21  Galois-Erweiterungen

Ein Porträt von Évariste Galois (1811-1832).

Évariste Galois (1811-1832) war ein französischer Mathematiker. Er starb im Alter von nur 20 Jahren bei einem Duell, erlangte allerdings postum Anerkennung aufgrund seiner Arbeiten zur Lösung algebraischer Gleichungen, der so genannten Galoistheorie, die sich mit der Auflösung algebraischer Gleichungen mit Radikalen befasst.

21.1 Körpererweiterungen, die normal und separabel sind

Definition. Sei \(K\) ein Körper. Eine Erweiterung \(L\) von \(K\), die normal und separabel ist, heißt eine Galois-Erweiterung.

  • Zum Beispiel, für alles \(P : \mathbb{Q}[X]\), wenn \(L/\mathbb{Q}\) ein Zerfällungskörper für \(P\) ist, dann ist \(L\) eine Galois-Erweiterung von \(\mathbb{Q}\). Grund dafür ist: jede algebraische Erweiterung von \(\mathbb{Q}\) separabel ist, und jeder Zerfällungskörper eine normale Erweiterung ist. Explizit können wir die Erweiterung \(\mathbb{Q}[i]\) oder \(\mathbb{Q}[^3\sqrt{2}, j]\) betrachten.
  • Die Körpererweiterung \(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}\) ist ein Beispiel für eine Galois-Erweiterung, die keine endliche Erweiterung ist. Hier ist diese Erweiterung normal, weil jedes \(a : \overline{\mathbb{Q}}\) algebraisch über \(\mathbb{Q}\) ist, und, da \(\overline{\mathbb{Q}}\) algebraisch abgeschlossen ist, das Minimalpolynom von \(a\) in lineare Faktoren über \(\mathbb{Q}\) zerfällt.

21.2 Die Galoisgruppe

Definition. Sei \(L/K\) eine Galois-Erweiterung. Dann heißt die Gruppe \(\text{Aut}_K(L)\) aller \(K\)-Automorphismen von \(L\) die Galoisgruppe von \(L/K\). Diese Gruppe wird dann als \(\text{Gal}(L/K)\) bezeihnet.

  • Wenn \(L\) ein Zerfällungskörper für \(P : K[X]\) ist, heißt \(\text{Gal}(L/K)\) die Galoisgruppe des Polynoms \(P\).
  • Galois’ revolutionäre Intuition besteht darin, dass die Struktur dieser Gruppe Informationen über die Lösbarkeit der Gleichung \(P(x) = 0\) enthält.
  • Er hatte diese Idee, obwohl der Begriff der Gruppe noch nicht definiert war.
  • Damals gab es keine solche Korrespondenz zwischen scheinbar unterschiedlichen Bereichen der Mathematik 🤯 .

21.3 Die Galoisgruppe einer endlichen Galois-Erweiterung

  • Sei \(L/K\) eine endliche Körpererweiterung. Wir wissen bereits, dass \(\text{Aut}_K(L)\) höchstens eine endliche Anzahl von Elementen hat. Wenn \(L/K\) Galois ist, können wir sogar sagen, was die Mächtigkeit von \(\text{Aut}_K(L)\) ist.

    Satz. Sei \(L/K\) eine endliche Galois-Erweiterung. Dann ist \(\text{Gal}(L/K)\) eine endliche Gruppe, mit Ordnung \(|\text{Gal}(L/K)| = [L : K]\) (der Grad der Erweiterung).

  • Bemerkung. Da \(\text{Gal}(L/K)\) eine Teilmenge der Menge aller Funktionen von \(L\) nach \(L\) ist, bedeutet die Bedingung \(\sigma \not= \sigma'\) in \(\text{Gal}(L/K)\), dass die folgende Bedingung gilt: \(\exists\ x : X,\ \sigma(x) \not= \sigma(x')\) in \(L\). Mit dieser Definition, kann man außerdem zeigen, dass die folgende Eigenschaft gilt: \(\forall\ \sigma, \sigma' : \text{Gal}(L/K),\ \sigma = \sigma' \vee \sigma \not= \sigma'\) 🤨 .

  • Beweis des Satzes. Siehe unten.

21.4 Mächtigkeit der Galoisgruppe (Beweis)

  • Da per Annahme \(L\) eine endliche separable Erweiterung von \(K\) ist, existiert, dach dem Satz von primitiven Element, ein \(a : L\) sodass \(L = K[a]\).
  • Sei \(P_a\) das Minimalpolynom von \(a\). Da \(K[a]/K\) normal ist, zerfällt \(P_a\) in lineare Faktoren über \(K[a]\). Außerdem hat \(P\) keine mehrfache Wurzel in \(K[a]\), weil \(P_a\) separabel ist. Das heißt, die Menge aller Wurzeln von \(P_a\), die zu \(K[a]\) gehören, ist eine endliche Menge der Mächtigkeit \(\deg P_a\).
  • In dieser Situation ist aber die Abbildung \(\Phi : \text{End}_K(K[a]) \to \text{Konj}_{K[a]}(a)\) eine Bijektion. Da \(\text{End}_K(K[a]) = \text{Aut}_K(K[a])\) ist, und \(\deg P_a = [K[a] : K]\) ist, ist \(\text{Gal}(L/K)\) eine endliche Gruppe mit Ordnung \([L : K]\).

21.5 Fixpunktkörper

  • Sei \(L\) ein Körper. Die Gruppe aller Ringhomomorphismen von \(L\) nach sich selbst wird als \(\text{Aut}_{\text{Ring}}(L)\) bezeichnet.
  • Sei \(H < \text{Aut}_{\text{Ring}}(L)\) eine beliebige Untergruppe und betrachten wir die Fixpunktmenge \[L^H := \{ x : L\ /\ \forall\ \sigma : H,\ \sigma(x) = x \}~.\]
  • Da die Elemente von \(H\) Ringhomomorphismen sind, ist \(L^H\) ein Teilkörper von \(L\) (Übung).
  • Später werden wir zeigen, dass, wenn \(H\) eine endliche Gruppe ist, dann \(L/L^H\) eine endliche Galois-Erweiterung ist, mit Galoisgruppe \(H\). Insbesondere gilt \([L : L^H] = |H|\).
  • Zuerts betrachten wir aber die Situation, wobei \(L/K\) eine feste endliche Galois-Erweiterung ist.

21.6 Fixpunkte der Galoisgruppe

  • Sei \(L/K\) eine endliche Galois-Erweiterung. Die Galoisgruppe wird als \(G := \text{Gal}(L/K)\) bezeichnet.

  • Per Definition der \(K\)-Automorphismen, gilt \(K \subseteq L^G\). Das heißt, gilt \[\forall\ x : K,\ \forall\ \sigma : \text{Gal}(L/K),\ \sigma(x) = x\] Tatsächlich gilt das für alle Körpererweiterung, mit \(G := \text{Aut}_K(L)\). Für eine endliche Galois-Erweiterung gilt auch die umgekehrte Inklusion. Dies ergibt sich aus dem folgenden stärkeren Satz, weil \(\exists\ \sigma : G, \sigma(x) \not= x \Rightarrow \neg (\forall\ \sigma : G,\ \sigma(x) = x)\quad (\Leftrightarrow x \notin L^G)\).

    Satz. Sei \(L/K\) eine endliche Galois-Erweiterung. Dann gilt die folgende Eigenschaft: \[\forall\ x : L,\ x \notin K \Rightarrow \exists\ \sigma : \text{Gal}(L/K),\ \sigma(x) \not= x~.\]

21.7 Die Fixpunkte der Galoisgruppe gehören zum Grundkörper (Beweis)

  • Wir möchten zeigen, dass \(x \in L^G \Rightarrow x \in K\) gilt. Da \(x \notin K\) entscheidbar ist, reicht es zu zeigen, dass \(x \notin K \Rightarrow x \notin L^G\). Dafür genügt es den vorherigen Satz zu beweisen.

  • Sei \(P_x : K[X]\) das Minimalpolynom von \(x\). Da \(x \notin K\), gilt \(\deg P_x > 1\). Da \(L/K\) normal und separabel ist, hat \(P_x\) mindestens eine Wurzel \(y : L\) mit \(y \not= x\).

  • Da \(K[x] \simeq K[X]\ /\left< P_x \right>\) und \(P_x(y) = 0_L\), gibt es ein (eindeutiger) \(K\)-Homomorphismus \(\tau : K[x] \to L\) mit \(\tau(x) = y\). Inbesondere gilt \(\tau(x) \not= x\).

  • Da \(L/K\) galoissch ist, können wir den \(K\)-Homomorphismus \(\tau : K[x] \to L\) zu einem \(K\)-Homomorphismus \(\sigma : L \to L\) fortsetzen, der unbedingt ein \(K\)-Automorphismus von \(L\) ist. Dann haben wir den folgenden Satz bewiesen.

    Satz. Sei \(L/K\) eine endliche Galois-Erweiterung. Dann gilt \(L^{\text{Gal}(L/K)} = K\) .

21.8 Eine Abbildung, aus Zwischenerweiterungen nach Untergruppen

  • Sei \(L/K\) eine Galois-Erweiterung und sei \(G := \text{Gal}(L/K)\) ihre Galoisgruppe.
  • Sei \(K \subseteq M \subseteq L\) eine Zwischenerweiterung. Da jedes \(a : L\) normal und separabel über \(K\) ist, ist \(a\) auch normal und separabel über \(M\). Das heißt, \(L/M\) ist eine Galois-Erweiterung.
  • Da \(K \subset M\) ist, ist die Galois-gruppe \(\text{Gal}(L/M) := \text{Aut}_M(L) = \{\sigma : L \to L\ /\ \sigma|_M = id_M \}\) eine Untergruppe von \(\text{Gal}(L/K) := \text{Aut}_K(L) = \{\sigma : L \to L\ /\ \sigma|_K = id_M \}\). Daher haben wir die folgende Abbildung \(\Phi\) definiert: \[\begin{array}{rcl} \big\{ \text{endlich-dim. Zwischenerweit. von}\ L/K \big\} & \overset{\Phi}{\longrightarrow} & \big\{ \text{Endliche Untergruppen von}\ \text{Gal}(L/K) \big\} \\ M & \longmapsto & \text{Gal}(L/M) \end{array} \]
  • Der Hauptsatz der Galois-Theorie behauptet, dass, wenn \(L/K\) eine endliche Galois-Erweiterung ist, dann auch diese Abbildung \(\Phi\) eine Bijektion ist. Zuerst werden wir zeigen, dass \(\Phi\) injektiv ist. Die Abbildung \(\Phi\) wird oft die Galois-Korrespondenz genannt.

21.9 Injektivität der Galois-Korrespondenz

  • Die Idee für den Beweis der Injektivität von \(\Phi\) ist die folgende: Um die Eigenschaft \(\Phi(M) = \Phi(N) \Rightarrow M = N\) zu beweisen, genügt es \(M^{\text{Gal}(L/M)} = M\) zu zeigen.

  • Dies bedeutet, dass wir eine Abbildung \(\Psi(H) := L^H\) bauen, die eine Linkinverse zu \(\Phi\) ist. Das heißt, eine Abbildung \(\Psi\) mit \(\Psi \circ \Phi = id\). Später werden wir zeigen, dass \(\Phi \circ \Psi = id\) auch gilt. Das heißt, \(\Psi\) ist auch eine Rechtsinverse. Der präzise Satz ist der folgende.

    Satz. Sei \(L/K\) eine endliche Galois-Erweiterung und sei \(M / K\) eine endlich-dimensionale Zwischenerweiterung. Dann gilt \(L^{\text{Gal}(L/M)} = M\).

    Beweis. Nach der Konstruktion von \(\Phi\), dass \(L/M\) eine Galois-Erweiterung ist. Da \(L/M\) endlich ist, folgt aus dem Satz über Fixpunten der Galoisgruppe, dass \(L^{\text{Gal}(L/M)} = M\) ist.

21.10 Normale Erweiterungen des Grundkörpers

Wir möchten zeigen, dass die Galois-theorie es uns erlaubt, die Eigenschaften der Zwischenerweiterung \(M\) von \(L/K\) in Eigenschaften der Untergruppe \(\text{Gal}(L/M)\) zu übersetzen.

Satz. Sei \(L/K\) eine endliche Galois-Erweiterung und sei \(M / K\) eine endlich-dimensional Zwischenerweiterung. Dann ist \(M/K\) genau dann eine normale Erweiterung, wenn \(\text{Gal}(L/M)\) eine normale Untergruppe von \(\text{Gal}(L/K)\) ist. In diesem Fall gilt außerdem \[\text{Gal}(M/K)\ \simeq\ \text{Gal}(L/K) \big/ \text{Gal}(L/M)~.\]

Bemerkung. Da \(M/K\) eine Zwischenerweiterung der separablen Erweiterung \(L/K\) ist, ist \(M/K\) separabel. Daher ist \(M/K\) genau dann normal, wenn \(M/K\) eine Galois-Erweiterung ist.

21.11 Zwischenerweiterungen, die normal sind

„\(\Rightarrow\)“ Nehmen wir an, dass \(M/K\) eine normale Erweiterung ist und zeigen wir, dass \(\text{Gal}(L/M) \lhd \text{Gal}(L/K)\) eine normale Untergruppe ist.

  • Nach der Bermerkung ist \(M/K\) Galois und wir werden die Automorphismengruppe dieser Erweiterung als \(\text{Gal}(M/K)\) bezeichnen.
  • Da \(M/K\) normal ist, ist \(M\) invariant unter allen Automorphismen \(\sigma : \text{Gal}(L/K)\). Das heißt, gilt \(\sigma(M) \subseteq M\) und die induziert einen Gruppenhomomorphismus \[\begin{array}{rcl} \text{Res}_M : \text{Gal}(L/K) & \longrightarrow & \text{Gal}(M/K) \\ \sigma & \longmapsto & \sigma|_M \end{array} \] dessen Kern die Gruppe \(\text{Ker}\ \text{Res}_M = \{ \sigma : L \to L /\ \sigma|_M = id_M \} = \text{Gal}(L/M)\) ist.
  • Es folgt daraus, dass \(\text{Gal}(L/M)\) eine normale Untergruppe von \(\text{Gal}(L/K)\) ist.

21.12 Die Galois-Gruppe einer normalen Zwischenerweiterung

  • In der obigen Situation (das heißt, wenn \(M/K\) normal ist), können wir außerdem die Galoisgruppe \(\text{Gal}(M/K)\) bestimmen.
  • Es reicht zu zeigen, dass der Homomorphismus \(\text{Res}_M : \text{Gal}(L/K) \to \text{Gal}(M/K)\) surjektiv ist. Da \(\text{Ker}\ \text{Res}_M = \text{L/M}\), folgt daraus, dass \(\text{Res}_M\) einen Gruppenisomorphismus \(\text{Gal}(M/K) \simeq \text{Gal}(L/K) / \text{Gal}(L/M)\) induziert.
  • Um zu zeigen, dass \(\text{Res}_M\) surjektiv ist, nehmen wir \(\sigma : \text{Gal}(M/K)\). Da \(M \subseteq L\) ist, kann \(\sigma : M \to M\) als Element von \(\text{Hom}_K(M, L)\) angesehen werden. Da \(L/K\) endlich-dimensional als \(K\)-Vektorraum ist, und \(M \subseteq L\) eine Zwischenerweiterung ist, ist \(L/M\) endlich-dimensional und besitzt der \(K\)-Homomorphismus \(\sigma : M \to L\) eine Fortsetzung \(\widehat{\sigma} : L \to L\), die ein \(K\)-Endomorphismus, somit auch ein \(K\)-Automorphismus, von \(L\) ist. Per Definition bedeutet dies, dass \(\text{Res}_M (\widehat{\sigma}) = \widehat{\sigma}|_M = \sigma\). Das heißt, \(\text{Res}_M\) ist surjektiv.

21.13 Zwischenerweiterungen, deren Galoisgruppe normal ist

„\(\Leftarrow\)“ Nehmen wir nun an, dass \(\text{Gal}(L/M) \lhd \text{Gal}(L/K)\) eine normale Untergruppe ist und zeigen wir, dass \(M/K\) eine normale Erweiterung ist.

  • Da \(L/K\) endlich-dimensional und normal ist, genügt es zu zeigen, dass \(\forall\ \sigma : \text{Gal}(L/K)\), \(\sigma(M) = M\).
  • Die Annahme, dass \(\text{Gal}(L/M)\) eine normale Untergruppe von \(\text{Gal}(L/K)\) ist, bedeutet, dass \(\forall\ \sigma : \text{Gal}(L(/K),\ \sigma \text{Gal}(L/M) \sigma^{-1} = \text{Gal}(L/M)\). Gilt aber, per Definition, dass \(\sigma \text{Gal}(L/M) \sigma^{-1} = \text{Gal}(L/\sigma(M))\). Daher gilt \(\forall\ \sigma : \text{Gal}(L/K),\ \text{Gal}(L/M) = \text{Gal}(L/\sigma(M))\).
  • Da \(L/M\) und \(L/\sigma(M)\) endliche Galois-Erweiterungen sind, folgt es daraus, dass \(\forall\ \sigma : \text{Gal}(L/K),\ \sigma(M) = L ^ {\text{Gal}(L/\sigma(M))} = L ^ {\text{Gal}(L/M)} = M\).

21.14 Surjektivität der Galois-Korrespondenz

  • Wir möchten noch die Surjektivität der folgenden Abbildung zeigen. \[\begin{array}{rcl} \big\{ \text{endlich-dim. Zwischenerweit. von}\ L/K \big\} & \overset{\Phi}{\longrightarrow} & \big\{ \text{Endliche Untergruppen von}\ \text{Gal}(L/K) \big\} \\ M & \longmapsto & \text{Gal}(L/M) \end{array} \]
  • Die Idee ist, eine inverse Abbildung zu konstruieren. Dazu werden wir die folgende Abbildung betrachten. \[\begin{array}{rcl} \big\{ \text{endlich-dim. Zwischenerweit. von}\ L/K \big\} & \overset{\Psi}{\longleftarrow} & \big\{ \text{Endliche Untergruppen von}\ \text{Gal}(L/K) \big\} \\ L^H & \longleftarrow\!\shortmid & H \end{array} \]
  • Wir haben bereits gesehen, dass \(\Psi \circ \Phi = id\) ist (das heißt, \(L^{\text{Gal}(L/M)} = M\) und das war der Beweis für die Injektivität von \(\Phi\)). Nun werden wir zeigen, dass \(\Phi \circ \Psi = id\) auch gilt. Das heißt, dass \(\text{Gal}(L/L^H) = H\) ist.