d \cong \text{ggT}(p, a)\). Es gilt insbesondere \(d\ |\ p\). Das heißt, \(p = cd\) für geeignetes \(c : R\).

  • Da per Annahme \(p\) irreduzibel ist, gilt \(c \in R^\times \vee d \in R^\times\) .

    • Falls \(c\) invertierbar ist, dann ist \(p\) assoziiert zu \(d\) und gilt \(p\ |\ a\).
    • Falls \(d\) invertierbar ist, dann sind \(p\) und \(a\) teilerfremd: \(\text{ggT}(p, a) \cong 1_R\). Es verbleibt zu zeigen, dass in diesem Fall \(p\ |\ b\) gilt.

12.15 Ein Lemma von Gauß

  • Genauer gesagt, verbleibt es genau den folgenden Satz zu beweisen.

    Satz. (Gauß) Sei \(R\) ein Ring mit ggT und sei \(p\) ein irreduzibel Element. Dann gilt: \[\forall\ a, b : R,\ (p\ |\ ab) \wedge \big( \text{ggT}(p, a) \cong 1_R \big) \Rightarrow p\ |\ b~.\]

    Beweis. Die Idee ist, Folgendes zu zeigen: \[\text{ggT}(p, a) \cong 1_R \Rightarrow \text{ggT}(p, ab) \cong \text{ggT}(p, b)~.\]

    Das reicht, weil \(p\ |\ b \Leftrightarrow p\ |\ \text{ggT}(p, b)\) gilt, und, da per Annahme \(p\ |\ ab\) gilt, auch Folgendes gilt: \(p\ |\ \text{ggT}(p, ab)\). Wenn wir \(\text{ggT}(p, ab) \cong \text{ggT}(p, b)\) bewiesen haben, dann gilt auch \(p\ |\ \text{ggT}(p, b)\), somit \(p\ |\ b\).

12.16 Fortführung des Beweises des Lemmas von Gauß

  • Sei \(e \cong \text{ggT}(p, b)\). Da \(e\ |\ p\) und \(e\ |\ b\) gelten, muss auch \(e\ |\ ab\) somit \(e\ |\ \text{ggT}(p, ab)\) gelten. Das heißt, \(\text{ggT}(p, b)\ |\ \text{ggT}(p, ab)\).

    Bemerkung. Beachten Sie, dass dies auch ohne die Annahme gilt, dass \(p\) irreduzibel ist.

  • Sei \(f \cong \text{ggT}(p, ab)\). Wir haben bereits bewiesen, dass \(e\ |\ f\) gilt, und wir möchten jetzt zeigen, dass \(f\ |\ e\) gilt.

  • Da \(f\ |\ p\) und \(f\ |\ ab\) gelten, müssen auch \(f\ |\ pb\) somit \(f\ |\ \text{ggT}(pb, ab)\) gelten.

  • Wir besagen nun, dass \(\text{ggT}(pb, ab) \cong b\ \text{ggT}(p, a)\) ist (siehe unten für den Beweis).

  • Da per Annahme, \(\text{ggT}(p, a) \cong 1_R\) ist, würden wir dann erhalten, dass \(\text{ggT}(pa, pb) \cong b\) somit \(f\ |\ b\) gelten. Das heißt, es gilt \(\text{ggT}(p, ab)\ |\ b\) somit \(\text{ggT}(p, ab)\ |\ \text{ggT}(p, b)\) und dies ist genau \(f\ |\ e\).

12.17 Ende des Beweises des Lemmas von Gauß

  • Wir müssen noch zeigen, dass \(\text{ggT}(bp, ba) \cong b\ \text{ggT}(p, a)\). Dies wird für alle \(p, a, b : R\) gelten. Da \(d \cong \text{ggT}(p,a)\) ein Teiler von \(p\) und \(a\) ist, ist \(bd\) ein Teiler von \(bp\) und \(ba\). Das heißt, \(b\ \text{ggT}(p,a)\) ist ein Teiler von \(\text{ggT}(bp, ba)\).
  • Es wäre naheliegend, hier zu beweisen, dass \(\text{ggT}(bp, ba)\) ein Teiler von \(b\ \text{ggT}(p, a)\) ist. Da wir bereits wissen, dass \(b\ \text{ggT}(p,a)\) ein Teiler von \(\text{ggT}(pb, ab)\) gilt, gibt es aber einen anderen Ansatz, und zwar, \(\text{ggT}(bp, ba) \cong x(b\ \text{ggT}(p, a))\) für geeignetes \(x : R\) zu schreiben und zu beweisen, dass \(x\) invertierbar ist.
  • Um zu zeigen, dass \(x\) invertierbar ist, reicht es zu beweisen, dass \(x\ \text{ggT}(p, a)\) ein Teiler von \(\text{ggT}(p, a)\) ist, weil, wenn \(d = g(xd)\) gilt, und \(R\) ein Integritätsring ist, muss \(1_R = gx\) auch gelten.

12.18 Ende des Endes des Beweises

  • Um zu zeigen, dass \(x\ \text{ggT}(p, a)\) ein Teiler von \(\text{ggT}(p, a)\) ist, reicht es zu beweisen, dass \(x\ \text{ggT}(p,a)\) ein Teiler von \(p\) und von \(a\) ist.
  • Wir haben aber bereits bewiesen, dass \(bx\ \text{ggT}(p,a) \cong \text{ggT}(bp, ba)\) gilt. Das heißt, \(bx \times \text{ggT}(p,a)\) teilt \(bp\) und \(ba\). Da \(R\) ein Integritätsring ist, muss dann \(x \times \text{ggT}(p, a)\) beide \(p\) und \(a\) teilen.
  • Dies beendet den Beweis.

12.19 Übung 4

  • Sei \(R\) ein Ring mit ggT und seien \(a, b, c : R\).

  • Zeigen Sie, dass die folgende Eigenschaften gelten:

    1. \(\text{ggT} \big( \text{ggT}(a,b),c \big) \cong \text{ggT} \big( a, \text{ggT}(b,c) \big)\) .
    2. \(\text{ggT}(a, bc) \cong \text{ggT} \big( a, \text{ggT}(a,b) c \big)\) .

12.20 Beispiele für Integritätsringe, die keine Ringe mit ggT sind

  • Wir haben gerade bewiesen, dass in einem Ring mit ggT, jedes irreduzibel Element ein Primelement ist. Daher, wenn ein Integritätsring \(R\) ein irreduzibel Element \(a\) besitzt, das kein Primelement ist, ist \(R\) kein Ring mit ggT.
  • Wie wir in den nächten Vorlesungen sehen werden, hat die Existenz ein solches Element \(a\), mit der Faktorisierung eines beliebigen Elements \(x\) von \(R\) zu tun, nämlich ob einer solchen Faktorisierung (existiert und) eindeutig ist. Wir können jedoch ein einfaches Beispiel geben, für einen Ring, der ein irreduzibel Element besitzt, der kein Primelement ist.

12.21 Ein konkretes Beispiel für ein Integritätsring, der kein Ring mit ggT ist

  • Sei \(R := \{ P \in \mathbb{Q}(\sqrt{2}) [X]\ |\ P(0) \in \mathbb{Q} \}\) der Unterring vom \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}) [X]\), bestehend aus denjenigen Polynomen \(P \in \mathbb{Q}(\sqrt{2}) [X]\), sodass \(P(0) \in \mathbb{Q}\) gilt.
  • Dieser Ring ist ein Integritätsring und das Element \(X\) ist irreduzibel in \(R\) (weil \(\deg X = 1\) ist und \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) ein Körper ist).
  • Aber \(X\) ist kein Primelement in \(R\): \(X\) teilt \(2 X^2 = (\sqrt{2}X)(\sqrt{2}X)\) in \(R\), aber \(X\) ist kein Teiler von \(\sqrt{2}X\) in \(R\), weil das konstante Polynom \(\sqrt{2}\) nicht zu \(R\) gehört.
  • Beachten Sie, dass das Element \(2X^2\) von \(R\) zwei sogenannte Irreduzibelfaktorzerlegungen in \(R\) hat. Nämlich, \(2X^2 = (2X) X\) in \(R\) und \(2X^2 = (\sqrt{2} X)(\sqrt{2} X)\) in \(R\), mit \(2X, X\) und \(\sqrt{2}X\) irreduzible in \(R\).
  • Wir werden in den nächsten Vorlesungen näher darauf eingehen.