13 Euklidische Ringe und Hauptidealringe

Ein Porträt von Ernst Kummer (1810-1893).

Ernst Kummer (1810-1893) war ein deutscher Mathematiker und Hochschullehrer, der sich vor allem mit Zahlentheorie, Analysis und Geometrie befasste. Er führte ideale Zahlen ein, um mit diesen verallgemeinerten Zahlbegriffen die eindeutige Primfaktorzerlegung in Kreisteilungskörpern zu gewährleisten.

13.1 Was sind die Beispiele für Bézout-Ringe?

Erinnern wir uns, dass ein Bézout-Ring ein Integritätsring \(R\) ist, in dem jedes endlich erzeugte Ideal ein Hauptideal ist. Das ist äquivalent zu der Existenz, für jeden \(a, b : R\), eines Elements \(d : R\), sodass \(Ra + R b = R d\).
Da ein solches \(d\) als eine lineare Kombination \(sa + tb\) aufgeschrieben werden kann, ist jeder Erzeugter von \(Ra + Rb\) ein ggT von \(a\) und \(b\).
Das heißt, die Bedingung über Idealen, für ein Integritätsring \(R\) ein Bézout-Ring zu sein, kann man auch wie folgt formulieren: \(\forall\ a, b :R\) enthält das Ideal \(Ra + Rb\) einen ggT von \(a\) und \(b\).
Als Beispiel für einen Bézout-Ring, haben wir derzeit nur den Ring \(\mathbb{Z}\). Beachten Sie, dass, in \(\mathbb{Z}\) gilt: Wenn \(d \cong \text{ggT}(a,b)\) ist, dann ist auch \(-d \cong \text{ggT}(a,b)\). Dies spiegelt die Tatsache wider, dass \(\mathbb{Z}^{\times} = \{+1, -1\}\). Jetzt möchten wir weitere Beispiele geben.

13.2 Euklidische Normfunktionen

Um euklidische Ringe zu definieren, brauchen wir die folgende Notion.

Definition. Sei \(R\) ein Integritätsring. Eine euklidische Normfunktion (oder Gradfunktion) auf \(R\) ist eine Abbildung \(N : R \setminus \{0_R\} \to \mathbb{N}_{\geqslant 0}\), die die folgende Eigenschaft erfüllt: \[\forall\ a, b : R \setminus \{0_R\},\ \big( b\ |\ a \big) \vee \big( \exists\ r : R \setminus \{0_R\}, b\ |\ (a - r) \wedge N(r) < N(b) \big)~.\]
Gegeben eine Funktion \(N\), bedeutet die obige Bedingung, dass der Ring \(R\) eine Division mit Rest bezüglich \(N\) besitzt: Für alle \(a, b : R \setminus \{0_R\}\), gilt entweder \(\exists\ q : R\) mit \(a = bq\), oder \(\exists\ q, r : R\) mit \(r \not= 0_R\), \(a =bq + r\) und \(N(r) < N(b)\). ⚠️ Hier gibt es keine Eindeutigkeitsbedingung auf \(q\) und \(r\), und in Beispiele werden wir sehen, dass es im Allegemeinen keine Eindeutigkeitseigenschaft gibt.

13.3 Beispiele für euklidische Normfunktionen

Wir kennen schon die folgende Beispiele für eine Division mit Rest.
1. Die Betragsfunktion \(n \mapsto |n|\) ist eine euklidische Normfunktion auf \(\mathbb{Z}\). Da \(7 = 3 \times \textcolor{blue}{2} + \textcolor{blue}{1}\) mit \(|1| < 3\) und \(7 = 3 \times \textcolor{blue}{3} + \textcolor{blue}{(- 2)}\) mit \(|-2| < 3\), sehen wir explizit, dass es keine Eindeutigkeit gibt. Mann kann jedoch die zusätzliche Bedingung \(0 < r\) auferlegen, um die Eindeutigkeit des Paares \((q, r)\) zu erhalten.
2. Wenn \(\mathbf{K}\) ein Körper mit entscheidbarer Gleichheit ist, ist die Gradfunktion \(\deg : \mathbf{K}[X] \setminus \{0_{\mathbf{K}[X]}\} \to \mathbb{N}_{\geqslant 0}\) eine euklidische Normfunktion (Übung!). In diesem Fall sind die Polynome \((Q,R)\) mit \(A = B Q + R\) und \(\deg R < \deg B\) eindeutig.
Wenn \(R\) ein Körper ist, gilt \(b\ |\ a\) für alles \(b \not= 0_R\). Dann ist jede Abbildung \(N : R \setminus \{0_R\} \to \mathbb{N}_{\geqslant 0}\) (zum Beispiel \(N(b) := 1\) für alles \(b\) in \(R\)) eine euklidische Normfunktion.

13.4 Übung 1

Sei \(\textbf{k}\) ein (kommutativer, unitärer) Ring. Seien \(A, B : \textbf{k}[X]\) Polynome und nehmen wir an, dass eine natürliche Zahl \(n : \mathbb{N}_{\geqslant 0}\) existiert, sodass \(\deg B = n\).
Zeigen Sie die folgende Eigenschaften:
1. Wenn das Leitkoeffizient von \(B\) gleich zu \(1_R\) ist, dann existiert ein eindeutiges Paar \((Q, R) : \textbf{k}[X] \times \textbf{k}[X]\), sodass \(A = BQ + R\) und \(\deg R < n\).
2. Für alles \(x : \textbf{k}\), existiert ein eindeutiges Polynom \(Q\) mit \(A = (X - a) Q + A(x)\).
3. Für alles \(x : \textbf{k}\), gilt genau dann \(A(x) = 0_\textbf{k}\) in \(\textbf{k}\), wenn \((X - x)\ |\ A\) in \(\textbf{k}[X]\).

13.5 Die Gaußschen Zahlen

Die Menge der Gaußschen Zahlen ist die Menge \[\mathbb{Z}[i] := \{ z : \mathbb{C}\ |\ \exists\ a, b : \mathbb{Z},\ z = a + i b \}~.\]
Eine äquivalente Konstruktion, die nicht \(\mathbb{C}\) benutzt, ist die folgende: \[\mathbb{Z}[i] := \mathbb{Z}[X]\ / \left< X^2 + 1 \right>~.\] mit \(i:= [X]\), die Klasse von \(X\) modulo das Ideal \(\left< X^2 + 1 \right>\) .
In beiden Fällen besitzt \(\mathbb{Z}[i]\) eine Ringstruktur, bezüglich der es ein Integritätsring ist.

13.6 Übung 2

Sei \(\mathbb{Q}[i] := \mathbb{Q}[X]\ / \left< X^2 + 1 \right>\) und sei \(i :=[X]\) in diesem Ring.
Zeigen Sie Folgende:
1. Jedes Element in \(\mathbb{Q}[i]\) kann als \(x + i y\) für eindeutigen \(x, y : \mathbb{Q}\) geschrieben werden.
2. \(X^2 + 1\) ist ein Primelement in \(\mathbb{Q}[X]\).
3. \(\mathbb{Q}[i]\) ist ein Körper.
4. \(\mathbb{Z}[i]\) ist ein Unterring von \(\mathbb{Q}[i]\).
5. \(\mathbb{Z}[i]\) ist ein Integritätsring mit Quotientenkörper \(\mathbb{Q}[i]\).
6. \(\mathbb{Z}[i]^\times = \{+1, -1, +i, -i\}\).

13.7 Die Norm einer Gaußschen Zahl

Betrachten wir die folgende Abbildung, die als Gaußscher Norm bezeichnet wird. \[N : \mathbb{Z}[i] \setminus \{0 + i 0\} \to \mathbb{N}_{\geqslant 0},\ a + i b \mapsto a ^ 2 + b ^ 2~.\]
Seien \(u, v : \mathbb{Z}[i]\) mit \(v \not= 0\). Die Idee, um die Existenz von \(q\) und \(r\) in \(\mathbb{Z}[i]\) mit \(u = q v + r\) und \(N(r) < N(v)\) zu zeigen, ist, die komplexe Zahl \(z := \frac{u}{v}\) zu betrachten. Im Fall, der im obigen Bild dargestellet wird, gibt es drei Lösungen.

13.8 Euklidische Ringe

Definition. Ein euklidischer Ring ist ein Integritätsring \(R\) die eine euklidische Normfunktion \(N : R \setminus \{0_R\} \to \mathbb{N}_{\geqslant 0}\) besitzt. Das heißt, ein Integritätsring \(R\), für den existiert eine Abbildung \(N : R \setminus \{0_R\} \to \mathbb{N}_{\geqslant 0}\), die die folgende Eigenschaft erfüllt: \[\forall\ a, b : R \setminus \{0_R\},\ \big( b\ |\ a \big) \vee \big( \exists\ r : R \setminus \{0_R\}, b\ |\ (a - r) \wedge N(r) < N(b) \big)~.\]

⚠️ Eine bestimmte oder bevorzugte Abbildung \(N\) ist nicht Teil der Definition eines euklidischen Rings. Die Definition verlangt lediglich die Existenz einer solchen Funktion (keine zusätzliche Daten, nur die Eigenschaft, dass auf dem gegebenen Ring eine solche Funktion existiert).

Zum Beispiel, für den Ring \(R = \mathbf{K}[X]\) , wobei \(\mathbf{K}\) ein Körper (mit entscheidbarer Gleichheit) ist, können wir auch, für alles \(P \not= 0_{\mathbf{K}[X]}\), \(N(P) := 2 ^ {\deg P}\) als euklidische Normfunktion betrachten. Dann gibt es außerdem die Multiplikativitätseigenschaft \(N(PQ) = N(P) N(Q) > 0\) .

13.9 Aus einem euklidischen Ring, einen Bézout-Ring zu bauen

Wir möchten zeigen, dass jeder euklidische Ring mit entscheidbarer Gleichheit ein Bézout-Ring „ist“.

Satz. Sei \(R\) ein euklidischer Ring mit entscheidbarer Gleichheit. Für alle \(a, b : R\), existiert ein \(d : R\) mit \(Ra + Rb = Rd\). Insbesondere ist jeder euklidische Ring ein Bézout-Ring.
Beachten Sie, dass es nichts zu beweisen gibt, wenn \(a = 0_R \vee b = 0_R\) gilt. Deswegen können wir annehmen, dass \(a \not= 0_R \wedge b \not= 0_R\).
Die Idee für den Beweis ist, eine euklidische Normfunktion \(N : R \setminus \{0_R\} \to \mathbb{N}_{\geqslant 0}\) auf \(R\) festzulegen, und das folgende Ergebnis durch Induktion auf \(n : \mathbb{N}_{\geqslant 0}\) zu zeigen:

\(P(n) := \forall\ a, b : R \setminus\{0_R\},\ \textcolor{blue}{N(b) \leqslant n} \Rightarrow \exists\ d : R \setminus \{0_R\}, Ra + Rb = Rd \wedge \textcolor{blue}{N(d) \leqslant n}~.\)

13.10 Der Beweis, dass ein euklidische Ring ein Bézout-Ring ist

Da \(N\) eine euklidische Normfunktion ist, gilt, \[\forall\ a, b : R \setminus \{0_R\},\ \big( b\ |\ a \big) \vee \big( \exists\ r : R \setminus \{0_R\}, b\ |\ (a - r) \wedge N(r) < N(b) \big)~.\]
Zunächst beweisen wir \(P(0)\). Seien \(a, b : R \setminus \{0_R\}\), mit \(N(b) \leqslant 0\).
- Falls \(b\ |\ a\) gilt, dann ist \(Ra + Rb = Rb\) und können wir \(d := b\) setzen.
- Falls \(\exists\ r : R \setminus \{0_R\}, b\ |\ (a - r) \wedge N(r) < N(b)\), dann gilt, für ein solches \(r\), \(0 \leqslant N(r) < N(b) \leqslant 0\), und folgt daraus einen Widerspruch.
Die Logik, um die Folgerung \(P(0)\) zu zeigen, ist die folgende:

\[\forall\ p, q, r : \text{Prop},\ \big((q \vee r) \wedge (q \to p) \wedge \neg r \big) \to p \]

Der Widerspruch, im Fall wobei \(r\) gilt, kommt aus der Aussage \(r \wedge \neg r\), die \(\text{Falsch}\), somit auch \(p\), impliziert. Wir leiten \(p\) ohne Verwendung der doppelte Negation ab.

13.11 Ende der Induktion

Danach nehmen wir an, dass \(P(n)\) gilt, und beweisen wir \(P(n + 1)\).
Seien \(a, b : R \setminus \{0_R\}\) mit \(N(b) \leqslant n + 1\).
- Falls \(b\ |\ a\) gilt, dann ist \(Ra + Rb = Rb\) und können wir \(d := b\) setzen.
- Falls \(\exists\ r : R \setminus \{0_R\}, b\ |\ (a - r) \wedge N(r) < N(b)\), dann nehmen wir ein solches \(r\), für den gilt insbesondere \(N(r) \leqslant n\). Existiert außerdem \(q : R\) mit \(a = bq + r\). Daher gilt \(\left< a, b \right> = \left< b, r \right>\). Da \(N(r) \leqslant n\) ist, existiert per Induktion ein \(d : R \setminus \{0_R\}\), mit \(\left< b, r \right> = \left< d \right>\) und \(N(d) \leqslant n\). Das heißt, \(\left< a, b \right> = \left< d \right>\) .
Dies beendet die Induktion.

13.12 Der Algorithmus von Euklid

Es ist in der Praxis oft möglich, den Beweis des vorherigen Satz zu verwenden, um einen ggT zweier beliebigen Elementen \(a, b : R \setminus \{0_R\}\) zu berechnen, und ihn als eine lineare Kombination der Gestalt \(sa + tb\), mit \(s, t : R\), zu aussagen.
Wenn die Teilbarkeitsrelation entscheidbar ist, ergibt sich die Intuition für die Existenz eines solchen Algorithmus aus dem Induktionsschritt des vorherigen Beweis, nämlich aus der Tatsache, dass Folgendes gilt: Wenn \(b \nmid a\) ist, dann gilt \(\left< a, b \right> = \left< b, r \right>\), wobei \(r \not= 0_R\) und \(b\ |\ (a - r)\).
- Falls \(r\ |\ b\) ist, dann ist \(r\) auch ein Teiler von \(a -r\), somit von \(a\), und außerdem ist \(r = a - bq\) eine explizite lineare Kombination von \(a\) und \(b\).
- Falls \(r\ \nmid\ b\), wird der Algorithmus ausgeführt: \(b = r q_1 + r_2\), mit \(r_2 \not=0_R\) und \(N(r_2) < N(r)\), und so weiter.

13.13 Division mit Rest

Wenn es tatsächlich wohldefinierte Funktionen \(\text{div} : R \times R \to R\) und \(\mod : R \times R \to R\) gibt, die die folgende Eigenschaft erfüllen \[\big( \forall\ a, b : R,\ a = b\ \text{div(a,b)} + \text{mod}{(a,b)\big)} \wedge N\big( \text{mod}(a, b)\big) < N(b)~,\] dann kann man den Algorithmus auf einer Maschine implementieren.
Die Idee ist, die Relation \(\left< a, b \right> = \left< b, r \right>\) als \(\text{ggT}(a,b) = \text{ggT}(b,r)\) zu interpretieren um \(\text{ggT}(a,b)\) rekursiv zu berechnen:
```
  ggT a b := if mod a b = 0 then b else ggT(b, mod a b)
```
Im Prinzip sollte das für die Ringe \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}[X]\) und \(\mathbb{Z}[i]\) funktionieren. Eine Verbesserung der obigen Funktion wäre, eine allgemeinere Funktion, die zusätzlich eine Bézout-Relation für den ggT zurückgibt.

13.14 Mit Stift und Papier

Man setzt \(r_0 := a\) und \(r_1 := b\) und führt konsekutive Divisionen mit Rest durch, bis der Rest null ist. Nennen wir \(n\) die kleinste natürliche Zahl mit der folgende Eigenschaft:

\[\begin{array}{rcccl} r_0 & = & r_1 q_1 & + & r_2 \qquad \text{(d.h. } a = b q_1 + r_2 \text{)}\\ r_1 & = & r_2 q_2 & + & r_3 \\ & \vdots & \\ r_{n -1} & = & r_{n} q_{n} & + & r_{n + 1}\\ r_n & = & r_{n + 1} q_{n + 1} & + & 0 \end{array}\]
In diesem Fall ist \(r_{n + 1}\) ein ggT von \(a\) und \(b\) (und es gibt eine Bézout-Relation dafür):
- Per Definition von \(n\), gilt \(r_{n + 1}\ |\ r_n\). Dann muss \(r_{n + 1}\ |\ r_{n-1}\) auch gelten, und so weiter. Insbesondere ist \(r_{n + 1}\) ein Teiler von \(r_0 = a\) und \(r_1 = b\).
- Wenn \(c\ |\ a \wedge c\ |\ b\), dann gilt auch \(c\ |\ r_2\), und so weiter. Insbesondere gilt \(c\ |\ r_{n+1}\) .

13.15 Übung 3

Sei \(\mathbf{K}\) ein Körper mit \((n + 1)\) paarweise verschiedene Elemente \(a_0, a_1,\ \ldots\ , a_n\).
Zeigen Sie, dass, für alle Elemente \(x_0, x_1,\ \ldots\ , x_n\) in \(\mathbb{K}\), ein eindutiges Polynom \(P\) existiert, sodass \[\deg P \leqslant n\ \wedge\ \forall\ i \in \{0, 1,\ \ldots\ ,n\},\ P(x_i) = a_i~.\]
Dieses Polynom ist als das Newton-Lagrange Interpolationspolynom bekannt.

13.16 Beispiele für nicht-euklidische Ringe

Es ist nicht kompliziert, Beispiele für Ringe zu finden, die keine Bézout-Ringe sind: Es reicht ein Ring und darin ein endlich erzeugete Ideal zu finden, das kein Hauptideal ist.
Zum Beispiel, im Integritätsring \(\mathbb{Z}[X]\), ist das Ideal \(\left< 2, X \right>\) kein Hauptideal (Übung). Oder, im \(\mathbb{Q}[X, Y]\), ist das Ideal \(\left< X, Y \right>\) kein Hauptideal. Insbesondere sind \(\mathbb{Z}[X]\) und \(\mathbb{Q}[X,Y]\) auch keine euklidische Ringe.
Wir werden später sehen, dass diese Ringe tatsächlich Ringe mit ggT sind. Derzeit wissen wir nur, dass Sie Integritätsringe sind.
Es ist viel komplizierter, ein Beispiel für einen Bézout-Ring zu finden, der kein euklidischer Ring ist. Wir müssen zuerst eine neue Art von Normfunktion einführen.

13.17 Dedekind-Hasse-Normfunktionen

Als Folgerung der Definition einer euklidischen Normfunktion \(N : R \setminus \{0_R\} \to \mathbb{N}_{\geqslant 0}\), gilt für alle \(a, b : R \setminus \{0_R\}\) mit \(b \nmid a\), dass \(\exists\ r \not= 0_R\) mit \(r \in \left< a, b \right>\) und \(N(r) < N(b)\). Dies folgt aus der Tatsache, dass \(b\ |\ (a - r)\). Daher gilt \(\exists\ q : R\), mit \(\textcolor{blue}{r = a - bq} \in \left< a, b \right>\)).
Eine swächere Bedingung als \(r = a - bq\) wäre: \(r = \lambda a + \mu b \in \left< a, b \right>\) und \(N(r) < N(b)\), mit \(\lambda\) nicht unbedingt gleich zu \(1_R\). Das ist genau die Definition einer Dedekind-Hasse-Normfunktion.

Definition. Sei \(R\) ein Integritätsringe. Eine Dedekind-Hasse-Normfunktion auf \(R\) ist eine Abbildung \(N : R \setminus \{0_R\} \to \mathbb{N}_{\geqslant 0}\), die die folgenbde Eigenschaft erfüllt: \[\forall\ a, b : R \setminus \{0_R\},\ \big( b\ |\ a \big) \vee \big( \exists\ r : R \setminus \{0_R\}, \textcolor{blue}{r \in \left< a, b \right>} \wedge N(r) < N(b) \big)~.\]
Das einzige Unterschied, mit der Definition eines euklidischen Ring, ist die Präsenz der Bedingung \(\textcolor{blue}{r \in \left< a, b \right>}\), statt die stärkere Bedingung \(\textcolor{blue}{b\ |\ (a - r)}\).

13.18 Dedekind-Hasse-Ringe

In analoger Weise zu euklidischen Ringe, können wir Dedekind-Hasse-Ringe wie folgt definieren.

Definition. Ein Dedekind-Hasse-Ring (oder DH-Ring) ist ein Integritätsring \(R\) die eine DH-Normfunktion \(N : R \setminus \{0_R\} \to \mathbb{N}_{\geqslant 0}\) besitzt. Das heißt, ein Integritätsring \(R\), für den existiert eine Abbildung \(N : R \setminus \{0_R\} \to \mathbb{N}_{\geqslant 0}\), die die folgende Eigenschaft erfüllt: \[\forall\ a, b : R \setminus \{0_R\},\ \big( b\ |\ a \big) \vee \big( \exists\ r : R \setminus \{0_R\}, r \in \left< a, b \right> \wedge N(r) < N(b) \big)~.\]
Natürlich ist jeder euklidische Ring ein DH-Ring. Die Umkehrung gilt aber nicht und das „klassische“ Beispiel ist der Ring \(\mathbb{Z}[\frac{1+i\sqrt{19}}{2}]\), der eine DH-Normfunktion besitzt aber keine euklidische Normfunktion (zugelassen).

13.19 DH-Ringe sind Bézout-Ringe

Es ist eine bemerkenswerte Tatsache, dass DH-Ringe mit entscheidbarer Gleichheit sind noch Bézout-Ringe.

Satz. Sei \(R\) ein DH-Ring mit entscheidbarer Gleichheit. Für alle \(a, b : R\), existiert ein \(d : R\) mit \(Ra + Rb = Rd\). Insbesondere ist jeder DH-Ring ein Bézout-Ring.
Die Idee für den Beweis ist die gleiche als im euklidischen Fall. Wir liegen eine DH-Normfunktion \(N : R \setminus \{0_R\} \to \mathbb{N}_{\geqslant 0}\) auf \(R\) fest, und beweisen das folgende Ergebnis durch Induktion auf \(n : \mathbb{N}_{\geqslant 0}\).

\(P(n) := \forall\ a, b : R \setminus\{0_R\},\ \textcolor{blue}{N(b) \leqslant n} \Rightarrow \exists\ d : R \setminus \{0_R\}, Ra + Rb = Rd \wedge \textcolor{blue}{N(d) \leqslant n}~.\)

13.20 Induktionsschritt

Das Unterschied mit dem euklidischen Fall liegt im Beweis des Induktionsschritts.
Nehmen wir an, dass \(P(n)\) gilt, und zeigen wir \(P(n + 1)\). Seien \(a, b : R \setminus \{0_R\}\) mit \(N(b) \leqslant n + 1\).
- Falls \(b\ |\ a\) gilt, dann ist \(Ra + Rb = Rb\) und können wir \(d := b\) setzen, genau wie im euklidischen Fall.
- Falls \(\exists\ r : R \setminus \{0_R\}, r \in \left<a, b\right> \wedge N(r) < N(b)\), dann gilt, für ein solches \(r\), \(N(r) \leqslant n\). Per Induktion existiert ein \(e \not= 0_R\), mit \(\left< b, r \right> = \left< e \right>\) und \(N(e) \leqslant n\), und auch (zusätzlicher Schritt) ein \(f \not= 0_R\), mit \(\left< a, r \right> = \left< f \right>\) und \(N(f) \leqslant n\). Dann gilt \(\left< a, b \right> = \left< e, f \right>\) mit \(N(e), N(f) \leqslant n\) . Aus einer neuen Anwendung der Induktionsannahme, folgt die Existenz eines Elements \(d\) mit \(\left<e, f\right> = \left< d \right>\) und \(N(d) \leqslant n\). Dies beendet die Induktion.

13.21 DH-Ringe sind beschränkt

Erinnern wir uns, dass, in einem Integritätsring \(R\), ein Element \(a : R \setminus \{0_R\}\) beschränkt durch \(n : \mathbb{N}_{\leqslant 0}\) heißt, wenn die folgende Eigenschaft gilt. \[\forall\ a_0,\ \ldots\ a_n : R,\ a = a_0\ \ldots\ a_n \Rightarrow \exists\ i\ \in \{0,\ \ldots\ ,n\},\ a_i \in R^\times~.\]
Ein Element \(a : R \setminus \{0_R\}\) wird beschränkt genannt, wenn ein \(n : \mathbb{N}_{\geqslant 0}\) existiert, so dass \(a\) beschränkt durch \(n\) ist. Wenn jedes Element \(a : R \setminus \{0_R\}\) beschränkt ist, sagt man, dass der Integritätsring \(R\) beschränkt ist.

Satz. Sei \(R\) ein DH-Ring. Dann ist \(R\) beschränkt.

Die Idee für den Beweis ist, ein DH-Normfuktion \(N\) auf \(R\) festzulegen, und Folgendes zu zeigen: \(\forall\ a : R \setminus \{0_R\}\), das Element \(a\) ist durch die natürliche Zahl \(N(a)\) beschränkt.

13.22 Übung 4

Sei \(R\) ein Integritätsring und sei \(a : R \setminus \{0_R\}\).
Sei \(n : \mathbb{N}_{\geqslant 0}\) und nehmen wir an, dass \(a\) beschränkt durch \(n\) ist.
Zeigen Sie durch Induktion auf \(k\), dass, für alles \(k : \mathbb{N}_{\geqslant 0}\), das Element \(a\) durch \((n +k)\) besschränkt ist.

13.23 Der Beweis, dass DH-Ringe beschränkt sind

Wir zeigen Folgendes durch Induktion auf \(n : \mathbb{N}_{\geqslant 0}\) .

\(P(n) := \forall\ a : R \setminus \{0_R\},\ N(a) \leqslant n \Rightarrow a\ \text{durch}\ N(a)\ \text{beschraenkt ist}.\)
Im Fall \(n = 0\), nehmen wir \(a \not= 0_R\) mit \(N(a) = 0\). Da \(R\) ein DH-Ring ist, muss die Eigenschaft \(a\ |\ 1_R \vee \exists\ r \not= 0_R,\ r \in \left< 1_R, a \right> \wedge N(r) < N(a) = 0\) gelten. Da die durch \(0\) beschränkte Elemente genau die invertierbare Elemente von \(R\) sind, müssen wir zeigen, dass \(a\) invertierbar ist.
- Wenn \(a\ |\ 1_R\), ist \(a\) invertierbar.
- Wenn \(\exists\ r \not= 0_R,\ N(r) < 0\) gilt, dann widerspricht dies die Tatsache, dass \(N(r) \geqslant 0\) ist. Es folgt daraus, dass \(a\) invertierbar ist.

13.24 Ende des Beweises

Nehmen wir an, dass \(P(n)\) gilt, und zeigen wir \(P(n + 1)\).
Sei \(a \not= 0_R\), mit \(N(a) = n +1\). Wir möchten zeigen, dass \(a\) durch \((n + 1)\) beschränkt ist. Schreiben wir dann \(a = a_0\ \ldots\ a_n a_{n+1}\). Da \(R\) ein DH-Ring ist, muss Folgendes gelten: \[a\ |\ a_0\ \ldots\ a_n \vee \exists\ r \not= 0_R, r \in \left< a_0\ \ldots\ a_n , a \right>,\ N(r) < N(a)~.\]
- Wenn \(a\ |\ a_0\ \ldots\ a_n\) gilt, dann existiert ein \(c : R\) mit \(a_0\ \ldots\ a_n = ac\). Daher gilt \(a = ac a_{n+1}\), somit \(1_R = c a_{n+1}\) und \(a_{n+1}\) invertierbar.
- Wenn \(\exists\ r \not= 0_R, r \in \left< a_0\ \ldots\ a_n , a \right>,\ N(r) < N(a)\), dann ist ein solches \(r\) ein Element von \(\left< a_0\ \ldots\ a_n, a \right> = \left< a_0\ \ldots\ a_n \right>\) und existiert \(\mu : R\) mit \(r = (\mu a_0)\ a_1\ldots\ a_n\). Da, per Induktion, das Element \(r\) durch \(N(r) \leqslant n\) beschränkt ist, muss (nach Übung 4) ein \(i \in \{0,\ \ldots\ , n\}\) existieren, sodass \(a_i\) invertierbar ist.
In beiden Fällen ist \(a\) durch \(n + 1 = N(a)\) beschränkt, und dies beendet die Induktion.

13.25 Aufsteigende Kettenbedingung für Hauptideale

Wir haben bewiesen, dass jedes endlich erzeugte Ideal eines DH-Rings \(R\) ein Hauptideal ist, und dass ein DH-Ring beschränkt ist.
In Übung 5 werden wir zeigen, dass jeder beschränkte Ring die folgende Eigenschaft erfüllt.

Definition. Sei \(R\) ein Integritätsring. Man sagt, dass \(R\) die aufsteigende Kettenbedingung für Hauptideale (oder aKH) erfüllt, wenn die folgende Eigenschaft gilt: Für alle aufsteigende Kette von Hauptidealen \[\left< a_0 \right> \subseteq\ \ldots\ \subseteq \left< a_n \right> \subseteq\ \ldots \] existiert ein \(k : \mathbb{N}_{\geqslant 0}\) mit \(\left< a_{k + 1} \right> = \left< a_k \right>.\)

13.26 Übung 5

Sei \(R\) ein beschränkter Ring.
Zeigen Sie, dass der Ring \(R\) die aufsteigende Kettenbedingung für Hauptideale erfüllt. Hinweis. Zeigen Sie, dass, wenn \(a : R\) durch \(n > 0\) beschränkt ist, für jede endliche Kette von Hauptidealen \((\left< a_i \right>)_{0 \leqslant i \leqslant n}\), die von \(\left< a \right>\) startet, die folgende Eigenschaft erfüllt: \[\exists\ j \in \{0,\ \ldots\ , n - 1\},\ \left< a_{j + 1} \right> = \left< a_j \right>~.\]

13.27 Hauptidealringe

Dann kommen wir an der Definition eines Hauptidealrings.
Definition. Ein Hauptidealring (oder HIR) ist ein (kommutativer, unitärer) Ring \(R\), der die folgende Eigenschaften erfültt:
1. \(R\) ist ein Integritätsring.
2. Jedes endlich erzeugte Ideal von \(R\) ist ein Hauptideal.
3. \(R\) erfüllt die aufsteigende Kettenbedingung für Hauptideale.
Das heißt, ein Hauptidealring ist ein Bézout-Ring, der die aKH erfüllt.

13.28 DH-Ringe sind Hauptidealringe

Wir haben schon bewiesen, dass ein DH-Ring ein Bézout-Ring ist, und dass ein DH-Ring beschränkt ist.
Aus der zweiten Teil dieser Bemerkung erfolgt, dass ein DH-Ring die aKH erfüllt. Daher haben wir den folgenden Satz bewiesen.

Satz. Ein DH-Ring (insbesondere ein euklidische ring) ist ein Hauptidealring.
Zum Beispiel sind \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Z}[i]\) und \(\mathbb{Q}[X]\) Hauptidealringe. Aber nicht \(\mathbb{Z}[X]\) oder \(\mathbb{Q}[X, Y]\).
Hauptidealringe sind besonders nützlich, denn die Theorie der endlich erzeugten Moduln über diesen Ringen ähnlich zu der von abelschen Gruppen ist: Es gibt zum Beispiel einen Struktursatz mit invarianten Faktoren für solche Moduln (die sogenannte Smith-Normalform).

13.29 Übung 6

Die Verwendung von Induktion in den Beweisen der Sätze, die zeigen, dass euklidische und DH-Ringe Bézout-Ringe sind, steht in Zusammenhang mit dem sogenannten Prinzip des unendlichen Abstiegs. Hier ist eine Übung, um diese Methode wieder anzuwenden.
Sei \(R\) ein Integritätsring. Eine euklidische Normfuktion \(N\) auf \(R\) heißt multiplikativ, wenn, für alles \(a : R \setminus \{0_R\}\), \(N(a) > 0\) und, für alle \(a, b : R \setminus \{0_R\}\), \(N(ab) = N(a) N(b)\).
Zeigen Sie, dass die folgende Eigenschaften gelten:
1. Wenn \(N\) eine DH-Normfunktion ist, gilt für alle \(a, b : R \setminus \{0_R\}\), \[b\ |\ a \Rightarrow b \cong a \vee \exists\ c \not= 0_R,\ c \cong b \wedge N(c) < N(b)~.\]
2. Wenn \(N\) außerdem multiplikativ ist, ist ein Element \(a : R\) genau dann invertierbar, wenn \(N(a) = 1\).

13.30 Übung 7

Nehmen Sie an, dass der Satz vom ausgechlossenen Dritten gilt.
Zeigen Sie die folgende Eigenschaften:
1. Die aufsteigende Kettenbedingung für beliebige Idealketten \((I_j)_{j : \mathbb{N}_{\leqslant 0}}\) eines Rings \(R\) ist äquivalent zu der Bedingung, dass solche Ketten stationär sind: \[\exists\ n : \mathbb{N}_{\geqslant 0},\ \forall\ j \geqslant n,\ I_j = I_n~.\]
2. Gilt auch das analoge Ergebnis für Ketten von Hauptidealen.
3. Ein Integritätsring \(R\) ist genau dann ein Haupidealring, wenn jedes Ideal ein Hauptideal ist.
Haben Sie ein Auswahlaxiom verwendet? Mit dem Auswahlaxiom, geben Sie einen kurzen Beweis, dass ein euklidischer Ring ein Hauptidealring ist.