15 Algebraische Elemente und endliche Erweiterungen

Emil Artin (1898-1962) war ein österreichisch-deutscher Mathematiker und einer der führenden Algebraiker des 20. Jahrhunderts. Artin arbeitete vor allem auf dem Gebiet der Algebra und Zahlentheorie. Im Rahmen seiner Forschungen zu reellen Körper, löste er 1927 das 17. Hilbertsche Problem (Darstellung nicht-negativer Funktionen als Summe von Quadraten).

15.1 Körpererweiterungen

In der Galois-Theorie werden wir fast immer Paaren \((L,K)\) betrachten, wobei \(L\) ein Körper ist, und \(K \subseteq L\) ein Unterkörper (oder Teilkörper) von \(L\) ist.
Das ist eine recht häufige Situation, wenn man zum Beispiel ein Polynom mit Koeffizienten im Körper \(\mathbb{R}\) hat, und man eine Nullstelle von \(P\) im \(\mathbb{C}\) sucht (d.h. ein \(x : \mathbb{C}\), mit \(P(x) = 0\)).
Definition. Sei \(L\) ein Körper, und sei \(K \subseteq\) eine Teilmenge von \(L\) die \(0_L\) und \(1_L\) enthält und die folgende Eigenschaften erfüllt:
1. \(\forall\ a, b \in K,\ a + b \in K \wedge ab \in K\).
2. \(\forall\ a \in K, a \not= 0_L \Rightarrow a^{-1} \in K\).
Dann heißt \(K\) ein Teilkörper von \(L\). In dieser Situation, sagt man auch, dass \(L\) ein Oberkörper von \(K\) ist. Das Paar \((L,K)\) wird eine Körpererweiterung genannt, und als \(L/K\) bezeichnet (⚠️ das ist keinen Faktorring!).

15.2 Beispiele für Körpererweiterungen

\(\mathbb{C} / \mathbb{R}\) ist eine Körpererweiterung. So auch sind \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}) / \mathbb{Q}\) und \(\mathbb{Q}(i) / \mathbb{Q}\).
In den vorherigen Beispielen für eine Körpererweiterung \(L/K\) ist \(L\) ein endlich-dimensionaler \(K\)-Vektorraum. Das ist nicht immer der Fall, wie das nächste Beispiel zeigt.
Ist \(K\) ein Körper, dann ist der Körper rationaler Funktionen \(K(X) := \text{Frac}(K[X])\) (der Quotientenkörper des Polynomings mit Koeffizienten in \(K\)) ein Oberkörper von \(K\), die als \(K\)-Vektorraum nicht endlich-dimensional ist.
Gegeben eine Körpererweiterung \(L/K\), sagt man auch einfach, dass der Körper \(L\) eine Körpererweiterung von \(K\) ist.

Im Folgenden nehmen wir stets an, dass unsere Körper eine entscheidbare Gleichheit besitzen.

15.3 Algebren über einem Körper

Eine Körpererweiterung \(L\) von \(K\) ist auch ein Beispiel für eine \(K\)-Algebra.
Definition. Sei \(K\) ein Körper. Eine \(K\)-Algebra ist ein Tupel \[A := (A.\text{carrier}, +, 0_A, -, \times, 1_A, \ \cdot\ )\] wobei:
1. Das Tupel \((A.\text{carrier}, +, 0_A, -, \times, 1_A, \cdot)\) ein Ring ist.
2. Das Tupel \((A.\text{carrier}, +, 0_A, -, \ \cdot\ )\) ein \(K\)-Vektorraum ist.
Dies bedeutet, dass\(\ \cdot\ : K \times A \to A\) eine Abbildung ist, die eine Vektorraumstruktur auf der abelsche Gruppe \((A.\text{carrier}, +, 0_A, -)\) definiert. Insbesondere gilt \(\forall\ a : A,\ 1_K \cdot a = a\).
Ein \(K\)-Algebrenhomomorphismus ist eine \(K\)-lineare Abbildung \(\varphi : A \to B\), die auch ein Ringhomomorphismus ist.

15.4 Übung 1

Sei \(K\) ein Körper. Zeigen Sie, dass der Ring \(K[X]\) eine Algebrastruktur über \(K\) besitzt.
Zeigen Sie die folgende universelle Eigenschaft für die Polynomalgebra \(K[X]\).

Für alle \(K\)-Algebra \(A\) und alles Element \(x : A\), existiert ein eindeutiger Algebrenhomomorphismus \(\varphi_x : K[X] \to A\) mit \(\varphi_x(X) = x\).

Wenn \(A = L\) ein Oberkörper von \(K\) ist, heißt der obige Algebrahomomorphismus \(\varphi_x : K \to L\) ein Auswertungshomomorphismus.
Zeigen Sie, dass jeder \(K\)-Algebrenendomorphismus \(\varphi : K[X] \to K[X]\) ein sogenannter Substitutionshomomorphismus ist. Das heißt, existiert ein \(Q : K[X]\), sodass Folgendes gilt: \[\forall\ P : K[X],\ \varphi(P) =P(Q(X))~.\]

15.5 Endliche Körpererweiterungen

Sei \(L/K\) eine Körpererweiterung. Wenn \(L\) ein endlich-dimensionaler \(K\)-Vektorraum ist, heißt die Körpererweiterung \(L/K\) eine endliche Körpererweiterung.

Definition. Sei \(L/K\) eine endliche Körpererweiterung. Die Dimension von \(L\) als \(K\)-Vektorraum wird der Grad der Erweiterung genannt, und als \([L:K]\) bezeichnet.
Zum Beispiel, sei \(P : K[X]\) ein irreduzibles Polynom. Da \(K[X]\) ein Hauptidealring ist, ist das Ideal \(\left\) ein maximales Ideal von \(K[X]\) und ist der Ring \(L := K[X]\ /\left<P\right>\) ein Körper. Sei \(a := X\ \text{mod}\ P\) die Klasse von \(X\) modulo \(\left\) in \(L\). Dann ist \(L\) eine endliche Körpererweiterung von \(K\), deren Dimension gleich zum Grad von \(P\) ist. Um das zu zeigen, reicht es eine Basis von \(L\) über \(K\) zu finden (siehe unten).

15.6 Adjunktion

Gegeben einen Körper \(K\) und ein irreduzibles Element \(P : K[X]\), kann man einen neuen Körper bauen, in dem \(P\) eine Nullstelle hat. Nämlich nehmen wir \(L := K[X]\ / \left\). In diesem Körper ist \(a := \text{Kl}(X)\) (die Klasse von \(X\) modulo das Ideal \(\left<P\right>\)) eine Nullstelle von \(P\), weil \(P(a) = P(\text{Kl}(X)) = [P(X)] = [0_K] = 0_L\) in \(L\).
Zum Beispiel ist die Klasse von \(X\) im Körper \(\mathbb{C} := \mathbb{R}[X]\ / \left< X^2 + 1 \right>\) normalerweise als \(i\) bezeichnet.

Satz. Sei \(P\) ein irreduzibles Polynom über einem Körper \(K\). Dann ist der Körper \(L := K[X]\ / \left\) eine endliche Erweiterung von \(K\), mit \[\dim_K \big( K[X]\ / \left \big) = \deg P~.\]
Bemerkung. Diese Formel erklärt, warum im Allgemeinem \(\dim_K L\) als Grad der Erweiterung bezeichnet wird.

15.7 Dimension einer Adjunktion (Beweis)

Geben wir einen Beweis für die Formel \(\dim_K ( K[X]\ / \left ) = \deg P\) .
Sei \(a := \text{Kl}(X)\) die Klasse von \(X\) modulo \(P\). Da \(P\) irreduzibel ist, ist \(\deg P = n + 1\) für geeignetes \(n : \mathbb{N}\). Wir werden zeigen, dass \(\{1_L, a,\ \ldots\ , a^n \}\) eine Basis für \(K[X]\ / \left\) ist.
Dies folgt aus der folgenden Bemerkung. Jeder Element von \(K[X]\ / \left\) ist die Klasse \([S]\) eines Polynoms \(S : K[X]\). Für ein solches \(S\), existieren eindeutige Polynome \(Q\) und \(R\) mit \(S = PQ + R\) und \(\deg R < \deg P\). Das heißt, \(R = b_0 + b_1 X +\ \ldots\ + b_n X^n\). Dann können wir \(\text{Kl}(S)\) eindeutig wie folgt schreiben: \[\text{Kl}(S) = \text{Kl}(R) = b_0 + b_1 \text{Kl}(X) +\ \ldots\ + b_n \text{Kl}(X)^n = b_0 + b_1 a +\ \ldots\ + b_n a^n~.\]
Dies zeigt, dass \((1_{K[X]\ / \left}, a,\ \ldots\ , a^n)\) eine Basis für \(K[X]\ / \left\) ist. Daher gilt \[\dim_K \big( K[X]\ / \left \big) = (n + 1)~.\]

15.8 Übung 2

Sei \(K\) ein Körper und sei \(n : \mathbb{N}_{\geqslant 0}\). Sei \(P : K[X]\) ein Polynom mit \(\deg P = n\) (insbesondere ist \(P \not= 0_{K[X]}\)).
Unter Verwendung der euklidischen Division von Polynomen, zeigen Sie, dass die \(K\)-Algebra \(K[X]\ / \left\) ein \(K\)-Vektorraum mit dimension \(n\) ist. Bemerkung. Diese Übung zeigt, dass die Annahme, dass \(P\) irreduzibel ist, nicht hilfreich ist, um die Dimension des \(K\)-Vektorraums \(K[X]\ / \left\) zu bestimmen. Diese Annahme ist nur notwendig, um behaupten zu können, dass die \(K\)-algebra \(K[X]\ /\left\) ein Körper ist.

15.9 Gradsatz

Endliche Körpererweiterungen weisen nützliche Eigenschaften aus.

Satz. Sei \(L/K\) eine Körpererweiterung und sei \(K \subseteq M \subseteq L\) ein Zwischenkörper. Sind \(L/M\) und \(M/K\) endlich, dann ist \(L/K\) auch endlich. In diesem Fall gilt die Gleichheit: \[[L:K] =[L:M][M:K]~.\]

Beweis. Beachten wir zunächst, dass \(M\) ein \(K\)-Vektorraum ist, und dass \(L\) ein \(M\)-Vektorraum ist. Wenn \(M\) endlich-dimensional über \(K\) ist und \(L\) endlich-dimensional über \(M\) ist, folgt aus der linearen Algebra, dass \(L\) endlich-dimensional über \(K\) ist. In diesem Fall gilt außerdem \(\dim_K L = (\dim_M L) (\dim_K M)\) .

Bemerkung. Wenn \(L\) endlich-dimensional über \(K\) ist, und \(M\) endlich erzeugt über \(K\) ist, dann ist \(M\) endlich-dimensional über \(K\) und gilt die Formel auch in diesem Fall. Unter dem SAD, kann die Annahme, dass \(M\) endlich erzeugt über \(K\) ist, weggelassen werden.

15.10 Algebraische Elemente

Sei \(L/K\) eine Körpererweiterung.

Definition. Ein Element \(x : L\) wird algebraisch über \(K\) genannt, wenn ein Polynom \(P : K[X]\) existiert, sodass die folgende Eigenschaften gelten: \[\big( P \not= 0_{K[X]} \big) \wedge \big( P(x) = 0_L \big)~.\] Wenn \(x\) nicht algebraisch über \(K\) ist, heißt \(a\) transzendent über \(K\).
Zum Beispiel ist die reelle Zahl \(\sqrt{2} : \mathbb{R}\) algebraisch über \(\mathbb{Q}\), denn für \(P = X^2 - 2 \in \mathbb{Q}[X]\) ist \(P(\sqrt{2}) = 0_{\mathbb{R}}\).
Im Gegensatz dazu, ist die reelle Zahl \(\pi\) nicht algebraisch über \(\mathbb{Q}\). Das Problem, festzustellen, ob \(\pi\) transzendent ist, ist als Quadratur des Kreises bezeichnet und blieb über 20 Jahrhunderte lang ungelöst 😱 (Satz von Lindemann, 1882).

15.11 Bemerkungen zu algebraischer Elemente

Sei \(L/K\) eine Körpererweiterung und \(x : L\).
Wenn \(x \in K\) gilt, ist \(x\) algebraisch über \(K\), denn für \(P = X - x \in K[X]\) ist \(P(x) = 0_K\).
Wenn \(x\) algebraisch über \(K\) ist, dann, für alles Polynom \(P\) mit \(P(x) = 0_L\) , ist \(P\) kein konstantes Polynom. Insbesondere existiert ein \(n : \mathbb{N}\), mit \(\deg P = n + 1\).
Wenn \(x\) algebraisch über \(K\) ist und \(P : K[X]\) ein Polynom mit \(\deg P = n + 1\) und \(P(x) = 0_L\) ist, dann können wir annehmen, dass der Leitkoeffizient von \(P\) gleich zu \(1_K\) ist. Ansonsten, nehmen wir \(Q := \frac{1}{a_{n+1}}P\), wobei \(a_{n+1}\) der Leitkoeffizient von \(P\) ist. Dann gilt noch \(Q(x) = 0_L\) und jetzt ist der Leitkoeffizient von \(Q\) gleich zu \(1_K\).
Kurz zu sagen, ein Element \(x :L\) ist genau dann algebraisch über \(K\), wenn es eine algebraische Gleichung der folgenden Gestalt gibt: \[a_0 + a_1 x +\ \ldots\ + a_n x^n + x^{n+1} = 0_L~,\ \text{mit}\ n : \mathbb{N}_{\geqslant 0}\ \text{und}\ a_0, a_1,\ \ldots\ , a_n \in K~.\]

15.12 Übung 3

Sei \(L/K\) eine Körpererweiterung und sei \(x : L\).
Zeigen Sie, dass das Bild des Auswertungshomomorphismus \(\varphi_x : K \to L\) aus Übung 1, der \(P : K[X]\) nach \(P(x) : L\) abbildet, explizit wie folgt beschrieben werden kann: \[\begin{array}{rcl} K[x] & := & \{ y : L\ |\ \exists\ P : K[X],\ y = P(x) \} \\ & = & \{y = a_0 + a_1 x +\ \ldots\ + a_p x^m\ /\ m : \mathbb{N}_{\geqslant 0},\ \forall\ i \in \{0,\ \ldots\ , m \},\ a_i \in K\}~. \end{array} \]
Zeigen Sie außerdem, dass \(K[x]\) die kleinste Teilalgebra von \(L\) ist, die \(K\) und \(x\) enthält.
Zeigen Sie, dass die Teilmenge \[ K(x) := \left\{ y : L\ \big/\ y = \textstyle\frac{P(x)}{Q(x)}\ \text{mit}\ P, Q : K[X]\ \text{und}\ Q(x) \not= 0_L \right\}\] ein Teilkörper von \(L\) ist, der der kleinste Teilkörper von \(L\) ist, der \(K\) und \(x\) enthält.

15.13 Charakterisierung algebraischer Elemente

Die folgende Charakterisierung algebraischer Elemente einer Körpererweiterung \(L/K\) wird ständig verwendet.
Satz. Sei \(L/K\) eine Körpererweiterung. Dann sind, für alles \(x :L\), die folgenden Bedingungen äquivalent:
1. Das Element \(x : L\) ist algebraisch über \(K\).
2. Die \(K\)-Algebra \(K[x] \subseteq L\) ist als \(K\)-Vektorraum endlich erzeugt.
Wir werden tatsächlich eine Äquivalenz zwischen den folgenden Eigenschaften aufzeigen:
1. Existiert ein Polynom \(P : K[X]\) mit \(P(x) = 0_L\) und \(\deg P \leqslant n + 1\).
2. Existieren \((n + 1)\) Elemente \(v_1,\ \ldots\ , v_{n + 1} : K[x]\) mit \(K[x] = \left< v_1,\ \ldots\ , v_{n + 1} \right>_K\), wobei \(\left< v_1,\ \ldots\ , v_{n +1} \right>_K\) der \(K\)-Vektorraum \(K v_1 +\ \ldots\ + K v_{n + 1} \subseteq K[x]\) ist.

15.14 Beweis für die Charakterisierung der Algebraizität eines Elements

„(i) \(\Rightarrow\) (ii)“ Nehmen wir zunächst an, dass \(x : L\) algebraisch über \(K\) ist.

Dann existiert ein nicht-konstantes Polynom \(P : K[X]\) mit Leitkoeffizient \(1\) sodass \(P(x) = 0_L\). Insbesondere finden wir eine algebraische Gleichung \[a_0 + a_1 x +\ \ldots\ + a_n x^n + x^{n + 1} = 0_L~.\]
Sei \(V_x := \left< 1_L, x, x^2,\ \ldots\ , x^n \right>_K\) der von die \(n + 1\) Elemente \(1_L\), \(x\), \(x^2\), … , \(x^n\) erzeugt \(K\)-Vektorunterraum. Da für alles \(k \in \{0,\ \ldots,\ n\}\), gilt \(x^k \in K[x]\), gilt auch \(V_x \subseteq K[x]\).
Nun behaupten wir, dass \(K[x] = V_x\). Da für alles \(k \leqslant n,\ x^k \in V_x\) gilt, reicht es Folgendes durch Induktion über \(k\) zu beweisen: \(\forall\ k : \mathbb{N}_{\geqslant 1},\ x^{n+k} \in V_x\).
Zunächst gilt \(x^{n+1} = - (a_0 + a_1 x +\ \ldots\ + a_n x^n) \in V_x\). Danach, nach der Induktionsannahme schreiben wir \(x^{n + k +1} = x\ x^{n+k} = x \sum_{i = 0}^n \lambda_i x^i = \sum_{i=0}^{n} \lambda_i x^{i + 1} \in V_x\) , denn jedes \(x^{i+1} \in V_x\) . Dies beendet die Induktion. Daher ist \(K[x] = \left< 1_L, x, x^2,\ \ldots\ , x^n \right>_K\).

15.15 Ende des Beweises für die Charakterisierung der Algebraizität

„(i) \(\Leftarrow\) (ii)“ Nehmen wir nun an, dass die \(K\)-Algebra \(K[x] \subseteq L\) als \(K\)-Vektorraum endlich erzeugt ist.

Da die Elemente von \(K[x]\) von der Form \(a = a_0 + a_1 x +\ \ldots\ + a_n x^n\) sind, und \(K[x] = \left< P_1,\ \ldots\ , P_m \right>_K\) ist, behaupten wir, dass es ein \(n : \mathbb{N}_{\geqslant 1}\) gibt, sodass \(K[x] = \left< 1_L, x,\ \ldots\ , x^n \right>_K\) als \(K\)-Vektorunterraum von \(L\). Um das zu zeigen, nehmen wir \(n\) groß genug, so dass, für jedes \(i \in \{1,\ \ldots\ , m\},\ \deg P_i \leqslant n\) gilt.
Dann sind die \((n+2)\) Elemente \((1, x,\ \ldots\ , x^n, x^{n+1})\) linear abhängig in \(K[x]\). Eine lineare Abhängigkeitsrelation zwischen ihnen ist genau eine algebraische Gleichung \(a_0 + a_1 x +\ \ldots\ + a_n x^n + a_{n + 1} x^{n + 1} = 0_L\), wobei es mindestens ein \(i \in \{0,\ \ldots\ , n + 1\}\) mit \(a_i \not= 0_K\) gibt. Wenn \(0\) die eindeutige \(i\) mit \(a_i \not= 0_K\) wäre, dann würde \(a_0 = 0_L \wedge a_0 \not= 0_K\) gelten, was ein Widerspruch zu \(0_K = 0_L\) ist. Daher muss ein \(i \geqslant 1\) mit \(a_i \not= 0_K\) existieren.
Dies bedeutet genau, dass \(x\) algebraisch über \(K\) ist.

15.16 Algebren, die endlich-dimensional als Vektorraum sind

Der folgende Satz liefert Beispiele für algebraische Elemente und hat viele praktische Anwendungen.

Satz. Sei \(L/K\) eine Körpererweiterung und sei \(A\) eine \(K\)-Unteralgebra von \(L\). Dann gilt \[\big(A\ \text{endlich-erzeugt als}\ K\text{-Vektorraum}\big)\ \Rightarrow \big(\forall\ x : L,\ x \in A \Rightarrow x\ \text{algebraisch ueber}\ K\big).\]
Beweis. Gegeben ein Element \(x \in A\), möchten wir ein Polynom \(P : K[X]\) konstruieren, sodass \(\deg P \geqslant 1 \wedge P(x) = 0_A\) .
Da \(A\) als \(K\)-Vektorraum endlich erzeugt ist, existiert Elemente \(v_1,\ \ldots\ , v_n\) in \(A\), sodass \(A = \left< v_1,\ \ldots\ , v_n \right>_K\). Für jedes \(i\), existieren daher Elemente \((m_{ij})_{0 \leqslant j \leqslant n}\) in \(K\), sodass \[x\ v_i = \sum_{j=1}^n m_{ij} v_j\ \text{in}\ A~.\]

15.17 Ende des Beweises

Das können wir auch eine Gleichheit zwischen den folgenden Vektoren von \(A^n\) schreiben. \[\begin{pmatrix} m_{11} & \ldots & m_{1n} \\ m_{21} & \ldots & m_{2n} \\ \vdots & & \\ m_{n1} & \ldots & m_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} =: x v~.\] Das heißt, \((M - x I_n) v = 0\) in \(A^n\), mit \(M \in \text{Mat}(n;K)\) .
Daher gilt auch \(C(M - x I_n)^t\ M\ v = 0\), wobei \(C(M - x I_n)\) die Matrix der Kofaktoren von \(M - x I_n\) ist. Das heißt, gilt für alles \(i \in \{1,\ \ldots\ , n\}\), \(\det(M - x I_n) v_i = 0_A\ (= 0_L)\).
Aber \(C(M - x I_n)^t M = \det(M - x I_n)I_n\) . Da \(1_A\ (= 1_L)\) eine lineare Kombination der \((v_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}\) ist, folgt daraus, dass \(\det(M - x I_n) 1_L = 0_L\) ist. Da \(\det(M - x I_n) = 0_L\) eine polynomiale Gleichung für \(x\) mit Koeffizienten in \(K\) ist, ist \(x\) algebraisch über \(K\).

15.18 Bemerkungen zu dem vorherigen Beweis

Unter dem SAD, kann man wie folgt argumentieren.
- Da \(K[x] \subset A\) ist, und \(A\) ein endlich erzeugt \(K\)-Vektorraum ist, ist \(K[x]\) auch als \(K\)-Vektorraum endlich erzeugt.
- Dann folgt aus der Charakterisierung der algebraischer Elemente einer Körpererwiterung, dass \(x\) algebraisch über \(K\) ist.
Der von uns gegebene Beweis hat jedoch den Vorteil, dass er sich auf den Fall von ganzen Elementen über einem Ring verallgemeinern lässt.

15.19 Zweite Charakterisierung algebraischer Elemente

Wir können nun die folgende Bedingung zur Charakterisierung der algebraischen Elemente einer Körpererweiterung \(L/K\) zusätzen.

Satz. Sei \(L/K\) eine Körpererweiterung. Dann sind, für alles \(x :L\), die folgenden Bedingungen äquivalent:

Das Element \(x : L\) ist algebraisch über \(K\).

Die \(K\)-Algebra \(K[x]\) ist ein Körper.

Bemerkungen.

Das obige Ergebnis ist spezifisch zu Körper (es gilt nicht, wenn \(K\) nur ein Ring ist).
Da \(K[x] \subseteq K(x)\) gilt, ist \(K[x]\) genau dann ein Körper, wenn \(K[x] = K(x)\) ist.

15.20 Beweis der zweite Charakterisierung

„(i) \(\Rightarrow\) (ii)“ Nehmen wir zunächst an, dass \(x : L\) algebraisch über \(K\) ist.

Dann ist \(K[x]\) als \(K\)-Vektorraum endlich erzeugt.
Sei \(y : K[x]\), mit \(y \not= 0_K\). Wir haben bereits bewiesen, dass in diesem Fall \(y\) algebraisch über \(K\) ist, und dass es eine algebraische Gleichung der folgenden Gestalt gibt: \[a_0 + a_1 y +\ \ldots\ + a_{n+1} y^{n+1} = 0_L\] mit \(n : \mathbb{N}_{\geqslant 0}\), \(a_0, a_1,\ \ldots\ a_{n+1} : K\) und \(a_{n+1} \not= 0_K\).
Wenn \(a_0 = 0_K\) ist, können wir die vorherige Gleichheit durch \(y\) kürzen. Durch Wiederholung dieses Prozesses, falls erforderlich, können wir annehmen, dass \(a_0 \not= 0_K\).
Dann gilt \(y\ \frac{a_1 +\ \ldots\ + a_{n+1} y^n}{-a_0} = 1_L~.\) Dies zeigt, dass \(y^{-1}\) (das inverse Element zu \(y\) in \(L\)) zu \(K[y] \subseteq K[x]\) gehört, was zeigt, dass \(K[x]\) ein Körper ist.

15.21 Ende des Beweises der zweite Charakterisierung

„(i) \(\Leftarrow\) (ii)“ Nehmen wir nun an, dass die \(K\)-Algebra \(K[x] \subseteq L\) ein Körper ist.

Das heißt, für jedes \(y \in K[x]\) gehört \(y^{-1}\) (das inverse Element zu \(y\) in \(L\)) zu \(K[x]\).
Da die Elemente von \(K[x]\) von der Form \(a = a_0 + a_1 x +\ \ldots\ + a_n x^n\) sind, und das Element \(x \in K[x]\) invertierbar im Ring \(K[x]\) ist, muss, für geeignete \(a_0, a_1,\ \ldots\ , a_n\), eine Gleichheit der folgende Gestalt gelten: \[\frac{1_L}{x} = x^{-1} = a_0 + a_1 x +\ \ldots\ + a_n x^n~.\]
Daraus folgt, dass \(1_K - a_0 x - x_1 x ^ 2 -\ \ldots\ - a_n x^{n+1} = 0_L\) , was bedeutet, dass \(x\) algebraisch über \(K\) ist.

15.22 Die Menge aller algebraischen Elemente einer Körpererweiterung

Satz. Sei \(L/K\) eine Körpererweiterung. Dann ist die Teilmenge \[\overline{K}^L := \{ x : L\ /\ x\ \text{algebraisch ueber}\ K\}\] ein Teilkörper von \(L\), der der relative algebraische Abschluss von \(K\) in \(L\) heißt.

Wir werden diesen Satz in zwei Schritten beweisen:

Die Elemente von \(L\), die algebraisch über \(K\) sind, bilden eine Teilalgebra von \(L\).
Diese Teilalgebra von \(L\) ist ein Teilkörper von \(L\).

15.23 Die algebraischen Elemente einer Erweiterung bilden eine Teilalgebra

Da \(0_L \in K\) und \(1_L \in K\) gilt, sind \(0_L\) und \(1_L\) algebraisch über \(K\).
Nehmen wir nun an, dass \(x, y : L\) algebraisch über \(K\) sind.
Da \(x\) algebraisch ist, ist die \(K\)-algebra \(K[x]\) als \(K\)-Vektorraum endlich erzeugt und ein Körper. Insbesondere ist der Körper \(K(x) = K[x]\) als \(K\)-Vektorraum endlich erzeugt.
Da \(y\) algebraisch über \(K\) ist, ist \(y\) auch algebraisch über \(K(x)\). Dann ist die \(K\)-Unteralgebra \(K[x, y] = K[x][y] = K(x) [y]\) von \(L\) endlich erzeugt als \(K(x)\)-Vektorraum, somit auch als \(K\)-Vektorraum.
Deswegen ist jedes \(z \in K[x,y]\) algebraisch über \(K\). Insbesondere sind \(x + y\) und \(xy\) algebraisch über \(K\). Dies zeigt, dass \(\overline{K}^L\) eine \(K\)-Teilalgebra von \(L\) ist. Nun zeigen wir, dass \(\overline{K}^L\) ein Körper ist.

15.24 Die algebraischen Elemente einer Erweiterung bilden einen Teilkörper

Nehmen wir an, dass \(x \not= 0_{\overline{K}^L}\) algebraisch über \(K\) ist und zeigen wir, dass \(x^{-1}\) algebraisch über \(K\) ist.
Da \(x\) algebraisch über \(K\) ist, existiert eine algebraische Gleichung der Gestalt \[a_0 + a_1 x +\ \ldots\ + a_n x^n + x^{n+1} = 0_L~.\] Insbesondere gilt \(K[x] = \left< 1_L, x,\ \ldots\ , x^{n+1} \right>_K\) als \(K\)-Vektorunterräume von \(L\).
Wenn \(a_0 = 0_L\) ist, können wir die obige Relation durch \(x\) kürzen. Durch Wiederholung dieses Vorgangs, falls erforderlich, gelangen wir zu einer Relation der selben Gestalt, aber mit \(a_0 \not= 0\). Dann gilt \(1_L = -\frac{x}{a_0} (a_1 +\ \ldots\ + a_n x^{n-1} + x ^ n)\), somit \[x^{-1} = -\frac{1}{a_0} (a_1 +\ \ldots\ + a_n x^{n-1} + x ^ n) \in K[x]~.\]
Insbesondere ist \(x^{-1}\) auch algebraisch über \(K\).

15.25 Algebraische Erweiterungen

Sei \(L/K\) eine Körpererweiterung.

Definition. Wenn jedes \(x : L\) algebraisch über \(K\) ist, heißt \(L/K\) eine algebraische Erweiterung.

Beispiele für algebraische Erweiterungen:

Eine Erweiterung der Gestalt \(\overline{K}^L / K\) ist algebraisch. Wenn \(K = \mathbb{Q}\) und \(L = \mathbb{C}\), wird der Körper \(\overline{\mathbb{Q}}^{\mathbb{C}}\), aus Gründen, die wir später erläutern werden, einfach als \(\overline{\mathbb{Q}}\) bezeichnet. Die Elemente von \(\overline{\mathbb{Q}}\) heißen die algebraische Zahlen.
Sei \(L/K\) eine endliche Körpererweiterung und sei \(x : L\). Dann ist \(L\) insbesondere eine \(K\)-Algebra, die endlich-dimensional als \(K\)-Vektorraum ist. Deswegen ist jedes \(x : L\) algebraisch über \(K\). Das heißt, endliche Erweiterungen sind algebraisch. Insbesondere, wenn \(x\) algebraisch über \(K\) ist, ist \(K[x]\) eine algebraische Erweiterung von \(K\).

15.26 Übung 4

Zeigen Sie, dass \(\mathbb{C}/\mathbb{R}\) eine algebraische Erweiterung ist.
Finden Sie außerdem, für alles \(z = a + ib\) in \(\mathbb{C}\) ein explizites Polynom \(P : \mathbb{R}[X]\), sodass \(P(z) = 0_{\mathbb{C}}\).

15.27 Das Minimalpolynom eines algebraischen Elements

Sei \(L/K\) eine Körpererweiterung und sei \(x : L\).
Gemäß Übung 3 können wir \(K[x] = \text{Im}\ \varphi_x\), wobei \(\varphi_x : K[X] \to L\) der eindeutige Algebrahomomorphismus ist, der \(X\) nach \(x\) abbildet.
Per Definition gilt die folgende Äquivalenz: \[\big( x\ \text{algebraisch ueber}\ K \big) \Leftrightarrow \text{Ker}\ \varphi_x \not= \{ 0_{K[X]} \}~.\] Explizit ist \(\text{Ker}\ \varphi_x = \{P : K[X]\ /\ P(x) = 0_L\}\), das ein Ideal von \(K[X]\) ist (Übung).
Wir werden nun zeigen, dass es, wenn x algebraisch über \(K\) ist, ein eindeutiges irreduzibles Polynom \(P_x : K[X]\) mit Leitkoeffizient \(1_K\) gibt, sodass \(\text{Ker}\ \varphi_x = \left< P_x \right>\). Insbesondere ist jedes Polynom \(P\) mit \(P(x) = 0\) ein Vielfach von \(P_x\) in \(K[X]\).
Das Polynom \(P_x : K[X]\) heißt das Minimalpolynom von \(x\) über \(K\).

15.28 Eindeutigkeit des Minimalpolynoms

Nehmen wir an, dass ein Polynom \(P_x\) existiert, mit Leitkoeffizient \(1_K\) und so dass \[\left< P_x \right> = \{ P : K[X]\ /\ P(x) = 0_L\}\] als Idealen von \(K[X]\). Insbesondere ist \(x : L\) algebraisch über \(K\).
Nehmen wir an, dass \(Q_x : K[X]\) die gleichen Eigenschaften wie \(P\) erfüllt.
Dann gilt \(\left< P_x \right> = \left< Q_x \right>\), woraus folgt, dass \(P_x \cong Q_x\) ist. Da \(P_x\) und \(Q_x\) assoziiert sind, und die beide Leitkoeffizient \(1_K\) haben, muss \(P_x = Q_x\) gelten.

15.29 Existenz des Minimalpolynoms

Nehmen wir an, dass \(x : L\) algebraisch über \(K\) ist.
Unter dem SAD, ist jedes Ideal von \(K[X]\) ein Hauptideal, woraus folgt die Existenz von einem \(P_x\) mit \(\left< P_x \right> = \{ P : K[X]\ /\ P(x) = 0_L\}\). Wir können außerden annehmen, dass der Leitkoeffizient von \(P_x\) gleich zu \(1_K\) ist.
Im Allgemeinen können wir jedoch nicht so schnell sagen, dass das Ideal \(\{ P : K[X]\ /\ P(x) = 0_L\}\) ein Hauptideal ist, da nicht klar ist, ob dieses Ideal endlich erzeugt ist.
Wir müssen deshalb ein explizites Polynom \(P_x\) konstruieren, mit \(P_x(x) = 0_L\) und sodass \(\left< P_x \right> = \{ P : K[X]\ /\ P(x) = 0_L\}\).
Da \(x\) algebraisch ist, ist die \(K\)-Algebra \(K[x]\) als \(K\)-Vektorraum endlich erzeugt. Existiert sogar eine natürliche Zahl \(n : \mathbb{N}_{\geqslant 0}\) , sodass \(K[x] = \left< 1_L, x,\ \ldots\ , x^n \right>_K\) ist.

15.30 Konstruktion eines Minimalpolynoms

Da \(x^{n+1}\) ein Element von \(K[x] = \left< 1_L, x,\ \ldots\ , x^n \right>_K\) ist, existieren Skalare \((a_i)_{0 \leqslant i \leqslant n} \in K^{n+1}\) mit \(x^{n + 1} = a_0 + a_1 x +\ \ldots\ + a_n x^n~.\)
Wir behaupten, dass es ein minimales \(k \leqslant n\) gibt, sodass \(x^{k+1} \in \left< 1_L, x,\ \ldots\ , x^k \right>_K\) . Um das zu zeigen, reicht es \(k \in \{1,\ \ldots\ , n\}\) zu finden, sodass \((1_L,\ \ldots\ , x^k)\) linear unabhängig sind und \((1_L,\ \ldots\ , x^k)\) linear abhängig sind, was entscheidbar ist.
Insbesondere, für ein solches \(k\), gilt die Bedingungen \(K[x] = \left< 1_L,\ \ldots\ , x^k \right>_K\) und \(\dim_K K[x] = k + 1\). Außerdem existiert eine eindeutige algebraische Gleichung der Gestalt \(x^{k+1} = a_0 + a_1 x +\ \ldots\ + a_k x^k\).
Wir setzen nun \(P_x := X^{k + 1} - a_k x^k -\ \ldots\ - a_1 x - a_0\). Dann ist \(P_x\) ein Polynom mit Koeffizienten in \(K\) und Leitkoeffizient \(1_K\), sodass \(P_x(x) = 0_L\) und \(\deg P_x = \dim_K K[x]\).

15.31 Irreduzibilität des Minimalpolynoms

Zeigen wir zunächst, dass das obige konstruierte Polynom irreduzibel ist.
Aus der Konstruktion von \(P_x\) folgt, dass \(P_x\) nihct invertierbar in \(K[X]\) ist, und dass \(\deg P_x\) minimal ist, unter den natürlichen Zahlen \(n : \mathbb{N}_{\geqslant 0}\), die die folgende Eigenschaft erfüllen: \[\exists\ Q : K[X]\setminus\{0_{K[X]}\},\ \deg Q[X] = n +1 \wedge Q(x) = 0_L~.\]
Wenn \(P = P_1 P_2\), dann muss \((P_1(x) = 0_L) \vee (P_2(x) = 0_L)\) gelten.
- Wenn \(P_1(x) = 0_L\), dann ist \(P_1\) kein konstantes Polynom (wenn \(P_1\) konstant ist, gilt \(P_1 = 0_{K[X]}\), somit auch \(P = 0_{K[X]}\)) und gilt \(0< \deg P_1 \leqslant \deg P_x\). Wenn \(\deg P_1 < \deg P_x\), widerpricht dies der Minimalität von \(\deg P_x\). Dann muss \(\deg P_1 = \deg P\) und \(P_1 \cong P\) gelten.
- In ähnlicher Weise, wenn \(P_2(x) = 0_L\), muss \(P_2 \cong P\) gelten.

15.32 Das vom Minimalpolynom erzeugte Ideal

Zum Schluss wollen wir zeigen, dass jedes Polynom \(P\), das die Eigenschaft \(P(x) = 0_L\) erfüllt, ein Vielfach von \(P_x\) ist.

Satz. Sei \(P_x : K[X]\) das Minimalpolynom von \(x\). Dann gilt \[\left< P_x \right> = \{ P : K[X]\ /\ P(x) = 0_L\}~.\]

Beweis. Sei \(I_x := \{ P : K[X]\ /\ P(x) = 0_L\}\) .

Die Inklusion \(\left< P_x \right> \subseteq I_x\) folgt aus der Definition von \(I_x\) und der Konstruktion von \(P_x\).
Sei nun \(P \in I_x\). Aus Division mit Rest, folgt \(P = P_x Q + R\), mit \(R = 0_{K[X]} \vee R \not= 0_{K[X]}\).
- Wenn \(R \not= 0_{K[X]}\), gilt \(\deg R < \deg P_x\) und \(R(x) = 0_L,\) was der Minimalität von \(\deg P_x\). unter den Polynomen, die die vorherige Bedingung erfüllen, widerspricht.
- Dann muss \(R = 0_{K[X]}\) und \(P_x\ |\ P\) gelten.

15.33 Eine Bemerkung über die Irreduzibilität des Minimalpolynoms

Nach der Konstruktion von \(P_x\) hätten wir auch wie folgt zeigen können, dass \(P_x\) irreduzibel über \(K\) ist.
Nämlich, wenn wir zuerst gezeigt hätten, dass \(\left< P_x \right> = \{ P : K[X]\ /\ P(x) = 0_L\}\), dann hätten wir Folgendes bemerken können, und zwar, dass es ein \(K\)-Algebraisomorphismus gibt \[K[X]\ / \left< P_x \right> \simeq K[x]~.\] Dies folgt von der Tatsache, dass \(\left< P_x \right> = \text{Ker}\ \varphi_x \wedge K[x] = \text{Im}\ \varphi_x\), wobei \(\varphi_x : K[X] \to L\) der eindeutige \(K\)-Algebrahomomorphismus mit der Eigenschaft \(\varphi_x(X) = x\) ist.
Da \(x\) algebraisch über \(K\) ist, ist \(K[x]\) ein Körper und, da \(K[X]\) ein Hauptidealring ist, muss \(P_x\) irreduzibel sein. Oder kann man auch diese Bemerkung benutzen, um einen alternativen Beweis der Tatsache, dass \(K[x]\) ein Körper ist, zu geben.

15.34 Der Grad des Minimalpolynoms

Es folgt aus der obigen Konstruktion, dass, wenn \(x : L\) algebraisch über \(K\), ein eindeutiger Polynom \(P : K[X]\) existiert, sodass \[\left< P_x \right> = \{ P : K[X]\ /\ P(x) = 0_L\}~.\]
Dieses Polynom \(P_x\) ist irreduzibel über \(K\) und existiert ein \(K\)-Algebrahomomorphismus \[K[X]\ / \left< P_x \right> \simeq K[x]\] zwischen den Körper \(K[X]\ / \left< P_x \right>\) und \(K[x]\).
Insbesondere, wenn \(x : L\) algebraisch über \(K\) ist, ist der Grad der Erweiterung \(K[x]/K\) gleich zum Grad des Minimalpolynoms von \(x\). Das heißt: \[\big[ K[x] : K \big] = \dim_K K[x] = \deg P_x~.\]