1  Gruppen und Gruppenhomomorphismen

Ein Porträt von Niels Henrik Abel..

Niels Henrik Abel (1802-1829) war ein norwegischer Mathematiker, der die Unlösbarkeit bewies, von Gleichungen fünften Grades durch Adjunktion von Wurzeln.

1.1 Beispiel und Motivation

Acht Punkte, die regelmäßig entlang eines Kreises angeordnet sind, um eine Rotationsgruppe zu veranschaulichen.
  • Sei die komplexe Zahl \(\zeta := e^{i\frac{\pi}{4}}\). Die Multiplikation mit \(\zeta^k\) bewirkt eine Rotation um dem Winkel \(\frac{k\pi}{4}\) in \(\mathbb{C}\). Rotationen können zusammengesetzt und umgekehrt werden.
  • Sei die Menge \(A := \{\zeta^0, \zeta^1, \zeta^2, \zeta^3, \zeta^4, \zeta^5, \zeta^6, \zeta^7\}\). Elemente von \(A\) können multipliziert und invertiert werden: \(\zeta^k * \zeta^{\ell} = \zeta^{k + \ell}\) und \(\zeta^k * \zeta^{-k} = 1\).

1.2 Verknüpfung auf einer Menge

Eine Verknüpfung dargestellt als Black-Box, die zwei Eingaben nimmt und eine Ausgabe produziert.
  • Sei \(A\) eine Menge und sei \(A \times A\) das kartesische Produkt von \(A\) mit sich selbst. Unter einer Verknüpfung auf \(A\) versteht man eine Abbildung \[ v : A \times A\to A. \]
  • Das heißt, wenn \(a, b\) Elemente in \(A\) sind, dann gibt es ein Element \(v (a, b)\) in \(A\).

1.2.1 Beispiele für Verknüpfungen

  • Die Addition \(v (n , m) := n + m\) ist eine Verknüpfung auf \(\mathbb{Z}\). So ist die Multiplikation \(v(n, m) := n * m\). Dies zeigt, dass eine Menge verschiedene Verknüpfungen ausführen kann.
  • Sei \(X\) eine Menge und sei \(A := \mathrm{Abb}(X, X)\) die Menge, deren Elemente die Abbildungen \(f : X \to X\) sind. Dann definiert die Komposition solcher Abbildungen eine Verknüpfung auf \(A\): \[ v (g, f) := \mathrm{fun}\ x \mapsto g \big( f(x) \big). \]
  • Auf der Menge alle \(2 \times 2\) Matrizen mit komplexen Koeffizienten ist die Ableitung \([m_1, m_2] := m_1 m_2 - m_2 m_1\) eine Verknüpfung.

1.3 Infix-Notation

  • Man benutzt fast immer eine Infix-Notation für \(m\). Das heißt, man schreibt \(v\) als \((\cdot\ \star\ \cdot)\), oder einfach \(\star\), und das Element \(v (a , b)\) als \(a \star b\). Dieses Element wird als Produkt von \(a\) und \(b\) bezeichnet.
  • Zum Beispiel schreibt man die Addition ganzer Zahlen, oder die Komposition \(g \circ f\) von Abbildungen von \(X\) nach \(X\), immer mit Infix-Notation.
  • Die übliche Konvention für die Infix-Notation einer Verknüpfung ist, dass der Ausdruck \(a \star b \star c\), als \((a \star b) \star c\) verstanden werden sollte (ohne solche Konvention, müsste man immer Klammern verwenden).

1.4 Assoziativität

  • Mit der Infix-Notation ist es oft einfacher, die Eigenschaften einer Verknüpfung zu schreiben, zum Beispiel die Folgende.
  • Eine Verknüpfung \((\cdot\ \star\ \cdot)\) auf einer Menge \(A\) heißt assoziativ, falls die folgende Eigenschaft gilt: \[ \forall\ a, b, c : A,\ (a \star b) \star c = a \star (b \star c). \]
  • Äquivalent dazu haben wir: \(a \star b \star c = a \star (b \star c)\).
  • Die Addition \((\cdot\ +\ \cdot) : \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) und die Komposition \((\cdot\ \circ\ \cdot) : \mathrm{Abb}(X, X) \times \mathrm{Abb}(X, X) \to \mathrm{Abb}(X, X)\) beide sind assoziativ (Übung).
  • Auf der Menge alle \(2 \times 2\) Matrizen mit komplexen Koeffizienten ist die Ableitung \([m_1, m_2] := m_1 m_2 - m_2 m_1\) nicht assoziativ.

1.5 Kommutativität

  • Eine Verknüpfung \((\cdot\ \star\ \cdot)\) auf einer Menge \(A\) heißt kommutativ, falls die folgende Eigenschaft gilt: \[ \forall\ a, b : A,\ a \star b = b \star a. \]
  • Beispiele und Gegenbeispiele:
    • Die Addition \((\cdot\ +\ \cdot) : \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) ist kommutativ.
    • Die Komposition \((\cdot\ \circ\ \cdot) : \mathrm{Abb}(X, X) \times \mathrm{Abb}(X, X) \to \mathrm{Abb}(X, X)\) ist im Allgemeinen nicht kommutativ (siehe unten, oder betrachten Sie die Multiplikation von \(2 \times 2\) Matrizen).
    • Auf der Menge der geraden Zahlen, ist die Multiplikation \((\cdot\ \times\ \cdot) : 2\mathbb{Z} \times 2\mathbb{Z} \to 2\mathbb{Z}\) eine kommutative Verknüpfung.

1.6 Eine nichtkommutative Verknüpfung

Zwei nichtkommutative Symmetrien eines gleichseitigen Dreiecks, gegeben durch Spiegelungen entlang der Höhenlinien.
  • Im Dreieck \(T := \{1, 2, 3\}\), die Permutationen \(\sigma_1 := (2\ 3)\) und \(\sigma_2 := (1\ 2)\) bestätigen \(\sigma_1 \circ \sigma_2 \not= \sigma_2 \circ \sigma_1\), denn \(\sigma_1 \circ \sigma_2 (3) = 2\), aber \(\sigma_2 \circ \sigma_1 (3) = 1\).
  • Da \(\sigma_1 \circ \sigma_2 \not= \sigma_2 \circ \sigma_1\), ist die Verknüpfung \((\cdot\, \circ\, \cdot)\) auf \(\mathrm{Abb}(T, T)\)nicht kommutativ.

1.7 Grundlegende algebraische Strukturen

  • Eine Verknüpfung \(\star\) auf einer Menge \(A\) ist ein Beispiel für eine (algebraische) Struktur auf \(A\).
  • Ein Paar \(( A, \star )\), bestehend aus einer Menge \(A\) und einer Verknüpfunng \((\cdot\ \star\ \cdot) : A \times A \to A\) heißt ein Magma.
  • Falls die Verknüpfung eines Magmas kommutativ ist, sagt man, dass dieses Magma kommutativ ist.
  • Ein Dreifach \(( A, \star, \textcolor{blue}{\star\text{-komm}} )\), bestehend aus einer Menge \(A\), einer Verknüpfung \(v : A \times A \to A\), und einem Beweis \(\textcolor{blue}{\star\text{-komm}}\), dass die Verknüpfung \(v\) kommutativ ist, wird kommutatives Magma genannt.

1.8 Halbgruppen

  • Falls die Verknüpfung eines Magmas \((A, \star)\) assoziativ ist, sagt man, dass das Magma \(( A, \star )\) assoziativ ist.
  • Ein Dreifach \(( A, \star, \textcolor{blue}{\star\text{-assoz}} )\), bestehend aus einer Menge \(A\), einer Verknüpfunng \((\cdot\ \star\ \cdot) : A \times A \to A\), und einem Beweis \(\textcolor{blue}{\star\text{-assoz}}\), dass die Verknüpfung \(\star\) assoziativ ist, wird Halbgruppe genannt.
  • Falls die Verknüpfung einer Halbgruppe kommutativ ist, sagt man, dass diese Halbgruppe kommutativ ist. Aus dieser Sicht ist eine kommutative Halbgruppe ein Vierfach \(( A, \star, \textcolor{blue}{\star\text{-assoz}}, \textcolor{blue}{\star\text{-komm}} )\).
  • Beispiele und Gegenbeispiele:
    • Die Magmas \((\mathbb{Z}, +)\) und \((2\mathbb{Z}, *)\) sind assoziativ und kommutativ.
    • Das Magma \(\mathrm{Abb}(X, X)\) ist assoziativ aber im allgemeinen nicht kommutativ.

1.9 Neutrales Element

  • Sei \((A, \star)\) ein Magma und sei \(e\) ein Element in \(A\). Man nennt das Element \(e\) ein neutrales Element (oder Einselement) bezüglich der Verknüpfung \(\star\), falls die folgende Eigenschaft gilt:

\[ \forall\ a : A,\ (e \star a = a)\ \wedge\ (a \star e = a). \]

  • Falls \(e\) und \(e'\) beide neutrale Elemente für die Verknüpfung \(\star\) sind, dann gilt \(e = e'\). Der Beweis ergibt sich aus folgender Berechnung:

\[\begin{array}{rcll} e & = & (e \star e') & \quad \scriptstyle{\textcolor{blue}{(a = a \star e' \text{ mit } a := e)}}\\ & = & e' & \quad \scriptstyle{\textcolor{blue}{(e \star a = a \text{ mit } a := e')}} \end{array}\]

1.10 Beispiele für neutrale Elemente

  • \(0\) ist ein neutrales Element für \((\mathbb{Z}, +)\).
  • \(1\) ist ein neutrales Element für \((\mathbb{Z}, *)\).
  • \(\mathrm{id}_X\) ist ein neutrales Element für \((\mathrm{Abb}(X, X), \circ )\).
  • Die Matrix \(I_2\) ist ein neutrales Element für Matrix-multiplikation in \(\mathrm{Mat}(2 \times 2,\mathbb{C})\).
  • Da \(1\) nicht gerade ist, hat das Magma \((2\mathbb{Z}, *)\) kein neutrales Element.

1.11 Monoide

  • Ein Monoid ist ein Tupel \(M := ( A, \star, e, \textcolor{blue}{\star\text{-assoz}}, \textcolor{blue}{\text{e-neutral}} )\), bestehend aus:
    • einer Menge \(A\).
    • einer Verknüpfung \((\cdot\ \star\ \cdot) : A \times A \to A\) auf \(A\).
    • einem Element \(e\) in \(A\).
    • einem Beweis \(\textcolor{blue}{\star\text{-assoz}}\), dass die Verknüpfung \(\star\) assoziativ ist: \[ \forall\ a, b, c : A,\ (a \star b) \star c = a \star (b \star c). \]
    • einem Beweis \(\textcolor{blue}{\text{e-neutral}}\), dass \(e\) ein neutrales Element bezüglich \(\star\) ist: \[ \forall\ a : A,\ (e \star a = a)\ \wedge\ (a \star e = a). \]
  • Wir nennen \(A\) die zugrunde liegende Menge des Monoids \(M\). Elemente von \(A\) werden auch Elemente von \(M\) genannt. In moderner Notation schreibt man auch \(M.\text{carrier}\) für diese Menge.

1.12 Kommutative Monoide

  • Sei \(M := (A, \star, e, \textcolor{blue}{\star\text{-assoz}}, \textcolor{blue}{\text{e-neutral}})\) ein Monoid. Das Tupel \((\star, e, \textcolor{blue}{\star\text{-assoz}}, \textcolor{blue}{\text{e-neutral}})\) wird eine Monoidstruktur auf der Menge \(A\) genannt.
  • Falls die Verknüpfung \(\star\) kommutativ ist, sagt man, dass das Monoid \(M\) kommutativ ist. Ein kommutatives Monoid ist deshalb ein Paar \(kM := ( M, \textcolor{blue}{\star\text{-komm}} )\), bestehend aus:
    • einem Monoid \(M\).
    • einem Beweis \(\textcolor{blue}{\star\text{-komm}}\), dass die Verknüpfung \(\star\) kommutativ ist.
  • Äquivalent dazu ist ein kommutatives Monoid ein Tupel \[ kM := (A, \star, e, \textcolor{blue}{\star\text{-assoz}}, \textcolor{blue}{\text{e-neutral}}, \textcolor{blue}{\star\text{-komm}} ). \]

1.13 Daten und Eigenschaften

  • Um die Notation zu vereinfachen, ist es hilfreich zu lernen, welche Daten tatsächlich Eigenschaften sind.
  • Zum Beispiel, in der Definition eines Monoides:
    • \(A\), \(\star\) und \(e\) sind Daten.
    • \(\textcolor{blue}{\star\text{-assoz}}\) und \(\textcolor{blue}{\text{e-neutral}}\) sind Eigenschaften (weil sie durch Gleichheiten in der Menge \(A\) definiert werden).
  • Üblicherweise schreibt man die Eigenschaften nicht. Das heißt, ein Monoid wird einfach als \(M := (A, \star, e)\) geschrieben.
  • Zum Beispiel, können wir an die Tupeln \((\mathbb{Z}, +, 0)\) und \((\mathrm{Abb}(X, X), \circ, \mathrm{id}_X)\) als Monoide denken. Auch an das Tupel \((\mathbb{N}_0, +, 0)\).

1.14 Existenz eines neutralen Elements

  • Es stellt sich heraus, dass wir sogar das Element \(e\) aus den Daten löschen können, die ein Monoid definieren. Wir müssen nur annehmen, dass es ein neutrales Element gibt, das heißt, dass die folgende Eigenschaft gilt:

    \[ \exists\ e : A,\ \forall\ a : A,\ (e \star a = a)\ \wedge\ (a \star e = a). \]

    Beweis: Per Annahme ist die Menge \(\{ a : A\ /\ a\ \text{ist neutral} \}\) nicht leer. Da solches Element \(a\), falls es existiert, eindeutig ist, es handelt sich sogar um ein Singleton. Wir können also ein Element aus dieser Menge auswählen, und es \(e\) nennen.

  • Deswegen können wir auch ein Monoid \(M\) als Tupel \(( A, \star, \textcolor{blue}{\star\text{-assoz}}, \textcolor{blue}{\text{exist-neutral}} )\) darstellen, in dem \(\textcolor{blue}{\text{exist-neutral}}\) ein Beweis ist, dass es ein Element \(e : A\) existiert, so dass gilt \(\forall\, a : A, (e \star a = a)\ \wedge\ (a \star e = a)\).

1.15 Inverse Elemente

  • Seien \(M := (A, \star, e)\) ein Monoid und \(a\) ein Element in \(A\). Ein Element \(b\) in \(A\) heißt invers zu \(a\) (bezüglich \(\star\)), falls die folgende Eigenchaft gilt:

    \[(b \star a = e) \ \wedge \ (a \star b = e)\ .\]

  • Das Element \(a\) heißt invertierbar, falls die folgende Eigenschaft gilt:

\[ \exists\ b : A,\ (b \star a = e) \ \wedge \ (a \star b = e). \]

  • Wenn \(b \star a = e\) sagt man auch, dass \(b\) ein linksinverses Element zu \(a\) ist. Gleichfalls, wenn \(a \star b = e\) sagt man auch, dass \(b\) ein rechtsinverses Element zu \(a\) ist.

1.16 Eindeutigkeit des inversen Elements

  • Nehmen wir an, dass \(a : A\) invertierbar ist. Wenn \(b\) und \(b'\) beide invers zu \(a\) sind, gilt \(b = b'\). Der Beweis ergibt sich aus folgender Berechnung:

\[\begin{array}{rcll} b & = & b \star e & \quad \scriptstyle{\textcolor{blue}{(e\text{-neutral})}} \\ & = & b \star (a \star b') & \quad \scriptstyle{\textcolor{blue}{(\mathrm{inv})}} \\ & = & (b \star a) \star b'& \quad \scriptstyle{\textcolor{blue}{(\star\text{-assoz})}} \\ & = & e \star b' & \quad \scriptstyle{\textcolor{blue}{(\mathrm{inv})}} \\ &= & b' & \quad \scriptstyle{\textcolor{blue}{(e\text{-neutral})}} \end{array}\]

1.17 Beispiele für invertierbare Elemente

  • In einem Monoid \((A, \star, e)\) ist das neutrale Element invertierbar, mit \(e^{-1} = e\).
  • Wenn \(a\) invertierbar ist, dann ist \(a^{-1}\) auch invertierbar, mit \((a^{-1})^{-1} = a\).
  • Wenn \(a\) und \(b\) invertierbar sind, dann ist das Element \(a \star b\) auch invertierbar, da das Element \(b^{-1} \star a^{-1}\) ein inverse Element dazu ist. Der Beweis ergibt sich aus folgender Berechnung: \[ (a \star b) \star (b^{-1} \star a^{-1}) = a \star (b \star b^{-1}) \star a^{-1} = a \star e \star a^{-1} = a \star a^{-1} = e. \]
  • Wir haben die „Regel von H.qmd und Jacke“ bewiesen: \((a \star b)^{-1} = b^{-1} \star a^{-1}\).

1.18 Konkrete Beispiele für invertierbare Elemente

  • Im kommutativen Monoid \((\mathbb{Z}, +, 0)\), ist jedes Element invertierbar, da \(\forall n : \mathbb{Z}, n + (-n) = 0\) gilt (das inverse Element von \(n\) ist \(-n\)).

  • Im kommutativen Monoid \((\mathbb{N}_0, +, 0)\), ist hingegen das neutrale Element \(0\) das einzige invertierbare Element.

  • Im Monoid \((\mathrm{Abb}(X), \circ, \mathrm{id}_X)\) sind die invertierbaren Elemente die Bijektionen \(f : X \to X\), das heißt, die Abbildungen \(f\), für die eine Umkehrfunktion \(g : X \to X\) existiert (eine Abbildung \(g\), so dass \(g \circ f = \mathrm{id}_X\ \wedge\ f \circ g = \mathrm{id}_X\)).

    Anmerkung. Wenn es kein neutrales Element gibt, zum Beispiel im Magma \((2\mathbb{Z}, *)\), ist das Konzept „invertierbares Element“ sinnlos.

1.19 Die Menge invertierbaren Elemente eines Monoids

  • Gegeben ein Monoid \(M := (A, \star, e)\), können wir eine Menge \(A^\times := \{ a : A\ /\ a\ \text{ist invertierbar} \}\) definieren. Auf dieser Menge können wir dann eine Abbildung \(i : a \mapsto a^{-1}\) definieren. Wir haben bereits bewiesen, dass \(e \in A^\times\), und dass die Verknüpfung von \(A\) eine Verknüpfung auf \(A^\times\) induziert: \[ \forall\ a, b : A,\ a \in A^\times \wedge b \in A^\times \Rightarrow a \star b \in A^\times. \]
  • Deswegen haben wir ein Monoid \(M^\times := (A^\times, \star, e)\) gebaut, in dem jedes Element invertierbar ist. Dieses Monoid \(M^\times\) wird die Einheitgruppe von \(M\) genannt. Es ist tatsächlich eine Gruppe (siehe unten).

1.20 Monoide, in denen alle Elemente invertierbar sind

  • Betrachten wir ein Monoid \(M := (A, \star, e)\), mit der Eigenschaft, dass jedes Element \(a : A\) invertierbar ist.
  • Aus formarler Sicht haben wir ein Paar \(( M, \textcolor{blue}{\text{inv-exist}} )\), in dem \(M\) ein Monoid ist, und \(\textcolor{blue}{\text{inv-exist}}\) ein Beweis für die folgende Eigenschaft ist: \[ \forall\ a : A,\ \exists\ b : A, b \star a = e \wedge a \star b = e. \]
  • Wenn diese Eigenschaft gilt, impliziert die Eindeutigkeit eines inversen Elements, dass wir eine Abbildung \(i : A \to A\) definieren können, die ein Element \(a : A\) nach seinem inversen Element \(a^{-1}\) abbildet: \(\forall\ a : A,\ i(a) := a^{-1}\).
  • Diese Abbildung \(i : A \to A\) überprüft die folgende Eigenschaft, dass für alles \(a : A\), das Element \(i(a)\) ein inverse Element zu \(a\) ist: \(i(a) \star a = e \wedge a \star i(a) =e\).

1.21 Gruppen

  • Die Idee ist, dass eine Gruppe, ein Monoid ist, in dem jedes Element invertierbar ist.
  • Formal ist eine Gruppe ein Tupel \(G := ( A, \star, e, i, \textcolor{blue}{\star\text{-assoz}}, \textcolor{blue}{\text{e-neutral}}, \textcolor{blue}{\text{i-inv}} )\) bestehend aus:
    • einer Menge \(A\).
    • einer Verknüpfung \((\cdot\ \star\ \cdot) : A \times A \to A\) auf \(A\).
    • einem Element \(e\) in \(A\).
    • einer Abbildung \(i : A \to A\).
    • einem Beweis \(\textcolor{blue}{\star\text{-assoz}}\), dass \(\forall\ a, b, c : A,\ (a \star b) \star c = a \star (b \star c)\) gilt.
    • einem Beweis \(\textcolor{blue}{\text{e-neutral}}\), dass \(\forall\ a : A,\ (e \star a = a)\ \wedge\ (a \star e = a)\) gilt.
    • einem Beweis \(\textcolor{blue}{\text{i-inv}}\), dass \(\forall\ a : A, i(a) \star a = e \wedge a \star i(a) =e\) gilt.

1.22 Eigenschaften und Notation

  • Wie wir gesehen haben, können wir ein neutrales Element \(e : A\) und eine Abbildung \(i : A \to A\) konstruieren, wenn die folgende Eigenschaften gelten,:
    • Existenz von einem neutralen Element: \[ \exists\ e : A,\ \forall\ a : A,\ (e \star a = a)\ \wedge\ (a \star e = a). \]
    • Existenz von inversen Elementen: \[ \forall\ a : A,\ \exists\ b : A, b \star a = e \wedge a \star b = e. \]
  • Deshalb können wir eine Gruppe auch als Tupel \(( A, \star, \textcolor{blue}{\star\text{-assoz}}, \textcolor{blue}{\text{neutral-exist}}, \textcolor{blue}{\text{inv- exist}} )\) definieren.
  • Wenn wir die Eigenschaften entfernen und nur die Daten behalten, können wir sogar eine Gruppe \(G\) mit \((A, \star, e, i)\), oder einfach \((A, \star)\), bezeichnen.

1.23 Kommutative Gruppen

  • Sei \(G = (A, \star, e, i)\) eine Grupppe.
  • Falls die Verknüpfung \(\star\) kommutativ ist, heißt die Gruppe \(G\) kommutativ (oder abelsch).
  • Eine kommutative Gruppe ist deshalb ein Paar \(kG := (G, \textcolor{blue}{\star\text{-komm}} )\), bestehend aus:
    • einer Gruppe \(G\).
    • einem Beweis \(\textcolor{blue}{\star\text{-komm}}\), dass die Verknüpfung dieser Gruppe kommutativ ist.
  • In der Praxis sagen wir jedoch einfach „Sei \(G\) eine kommutative Gruppe“ (die Eigenschaften entfernen und nur die Daten behalten).

1.24 Beispiele für Gruppen

  • Sei \(i : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) die Abbildung, die durch \(i(n) := -n\) definiert wird. Das Tupel \((\mathbb{Z}, +, 0 , i)\) ist eine abelsche Gruppe.
  • Wenn \(M := (A, \star, e)\) ein Monoid ist, gibt es auf der Menge \(A^\times\) die Abbildung \(i(a) := a^{-1}\). Dann ist das Tupel \(M^\times :=(A^\times, \star, e, i)\) eine Gruppe (die Einhgeitgruppe von \(M\)).
  • Ein Monoid \((A,\star)\) ist genau dann eine Gruppe, wenn \(\forall\ a : A, a \in A^\times\). Damit können wir beweisen, dass bestimmte Monoide keine Gruppenstruktur unterstützen.
  • Zum Beispiel, das Monoid \((\mathbb{N}_0, +)\) ist keine Gruppe (da \(\mathbb{N}_0^\times = \{0\}\)).
  • Beachten Sie, dass die Notation \(A^\times\) mehrdeutig ist (da invertierbar nur Sinn macht, wenn eine Verknüpfung \(\star\) angegeben wurde). Zum Beispiel, \((\mathbb{Z}, +)^{\times} = (\mathbb{Z}, +)\) und \((\mathbb{Z}, *)^{\times} = (\{1,-1\}, *)\). Hingegen ist die Notation \(M^\times\) voll korrekt.

1.25 Hierarchie gruppenähnlicher Strukturen

Eine algebraische Hierarchie gruppenähnlicher Objekte, dargestellt als Git-Commit-Verlaufsdiagramm.
  • Wir haben eine grundlegende „Hierarchie“ algebraischer Strukturen erstellt.
  • Wir begannen mit einer Menge und fügten dann eine Operation und einige Eigenschaften hinzu.

1.26 Pause

QR Code zur Zulip-channel.
  • Machen wir eine kurze Pause. Bisher war alles sehr abstrakt.
  • Wir benötigen weitere Beispiele.
  • Wenn Sie Fragen haben, können Sie diese jetzt oder später auf Zulip stellen.

1.27 Symmetriegruppe eines Rechtecks

Symmetriegruppe eines Rechtecks.
  • Ein Rechteck hat zwei Reflexionachsen. Es besitzt außerdem eine Rotationssymmetrie (um den Winkel \(\pi\)).
  • Nennen wir A, B, C, D die Eckpunkte eines Rechtecks.
  • Wir können die Wirkung der Reflexionen \(\sigma\) und \(\tau\) an diesen Eckpunkte betrachten.
  • Wenn wir \(\sigma\) dann \(\tau\) anwenden, ist die Wirkung dieselbe wie bei der Rotation \(R\).

1.28 Verknüpfungstafel der Symmetriegruppe eines Rechtecks

  • Mit den Transformationen \(id\), \(\sigma\), \(\tau\) und \(R\), können wir eine Gruppe bauen.

  • Eine Verknüpfungstafel für diese Gruppe sieht wie folgt aus. Die Existenz inverser Elemente, so wie die Kommutativität dieser Verknüpfung, sind auf dieser Tafel sichtbar.

  • Assoziativität ist nicht offensichtlich.

    \[ \begin{array}{c|cccc} & id & \sigma & \tau & R \\ \hline id & id & \sigma & \tau & R \\ \sigma & \sigma & id & R & \tau \\ \tau & \tau & R & id & \sigma \\ R & R & \tau & \sigma & id \end{array} \]

    👉 Die Verknüpfungstafel hängt davon ab, wie die Gruppenelemente aufgelistet werden.

1.29 Symmetriegruppe eines Quadrats

Symmetriegruppe eines Quadrats.
  • Ein Quadrat hat vier Reflexionachsen und eine Rotationssymmetrie (um den Winkel \(\frac{\pi}{2}\)).
  • Wir können s und r verwenden, um jede andere dieser Symmetrien zu erhalten. Zum Beispiel, ist \(r \circ s\) die Reflexion an der vertikalen Achse (\(r \circ s = \sigma\)).
  • Wir schreiben \(r^2\) statt \(r \circ r\), und so weiter.

1.30 Eine Verknüpfungstafel für die Symmetriegruppe eines Quadrats

\[\begin{array}{c|cccccccc} & id & r & r^2 & r^3 & s & t & \sigma & \tau \\ \hline id & id & r & r^2 & r^3 & s & t & \sigma & \tau \\ r & r & r^2 & r^3 & id & \sigma & \tau & t & s \\ r^2 & r^2 & r^3 & id & r & t & s & \tau & \sigma \\ r^3 & r^3 & id & r & r^2 & \tau & \sigma & s & t \\ s & s & \tau & t & \sigma & id & r^2 & r^3 & r \\ t & t & \sigma & s & \tau & r^2 & id & r & r^3 \\ \sigma & \sigma & s & \tau & t & r & r^3 & id & r^2 \\ \tau & \tau & t & \sigma & s & r^3 & r & r^2 & id \end{array}\]

👉 Die Verknüpfungstafel hängt davon ab, wie die Gruppenelemente aufgelistet werden.

1.31 Die in einer Symmetriegruppe enthaltene Information

  • Die Intuition ist: Je mehr Symmetrien die Figur aufweist, desto komplizierter ist ihre Symmetriegruppe.
  • Beispielsweise ist ein Quadrat symmetrischer als ein Rechteck, und dies kann man in der Verknüpfungstafel sehen, die für das Quadrat komplizierter ist.
  • In der Galois-Theorie ist die „Figur“ eine Polynomgleichung. Ihre „Symmetriegruppe“ wird als Galois-Gruppe bezeichnet.
  • Die Eigenschaften der Galois-Gruppe spiegeln die Eigenschaften der Gleichung wider und liefern Informationen darüber. Dies zu verstehen, ist das Ziel dieses Kurses.
  • Natürlich gibt es viel bessere Möglichkeiten, die interne Struktur einer Gruppe zu studieren, als einfach eine Verknüpfungstafel zu schreiben! Wir werden das hier lernen.

1.32 Übung 1

Symmetrieachsen eines gleichschenkligen und eines gleichseitigen Dreiecks.
  1. Bestimmen Sie eine Verknüpfungstafel für die Symmetriegruppe eines gleichschenkligen Dreiecks.
  2. Machen Sie dann dasselbe für ein gleichseitiges Dreieck.
  3. Welche Tafel ist komplizierter?

1.33 Übung 2

  • Seien \(G_1 = (A_1, \star_1, e_1, i_1)\) und \(G_2 = (A_2, \star_2, e_2, i_2)\) Gruppen.
  • Auf der Produktmenge \(A := A_1 \times A_2\) können wir die folgende Verknüpfung definieren. \[ (a_1, a_2) \star (b_1, b_2) := (a_1 \star_1 b_1, a_2 \star_2 b_2) \]
  • Zeigen Sie, dass das Magma \((A, \star)\) mit einer Gruppenstruktur ausgestattet werden kann.

1.34 Monoidhomomorphismus

  • Seien \(M := (A_M, \star_M, e_M)\) und \(N := (A_N, \star_N, e_N)\) Monoiden.

  • Man sagt, dass eine Abbildung \(f : A_M \to A_N\) ein Monoidhomomorphismus ist, falls die folgenden Eigenschaften gelten:

    • \(\forall\ a, b : A_M,\ f(a \star_M b) =f(a) \star_N f(b).\)
    • \(f(e_M) = e_N\).

  • Die Idee ist, dass die Abbildung \(f\) mit der Verknüpfung, und mit dem neutralen Element, kompatibel sein sollte.

    ⚠️ In der Praxis schreibt man oft \(f(e) = e\) und \(f(a \star b) = f(a) \star f(b)\) oder sogar \(f(ab) = f(a)f(b)\).

1.35 Formale Definition

  • Aus formaler Sicht ist ein Monoidhomomorphismus zwischen den Monoiden \(M := (A_M, \star_M, e_M)\) und \(N:= (A_N, \star_N, e_N)\) ein Tupel \[\varphi := (f, \textcolor{blue}{\star\text{-kompatibel}}, \textcolor{blue}{e\text{-kompatibel}}),\] wobei:
    • \(f : A_M \to A_N\) eine Abbildung ist (oft die zugrunde liegende Abbildung des Homomorphismus \(\varphi\) genannt).
    • \(\textcolor{blue}{\star\text{-kompatibel}}\) ein Beweis für die folgende Eigenschaft ist: \[ \forall\ a, b : A_M,\ f(a \star_M b) = f(a) \star_N f(b) \]
    • \(\textcolor{blue}{e\text{-kompatibel}}\) ein Beweis für die folgende Eigenschaft ist: \[ f(e_M) = e_N. \]

1.36 Menge von Homomorphismen

  • Seien \(M := (A_M, \star_M, e_M)\) und \(N:= (A_N, \star_N, e_N)\) Monoide. Dann können wir die Menge \(\text{Hom}_{\text{Mnd}}(M, N)\) aller Homomorphismen zwischen den Monoiden \(M\) und \(N\) betrachten.
  • Die Elemente dieser Menge sind die zuvor definierten Tupel \[ \varphi := (f, \textcolor{blue}{\star\text{-kompatibel}}, \textcolor{blue}{e\text{-kompatibel}}). \]
  • Oft wird \(\varphi : \text{Hom}_{\text{Mnd}}(M, N)\) einfach als \(\varphi : M \to N\) bezeichnet. Dies ist Notation für die Abbildung \(f : A_M \to A_N\) (und, wie üblich, bleiben die Eigenschaften implizit).
  • Zum Beispiel, falls \(M =N\), ist \(id_M : \text{Hom}_{\text{Mnd}}(M, N)\) der durch die Identitätsfunktion \(id_{A_M} : A_M \to A_M\) induziert Monoidhomomorphismus. Das heißt, \(id_{M} = (id_{A_M}, \textcolor{blue}{\star\text{-kompatibel}}, \textcolor{blue}{e\text{-kompatibel}})\).

1.37 Komposition von Homomorphismen

  • Wenn \(M\), \(N\) und \(P\) Monoide sind, können wir eine Verknüpfung definieren, das heißt, eine Abbildung

    \[\circ_{\text{Mnd}} : \text{Hom}_{\text{Mnd}}(M, N) \times \text{Hom}_{\text{Mnd}}(N, P) \to \text{Hom}_{\text{Mnd}}(M, P).\]

  • Die Definition ergibt sich aus der folgenden Beobachtung: gegeben Abbildungen \(f : M \to N\) und \(g : N \to P\), die Monoidehomomorphismen sind, ist die Abbildung \(g \circ f\) auch ein Monoidhomomorphismus.

  • Um sicherzustellen, dass dies korrekt ist, müssen wir die folgenden Eigenschaften überprüfen, die von der Definition \((g \circ f)(a) := g(f(a))\) folgen:

    \[\forall\ a, b : M,\ (g\circ f)(a \star_M b) = (g \circ f)(a) \star_P (g \circ f)(b)\ \text{und}\ (g \circ f)(e_M) = e_P.\]

  • Aus formaler Sicht, falls \(\varphi := (f,\ \textcolor{blue}{\ldots}\ )\) und \(\psi := (g,\ \textcolor{blue}{\ldots}\ )\), haben wir \(\psi \circ_{\text{Mnd}} \varphi := (g \circ f,\ \textcolor{blue}{\ldots}\ )\).

1.38 Übung 3

Sei \(M\), \(N\), \(P\) und \(Q\) Monoide. Zeigen Sie die folgende Eigenschaften:

  1. Wenn die Abbildungen \(f : M \to N\) und \(g : N \to P\) Monoidhomomorphismen sind, dann ist die Abbildung \(g \circ f : M \to P\) ein Monoidhomomorphismus.
  2. Für jeden Monoidhomomorphismus \(\varphi : \text{Hom}_{\text{Mnd}}(M, N)\), gilt \[ \varphi \circ_{\text{Mnd}} id_M = \varphi\ \text{und}\ id_N \circ_{\text{Mnd}} \varphi = \varphi. \]
  3. Für alle Monoidhomomorphismen \(\varphi : \text{Hom}_{\text{Mnd}}(M, N)\), \(\psi : \text{Hom}_{\text{Mnd}}(N, P)\) und \(\chi : \text{Hom}_{\text{Mnd}}(P, Q)\), gilt die Assoziativitäteigenschaft

\[ \chi \circ_{\text{Mnd}} (\psi \circ_{\text{Mnd}} \varphi) = (\chi \circ_{\text{Mnd}} \psi) \circ_{\text{Mnd}} \varphi. \]

1.39 Beispiele für Monoidhomomorphismen

  • Die Exponentialfunktion \(\exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) induziert ein Monoidhomomorphismus vom Monoid \((\mathbb{R}, +)\) zum Monoid \((\mathbb{R}_{>0}, *)\), wegen \(\exp(a + b) = \exp(a) * \exp(b)\) und \(\exp(0) = 1\).
  • Sei \(M := (A_M, \star_M, e_M)\) ein Monoid und \(a : A_M\) ein Element. Dann gibt es genau einen Monoidhomomorphismus \(\varphi_a : (\mathbb{N}_0, +) \to M\) mit \(\varphi_a(1) = a\). Diese Eigenschaft ist als universelle Eigenschaft des Monoids \((\mathbb{N}_0, +)\) bekannt.
    • Beachten Sie, dass ein solches Homomorphismus, falls er existiert, die Bedingungen \(\varphi_a(0) = e_M\) und \(\forall\ n : \mathbb{N}_{>0},\ \varphi_a(n) = \varphi_a(1 + \ldots + 1) = \varphi_a(1)^n = a^n\) erfüllen muss (letzteres beweist man durch Induktion).
    • Es genügt dann zu beweisen, dass die so definierte Abbildung \(\varphi_a(n) := a^n\), ein Monoidhomomorphismus ist, das außerdem die Eigenschaft \(\varphi_a(1) = a\) erfüllt.

1.40 Kompatibilität mit dem neutralen Element

  • Sei \(M := (A_M, \star_M, e_M)\) und \(N := (A_N, \star_N, e_N)\) Monoide.

  • Wenn das Monoid \(N\) tatsächlich eine Gruppenstruktur besitzt , ist eine Abbildung \(f : A_M \to A_N\) genau dann ein Gruppenhomorphismus, wenn die folgende Eigenschaft gilt:

    \[\forall\ a, b : A_M,\ f(a \star_M b) = f(a) \star_N f(b)\ .\]

  • Das heißt, die Eigenschaft \(f(e_M) = e_N\) gilt in diesem Fall automatisch.

    Beweis. Zunächst haben wir

    \[ f(e_M) = f(e_M \star_M e_M) = f(e_M) \star_N f(e_M)\ . \]

    Danach, da \(f(e_M)\) invertierbar ist, impliziert die vorherige Gleichheit, dass

    \[ f(e_M)^{-1} \star_N f(e_M) = f(e_M)^{-1} \star_N \big(f(e_M) \star f(e_M)\big)\ , \]

    somit \(e_N = f(e_M)\).

1.41 Gruppenhomomorphismen

  • Man nennt einen Gruppenhomomorphismus zwischen den Gruppen \(G := (A_G, \star_G, e_G)\) und \(H:= (A_H, \star_H, e_H)\) ein Tupel \((f, \textcolor{blue}{\star\text{-kompatibel}}, \textcolor{blue}{e\text{-kompatibel}})\), wobei:
    • \(f : A_G \to A_H\) eine Abbildung ist.
    • \(\textcolor{blue}{\star\text{-kompatibel}}\) ein Beweis für die folgende Eigenschaft ist: \[\forall\ a, b : A_G,\ f(a \star_G b) = f(a) \star_H f(b)\]
    • \(\textcolor{blue}{e\text{-kompatibel}}\) ein Beweis für die folgende Eigenschaft ist: \[f(e_G) = e_H.\]
  • Aufgrund der vorherigen Bemerkung, reicht es jedoch eine Abbildung \(f : A_G \to A_H\) zu definieren, die einfach die erste Eigenschaft oben erfüllt, um ein Gruppenhomomorphismus zwischen \(G\) und \(G\) zu bauen.

1.42 Beispiele für Gruppenhomomorphismen

  • Die Exponentialfunktion \(\exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) induziert ein Gruppenhomomorphismus von der Gruppe \((\mathbb{R}, +)\) zur Gruppe \((\mathbb{R}_{>0}, *)\). Um dass zu zeigen genügt es, einfach die Bedingung \(\exp(a + b) = \exp(a) * \exp(b)\) zu beweisen.
  • Seien \(G := (A_G, \star_G, e_G)\) eine Gruppe und \(a : A_M\) ein Element. Dann gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus \(\varphi_a : (\mathbb{Z}, +) \to G\) mit \(\varphi_a(1) = a\). Dies ist als universelle Eigenschaft der Gruppe \((\mathbb{Z}, +)\) bekannt.
    • Beachten Sie, dass ein solches Homomorphismus, falls er existiert, die Bedingungen \(\varphi_a(0) = e_G\), \(\forall\ n : \mathbb{Z}_{> 0},\ \varphi_a(n) = \varphi_a(1 + \ldots + 1) = a^n\), und \(\forall\ n : \mathbb{Z}_{< 0},\ \varphi_a(n) = (a^n)^{-1}\) erfüllen muss (da \(\varphi_a(n - n) = \varphi_a(0) = e_G\)).
    • Es genügt entsprechend zu beweisen, dass die so definierte Abbildung \(\varphi_a(n) := a^n\), ein Gruppenhomomorphismus ist, der \(\varphi_a(1) = a\) erfüllt.

1.43 Ein konkretes Beispiel: Division mit Rest

  • Sei \(n : \mathbb{Z}_{> 0}\). Betrachten wir die Abbildung

    \[ (\cdot\ \mathrm{mod}\ n) : \mathbb{Z} \to \{0,\ 1,\ \ldots\ ,\ n - 1\} \]

    die eine ganze Zahl \(m : \mathbb{Z}\) nach den Rest der Division mit Rest von \(m\) durch \(n\) abbildet (\(m = q * n + r\) mit \(0 \leqslant r \leqslant n - 1\)).

  • Dann gilt \((m_1 + m_2)\ \mathrm{mod}\ n = (m_1\ \mathrm{mod}\ n) + (m_2\ \mathrm{mod}\ n)\).

  • Wenn wir die Notation \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} := \{0,\ 1,\ \ldots\ ,\ n - 1\}\) und die Verknüpfung

    \[ (i\ \mathrm{mod}\ n) +_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} (j\ \mathrm{mod}\ n) := (i +_{\mathbb{Z}} j)\ \mathrm{mod}\ n \]

    einführen, können wir eine Gruppenstruktur auf der Menge \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) konstruieren.

  • Bezüglich dieser Gruppenstruktur ist die Abbildung \((\cdot\ \mathrm{mod}\ n) : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}\) ein Gruppenhomomorphismus.

1.44 Übung 4

  • Seien \(M\) und \(N\) Monoide, und \(f : M \to N\) ein Monoidhomomorphismus.

  • Zeigen Sie die folgende Eigenschaften:

    1. \(\forall\ a : M^{\times}, (f(a) \in N^{\times}) \wedge (f(a)^{-1} = f(a^{-1}))\).
    2. Der Monoidhomomorphismus \(f : M \to N\) induziert (durch Einschränkung) einen Gruppenhomomorphismus \(f|_{M^\times}^{N^\times} : M^\times \to N^\times\).

1.45 Übung 5

  • Seien \(G\), \(H\), \(J\) und \(K\) Gruppen. Mit \(\text{Hom}_{\text{Gpp}}(G, H)\) bezeichnen wir die Menge Gruppenhomomorphismen von \(G\) zu \(H\).

  • Definieren Sie eine Verknüpfung

    \[\circ_{\text{Gpp}} : \text{Hom}_{\text{Gpp}}(G, H) \times \text{Hom}_{\text{Gpp}}(H, J) \to \text{Hom}_{\text{Gpp}}(G, J)\]

    und Gruppenhomorphismen \(id_G : \text{Hom}_{\text{Gpp}}(G, G)\), sodass die folgende Eigenschaften gelten:

    1. \(\forall\ \varphi : \text{Hom}_{\text{Gpp}}(G, H),\ \varphi \circ_{\text{Gpp}} id_G = \varphi \wedge id_H \circ_{\text{Gpp}} \varphi =\varphi\).
    2. \(\forall\ \varphi : \text{Hom}_{\text{Gpp}}(G, H),\ \psi : \text{Hom}_{\text{Gpp}}(H, J),\ \chi : \text{Hom}_{\text{Gpp}}(J, K)\),

    \[ \chi \circ_{\text{Gpp}} (\psi \circ_{\text{Gpp}} \varphi) = (\chi \circ_{\text{Gpp}} \psi) \circ_{\text{Gpp}} \varphi. \]

1.46 Monoidisomorphismen

  • Sei \(\varphi : \text{Hom}_{\text{Mnd}}(M, N)\) ein Monoidhomomorphismus. Dann wird \(\varphi\) einen Monoidisomorphismus genannt, falls es ein Monoidhomorphismus \(\psi : \text{Hom}_{\text{Mnd}}(N, M)\) existiert, so dass die folgende Eigenschaften gelten:

    \[\big( \psi \circ_{\text{Mnd}} \varphi = id_M \big)\ \wedge\ \big( \varphi \circ_{\text{Mnd}} \psi = id_N \big).\]

  • Die Menge Monoidisomorphismen von \(M\) nach \(N\) wird mit \(\mathrm{Isom}_{\text{Mnd}}(M, N)\) bezeichnet.

  • Falls \(\varphi\) ein Isomorphismus ist, wird der Homomorphismus \(\psi\) einen inversen Homomorphismus zu \(\varphi\) genannt.

1.47 Gruppenisomorphismen

  • Ebenso wird ein Gruppenhomorphismus \(\varphi : \text{Hom}_{\text{Gpp}}(G, H)\) einen Gruppenisomorphismus genannt, falls es ein Gruppenhomomorphismus \(\psi : \text{Hom}_{\text{Gpp}}(H, G)\) existiert, sodass die folgende Eigenschaften gelten:

    \[ \big( \psi \circ_{\text{Gpp}} \varphi = id_M \big)\ \wedge\ \big( \varphi \circ_{\text{Gpp}} \psi = id_N \big). \]

  • Die Menge Gruppenisomorphismen von \(G\) nach \(H\) wird mit \(\mathrm{Isom}_{\text{Gpp}}(M, N)\) bezeichnet.

1.48 Eindeutigkeit des inverses Homomorphismus

  • Sei \(\varphi := (f,\ \textcolor{blue}{\ldots}\ )\) ein Homomorphismus zwischen Monoiden \(M := (A_M, \star_M, e_M)\) und \(N := (A_N, \star_N, e_N)\), oder zwischen Gruppen \(G\) und \(H\). Nehmen wir an, dass es ein inverse Homomorphismus zu \(\varphi\) existiert. Dann ist solches Homomorphismus eindeutig.
  • Um das zu beweisen, nehmen wir an, dass \(\psi_1 := (g_1,\ \textcolor{blue}{\ldots}\ )\) und \(\psi_2 := (g_2,\ \textcolor{blue}{\ldots}\ )\) beide inverse zu \(\varphi\) sind, und zeigen, dass \(\psi_1 = \psi_2\) ist. Es genügt zu beweisen, dass die zugrunde liegende Abbildungen die Eigenschaft \(g_1 = g_2\) erfüllen.
  • Dies folgt von die Gleichheiten \(g_1 \circ f = id_{A_N}\) und \(g_2 \circ f = id_{A_N}\) und der Eindeutigkeit der Umkehrfunktion zu einer bijektive Funktion \(f\).
  • Es ist entsprechend möglich/erlaubt, die Notation \(\varphi^{-1}\) für den inversen Homomomorphismus zu \(\varphi\) zu benutzen.

1.49 Bijektive Homomorphismen

Satz. Ein Mondoidhomomorphismus \(\varphi := (f, \textcolor{blue}{\star\text{-komp}}, \textcolor{blue}{e\text{-komp}})\) ist genau dann ein Monoidisomorphismus, wenn die Abbildung \(f\) eine Bijektion ist. Der analoge Satz gilt für Gruppenhomomorphismen.

  • Es genügt, den Beweis entweder für Monoide oder Gruppen geben. Wir werden mit Monoiden arbeiten.
  • Der entscheidende Punkt der Beweisführung ist, dass die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) eines bijektives Monoidhomomorphismus \(\varphi := (f, \textcolor{blue}{\star\text{-komp}}, \textcolor{blue}{e\text{-komp}})\) automatisch ein Homomorphismus ist. Das werden wir unten beweisen.

1.50 Monoidisomorphismen sind bijektiven („\(\Rightarrow\)“)

  • Zunächst beweisen wir, dass, wenn ein Monoidhomomorphismus

    \[ \varphi := (f, \textcolor{blue}{\star\text{-komp}}, \textcolor{blue}{e\text{-komp}}) \]

    von \(M = (A_M, \star_M, e_M)\) nach \(N = (A_N, \star_N, e_N)\) ein Monoidisomorphismus ist, die Abbildung \(f : A_M \to A_N\) eine Bijektion ist.

  • Da \(\varphi\) ein Isomorphismus ist, gibt es einen inversen Homomorphismus \(\psi = (g,\ \textcolor{blue}{\ldots}\ )\), welcher die Eigenschaft \((\psi \circ_{\text{Mnd}} \varphi = id_M) \wedge (\varphi \circ_{\text{Mnd}} \psi = id_N)\) erfüllt.

  • Per Definition der Komposition von Homomorphismen, gilt die Eigenschaft

    \[ (g \circ f = id_{A_M}) \wedge (f \circ g = id_{A_N})\ . \]

    Das heißt, \(f\) ist eine Bijektion.

1.51 Bijektive Monoidhomomorphismen sind Isomorphismen („\(\Leftarrow\)“)

  • Sei \(\varphi = (f,\ \textcolor{blue}{\ldots}\ )\) ein Monoidhomomorphismus zwischen Monoiden \(M = (A_M, \star_M, e_M)\) und \(N = (A_N, \star_N, e_N)\), so dass die Abbildung \(f : A_M \to A_N\) bijektive ist. Wir wollen einen inversen Homomorphismus zu \(\varphi\) konstruieren. Dass heißt, einen Monoidhomomorphismus \(\psi = (g,\ \textcolor{blue}{\ldots}\ )\) zwischen \(N\) und \(M\), sodass \((\psi \circ_{\text{Gpp}} \varphi = id_M) \wedge (\varphi \circ_{\text{Gpp}} \psi = id_N)\).
  • Da \(f : A_M \to A_N\) bijektiv ist, existiert ein \(g : A_N \to A_M\), so dass \((g \circ f = id_{A_M}) \wedge (f \circ g = id_{A_N})\). Um einen inversen Homomorphismus \(\psi\) zu \(\varphi\) zu bauen, genügt es zu zeigen, dass \(g\) die folgende Eigenschaften erfüllt: \[\big(\forall\ c, d : A_N,\ g(c \star_N d) = g(c) \star_M g(d) \big) \wedge \big( g(e_N) = e_M \big)\] (die Eigenschaften, die einen Monoidhomomorphismus definieren). Das beweisen wir unten.

1.52 Kompatibilität mit der Verknüpfung

Zeigen wir zunächst, dass die Eigenschaft \(\forall\ c, d : A_N,\ g(c \star_N d) = g(c) \star_M g(d)\) gilt.

  • Da \(f : A_M \to A_N\) bijektiv ist, gibt es eindeutige Elemente \(a, b : A_M\), sodass \(f(a) = c\) und \(f(b) =d\).
  • Da \(g\) eine Umkehrfunktion für \(f\) ist, gibt es auch \(g(c) = g(f(a)) = a\) und \(g(d) = g(f(b)) = b\).
  • Da \(f\) ein Monoidhomorphismus ist, gilt \[ c \star_N d = f(a) \star_N f(b) = f(a \star_M b). \]
  • Da \(g\) eine Umkehrfunktion für \(f\) ist, haben wir dann \[ g(c \star_N d) = g \big( f(a) \star_N f(b) \big) = g \big( f(a \star_M b) \big) = a \star_M b\ = g(c) \star_M g(d). \]

1.53 Kompatibilität mit den neutralen Element

Wir müssen noch überprüfen, dass \(g(e_N) = e_M\) ist.

  • Da \(f\) ein Monoidhomorphismus ist, gilt \(f(e_M) = e_N\).
  • Da \(g\) eine Umkehrfunktion für \(f\) ist, haben wir dann \[ g(e_N) = g \big( f(e_M) \big) = e_M. \]

1.54 Übung 7

  • Sei \(M\) ein Monoid. Betrachten wir die Menge \(\mathrm{Hom}_{\text{Mnd}}(M, M)\) von Homomorphismen von \(M\) nach sich selbst, mit der Verknüpfung \(\circ_{\text{Mnd}}\).

  • Zeigen Sie, dass das folgende Tupel ein Monoid ist:

    \[\mathrm{End}_{\text{Mnd}}(M) := \big( \mathrm{Hom}_{\text{Mnd}}(M, M)), \circ_{\text{Mnd}}, id_M \big) .\]

  • Zeigen Sie, dass die Gruppe der invertiebaren Elemente des Monoids \(\mathrm{End}_{\text{Mnd}}(M)\) genau die Gruppe ist, deren Elemente die Monoidisomorphismen von \(M\) nach sich selbst sind:

    \[ \mathrm{Aut}_{\text{Mnd}}(M) := \mathrm{End}_{\text{Mnd}}(M)^\times = \big( \mathrm{Isom}(M, M), \circ_{\text{Mnd}}, id_M \big). \]

    👉 Es geht darum zu zeigen, dass die Komposition zweier Isomorphismen ein Isomorphismus ist.

1.55 Endomorphismen und Automorphismen

  • Sei \(M\) ein Monoid. Die Elemente des Monoids \(\mathrm{End}_{\text{Mnd}}(M)\) werden Monoidendomorphismen von \(M\) gennant. Die Elemente der Gruppe \(\mathrm{Aut}_{\text{Mnd}}(M)\) werden Monoidautomorphismen von \(M\) gennant.
  • Gegeben eine Gruppe \(G,\) können wir gleichfalls ein Monoid \(\mathrm{End}_{\text{Gpp}}(G)\) und eine Gruppe \(\mathrm{Aut}_{\text{Gpp}}(G)\) definieren. Die Elemente des Monoids \(\mathrm{End}_{\text{Gpp}}(G)\) werden Gruppenendomorphismen von \(G\) gennant. Die Elemente der Gruppe \(\mathrm{Aut}_{\text{Gpp}}(G)\) werden Gruppenautomorphismen von \(G\) gennant.

1.56 Beispiel: lineare Transformationen

  • Sei \(V\) ein Vektorraum und sei \(\mathrm{Hom}_{\mathrm{Lin}}(V, V)\) die Menge lineare Abbildungen von \(V\) nach sich selbst. Da die Komposition linearer Abbildungen noch linear ist, können wir auf dieser Menge eine Verknüpfung konstruieren.

  • Auf diese Weise erhalten wir ein Monoid

    \[ \mathrm{End}_{\mathrm{Lin}}(V) := \big( \mathrm{Hom}_{\mathrm{Lin}}(V, V), \circ_{\mathrm{Lin}}, id_V \big).\]

  • Die Gruppe invertierbarer Elemente dieser Gruppe ist die Gruppe, deren zugrundeliegende Menge aus bijektiven linearen Abbildungen besteht:

    \[ \mathrm{End}_{\mathrm{Lin}}(V)^\times = \mathrm{GL}(V) .\]