8  Sylowuntergruppen

Ein Porträt von Ludwig Sylow.

Peter Ludwig Mejdell Sylow (1832-1918) war ein norwegischer Mathematiker, der grundlegende Arbeiten zur Gruppentheorie verfasste.

8.1 Maximale p-Untergruppe

  • Sei \(G\) eine endliche Gruppe und sei \(p\) eine Primzahl. Sei \(n := |G|\) und schreiben wir \(n = p^\alpha m\) mit \(\alpha : \mathbb{N}_{\geqslant 0}\), \(m : \mathbb{N}_{>0}\) und \(p \nmid m\).

    Definition. Eine Untergruppe \(U \preccurlyeq G\) wird \(p\)-Sylowuntergruppe von \(G\) gennant, wenn \(|U| = p^\alpha\).

  • Zum Beispiel, wenn \(p \nmid |G|\), ist \(U = \{e_G\}\) eine \(p\)-Sylowuntergruppe von \(G\). Außerdem ist eine nicht-triviale \(p\)-Sylowuntergruppe von \(G\) eine \(p\)-Gruppe (nach Lagrange und Cauchy, sind die endliche \(p\)-Gruppen genau die Gruppen, deren Ordnung eine Potenz von \(p\) ist).

  • Falls \(U \preccurlyeq V\), mit \(|U| = p^\alpha\) und \(V\) eine \(p\)-Untergruppe von \(G\), dann muss \(V = U\) gelten. Daher ist eine nicht-triviale Untergruppe \(U\) genau dann eine \(p\)-Sylowuntergruppe, wenn \(U\) ein maximales Element unter den \(p\)-Untergruppen von \(G\) ist.

8.2 Beispiel: eine Sylowuntergruppe der allgemeinen linearen Gruppe

  • Betrachten wir die Gruppe \(\mathbf{GL}(n, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\). Wir werden bald sehen, dass Elemente von \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) multiplizieren und (wenn sie nicht null sind) invertieren werden kann. Das heißt, wir haben ein Körper (wie \(\mathbb{R}\) oder \(\mathbb{C}\)), mit nur endlich vielen Elementen!

  • Dann ist die Gruppe \(\mathbf{GL}(n, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\) auch endlich, mit Ordnung \[\begin{array}{rcl} |\mathbf{GL}(n, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})| & = & (p^n - 1)(p^n - p)\ \ldots\ (p^n - p^{n-1}) \\ & = & \big( p^n -1 \big) \big(p (p^{n-1} -1) \big)\ \ldots\ \big(p^{n-1} (p-1) \big) \\ & = & p^{\frac{n(n-1)}{2}} \big( p^{n-1} - 1 \big)\ \ldots\ \big( p - 1 \big)\\ & = & p^{\frac{n(n-1)}{2}}\ m\quad \text{mit}\ p \nmid m\ . \end{array}~.\]

  • Wenn Sie einverstanden sind, dann können Sie auch vorstellen, dass die Untergruppe \(U_{n, p}\) der oberen Dreiecksmatrizen mit 1 auf der Diagonalen Ordnung \(p^{\frac{n(n-1)}{2}}\) hat. Daher ist diese Untergruppe eine \(p\)-Sylowuntergruppe von \(\mathbf{GL}(n, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\) 🙃 🤯.

8.3 Einzelheiten zum Beispiel

  • Um die Ordnung von \(\mathbf{GL}(p, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\) zu berechnen, reicht es die Anzahl von Basen des Vektoraums \(V := (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n\) zu bestimmen. Zunächst nehmen wir ein von Null verschiedener Vektor \(v_1\) in diesem Vektorraum. Da dieser Vektorraum \(p^n\) Elemente hat, gibt es \(p^n - 1\) für einen \(v \neq 0_V\).
  • Danach entfernen wir alle Vektoren, die kollinear zu \(v\) sind. Das heißt, die p Vektoren \(0_V\), \(v\), \(2 \cdot v\), \(\ldots\) , \((p-1) \cdot v\). Es verbleiben \(p^n - p\) Vektoren, aus denen ein zweiter Vektor \(v_2\) aus der Basis ausgewählt werden kann.
  • Danach entfernen wir alle Linearkombinationen von \(v_1\) und \(v_2\). Es verbleiben \(p^n - p^2\) Vektoren. So geht es weiter bis zu \(v_n\), das aus \(p^n - p^{n-1}\) Vektoren ausgewählt werden kann. Das heißt, \(|\mathbf{GL}(n, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})| = (p^n - 1)(p^n - p)\ \ldots\ (p^n - p^{n-1})\).

8.4 Dreiecksmatrizen mit 1 auf der Diagonalen

\[\begin{pmatrix} 1 & \ast & \ast & \ldots & \ast \\ & 1 & \ast & \ldots & \ast \\ & & \ddots & \ddots & \vdots \\ & & & 1 & \ast \\ & & & & 1 \end{pmatrix}\]

  • Schließlich können wir, für die Ordnung von \(U_{n, p}\) , die \(\frac{n(n-1)}{2}\) Koeffizienten oberhalb der Diagonalen in \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) frei wählen.
  • Daher gibt es \(|U_{n, p}| = p^{1 + 2 +\ \ldots\ + (n - 1)} = p^{\frac{n(n-1)}{2}}\).
  • Wir werden nun sehen, dass dieses Beispiel für eine \(p\)-Sylowuntergruppe sowohl konkret als auch nützlich ist.

8.5 Erster Satz von Sylow

  • Sei \(p\) eine Primzahl.

    Erster Satz von Sylow. Sei \(G\) eine endliche Gruppe mit Ordnung \(n = p^\alpha m\), wobei \(\alpha : \mathbb{N}_{\geqslant 0}\), \(m : \mathbb{N}_{>0}\) und \(p \nmid m\). Dann besitzt \(G\) eine \(p\)-Sylowuntergruppe.

  • Es gibt verschiedene Beweise dieses Satzes. Wir werden einen geometrischen Beweis liefern. Das heißt, wir werden die Gruppe \(G\) als eine Gruppe von linearen Transformationen ansehen, nämlich eine Untergruppe von \(\mathbf{GL}(n, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\).

  • Genauer gesagt, nach dem Satz von Cayley können wir einen injektiven Gruppenhomomorphismus \(G \hookrightarrow S_n\) betrachten, und diesen mit einem injektiven Gruppenhomomorphismus \(S_n \hookrightarrow \mathbf{GL}(n, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\) komponieren, um \(G \hookrightarrow \mathbf{GL}(n, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\) zu erhalten. Der Gruppenhomomorphismus \(S_n \hookrightarrow \mathbf{GL}(n, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\) abbildet die Permutation \(\sigma\) nach die eindeutige lineare Transformation, die \(e_i\) nach \(e_{\sigma(i)}\) abbildet (kanonische Basis).

8.6 Beweis des ersten Satzes von Sylow

  • Wir möchten zeigen, das, für jede Primzahl \(p\), die endliche Gruppe \(G\) eine \(p\)-Sylowuntergruppe hat. Wie oben erklärt, können wir annehmen, dass \(G\) einer gruppe der allgemeneinen linearen Gruppe ist: \(G \preccurlyeq \mathbf{GL}(n, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\).
  • In der Gruppe \(\mathbf{GL}(n, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\), haben wir eine \(p\)-Sylowuntergruppe \(U_{n, p}\) . Beachten Sie, dass jede Untergruppe \(g U_{n,p} g^{-1}\) auch eine \(p\)-Sylowuntergruppe ist. Die Idee ist jetzt, die Existenz eines Elements \(g : \mathbf{GL}(n, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\) zu beweisen, sodass \(g U_{n,p} g^{-1} \cap G\) eine \(p\)-Sylowuntergruppe von \(G\) ist.
  • Da nicht-trivialen \(p\)-Sylowuntergruppen von \(G \preccurlyeq \mathbf{GL}(n, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\) maximale \(p\)-Untergruppen sind, ist es sinnvoll, nach solchen Untergruppen als Untergruppen der Gestalt \(G \cap S\) zu suchen, wobei \(S\) eine maximale \(p\)-Untergruppe von \(\mathbf{GL}(n, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\) ist.

8.7 Fortführung des Beweises des ersten Satzes von Sylow

  • Die abstrakte Version der vorherigen Bemerkung läuft wie folgt.

    Lemma. Sei \(H\) eine endliche Gruppe und sei \(p\) eine Primzahl. Nehmen wir an, dass \(S \preccurlyeq H\) eine \(p\)-Sylowuntergruppe von \(H\) ist. Dann, für jede Untergruppe \(G \preccurlyeq H\), existiert ein \(h : H\), sodass \(hSh^{-1} \cap G\) eine \(p\)-Sylowuntergruppe von \(G\) ist.

  • In unserem Kontext, ist \(H = \mathbf{GL}(n, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\) und \(S = U_{n,p}\).

  • Beweis. Die Idee ist, die Aktion der Gruppe \(G \preccurlyeq H\) auf die Menge \(H/S\) zu betrachten, die durch \(g \cdot (hS) := (gh)S\) definiert wird. Grund dafür ist, die Isotropriegruppe des Elements \(hS : H/S\) ist genau die Untergruppe \[\text{Stab}_G(hS) = \{g : G\ /\ g(hS) = hS \} = \{g : G\ /\ h^{-1}gh \in S \} = hSh^{-1} \cap G~.\]

8.8 Ende des Beweises des ersten Satzes von Sylow

  • Die Isotropiegruppe \(\text{Stab}_G(hS)\) ist eine Untergruppe von \(G\), die Ordnung \(p^\alpha m\) hat, mit \(p \nmid m\). Daher ist die Untergruppe \(\text{Stab}_G(hS)\) genau dann eine \(p\)-Sylowuntergruppe von \(G\), wenn \(|\text{Stab}_G(hS)| = p^\alpha\). Das heißt, wenn \(p \nmid [G :: \text{Stab}_G(hS)]\).

  • Sei \((h_iS)_{1 \leqslant i \leqslant r}\) ein Vertretersystem der Bahnen der Wirkung von \(G\) auf \(H/S\). Nach dem Bahnensatz gilt \[m = |H/S| = \sum_{i=1}^r |h_i S| = \sum_{i = 1}^r [G :: \text{Stab}_G(h_iS)]~.\]

  • Wenn für alles \(i \in \{1,\ \ldots\ , r\},\ p\ |\ [G :: \text{Stab}_G(h_iS)]\) gilt, dann muss \(p\) auch ein Teiler von \(m\) sein. Da dies die Eigenschaft \(p \nmid m\) widerspricht, muss ein \(i_0\) mit \(p \nmid [G :: \text{Stab}_G(h_{i_0}S)]\) existieren. Für dieses \(i_0\) ist \(\text{Stab}_G(h_{i_0}S)\) eine \(p\)-Sylowuntergruppe von \(G\) 🎉.

8.9 p-Untergruppen einer endlichen Gruppe

  • Als Folgerung des vorherigen Lemmas, können wir beweisen, dass jede \(p\)-Untergruppe einer endlichen Gruppe, in einiger \(p\)-Sylowuntergruppe enthalten ist.

  • Die nützliche Vorbemerkung ist, dass eine \(p\)-Gruppe \(U\) eine eindeutige \(p\)-Sylowuntergruppe besitzt, nämlich die ganze Gruppe \(U\).

    Satz. Sei \(G\) eine endliche Gruppe und sei \(p\) eine Primzahl. Wenn \(U\) eine \(p\)-Untergruppe von \(G\) ist, dann existiert eine \(p\)-Sylowuntergruppe \(S \preccurlyeq G\) mit \(U \preccurlyeq S\).

    Beweis. Sei \(S_0\) eine \(p\)-Sylowuntergruppe von \(G\). Nach dem vorherigen Lemma, existiert ein \(g : G\), sodass \(gS_0g^{-1} \cap U\) eine \(p\)-Sylowuntergruppe von \(U\) ist. Da \(U\) eine \(p\)-Gruppe ist, muss \(gS_0g^{-1} \cap U = U\). Somit \(U \subset gS_0g^{-1}\), mit \(S := gS_0g^{-1}\) eine \(p\)-Sylowuntergruppe von \(G\).

8.10 Existenz von p-Untergruppen einer endlichen Gruppe

  • Als Folgerung des ersten Satzes von Sylow, können wir das folgende Existenzsatz beweisen, der den Satz von Cauchy verallgemeinert.

  • Genauer gesagt, ist der Satz von Cauchy äquivalent zum Fall \(i = 1\) des nächsten Satzes.

    Satz. Sei \(p\) eine Primzahl und sei \(G\) eine endliche Gruppe mit Ordnung \(|G| = p^\alpha m\), wobei \(p \nmid m\). Dann existiert, für alles \(i \in \{0,\ \ldots\ , \alpha\}\) eine Untergruppe \(U\) von \(G\), mit \(|U| = p^i\). Insbesondere, für \(i \geqslant 1\), gibt es eine \(p\)-Untergruppe von \(G\) mit Ordnung \(p^i\).

    Bemerkung. Die Ideen im folgenden Beweis können tatsächlich verwendet werden, um einen abstrakteren Beweis für Sylows ersten Satz zu liefern als den, den wir gegeben haben. Der Beweis erfolgt durch Induktion über \(\alpha : \mathbb{N}\).

8.11 Beweis für die Existenz von p-Untergruppen

  • Die Induktionsannahme ist, dass, für alle Gruppe \(G\) mit Ordnung von der Form \(p^{\alpha} m\) mit \(p \nmid m\), enthält die Gruppe \(G\), für jedes \(i \in \{0,\ \ldots\ , \alpha\}\), eine Untergruppe \(U\) mit Ordnung \(p^i\).
  • Um diese Eigenschaft zu beweisen, ist die Idee zunächst eine Untergruppe \(K\) mit Ordnung \(p^{\alpha - 1}\) in einer \(p\)-Sylowuntergruppe \(S\) von \(G\) zu finden, und danach die Induktionsannahme auf \(K\) anzuwenden.
  • Sei dann \(S\) eine \(p\)-Sylowuntergruppe von \(G\). Per Definition, gilt \(|S| = p^\alpha\).
  • Wenn \(\alpha = 0\), dann ist \(U := \{e_S\}\) eine Untergruppe von \(S\) mit Kardinalität \(p^0\).
  • Wenn \(\alpha = 1\), dann gibt es einen Gruppenisomorphismus \(S \simeq \mathbb{Z} / p \mathbb{Z}\). Es reicht daher \(U = \{e_S\}\) oder \(U = S\) zu betrachten.

8.12 Fortführung vom Beweis der Existenz von \(p\)-Untergruppen

  • Nehmen wir nun an, dass \(\alpha \geqslant 2\). Sei \(\mathcal{Z}(S)\) das Zentrum von \(S\).

  • Falls \(\mathcal{Z}(S) = S\), ist \(S\) eine abelsche endliche \(p\)-Gruppe. Nach dem Klassifikationssatz für solche Gruppe, gibt es eine Zerlegung \[S \simeq \mathbb{Z} x_1\oplus \mathbb{Z} x_2 \oplus \ \ldots\ \oplus \mathbb{Z} x_s\ \text{mit}\ \text{Ord}_S(x_i) = p ^ {m_i}\ \text{und}\ m_1 + m_2 +\ \ldots\ + m_s = \alpha.\]

    In dieser Gruppe, hat die Untergruppe \[K := \mathbb{Z}(p x_1) \oplus \mathbb{Z}x_2\ \ldots\ \oplus \mathbb{Z} x_s\]

    Ordnung \(p^{(m_1 - 1) + m_2 +\ \ldots\ + m_s} = p^{\alpha - 1}\).

  • Falls \(\mathcal{Z}(S) \not= S\), dann ist \(\mathcal{Z}(S)\) noch ein Normalteiler von \(S\). Außerdem, da \(S\) eine \(p\)-Gruppe ist, ist \(p\) ein Teiler von \(|\mathcal{Z}(S)|\). Das heißt, \(|\mathcal{Z}(S)| = p^\beta\) für einige natürliche Zahl \(\beta \in \{1,\ \ldots\ , \alpha - 1\}\) und \(S / \mathcal{Z}(S)\) ist eine Gruppe mit ordnung \(p^{\alpha - \beta}\).

8.13 Ende des Beweises der Existenz von \(p\)-Untergruppen

  • Nach einer Anwendung der Induktionsannahme mit \(i := (\alpha - \beta) - 1\), existiert eine Untergruppe \(K' \preccurlyeq S / \mathcal{Z}(S)\) mit Ordnung \(p^{\alpha - \beta - 1}\). Es gibt dann eine (eindeutige) Untergruppe \(K \preccurlyeq S\), sodass \(K' \simeq K / \mathcal{Z}(S)\). Insbesondere gilt: \[|K| = |K'|\ |\mathcal{Z}(S)| = p^{\alpha - \beta - 1} p^\beta = p^{\alpha - 1}~.\]

  • Dann können wir die Induktionsannahme erneut anwenden, diesmal auf \(K\), und für alles \(i \in \{0,\ \ldots\ , \alpha -1 \}\) eine Untergruppe \(U \preccurlyeq K\) mit Ordnung \(|U| = p^i\) finden. Diese \(U\) ist auch eine Untergruppe von \(S\) und \(G\).

8.14 Zweiter Satz von Sylow

  • Sei \(p\) eine Primzahl und sei \(G\) eine endliche Gruppe mit \(|G| = p^\alpha m\), wobei \(p \nmid m\).

    Zweiter Satz von Sylow. Seien \(S_1, S_2\) \(p\)-SylowUntergrruppen von \(G\). Dann existiert \(g : G\), mit \(S_2 = g S_1 g^{-1}\). Insbesondere ist eine \(p\)-Sylowuntergruppe von \(G\) genau dann ein Normalteiler, wenn \(G\) eine eindeutige \(p\)-Sylowuntergruppe hat (Übung).

    Beweis. Nach dem Lemma, den wir für den Beweis des ersten Satzes von Sylow verwendet haben, existiert \(g : G\), sodass \(g S_1 g^{-1} \cap S_2\) eine \(p\)-Sylowuntergruppe von \(S_2\) ist.

    • Da \(S_2\) insbesondere eine \(p\)-Gruppe ist, ist die eindeutige \(p\)-Sylowuntergruppe von \(S_2\) die ganze \(S_2\). Das heißt, \(S_2 = g S_1 g^{-1} \subseteq g S_1 g^{-1}\).
    • Da beide Untergruppe \(p\)-SylowUntergruppen sind, haben sie die gleiche Mächtigkeit \(p^\alpha\) und gilt \(S_2 = gS_1g^{-1}.\)

8.15 Dritter Satz von Sylow

  • Sei \(p\) eine Primzahl und sei \(G\) eine endliche Gruppe mit \(|G| = p^\alpha m\), wobei \(p \nmid m\).

  • Sei \(E_p(G)\) die Teilmenge aller \(p\)-SylowUntergruppen von \(G\) und sei \(n_p(G) = |E_p(G)|\).

    Dritter Satz von Sylow. Gelten die folgende Eigenschaften:

    1. \(n_p(G)\) teilt \(|G|\).
    2. \(n_p(G) \equiv 1\ (\text{mod}\ p)\).
    3. \(n_p(G)\) teilt \(m\).

  • Beachten wir, dass, nach dem ersten Satz von Sylow, ist \(E_p(G) \not= \emptyset\). Das heißt, \(n_p(G) > 0\).

  • Da \(|G| = p^\alpha m\) mit \(p \nmid m\), folgt außerdem den dritten Teil des Satzes von den ersten zwei.

8.16 Beweis des dritten Satzes von Sylow: Erster Teil

  • Betrachten wir zunächst die Aktion von \(G\) auf die Menge \(E_p(G)\) durch Konjugation: für jedes \(g : G\) und jede \(p\)-Sylowuntergruppe \(S : E_p(G)\) ist \(gSg^{-1}\) eine \(p\)-Sylowuntergruppe von \(G\). Nach dem zweiten Satz von Sylow hat diese Aktion einen einzigen Orbit: \[\forall\ S, T : E_p(G),\ \exists\ g : G,\ T = gSg^{-1}~.\]

    Das heißt, \(\forall\ S : E_p(G),\ E_p(G) = G \cdot S\).

  • Nach dem Bahnensatz gibt es, für alle \(S : E_p(G)\), eine Bijektion \[G / \text{Stab}_G(S) \simeq (G \cdot S) = E_p(G)~.\]

  • Inbesondere gilt \(|E_p(G)| = [G :: \text{Stab}_G(S)]\), der ein Teiler von \(|G|\) ist. Das heißt, \(n_p(G)\ |\ |G|.\)

8.17 Beweis des dritten Satzes von Sylow: Zweiter Teil

  • Um die Kongruenz \(n_p(G) \equiv 1\ (\text{mod}\ p)\) zu beweisen, die Idee ist die Formel \[|\text{Fix}_G(X)| \equiv |X|\ (\text{mod}\ p)\]

    für die Aktion einer endlichen \(p\)-Gruppe \(G\) auf eine endliche Menge \(X\) zu anwenden.

  • Wir werden natürlich \(X :=E_p(G)\) nehmen. Unsere Gruppe \(G\) ist jedoch im Allgemeinen keine \(p\)-Gruppe. Dann ersetzen wir die Aktion von \(G\) auf \(E_p(G)\) mit der Aktion einer \(p\)-Sylowuntergruppe \(S \preccurlyeq G\) auf \(E_p(G)\).

  • Da diese Aktion durch Konjugation \(T \mapsto sTs^{-1}\) ist, ist \(S\) ein Fixpunkt der Aktion. Inbesondere ist \(\text{Fix}_S(E_p(G)) \not= \emptyset\). Wir möchten nun beweisen, dass \(|\text{Fix}_S(E_p(G))| = 1\).

  • Dafür reicht es zu beweisen, dass \(\forall\ T : E_p(G),\ T \in \text{Fix}_S(E_p(G)) \Rightarrow T =S\).

8.18 Ende des Beweises des dritten Satzes von Sylow

  • Sei \(T : E_p(G)\), sodass für alles \(s : S\), \(sTs^{-1} =T\), und sei \(U := \left< S \cup T\right>\) die durch \(S\) un \(T\) erzeugte Untergruppe von \(G\).
  • Dann sind \(S\) und \(T\) noch \(p\)-Sylowuntergruppen von \(U\). Außerdem gibt es, für alles \(u : U\), \(uTu^{-1} = T\). Übung: Beweisen Sie diese Eigenschaft durch Induktion auf \(u : \left< S \cup T \right>\).
  • Nach dem zweiten Satz von Sylow existiert aber \(u : U\) mit \(uTu^{-1} = S\). Daher gilt \(T = S\).
  • Wir haben deshald bewiesen, dass, für alles \(S : E_p(G)\), \(\text{Fix}_S(E_p(G)) = \{S\}\). Da \(S\) eine \(p\)-Gruppe ist, muss \(|E_p(G)| \equiv |\text{Fix}_S(E_p(G))|\ (\text{mod}\ p)\) gelten. Das heißt: \[n_p(G) \equiv 1\ (\text{mod}\ p)~.\]

8.19 Anwendung

  • Die Sätze von Sylow liefern Information über die Struktur endlicher Gruppen.

  • Zum Beispiel:

    Sei \(G\) eine Gruppe mit Ordnung 30. Dann besitzt \(G\) einen nicht-trivialen Normalteiler.

    Beweis.

    • Da \(30 = 2 \times 3 \times 5\), haben wir \(n_2(G)\ |\ 3 \times 5 = 15\), \(n_3(G)\ |\ 2 \times 5 = 10\) und \(n_5(G)\ |\ 2 \times 3 = 6\). Das heißt, \(n_2(G) \in \{1, 3, 5, 15\}\), \(n_3(G) \in \{1, 2, 5, 10\}\) und \(n_5(G) \in \{1, 2, 3, 6\}\).
    • Da \(n_3(G) \equiv 1\ (\text{mod}\ 3)\) gilt, muss \(n_3(G) \in \{1, 10\}\). Da \(n_5(G) \equiv 1\ (\text{mod}\ 5)\), muss \(n_5(G) \in \{1, 6\}\).

8.20 Ende der Anwendung

  • Nehmen wir an, dass beide \(n_3(G) > 1\) und \(n_5(G) > 1\).
  • Da \(3\) und \(5\) teilerfremd sind, muss das Durchschnitt einer \(3\)-Sylowunterguppe und einer \(5\)-Sylowunterguppe trivial sein. Außerdem hat jede \(3\)-Sylow \(S\) Ordnung \(3\), das heißt, \(S \simeq \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\). Daher hat \(G\) genau \(n_3(G)\times (3 - 1) = 10 \times 2 = 20\) verschiedene Elemente der Ordnung \(3\).
  • In analoger Weise hat \(G\) genau \(6 \times (5 - 1) = 24\) verschiedene Elemente der Ordnung \(5\). Dann muss \(30 = |G| > 20 + 24 = 44\). Da dies ein Widerspruch ist, muss \(n_3(G) = 1\) oder \(n_5(G) = 1\) gelten.
  • Wenn \(n_3(G) = 1\) gilt, dann ist die eindeutige \(3\)-Sylowuntergruppe von \(G\) ein Normalteiler von \(G\). Wenn \(n_5(G) = 1\) gilt, dann ist die eindeutige \(5\)-Sylowuntergruppe von \(G\) ein Normalteiler von \(G\). Im jeden Fall hat \(G\) eine nicht-triviale normale Untergruppe.

8.21 Übung

  • Sei \(G\) eine Gruppe mit Ordnung \(45\).

    1. Zeigen Sie, dass \(G\) einen nicht-trivialen Normaleteiler besitzt.
    2. Zeigen Sie, dass \[G \simeq (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}) \times (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2\ \text{oder}\ (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}) \times (\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})~.\]

  • Insbesondere ist jede Gruppe mit Ordnung \(45\) abelsch.