10 Integritätsringe und Körper

Ein Porträt von David Hilbert (1862-1943).

David Hilbert (1862-1943) war ein deutscher Mathematiker und Hochschullehrer. Hilberts programmatische Rede auf dem internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der er eine Liste von mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die mathematische Forschung des 20. Jahrhunderts nachhaltig.

10.1 Invertierbare Elemente (Einheiten)

Sei $R = (A, +, 0, \times, 1)$ ein (kommutativer, unitärer) Ring. Das heißt, $(A, +, 0)$ ist eine abelsche Gruppe, $(A, \times, 1)$ ist ein Monoid, und $\times$ ist links- und rechtsdistributiv über $+$ : \[\forall\ a, b, c: A, a \times (b + c) = a \times b + b \times c \wedge (b + c) \times a = b \times a + c \times a\ .\]
Ein Element $a : R$ (das heißt, ein Element $a$ in der zugrundeliegende Menge $A$ von $R$) heißt invertierbar, wenn es invertierbar im Monoid $(A, \times, 1 )$. Das heißt, falls \[\exists\ b : A,\ a \times b = 1 \wedge b \times a = 1\ .\]
In diesem Fall, ist ein solches Element $b$ eindeutig und wird als $a^{-1}$ bezeichnet, und wird $a$ auch eine Einheit von $R$ genannt. Wir können daher eine Gruppe $R^\times$ konstruieren, deren Elemente sind die invertierbaren Elemente von $R$. \[R^\times := (A^\times, \times, 1),\ \text{wobei}\ A^\times := \{ a : A\ /\ a\ \text{ist bezueglich $\times$ invertierbar} \}.\]

10.2 Einheitsgruppe

Wenn $R$ ein Ring ist, heißt die Gruppe $R^\times$ die Einheistgruppe von $R$.
Zum Beispiel ist $\mathbb{Z}^\times = \{+1, -1\}$, weil wenn $a : \mathbb{Z}$ invertierbar ist, dann muss $|a| \leqslant 1$ und $a \not= 0$ gelten.

Bemerkung. Da $\forall\ a : R,\ 0_R \times a = 0_R$, ist das Nullelement $0$ genau dann invertierbar, wenn $1_R = 0_R$, das heißt, wenn $R = \{0_R\}$ als Teilmenge von $R$.
In $\mathbb{Q}$ ist jedes von Null verschiedenes Element invertierbar, das heißt, $\mathbb{Q}^\times = \mathbb{Q} \setminus \{0_{\mathbb{Q}}\}$ Beweis. Ein Element $x : \mathbb{Q}$ ist der Gestalt $\frac{p}{q}$ mit $p : \mathbb{Z}$ und $q : \mathbb{N}_{>0}$ und $x \not= 0_{\mathbb{Q}}$ genau dann, wenn $p \not= 0_{\mathbb{Z}}$. In diesem Fall, ist $x^{-1} := \frac{\text{sgn}(x) q}{|p|}$ ein inverses Element für $x$, wobei $\text{sgn}(x) := \frac{x}{|x|} \in \{+1, -1\} \subset \mathbb{Q}$ das Vorzeichen der rationale Zahl $x$ ist.
Wir werden später weitere Beispiele sehen, insbesondere in Polynomringen.

10.3 Nullteilern

Wir betrachten nur kommutativen Ringe mit Einselement.
In einem beliebigen solchen Ring $R$ kann es sein, dass $a b = 0_R$ sogar $a \not= 0_R$ und $b \not= 0_R$. Zum Beispiel, wenn $R := \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, gilt $[2] \times [3] = [6] = [0]$, mit $[2] = 2\ \text{mod}\ 6\mathbb{Z} \not= [0]$ und $[3] = 3\ \text{mod}\ 6\mathbb{Z} \not= [0]~.$ Oder, in $R = \mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z}$, gilt $[2][2] = [4] = [0]$ und $[2] \not = [0]$.
Wenn das passiert, sagt man, dass $R$ Nullteilern besitzt:

Definition. Sei $R$ ein (kommutativer, unitärer) Ring. Ein Element $a : R$ wird Nullteiler gennant, wenn die folgende Bedingung gilt: \[\exists\ b : R,\ b \not= 0_R \wedge a b = 0_R .\]
Zum Beispiel, sei $R := \mathbb{R}^\Omega$ der Ring aller Funktionen von $\Omega \subseteq \mathbb{R}$ nach $\mathbb{R}$, wobei $\Omega = I_1 \sqcup I_2$ die Vereingung zweier disjunkter Intervalle $I_j := [a_j, b_j]$ von $\mathbb{R}$ ist, und sei $f_j : \Omega \to \mathbb{R}$ die Funktion, sodass $f_j(x) :=1$, wenn $x \in I_j$ und $f_j(x) := 0$, wenn $x \not\in I_j$ Dann gilt $f_1 f_2 = 0_R$.

10.4 Kürzbare Elemente

Eine mögliche Definition für ein Integritätsring ist ein Ring, der keinen nicht-trivialen Nullteiler besizt. Aber wir möchten etwas präziser sagen.

Definition. Sei $R$ ein (kommutativer, unitärer) Ring. Ein Element $a : R$ heißt kürzbar, wenn die folgende Eigenschaft gilt: \[\forall\ b : R,\ a b = 0_R \Rightarrow b = 0_R~.\]
Zum Beispiel ist jedes invertierbares Element kürzbar: Wenn $a \not= 0_R$ und $ab = 0_R$, dann ist $a^{-1}(ab) = 0_R$. Daraus folgt $b = 0_R$.
Ein kürzbares Element ist kein Nullteiler: Wenn $a$ ein Nullteiler wäre, würde ein $b : R$ mit $b \not= 0_R$ und $a b = 0_R$ existieren. Wenn $a$ auch kürzbar ist, würde aus der vorherigen Gleichheit folgern, dass $b = 0_R$ ist. Dies widerspricht die Eigenschaft $b \not= 0_R$.

10.5 Übung 1

Zeigen Sie, dass ein Element $a : R$ genau dann kürzbar ist, wenn die folgende Eigenschaft gilt: \[\forall\ b, c : R,\ a b = a c \Rightarrow b = c~.\]
Zeigen Sie, dass $0_R$ genau dann kürzbar ist, wenn $R = \{0_R\}$.

10.6 Entscheidbare Gleichheit

Wir haben die Eigenschaft $a\ \text{kuerzbar} \Rightarrow \neg(a\ \text{Nullteiler})$ bereits bewiesen. Gilt auch \[\neg(a\ \text{Nullteiler}) \Rightarrow a\ \text{kuerzbar}~?\]
Versuchen wir, einen Beweis zu schreiben. Nehmen wir an, dass $a$ kein Nullteiler ist und betrachten wir ein $b : R$, sodass $a b = 0_R$. Wenn $b \not= 0_R$, impliziert dies, dass $a$ ein Nullteiler ist, was der Annahme auf $a$ widerspricht. Wenn $b = 0_R$, haben wir bewiesen, dass $a$ kürzbar ist.
Gibt es ein Problem mit diesem Beweis? 🤨 Das hängt davon ab, wen man fragt!
Für die Fallunterscheidung, haben wir die Disjunktion $b \not= 0_R \vee b = 0_R$ benutzt. Wenn man den Satz vom ausgeschlossenen Dritten annimmt, dann gilt das. Diese Eigenschaft kann aber auch einfach für bestimmten Ringe erfüllt sein, zum Beispiel $\mathbb{Z}$ .
Wenn $\forall\ a, b : A,\ a = b \vee a \neq b$, sagt man, dass die Menge $A$ entscheidbare Gleichheit hat.

10.7 Übung 2

Sei $R$ ein (kommutativer, unitärer) Ring.
Zeigen Sie, dass die Gleichheit von $R$ genau dann entscheidbar ist, wenn die folgende Eigenschaft gilt: \[\forall\ c : R,\ c = 0_R \vee c \not= 0_R~.\]

Bemerkung Die Gleichheit folgender Ringen ist entscheidbar: $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ . Die Gleichheit folgender Ringen ist nicht entscheidbar: $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$.

10.8 Zusammenfassung zu kürzbaren Elementen und Nullteilern

Sei $R$ ein (kommutativer, unitärer) Ring und sei $a : R$.
Das $a$ kürzbar ist, bedeutet, dass $\forall\ b : R,\ a b = 0_R \Rightarrow b = 0_R$.
Das $a$ ein Nullteiler ist, bedeutet, dass $\exists\ b : R,\ b \not= 0_R \wedge a b = 0_R$.
Das $a$ kein Nullteiler ist, bedeutet, dass $\neg(\exists\ b : R,\ b \not= 0_R \wedge a b = 0_R)$. Dies impliziert, dass $\forall\ b : R,\ b \not= 0_R \Rightarrow a b \not= 0_R$. Die umgekehrte Folgerung gilt im Allgemeinen nicht, aber gilt wenn $R$ endlich ist oder man den Satz vom ausgeschlossenen Dritten annimmt.
Gilt die Eigenschaft $a$ kürzbar $\Rightarrow$ $a$ ist kein Nullteiler. Das heißt: \[\big( \forall\ b : R,\ a b = 0_R \Rightarrow b = 0_R \big) \Rightarrow \neg(\exists\ b : R,\ b \not= 0_R \wedge a b = 0_R)~.\]
Wenn die Gleichheit von $R$ entscheidbar ist, gilt die umgekehrte Folgerung: \[\neg(\exists\ b : R,\ b \not= 0_R \wedge a b = 0_R) \Rightarrow \big( \forall\ b : R,\ a b = 0_R \Rightarrow b = 0_R \big)~.\]

10.9 Integritätsringe

Nun können wir Integritätsringe definieren.

Definition. Ein Integritätsring ist ein (kommutativer, unitärer) Ring $R$, für den die von Null verschiedene Elemente sind genau die kürzbare Elemente: \[\forall\ a : R,\ a \not= 0_R \Leftrightarrow \big( \forall\ b : R,\ ab= 0_R \Rightarrow b = 0_R \big)~.\]
Wir werden sehen, dass Ringe wie zum Beispiel $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}[X]$ und $\mathbb{Q}[X]$ Integritätsringe sind.
Insbesondere besitzt ein Integritätsringe kein nicht-triviales Nullteiler. Das heißt: \[\forall\ b : R,\ \big( \exists\ a : R,\ a \not= 0_R \wedge a b = 0_R \big) \Rightarrow b = 0_R~.\]
In einem Integritätsring, gilt auch $1_R \not= 0_R$, weil, per Definition von $1_R$, $\forall\ b : R,\ 1_R b = 0_R \Rightarrow b = 0_R$, und per Definition eines Integritätrings impliziert dies, dass $1_R \not= 0_R$ ist.

10.10 Praktische Charakterisierung eines Integritätsrings

Die vorherige Bemerkungen bestehen eine Charakterisierung von Integritätstingen.
Satz. Sei $R$ ein (kommutativer, unitärer) Ring. Dann ist $R$ genau dann ein Integritätsring, wenn die folgende Eigenschaften gelten:
1. $1_R \not= 0_R$.
2. $\forall\ a, b : R,\ (a \not= 0_R \wedge a b = 0_R) \Rightarrow b =0_R$.
Beweis. Wir haben die Implikation „$\Rightarrow$“ bereits bewiesen. Für die umgekehrte Folgerung „$\Leftarrow$“ müssen wir beweisen, dass die obige Bedingungen (i) und (ii) Folgendes implizieren: \[\forall\ a : R,\ a \not= 0_R \Leftrightarrow \big( \forall\ b : R,\ ab= 0_R \Rightarrow b = 0_R \big)~.\]

Ist aber „$\Rightarrow$“ eine einfache Umschreibung von (ii). Sehen Sie es? Dann für „$\Leftarrow$“ nehmen wir $a : R$ sodass $\forall\ b : R,\ ab= 0_R \Rightarrow b = 0_R$. Wenn $a = 0_R$ ist, dann gilt, für $b = 1_R$, $a b = 0_R 1_R = 0_R$, somit $b = 0_R$. Das heißt, $1_R = 0_R$, was der Annahme (i) widerspricht.

10.11 Übung 3

Denken Sie daran, dass $a \not = b$ per Definition $a = b \Rightarrow \text{Falsch}$ bedeutet, wobei $\text{Falsch}$ eine Absudität ist. Insbesondere, wenn $a \not= b \wedge a = b$ gilt, dann können wir $\text{Falsch}$ ableiten. Und aus $\text{Falsch}$ folgt alles (ex falso quod libet).
In der Praxis, um eine Eigenschaft $Q$ zu beweisen, reicht es $\neg P \wedge P$ für bestimmte $P$ zu beweisen. Das ist nicht das Gleiche wie $\neg Q \Rightarrow \text{Falsch}$ zu beweisen. Im Allgemeinen impliziert dies nicht $Q$, es sei denn, es ist von anderer Stelle bekannt, dass $Q$ entscheidbar ist (das heißt, das $Q \vee \neg Q$ gilt).
Um dies zu üben, beweisen Sie Folgendes: in einem beliebigen Ring $R$ gilt die Eigenschaft \[\forall\ a, b : R,\ a b \not= 0_R \Rightarrow (a \not= 0_R \wedge b \not= 0_R)~.\] Hinweis. Erinnern wir uns zunächst daran, dass es zum Beweis eine Konjunktion $P \wedge Q$ genügt, die Aussagen $P$ und $Q$ separat zu beweisen.

10.12 Eine Eigenschaft von Integritätsringen

Das folgende Ergebnis ist in der Praxis sehr nützlich.

Satz. Sei $R$ ein Integritätsring. Dann gilt: \[1_R \not= 0_R \wedge \big(\ \forall\ a, b : R,\ (a \not= 0_R \wedge b \not= 0_R) \Rightarrow a b \not= 0_R\ \big)~.\]
Wir haben schon bewiesen, dass in einem Integritätsring $1_R \not= 0_R$ ist.
Seien $a, b : R$, mit $a \not= 0_R$ und $b \not= 0_R$. Nehmen wir an, dass $a b = 0_R$ ist. Da $a \not= 0_R$ ist und $R$ ein Integritätsring ist, muss $b = 0_R$ gelten, was die Annahme $b \not= 0_R$ widerpricht. Daher haben wir bewiesen, dass $ab \not= 0_R$ ist.
Bemerkung. Wir haben gezeigt, dass die obige Bedingung eine notwendige Bedingung ist, um ein kommutativer unitärer $R$ ein Integritätsring zu zein. Am nächsten werden wir eine hinreichende Bedingung dafür geben.

10.13 Eine hinreichende Bedingung, um ein Integritätsring zu sein

Die folgende Eigenschaft impliziert, dass $R$ ein Integritätsring ist.

Satz. Sei $R$ ein (kommutativer, unitärer) Ring, sodass die folgende Eigenschaft gilt. \[1_R \not= 0_R \wedge \big(\ \forall\ a, b : R,\ a b = 0_R \Rightarrow (a = 0_R \vee b = 0_R)\ \big)~.\] Dann ist $R$ ein Integritätsring.

Beweis. Wir haben schon bewiesen, dass in einem Integritätsring $1_R \not= 0_R$ ist. Nach der praktischen Charakterisierung eines Integritätsring, die wir bereits bewiesen haben, verbleibt Folgendes zu beweisen: \[\forall\ a, b : R,\ (a \not= 0_R \wedge a b = 0_R) \Rightarrow b =0_R~.\] Sein $a, b : R$ mit $a \not= 0_R$ und $a b = 0_R$. Aus der Annahme auf $R$ und die Bedingung $a b = 0_R$ folgt dann $a = 0_R \vee b = 0_R$. Falls $a = 0_R$, dann, da auch $a \not= 0_R$ gilt, erreichen wir einen Widerspruch. Falls $b = 0_R$, gilt $b = 0_R$ 🙃.

10.14 Integrität in Ringen mit entscheidbarer Gleichheit

Für Ringen mit entscheidbarer Gleichheit können wir die Eigenchaft, ein Integritätsring zu sein, wie folgt charakterisieren.
Satz. Sei $R$ ein (kommutativer, unitärer) Ring mit entscheibarer Gleichheit. Dann sind die folgende Eigenschaften äquivalent:
1. $R$ ist ein Integritätsring.
2. $1_R \not= 0_R \wedge \big(\ \forall\ a, b : R,\ (a \not= 0_R \wedge b \not= 0_R) \Rightarrow a b \not= 0_R\ \big)~.$
3. $1_R \not= 0_R \wedge \big(\ \forall\ a, b : R,\ a b = 0_R \Rightarrow (a = 0_R \vee b = 0_R)\ \big)~.$
Wir haben $(i) \Rightarrow (ii)$ und $[(iii) \Rightarrow (i)$](#eine-hinreichende-bedingung-um-ein-integritätsring-zu-sein) bereits bewiesen. Dies setzt nicht voraus, dass die Gleichheit in $R$ entscheidbar ist. Es reicht dann zu beweisen, dass, wenn die Gleichheit in $R$ entscheidbar ist, die Eigenschaft $(ii) \Rightarrow (iii)$ gilt.

10.15 Integrität in Ringen mit entscheidbarer Gleichheit (Beweis)

Um den Beweis des vorherigen Satz zu beenden, reicht es zu zeigen, dass \[\big(\ \forall\ a, b : R,\ (a \not= 0_R \wedge b \not= 0_R) \Rightarrow a b \not= 0_R\ \big) \Rightarrow \big(\ \forall\ a, b : R,\ a b = 0_R \Rightarrow (a = 0_R \vee b = 0_R)\ \big)~.\]
Nehmen wir an, dass $\forall\ a, b : R,\ (a \not= 0_R \wedge b \not= 0_R) \Rightarrow a b \not= 0_R$ gilt. Seien dann $a, b : R$. Wir möchten zeigen, dass \[a b = 0_R \Rightarrow \big( a = 0_R \vee b = 0_R \big)~.\]
Beachten Sie, dass die Kontraposition der obigen Implikation die folgende ist: \[\neg \big( a = 0_R \vee b = 0_R \big) \Rightarrow \neg (a b = 0_R)~.\]
Das heißt $(a \not= 0_R \wedge b \not= 0_R) \Rightarrow a b \not= 0_R$, was erfüllt ist.
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10.16 Bemerkungen zum vorherigen Beweis

Es ist für beliebigen Aussagen $P$ und $Q$ korrekt zu sagen, dass $\neg (P \vee Q) \Rightarrow \neg P \wedge \neg Q$. Wenn $P$ und $Q$ entscheibar sind, gilt die umgekehrte Folgerung (Übung).
Es ist für beliebigen Aussagen $P$ und $Q$ korrekt zu sagen, dass $(P \Rightarrow Q) \Rightarrow (\neg Q \Rightarrow \neg P)$. Wenn $P$ und $Q$ entscheibar sind, gilt die umgekehrte Folgerung (Übung).
Wenn $P$ und $Q$ entscheibar sind, dann ist auch $P \vee Q$ entscheidbar:
- Falls $P$ gilt, dann gilt auch $P \vee Q$.
- Falls $P$ nicht gilt und $Q$ gilt, dann gilt auch $P \vee Q$.
- Falls $P$ nicht gilt und $Q$ nicht gilt, dann gilt $\neg(P \vee Q)$ ⚠️ (Übung).
Im vorheringen Beweis, alle Aussagen waren Gleichheiten in $R$, somit per Annahme entscheidbar.

10.17 Beweise ohne so viel Logik

Wenn das zu viel Logik ist, können wir auch direkte Beweisen schreiben. Zeigen wir zum Beispiel, dass, wenn die Gleichheit von $R$ entscheidbar ist, dann gilt $(ii) \Rightarrow (i)$ im vorherigen Satz. Das heißt: \[1_R \not= 0_R \wedge \big(\ \forall\ a, b : R,\ (a \not= 0_R \wedge b \not= 0_R) \Rightarrow a b \not= 0_R\ \big) \Rightarrow R\ \text{ist ein Integritaetsring}~.\]
Nach der praktischen Charakterisierung von Integritätsringen, die wir gegeben haben, reicht es zu beweisen, unter der obigen Annahme, dass \[\forall\ a, b : R,\ (a \not= 0_R \wedge a b = 0_R) \Rightarrow b =0_R~.\]
Seien $a, b : R$, mit $a \not = 0_R$ und $a b = 0_R$. Wir möchten zeigen, dass $b =0_R$. Da $b = 0_R \vee b \not= 0_R$ erfüllt ist, können wir die folgende zwei Fälle betrachten:
- Falls $b = 0_R$, dann gilt $b = 0_R$.
- Falls $b \not= 0_R$, dann muss $a b \not= 0_R$, was $a b = 0_R$ widerspricht.

10.18 Übung 4

Zeigen Sie die Folgerung $(i) \Rightarrow (iii)$ im vorherigen Satz. Das heißt, nehmen Sie an, dass die Gleichheit von $R$ entscheidbar ist, und zeigen Sie die Folgerung: \[\big(\ \forall\ a, b : R,\ (a \not= 0_R \wedge a b = 0_R) \Rightarrow b =0_R\ \big) \Rightarrow \big(\ \forall\ a, b : R,\ a b = 0_R \Rightarrow (a = 0_R \vee b = 0_R)\ \big) \] Hinweis. Nehmen Sie an, dass $a b = 0_R$, und benutzen Sie die Eigenschaft \[a = 0_R \vee a \not= 0_R~.\]
Um das Konzept von entscheibarer Aussagen weiter zu üben, zeigen Sie, dass, wenn $P$ eine entscheidbare Aussage ist, dann gilt $\neg \neg P \Rightarrow P$. Hinweis. Per Definition, bedeutet die Bedingung, dass $P$ entscheidbar ist, dass $P \vee \neg P$ gilt.

10.19 Integritätsbereichen

Ein Integritätsbereich ist ein Integritätsring $R$, der außerdem ein Bereich ist. Das heißt, ein Integritätsring $R$, der kein nicht-triviales idempotentes Element besitzt.
Zum Beispiel, ist ein Ring $R$, für den die folgende Eigenschaft gilt, ein Integritätsbereich: \[1_R \not= 0_R \wedge \big( \forall\ a, b : R,\ a b = 0_R \Rightarrow (a = 0_R \vee b = 0_R)\ \big)~.\] Beweis. Wir wissen bereits, dass ein solcher Ring ein Integritätsring ist. Wir wollen nun zeigen, dass $R$ kein nicht-triviales idempotentes Element besitzt. Sei $a : R$ mit $a^2 = a$. Dann ist $a (a-1_R) = 0_R$. Per Annahme auf $R$ impliziert dies, dass $a = 0_R \vee a = 1_R$.
⚠️ Ein Bereich ist nicht unbedingt ein Integritätsbereich. Zum Beispiel ist der Bereich $R := \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ kein Integritätsring.
Wenn die Gleichheit von $R$ entscheidbar ist, z. B. wenn man die ausgeschlossene Dritte annimmt, dann ist $R$ genau dann ein Integritätsbereich, wenn $R$ ein Integritätsring ist.

10.20 Mehr zu Polynomringen

Sei $R$ ein Ring und sei $R[X]$ der (kommutative, unitäre) Polynomring in der Unbestimmte $X$ mit Koeffizienten in $R$.
Per Definition wird ein Polynom $P = a_0 + a_1 X +\ \ldots\ + a_n X^n$ in $R[X]$ durch eine Folge $(a_k)_{k : \mathbb{N}_{\geqslant 0}}$ von Elementen von $R$ bestimmt, bei denen fast alle (also alle bis auf endlich viele) Folgenglieder gleich $0_R$ sind. Das heißt: \[\exists\ n_0 : \mathbb{N}_{\geqslant 0},\ \forall\ k \geqslant n_0,\ a_k = 0_R~.\]
Auch per Definition ist $0_{R[X]}$ das Polynom, dessen Koeffizienten alle null sind.
Die Abildung $a \mapsto a X^0$ ist ein Homomorphismus unitärer Ringe, die injektiv ist. Dieser kanonische Homomorphismus erlaubt es, den Ring $R$ mit einem (unitären) Unterring von $R$ identifizieren. Ein Polynom $P = c$ mit $c : R$ heißt konstantes Polynom.

10.21 Grad eines Polynoms

Definition. Sei $n : \mathbb{N}_{\geqslant 0}$ und sei $P : R[X]$. Dann sagt man, dass:

$\deg P < n$ ($P$ Grad streng kleiner als $n$ hat), wenn $\forall\ k \geqslant n,\ a_k = 0_R$.

$\deg P \geqslant n$ ($P$ Grad größer oder gleich zu $n$ hat), wenn $\exists\ k \geqslant n,\ a_k \not= 0_R$.

$\deg P = n$ ($P$ Grad $n$ hat), wenn $(\deg P \geqslant n) \wedge (\deg P < n + 1)$.

⚠️ Das ist nicht genau das Gleiche, wie eine Funktion $\deg : R[X] \to \mathbb{N}_{\geqslant 0}$ zu definieren. Was wäre $\deg 0_{R[X]}$ ? Selbst wenn $P \not= 0_{R[X]}$, wie berechnet man den Grad von $P$ für beliebige $P~?$

10.22 Leitkoeffizient eines Polynoms

Per Definition des Grads gelten die folgende Eigenschaften:
1. $P = 0_{R[X]} \Leftrightarrow \deg P < 0$ .
2. $\deg P \geqslant 0 \Rightarrow P \not= 0_{R[X]}$ (und manchmal gilt die umgekherte Folgerung, zum Beispiel wenn $R$ endlich ist).
3. $P$ konstant $\Leftrightarrow \deg P < 1$ .
Wenn $\deg P = n$, wird $a_n$ der Leitkoeffizient von $P$ genannt. Um den Grad zu charakterisieren (somit den Leitkoeffizienten zu bestimmen), können wir den folgenden Satz anwenden.

Satz. Sei $P := a_0 + a_1 X +\ \ldots\ a_n X^n$ ein Polynom mit Koeffizienten in $R$. Dann, für alles $d : \mathbb{N}_{\geqslant 0}$, ist $\deg P = d \Leftrightarrow a_d \not= 0_R \wedge (\forall\ k \geqslant d + 1,\ a_k =0_R)$ .

10.23 Beweis für die Tatsache, dass der Leitkoeffizient nicht Null ist

Sei $P := a_0 + a_1 X +\ \ldots\ a_n X^n$ in $R[X]$. Im vorherigen Satz, folgt der Beweis für „$\Leftarrow$“ direkt aus der Definition der Bedingung $\deg P = d$ . So auch der Beweis für $\deg P = d \Rightarrow (\forall\ k \geqslant d + 1,\ a_k =0_R)$ . Es reicht daher zu beweisen, dass $\deg P = d \Rightarrow a_d \not= 0_R$.
Nehmen wir an, dass $\deg P = d$, für geeignete $d : \mathbb{N}_{\geqslant 0}$. Dann gilt $(\deg P \geqslant d) \wedge (\deg P < d + 1)$. Insbesondere gibt es ein $k_0 \geqslant d$ mit $a_{k_0} \not= 0_R$. Aber für natürliche Zahlen $k_0$ und $d$ gilt $k_0 \geqslant d \Leftrightarrow k_0 = d \vee k_0 > d$. Dann können wir mit einer Fallunterscheidung fortfahren:
- Falls $k_0 = d$, dann ist $a_d \not= 0_R$.
- Falls $k_0 > d$, benützen wir die Tatsache, die wir bereits bewiesen haben, dass $\forall\ k \geqslant d + 1,\ a_k = 0_R$, um den Widerspruch $a_{k_0} \not= 0_R \wedge a_{k_0} = 0_R$ zu erreichen.

10.24 Polynome mit Koeffizienten in einem Ring mit enscheidbarer Gleichheit

Wenn $R$ ein Ring ist, dann gilt, für alles $P = a_0 + a_1 X +\ \ldots$ in $R[X]$, dass \[\exists\ n_0 : \mathbb{N}_{\geqslant 0},\ \deg P \leqslant n_0~.\] Dies folgt aus der Definition eines Polynoms ($\exists\ n_0,\ \forall\ n \geqslant n_0,\ a_n = 0_R$) und der Definition der Bedingung $\deg P \leqslant n_0$.
Wenn die Gleichheit von $R$ entscheidbar ist, dann ist auch die Aussage $\bigvee_{i = 0}^{n_0} (a_i = 0)$, durch Induktion auf $n_0$, entscheidbar. Dies zeigt, dass entweder $P = 0_{R_[X]}$ oder $\deg P \geqslant 0$ gilt. Da $\deg P \geqslant 0 \Rightarrow P \not= 0_{R[X]}$ ist insbesondere die Aussage $P = 0_{R[X]}$ entscheidbar. Wir haben bewiesen:

Satz. Hat der Ring $R$ eine entscheidbare Gleichheit, dann ist auch die induzierte Gleichheit des Polynomsrings $R[X]$ entscheidbar.

10.25 Grad eines Polynoms mit Koeffizienten in einem Ring mit enscheidbarer Gleichheit

Wenn $R$ ein Ring mit entscheidbarer Gleichheit ist, dann gelten die folgende Eigenschaften:
1. $\forall\ P : R[X],\ P = 0_{R[X]} \Leftrightarrow \deg P <0$ .
2. $\forall\ P : R[X],\ \big( \deg P < 0 \big) \vee \big( \exists\ n_0 : \mathbb{N}_{\geqslant 0},\ \deg P = n_0 \big)~.$
Für alle $n, m : \mathbb{N}_{\geqslant 0}$, gilt die Folgerung $(\deg P = n \wedge \deg P = m) \Rightarrow n = m$ (Übung). Daher können wir auch, wenn die Gleichheit von $R$ entscheidbar ist, den Grad eines Polynoms durch eine Gradfunktion $\deg : R[X] \to \{-\infty\} \sqcup \mathbb{N}_{\geqslant 0}$ einführen, die wie folgt definiert wird: \[\deg P := \left\{ \begin{array}{cl} -\infty & \text{wenn}\ P = 0_{R[X]}~, \\ \max \{ k : \mathbb{N}_{\geqslant 0}\ /\ a_k \not= 0_R\} & \text{wenn}\ P \not= 0_{R[X]}~. \end{array} \right.\]

10.26 Integrität für Polynomringe

Der wichtige Satz, den wir nun beweisen möchten, ist der folgende.

Satz. Sei $R$ ein Integritätsring mit entscheidbarer Gleichheit. Dann ist der Polynomring $R[X]$ ein Integritätsring mit entscheidbarer Gleichheit.
Da wir schon wissen, dass in diesem Fall die Gleichheit von $R[X]$ entscheidbar ist, reicht es zu beweisen, dass \[1_{R[X]} \not= 0_{R[X]} \wedge \big(\ \forall\ P, Q : R[X],\ (P \not= 0_{R[X]} \wedge Q \not= 0_{R[X]}) \Rightarrow PQ \not= 0_{R[X]}\ \big)~.\]
Die erste Eigenschaft, nämlich $1_{R[X]} \not= 0_{R[X]}$, folgt aus $1_R \not= 0_R$, die gilt, weil $R$ ein Integritätsring ist. Für die zweite Eigenschaft reicht es das folgende Lemma zu beweisen.

Lemma. Sei $R$ ein Integritätsring. Dann gilt, für alle $P, Q : R[X]$ und alle $d, e : \mathbb{N}_{\geqslant 0}$, $\deg P = d \wedge \deg Q = e \Rightarrow \deg PQ = d + e$.

10.27 Beweis des Lemmas

Schreiben wir $P = a_0 + a_1 X +\ \ldots\ + a_d X^d$ und $Q = b_0 + b_1 X +\ \ldots\ + b_e X^e$.
Da $\deg P = d$ ist, ist $a_d$ der Leitkoeffizient von $P$. Das heißt, $a_d \not= 0_R$ ist und gilt $\forall\ i \geqslant d + 1, a_i = 0_R$.
In ähnlicher Weise, ist $b_e \not= 0_R$ und gilt $\forall\ j \geqslant e + 1, b_j = 0_R$.
Schreiben wir nun $PQ = c_0 + c_1 X +\ \ldots$. Per definition des Produkts zweier Polynomen, ist $c_n = \sum_{k = 0}^n a_k b_{n-k}$.
- Wenn $n > (d + e)$, gilt $(k > d) \vee (n - k > e)$. Daher muss $\forall\ n > (d + e),\ c_n = 0_R$ gelten.
- In ähnlicher Weise, muss $c_{d + e} = a_d b_e$ sein. Da $R$ ein Integritätsring ist, und $a_d$ und $b_e$ nicht Null sind, gilt $c_{d +e} \not= 0_R$.
Aus zweier obigen Bedingungen folgt, dass $\deg PQ = d + e$ ist.

10.28 Bemerkungen zur Integrität für Polynomringe

Das vorherige Lemma genügt, um zu beweisen, dass $R[X]$ ein Integritätsring ist, weil, wenn die Gleichheit von $R$ entscheidbar ist, jedes von Null verschiedenes Polynom $P$ einen Grad haben muss. Das heißt, $\forall\ P : R[X],\ P \not= 0_{R[X]} \Rightarrow \exists\ n : \mathbb{N}_{\geqslant 0},\ \deg P = n$.
Nach der Charakterisierung von der Integrität in Ringen mit entscheidbarer Gleichheit, gilt, wenn $R$ ein Integritätsring mit entscheidbarer Gleichheit ist, die folgende Eigenschaft: \[\forall\ P, Q : R[X],\ PQ = 0_{R[X]} \Rightarrow P = 0_{R[X]} \vee Q = 0_{R[X]}~.\] Insbesondere, wenn $R$ ein Integritätsring mit entscheidbarer Gleichheit ist, ist $R[X]$ ein Bereich.
Beachten Sie, dass die Eigenschaft $\deg P = d \wedge \deg Q = e \Rightarrow \deg PQ = d + e$ für jeden Integritätsring $R$ gilt (ohne die Annahme, dass die Gleichheit von $R$ entscheidbar ist).

10.29 Körper

Nun geben wir die Definition eines Körpers.

Definition. Ein Körper ist ein (kommutativer, unitärer) Ring $K$, für den die von Null verschiedene Elemente sind genau die invertierbare Elemente: \[\forall\ a : K,\ a \not= 0_{K} \Leftrightarrow \big( \exists\ b : R,\ ab= 1_{K} \big)~.\] Ein Unterkörper $K'$ von $K$ ist ein (unitärer) Unterring $K' \subseteq K$, der ein Körper ist.
Erinnern Sie sich, dass wenn $a$ invertierbar ist, das inverse Element eindeutig ist und als $a^{-1}$ bezeichnet wird.

10.30 Praktische Charakterisierung eines Körpers

Wie für Integritätsringen, haben wir die folgende praktische Charakterisierung eines Körpers.
Satz. Sei $K$ ein (kommutativer, unitärer) Ring. Dann ist $K$ genau dann ein Körper, wenn die folgende Eigenschaften gelten:
1. $1_{K} \not= 0_{K}$.
2. $\forall\ a: K,\ a \not= 0_{K} \Rightarrow \exists\ b : K, \ ab = 1_{K}$.
Den Beweis laß ich als Übung 🙃 .
Insbesondere ist jeder Körper ein Integritätsring: die Eigenschaft $1_{K} \not= 0_{K}$ erfüllt ist und jedes von Null verschiedenes Element $a : K$ ist invertierbar, somit auch kürzbar.

10.31 Übung 5

Sei $R$ ein Ring. Nehmen Sie an, dass $R$ die folgende Eigenschaften erfüllt:
1. $1_R \not= 0_R$.
2. $\forall\ a : R,\ a = 0_R \vee a \in R^\times$.
Zeigen Sie, dass $R$ ein Körper ist.
Nehmen Sie jetzt an, dass die Gleichheit von $R$ entscheidbar ist. Zeigen Sie, dass $R$ ist genau dann ein Körper, wenn die obige Eigenschaften erfüllt sind.

10.32 Beispiele für Körper

Nach was wir auf der Einheitsgruppe eines Rings bewiesen haben, ist der Ring $\mathbb{Q}$ ein Körper und ist der Ring $\mathbb{Z}$ kein Körper: Jedes von Null verschiedenes Element in $\mathbb{Q}$ ist invertierbar aber in $\mathbb{Z}$ ist $2 \not= 0$ und nicht invertierbar.
Im folgenden Satz geben wir Beispiele für endliche Körper an. Wir haben solchen Körper im Beweis des ersten Satz von Sylow benutzt.
Satz. Sei $n : \mathbb{N}_{> 0}$. Dann sind die folgende Eigenschaften paarweise äquivalent:
1. Der Ring $R := \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ist ein Körper.
2. Der Ring $R := \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ist ein Integritätsring.
3. $n$ ist eine Primzahl.
Wir werden den Beweis in zwei Schritten erbringen.

10.33 Übung 6

Sei $K$ ein Körper.
Zeigen Sie, dass wenn $I$ ein Ideal von $K$ ist, gilt $I \not= \{0_K\} \Rightarrow I = K$.
Zeigen Sie auch die umgekehrte Folgerung: wenn jedes von $\{0_K\}$ verschiedene Ideal $I$ von $K$ der gesamte $K$ ist, dann ist $K$ ein Körper.
Zeigen Sie, dass jeder von Null verschiedene Ringhomomorphismus $\varphi : R_1 \to R_2$, wobei $R_1$ ein Körper ist, injektiv ist.

10.34 Endliche Integritätsringe

Zunächst beweisen wir, dass $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ genau dann ein Körper ist, wenn es ein Integritätsring ist. Das heißt, wir beweisen zunächst $(i) \Leftrightarrow (ii)$ vom vorherigen Satz.
Da ein Körper unbedingt ein Integritätsring ist, gilt die Folgerung „$\Rightarrow$“ und reicht es die Folgerung „$\Leftarrow$“ zu beweisen. Dies folgt aus dem nächten Satz.

Satz. Sei $R$ ein endlicher Integritätsring. Dann ist $R$ ein Körper.

Beweis. Da in einem Integritätsring $1_R \not= 0_R$ gilt, reicht es zu beweisen, dass jedes $a \not= 0_R$ invertierbar ist. Schreiben wir $R = (A, +, \times)$. Sei $\mu_a : A \to A$ die Abbildung, die das Element $b : A$ nach $ab$ abbildet. Wenn $ab = ac$ ist, dann, da $a \not= 0_R$ ist und $R$ ein Integritätsring ist, muss $b = c$ sein. Das heißt, $\mu_a$ ist injektiv. Da $A$ endlich ist, muss auch $\mu_a$ surjektiv sein. Insbesondere existiert ein $b : R$ sodass $ab = \mu_a(b) = 1_R$.

Bem. Da $\times$ distributiv über $+$ ist, ist $\mu_a$ ein Gruppenendomorphismus $(A, +) \to (A,+)$.

10.35 Primzahlen im Ring der ganzen Zahlen

Es verbleibt $(ii) \Leftrightarrow (iii)$ im vorherigen Satz zu beweisen. Das heißt, wir möchten beweisen, dass für jedes $n : \mathbb{N}_{> 0}$, der Ring $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ genau dann ein Integritätsring ist, wenn $n$ eine Primzahl ist.
„$\Leftarrow$“ Zunächst nehmen wir and, dass $n$ eine Primzahl ist. Insbesondere ist $n > 1$. Daher gilt $[1] \not= [0]$ in $\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}$. Jetzt werden wir zeigen, dass, wenn $[a][b] = [0]$ in $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ gilt, dann gilt $[a] = [0] \vee [b] = [0]$ in diesem Ring.
Per Definition ist die Bedingung $[a][b] = [0]$ äquivalent zu $[ab] = [0]$. Dies bedeutet, dass $n\ |\ (ab)$ in $\mathbb{Z}$ gilt. Da $n$ eine Primzahl ist, muss $n$ ein Teiler von $a$ oder ein Teiler von $b$ sein. Das heißt, $[a] = [0] \vee [b] = [0]$.
⚠️ Ist es klar, dass eine Primzahl $n$ die folgende Eigenschaft erfüllt? \[\forall\ a, b : \mathbb{Z},\ n\ |\ (ab) \Rightarrow n\ |\ a \vee n\ |\ b~.\] Wenn nicht, können Sie es beweisen?

10.36 Ende des Beweises

„$\Rightarrow$“ In änhlicher Weise, haben wir, dass wenn $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ein Integritätsring ist, die natürliche Zahl $n > 1$ die folgende Eigenschaft erfüllen muss: \[\forall\ a, b : \mathbb{Z},\ n\ |\ (ab) \Rightarrow n\ |\ a \vee n\ |\ b~.\]
Dies impliziert, dass diese $n$ eine Primzahl ist. Aber es ist vielleicht nicht unmittelbar, das zu ableiten, weil die übliche Definition eine Primzahl $n : \mathbb{N}_{> 0}$ die folgende ist: \[\forall\ u : \mathbb{N}_{> 0},\ u\ |\ n \Rightarrow u = 1 \vee u =n~.\] Beweis. Wenn $u\ |\ n$ gilt, existiert ein $v : \mathbb{N}_{>0}$ mit $n = uv$. Insbesondere gilt $n\ |\ (uv)$. Per Annahme auf $n$, muss $n\ |\ u$ oder $n\ |\ v$ gelten.
- Falls $n\ |\ u$ gilt, dann haben wir $u\ |\ n \wedge n\ |\ u$ in $\mathbb{N}_{> 0}$, somit $u = n$.
- Falls $n\ |\ v$ gilt, dann existiert ein $w : \mathbb{N}_{> 0}$ mit wir $n = uv = uwn$. Dies impliziert, dass $uw = 1$ in $\mathbb{N}_{> 0}$ ist, somit $u = 1$.

10.37 Invertierbare Elemente in Polynomringe, die Integritätsringe sind

Satz. Sei $R$ ein Integritätsring mit entscheibarer Gleichheit und sei $P : R[X]$. Dann ist $P$ genau dann invertierbar in $R[X]$, wenn $P$ konstant und invertierbar in $R$ ist. Das heißt, wenn ein $a : R$ existiert, sodass $P = a$ und $a$ invertierbar in $R$ ist.

Beweis. „$\Rightarrow$“ Wenn $P = a$ mit $a \in R^\times$, dann ist das konstante Polynom $Q := a^{-1}$ ein inverse Element für $P$ in $R[X]$. „$\Leftarrow$“ Nehmen wir nun an, dass $P : R[X]$ invertierbar ist. Dann existiert ein $Q : R[X]$, sodass $PQ = 1_{R[X]}$. Insbesondere sind $P, Q \not= 0_{R[X]}$ und gilt $\deg PQ = \deg P + \deg Q$, mit $\deg P, \deg Q$ in $\mathbb{N}_{\geqslant 0}$. Da $\deg 1_{R[X]} = 0$, muss $\deg P + \deg Q = \deg PQ = \deg 1_{R[X]} = 0$ gelten. Somit $\deg P = \deg Q = 0$. Inbesondere sind $P$ und $Q$ konstante Polynome. Das heißt, existieren $a$ und $b$ in $R$, mit $P = a$ und $Q = b$. Dann gilt $ab = PQ = 1_{R[X]} = 1_R$. Das heißt, $a \in R^\times$.

10.38 Polynomringe sind keine Körper

Sei $R$ ein Integritätsring mit entscheibarer Gleichheit.
Die Eigenschaft, die wir im vorherigen Satz bewiesen haben, kann wie folgt geschrieben werden: für $R$ einen Integritätsring mit entscheidbarer Gleichheit, gilt \[R[X]^\times = R^\times .\]
Zum Beispiel, $\mathbb{Q}[X]^\times = \mathbb{Q}^\times = \mathbb{Q} \setminus \{0\}$ und $\mathbb{Z}[X]^\times = \mathbb{Z}^\times = \{+1, -1\}$.
Insbesondere, ist das Element $X$ von $R[X]$ nie invertierbar. Da $X \not= 0_{R[X]}$ ist, bedeutet dies, dass der Integritätsring $R[X]$ kein Körper ist.

10.39 Übung 7

Sei $K$ ein Körper und sei $R \subseteq K$ ein (unitärer) Unterring.
Zeigen Sie, dass $R$ ein Integritätsring ist.
Zeigen Sie, dass die Teilmenge \[R' := \{x : K\ |\ \exists\ a, b \in R,\ b \not= 0_K \wedge x = a b^{-1}\}\] ein Körper ist, der der kleinste Unterkörper von $K$ ist, der $R$ enthält.

10.40 Quotientenkörper

Die vorherige Übung zeigt, dass ein Unterring eines Körpers ein Integritätsring ist. Die folgende Konstruktion besteht eine Umkehrung: ein Integritätsring ist, bis auf Isomorphie, ein Unterring eines Körpers.
Gegeben ein Integritätsring $R$, betrachten wir die Menge \[R \times \big( R \setminus \{0_R\} \big):= \big\{ (a, b) : R \times R\ |\ b \not= 0_R \big\}\] und die Relation \[(a, b) \sim (c, d) := ad - bc = 0_R~.\]
Diese Relation ist eine Äquivalenzrelation. Reflexivität und Symmetrie sind klar, und die Transitivität folgt aus der Tatsache, dass $R$ ein Integritätsring ist: Wenn $ad = bc$ und $cf = de$, dann gilt $adf = bcf =bde$, somit $af = be$.
Die Quotientmenge $(R \times (R \setminus \{0_R\})) / \sim$ heißt der Quotientskörper des Integritätsring $R$.

10.41 Ringstruktur des Quotientenkörpers

Die Quotientmenge $(R \times (R \setminus \{0_R\})) / \sim$ wird als $\text{Frac}(R)$ bezeichnet.
Die Äquivalenzklass des Elements $(a,b) : R \times \big( R \setminus \{0_R\}$ wird als $\frac{a}{b}$ bezeichnet.
Dann setzen wir \[\frac{a}{b} + \frac{c}{d} := \frac{ad + bc}{bd}\ \text{und}\ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} := \frac{ac}{bd}~.\]

Satz. Diese Verknüpfungen sind wohldefiniert und statten $\text{Frac}(R)$ mit einer (kommutativen, unitären) Ringstruktur aus, für die $0_{\text{Frac}(R)} := \frac{0_R}{1_R}$ und $1_{\text{Frac}(R)} := \frac{1_R}{1_R}$ definiert werden.

Beweis. Übung! 😅

10.42 Der Quotientenkörper ist ein Körper

Per Definition, ist genau dann $\frac{a}{b} = 0_{\text{Frac}(R)} = \frac{0_R}{1_R}$ wenn $a = 0_R$.
Insbesondere, da $1_R \not= 0_R$, ist auch $1_{\text{Frac}(R)} \not= 0_{\text{Frac}(R)}$.
Außerdem, wenn $\frac{a}{b} \not= 0_{\text{Frac}(R)}$, dann ist $a \not= 0_R$ und gilt $\frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1_{\text{Frac}}(R)$. Das heißt, $\frac{a}{b}$ ist in diesem Fall invertierbar.
Wir werden später konkretten Beispiele sehen. Ein abstraktes Beispiel ist, gegeben einen Körper $K$, der sogennante rationale Funktionenkörper mit Unbestimmnte $X$: \[K(X) := \text{Frac} \big( K[X] \big) = \left\{ \frac{P}{Q}\ \text{wobei}\ P, Q : K[X], Q \not= 0_{K[X]} \right\}~.\]

10.43 Die universelle Eigenschaft des Quotientenkörpers

Der Quotientenkörper eines Integritätsrings $R$ ist im obigen Sinne der kleinste Körper, der R enthält.
Den Beweis laß ich derzeit als Übung: Es geht um zeigen, dass $\overline{\varphi}(\frac{a}{b}) := \varphi(a)\varphi(b)^{-1}$ wohldefiniert und ein Ringhomomorphismus ist.

10.44 Primideale

Sei $R$ ein (kommutativer, unitärer) Ring.

Definition. Ein Ideal $\mathfrak{p}$ von $R$ heißt ein Primideal, wenn der Ring $R / \mathfrak{p}$ ein Integritätsring ist.
Nach der Charakterisierung eines Integritäsrings, ist ein Ideal $\mathfrak{p}$ von $R$ genau dann ein Primideal, wenn die folgende Eigenschaften erfüllt sind:
1. $1_R \notin \mathfrak{p}$ (das heißt, $\mathfrak{p} \not= R$).
2. $\forall\ a, b : R,\ ab \in \mathfrak{p} \wedge a \notin \mathfrak{p} \Rightarrow b \in \mathfrak{p}$ .

10.45 Weitere Charakterisierung von Primidealen

Wenn das Prädikat $P(a) := a \in \mathfrak{p}$ außerdem entscheidbar ist (das heißt, wenn $a \in \mathfrak{p} \vee a \not\in \mathfrak{p}$ gilt), dann ist $R /\mathfrak{p}$ ein Integritätsring mit entscheidbarer Gleichheit.
In diesem Fall ist die obige Bedingung (ii) äquivalent zu der Eigenschaft: \[\forall\ a, b : R,\ ab \in \mathfrak{p} \Rightarrow a \in \mathfrak{p} \vee b \in \mathfrak{p}~.\]

Der Beweis ist zum Beweis der Charakterisierung der Integrität in Ringen mit entscheidbarer Gleichheit ähnlich.
Beachten Sie, dass ein Hauptideal $I = Rb$ genau dann ein entscheidbares Prädikat $a \in Rb$ induziert, wenn $\forall\ c : R,\ (b\ |\ c) \vee (b\ \nmid c)$ gilt (Übung). Wenn diese Eigenschaft für alles $b$ gilt, sagt man, dass die Teilbarkeitsrelation von $R$ entscheidbar ist.
Wenn man den SAD annimmt, dann sind alle Prädikaten und alle Relationen entscheidbar.

10.46 Maximale Ideale

Sei $R$ ein (kommutativer, unitärer) Ring.

Definition. Ein Ideal $\mathfrak{m}$ von $R$ heißt ein maximales Ideal, wenn der Ring $R / \mathfrak{m}$ ein Körper ist. Daher ist ein maximales Ideal insbesondere ein Primideal.
Nach der Charakterisierung eines Körpers, ist ein Ideal $\mathfrak{m}$ von $R$ genau dann ein Primideal, wenn die folgende Eigenschaften erfüllt sind:
1. $1_R \not\in \mathfrak{m}$.
2. $\forall\ a : R,\ a \notin \mathfrak{m} \Rightarrow \exists\ b, c : R,\ (c \in \mathfrak{m}) \wedge (ab + c = 1_R)$ .
Die Bedingung (ii) bedeutet genau Folgendes: Wenn $a$ nicht zu $\mathfrak{m}$ gehört, dann ist $[a]$ invertierbar in $R / \mathfrak{m}$ (sagt man auch invertierbar modulo $\mathfrak{m}$).

10.47 Übung 8

Sei $R$ ein (kommutativer, unitärer) Ring und sei $\mathfrak{m} \subseteq R$ ein Ideal.
Zeigen Sie, dass $\mathfrak{m}$ genau dann ein maximales Ideal von $R$ ist, wenn die folgende Eigenschaften gelten:
1. $\mathfrak{m} \not= R$.
2. Für alles Ideal $I$ von $R$, gilt $(\mathfrak{m} \subseteq I) \wedge (I \not= \mathfrak{m}) \Rightarrow I =R$ .
Hinweis. Um die Folgerung „$\Rightarrow$“ zu beweisen, erinnern Sie sich daran, dass $(\mathfrak{m} \subseteq I) \wedge (I \not= \mathfrak{m})$ Folgendes bedeutet, $\exists\ a : R,\ (a\in I) \wedge (a \notin \mathfrak{m})$, und betrachten Sie das Ideal $\mathfrak{m} + Ra$. Um die Folgerung „$\Leftarrow$“ zu beweisen, nehmen Sie $a \notin \mathfrak{m}$ und betrachten Sie wieder das Ideal $\mathfrak{m} + Ra$.

10.48 Eine Bemerkung zu maximaler Idealen

Wenn das Prädikat $P(a) := a \in \mathfrak{m}$ außerdem entscheidbar ist, dann ist $R /\mathfrak{m}$ ein Körper mit entscheidbarer Gleichheit.
In diesem Fall ist jedes maximale Ideal $\mathfrak{m}$ ein maximales Element unter den echten Idealen von $R$, wobei ein Ideal $I$ von $R$ echt heißt, wenn die Bedingung $\neg(I = R)$, oder in äquivalenter Weise $1 \notin I$, erfüllt ist. \[\forall\ \text{Ideal}\ I,\ \big( \mathfrak{m} \subseteq I \wedge \neg(I = R) \big) \Rightarrow I = \mathfrak{m}~.\]

Beweis. Nehmen wir an, dass $I$ ein Ideal von $R$ ist, das die Bedingung \[(\mathfrak{m} \subseteq I) \wedge \neg(I = R) \Rightarrow I\]

erfüllt. Da $\mathfrak{m} \subseteq I$ gilt, reicht es zu zeigen, um $I = \mathfrak{m}$ zu beweisen, dass $I \subseteq \mathfrak{m}$ ist. Sei dann $a \in I$. Wir möchten zeigen, dass $a \in \mathfrak{m}$. Da $a \in \mathfrak{m}$ entscheidbar ist, können wir durch Fallunterscheidung argumentieren.

10.49 Ende des Beweises und eine weitere Bemerkung

Gilt $a \in \mathfrak{m} \vee a \notin \mathfrak{m}$.
- Falls $a \in \mathfrak{m}$ ist, dann gilt $a \in \mathfrak{m}$.
- Falls $a \notin \mathfrak{m}$ ist, betrachten wir das Ideal $J := \mathfrak{m} + Ra$. Da $a \notin \mathfrak{m}$ ist, gilt $\mathfrak{m} \subseteq J \not= \mathfrak{m}$. Da $\mathfrak{m}$ ein maximales ideal ist, muss dann, nach der Übung 8, $J =R$ gelten. Das heißt, es gilt $\mathfrak{m} + Ra =R$. Aus $\mathfrak{m} + Ra \subseteq I$ folgt dann $I =R$, was die Annahme $\neg(I = R)$ widerspricht. Aus einer Anwendung von ex falso folgt auch $a \in \mathfrak{m}$.
Dies beendent den Beweis.

Bemerkung. Falls das Prädikat $P_I(a) := a \in I$ für alles Ideal $I$ von $R$ entscheidbar ist, gilt auch die umgekehrte Folgerung: \[\Big( \big( \mathfrak{m} \not= R \big) \wedge \big( \forall\ \text{Ideal}\ I,\ \big( \mathfrak{m} \subseteq I \wedge (1 \notin I) \big) \Rightarrow I = \mathfrak{m} \big) \Big) \Rightarrow \mathfrak{m}\ \text{maximales Ideal}~.\]

10.50 Übung 9

Sei $R$ ein Ring, in dem, für alles Ideal $I$, das Prädikat $P_I(a) := a \in I$ entscheidbar ist (wir werden Beispiele für solche Ringe sehen, nämlich Euklidische Ringe).
Zeigen Sie, dass $\mathfrak{m}$ genau dann ein maximales Ideal von $R$ ist, wenn die folgende Eigenschaft gilt: \[\big( \mathfrak{m} \not= R \big) \wedge \big(\forall\ \text{Ideal}\ I,\ \mathfrak{m} \subseteq I \Rightarrow I =\mathfrak{m} \vee I =R \big)~.\]