18 Separable algebraische Erweiterungen

Ein Porträt von Heinrich Weber (1842-1913).

Heinrich Weber (1842–1913) war ein deutscher Mathematiker, dessen Werk ein breites Spektrum mathematischer Gebiete umfasste. Er habilitierte sich 1866 in Heidelberg und wurde 1869 dort Professor. Er ist insbesondere für den Satz von Kronecker-Weber bekannt. Einer seiner Schüler war David Hilbert.

18.1 Ableitung von Polynomen

Die Differentialrechnung zeigt, dass die Ableitung einer Polynomfunktion wieder eine Polynomfunktion ist. \[\forall\ k : \mathbb{N}_{\geqslant 0},\ \frac{d}{dx} x^{k + 1} = (k+1) x^k\ .\] Außerdem ist die Ableitung einer konstanten Funktion null.
In Polynomringen können wir diese Formel als Definition nehmen, um die formale Ableitung eines Monoms einzuführen. Diese Definition lässt sich durch Linearität auf jedes beliebige Polynom erweitern. \[\text{F\"ur}\ P = a_0 + \sum_{k = 1}^n a_k X^k,\ \text{setzen wir}\ P' := 0 + \sum_{k = 1}^n (k \cdot a_k) X^{k-1}\ ,\] wobei \(k \cdot a _k = a_k +\ \ldots\ + a_k\) (\(k\)-mal).

18.2 Übung 1

Sei \(R\) ein Ring.
Zeigen Sie die folgende Eigenschaften für die formale Ableitung von Polynomen:
1. Linearität: \((P + Q)' = P' + Q'\) und \(\forall\ a : R,\ (aP)' = aP'\).
2. Leibnizregel: \((PQ) = P'Q + PQ'\). Hinweis. Nach der Linearitätseigenschaft, reicht es die Leibnizregel für \(P := X^n\) und \(Q := X^m\) zu überprüfen.
3. Wenn \(P\) ein konstantes Polynom ist, dann gilt \(P' = 0_{R[X]}\).
4. Zeigen Sie, dass die Umkehrung von (iii) im Allgemeinen nicht gilt. Hinweis. Betrachten Sie \(R = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) und \(P = X ^ n\), mit \(n > 0\), und erinnern Sie sich daran, dass \(n \cdot 1_R = 0_R\) in \(R := \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\).

18.3 Ableitungen höherer Ordnung

Da die formale Ableitung eines Polynoms \(P\) ein Polynom \(P'\) ist, hat auch dieses \(P'\) eine formale Ableitung \(P''\). Daher können wir, für alle \(n : \mathbb{N}_{\geqslant 0}\), die Ableitung der Ordung \(n\) von \(P\) induktiv definieren: \[P^{(0)} := P\ \text{und}\ P^{(n+1)} = \big( P^{(n)} \big)'\ .\]
Dann gilt \(\deg P \leqslant d \Rightarrow P^{(d + 1)} = 0\) (Übung).

18.4 Mehrfache Nullstellen

Sei \(P : R[X]\) ein Polynom. Wenn \(P(x) = 0_R\) heißt \(x : R\) eine Nullstelle (oder Wurzel) von \(P\).
Wir haben bereits gesehen, dass \(P(x) = 0_R\) genau dann gilt, wenn \(P = (X-x)Q\) in \(R[X]\) ist, das heißt, wenn \((X-x)\) ein Teiler von \(P\) in \(R[X]\) ist.
Das Element \(x\) heißt eine mehrfache Nullstelle (oder mehrfache Wurzel), wenn es eine \(n \geqslant 2\) gibt, sodass \((X-x)^n\) ein Teiler von \(P\) ist.

Definition. Sei \(n > 0\) eine natürliche Zahl. Eine Nullstelle \(x\) von \(P\) hat Vielfachheit (oder Ordnung) \(n : \mathbb{N}_{> 0}\), wenn \((X-x)^n\) ein Teiler von \(P\) ist, aber \((X-x)^{n+1}\) kein Teiler von \(P\) ist. Eine Nullstelle mit Vielfachhheit \(1\) heißt eine einfache Nullstelle.
Die folgende Übung zeigt, dass eine mehrfache Nullstelle von \(P\) ist genau dasselbe wie eine gemeinsame Nullstelle von \(P\) und \(P'\).

18.5 Übung 2

Sei \(P: R[X]\) ein Polynom.
Zeigen Sie, dass ein Element \(x : R\) genau dann eine mehrfache Nullstelle von \(P\) ist, wenn \(P(x) = 0_R \wedge P'(x) = 0_R\) gilt. Hinweis. Betrachten Sie die Division mit Rest von \(P\) durch \((X-x)^2\).
Zeigen Sie durch Induktion, dass \(x : R\) eine Nullstelle mit Vielfachheit \(n > 0\) ist, wenn \(P(x) = \ \ldots\ = P^{(n)}(x) = 0_R \wedge P^{(n+1)}(x)\not= 0_R\).

18.6 Separable Polynome

Sei \(R\) ein (kommutatitaver, unitärer) Ring und sei \(P : R[X]\). > Definition. Das Polynom \(P\) heißt separabel, wenn es Polynome \(A, B\) gibt, sodass \(AP + BP' = 1_{R[X]}\) gilt. Das heißt, wenn das von \(P\) und \(P'\) erzeugte Ideal der gesamte Polynomring ist: \(\left< P, P' \right> =R[X]\).
Ist \(P\) ein separabel Polynom, so ist jeder gemeinsame Teiler von \(P\) und \(P'\) invertierbar in \(R[X]\). Das heißt, \(P\) separabel \(\Rightarrow\) \(P, P'\) teilerfremd. Außerdem hat \(P\) keine mehrfache Nullstelle in \(R\) (außer wenn \(0_R = 1_R\) gilt).
Die obige Definition ist etwas abstrakt, aber wir werden ihre Bedeutung sehen. Der wichtige Fall ist der, wenn der Ring \(R\) ein Körper \(K\) (mit entscheidbarer Gleichheit) ist. Da in diesem Fall \(K[X]\) ein Bézout-Ring ist, ist \(P : K[X]\) genau dann separabel, wenn \(P\) und \(P'\) teilerfremd sind. Außerdem ist diese Eigenschaft entscheidbar.

18.7 Charakterisierung separabler Polynomen

Wir haben bereits gesehen, dass ein separabel Polynom \(P : K[X]\) keine mehrfache Wurzel in \(K\) hat. Tatsächlich besitzt \(P\) in keiner Erweiterung des Körpers, der durch die Koeffizienten von \(P\) erzeugt wird, eine mehrfache Wurzel. Darüber hinaus sind separable Polynome durch diese Eigenschaft charakterisiert. Genauer gesagt, haben woir den folgenden Satz.

Satz. Sei \(P : K[X]\) und sei \(\mathbf{k}_P \subset K\) der Körper, der durch die Koeffizienten von \(P\) erzeugt wird. Dann gelten die folgenden Eigenschaften:

Wenn \(P\) separabel ist, dann besitzt \(P\) in keiner Erweiterung (mit entscheidbarer Gleichheit) von \(\mathbf{k}_P\), eine mehrfache Wurzel.

Wenn \(P \not= 0_K\) und \(P\) nicht-separabel ist, existiert eine Erweiterung \(L_P\) (mit entscheidbarer Gleichheit) von \(\mathbf{k}_P\), sodass \(P\) eine mehrfache Wurzel in \(L_P\) besitzt. Man kann sogar explizit für \(L_P\) einen Zerfällungskörper für \(P\) (über \(\mathbf{k}_P\)) nehmen.

18.8 Ein Lemma über teilerfremde Polynome

Um den vorherigen Satz zu beweisen, zeigen wir zuerst das folgende Lemma.

Lemma. Sei \(L/K\) eine Körpererweiterung (und nehmen wir an, dass \(L\), somit auch \(K\), entscheidbare Gleichheit hat). Seien \(P, Q : K[X]\) Polynome. Dann sind \(P\) und \(Q\) genau dann teilerfremd über \(K\), wenn sie teilerfremd über \(L\) sind.
Da \(K[X]\) und \(L[X]\) Bézout-Ringe sind, ist die Bedingung, dass \(P\) und \(Q\) teilerfremd sind, äquivalent zu der Tatsache, dass \(\left< P, Q \right> = \left< 1 \right>\) ist.
Inbesondere, wenn \(P, Q : K[X]\) teilerfremd über \(K\) sind, existieren \(U, V : K[X]\), mit \(UP + VQ = 1_K\). Da \(U\) und \(V\) ebenfalls Polynome mit Koeffizienten in \(L\) sind, sind \(P\) und \(Q\) auch teilerfremd über \(L\). Dies beweist die erste Folgerung („\(\Rightarrow\)“).

18.9 Beweis des Lemmas

Angesichts der obigen Bemerkung, reicht es die Umkehrung („\(\Leftarrow\)“) zu beweisen. Das heißt, wenn \(P, Q : K[X]\) teilerfremd über \(L\) sind, dann sind \(P\) und \(Q\) auch teilerfremd über \(K\).
Nehmen wir an, dass \(S : K[X]\) ein gemeinsamer Teiler von \(P\) und \(Q\) in \(K[X]\) ist (wir wissen bereits, dass \(K[X]\) ein Ring mit ggT ist). Dann ist \(S\) auch ein gemeinsamer Teiler von \(P\) und \(Q\) in \(L[X]\).
Da \(UP + VQ = 1_L\) für geeignete Polynome \(U, V : L[X]\), muss \(S\) ein Teiler von \(1_L\) in \(L[X]\) sein. Das heißt, \(S\) ist invertierbar in \(L[X]\).
Daher muss \(S : K[X]\) ein konstantes (ungleich Null) Polynom sei. Das heißt, \(P\) und \(Q\) sind teilerfremd über \(K\).

18.10 Übung 3

Sei \(L/K\) eine Körpererweiterung (und nehmen wir an, dass \(L\), somit auch \(K\), entscheidbare Gleichheit hat).
Seien \(P, Q : K[X]\) Polynome und sei \(D : L[X]\) ein ggT von \(P\) über \(L\).
1. Zeigen Sie, dass ein Element \(a : L\) existiert, mit \(a \not= 0_L,\) sodass \(aD \in K[X]\) und \(aD\) ein ggT von \(P\) und \(Q\) über \(K\) ist. Hinweis. Betrachten Sie einen ggT \(E : K[X]\) von \(P\) und \(Q\) über \(K\) und zeigen Sie, dass \(E\) und \(D\) assoziert in \(L[X]\) sind. Das heißt, \(E\)ist auch ein ggT von \(P\) und \(Q\) über \(L\). Sie können dafür eine Bézout-Relation über \(K\) zwischen \(P\), \(Q\) und \(E\) benutzen.
2. Zeigen Sie, in ähnlicher Wiese, dass, wenn der Leitkoeffizient von \(D\) gleich \(1_L\) ist, dann auch das Polynom \(D : L[X]\) unbedingt zu \(K[X]\) gehört.

18.11 Beweis für den ersten Teil der Charakterisierung von Separabilität

Zeigen wir zunächst, dass, wenn \(P : K[X]\) separabel ist, dann auch \(P\) in keiner Erweiterung von \(\mathbf{k}_P\) (inbesondere, in keiner Erweiterung von \(K\)) mehrfache Wurzeln besitzt.
Beachten wir uns dafür dass, nach dem vorherigen Lemma, \(P\) separabel über \(K\) äquivalent zu \(P\) separabel über \(\mathbf{k}_P\) ist.
Nehmen wir an, dass \(P\) eine mehrfache Wurzel \(x : L\) in einer Erweiterung \(L/\mathbf{k}_P\) besitzt. Da \(P\) separabel ist, existieren Polynome \(U, V : \mathbf{k}_P[X]\), mit \(UP + VP' = 1_{\mathbf{k}_P} = 1_L\). Da die Vielfachheit von \(x\) als Wurzel von \(P\) mindestens \(2\) ist, gilt \(P(x) = P'(x) = 0_L\), somit \(0_L = 1_L\) , was im Körper \(L\) nicht gilt.

18.12 Beweis für den zweiten Teil der Charakterisierung von Separabilität

Zeigen wir danach, dass, wenn \(P : K[X]\) ungleich Null und nicht-separabel ist, dann auch \(P\) in geeigneter Erweiterung \(L_P\) von \(\mathbf{k}_P\) eine mehrfache Wurzel besitzt.
Die Idee ist, für \(L_P\) eine Erweiterung von \(\mathbf{k}_P\) zu nehmen, die eine Zerfällungserweiterung für \(P\) ist. Wir haben bereits bewiesen, dass eine solche Erweiterung existiert. Per Definition einer Zerfällungserweiterung gilt insbesondere \(P = a \prod_{i = 1}^n (X - x_i)\) in \(L_P[X]\), wobei \(a : L_P\) (mit \(a \not= 0_{L_P}\)) und, für jedes \(i\), \(x_i : L_P\) .
Da \(P\) (über \(K\), somit auch über \(\mathbf{k}_P\) und \(L_P\)) nicht-separabel ist, haben \(P\) und \(P'\) einen nicht-konstanten gemeinsamen Teiler \(D : L_P[X]\). Daher existiert ein \(Q : R[X]\), sodass \(DQ = P = a \prod_{i = 1}^n (X - x_i)\). Da \((X-x_i)\) irreduzibel ist, gilt \((X-x_i)\ |\ Q\) oder \((X-x_i)\ |\ D\). Da \(D\) nicht-konstant ist, existiert ein \(i_0\) mit \((X- x_i)\ |\ D\) (Übung).
Da \(D\) auch ein Teiler von \(P'\) ist, gilt, für ein solches \(i_0\), dass \(P'(x_{i_0}) = 0_{L_P}\) ist. Das heißt, \(P\) und \(P'\) haben eine gemeinsame Wurzel in \(L_P\) (\(\Leftrightarrow\) \(P\) hat eine mehrfache Wurzel in \(L_P\)).

18.13 Bemerkungen über separable und nicht-separable Polynome

Sei \(K\) ein Körper mit entscheidbarer Gleichheit und sei \(P : K[X]\).
Nehmen wir an, dass \(L/K\) eine Zerfällungserweiterung für \(P\) ist. Dann haben wir bewiesen, dass die folgende Bedingungen paarweise äquivalent sind:
1. \(P\) ist separabel (das heißt, \(\left< P, P' \right> = \left< 1 \right>\)).
2. \(P\) und \(P'\) haben keinen nicht-konstanten gemeinsamen Teiler (weder in \(K[X]\) noch in \(L[X]\)).
3. \(P\) und \(P'\) haben keine gemeinsame Wurzel in \(L\) 👈.
Insbesondere ist \(P\) genau dann nicht-separabel, wenn \(P\) und \(P'\) einen nicht-konstanten gemeinsamen Teiler haben, oder, in äquivalenter Weise, wenn \(P\) und \(P'\) eine gemeinsame Wurzel in \(L\) haben. Bemerkung: Das ist dasselbe wie oben, ich wiederhole es nur in dieser Form, weil es wichtig ist, es schriftlich zu sehen.

18.14 Separable Elemente und separable Erweiterungen

Das Konzept der separablen Erweiterung kann für beliebige Körpererweiterungen definiert werden. Unten beschränken wir uns jedoch auf algebraische Erweiterungen, für die die Definition der Separabilität wie folgt lautet.

Definition. Sei \(L/K\) eine Körpererweiterung.

Ein Element \(x : L\) heißt separabel über \(K\) wenn es ein separables Polynom \(P_x : K[X]\) gibt, sodass \(P(x) = 0_L\).

Wenn \(L/K\) eine algebraische Erweiterung ist, heißt diese Erweiterung separabel, wenn jedes Element \(x : L\) separabel über \(K\) ist.

18.15 Charakterisierung separabler Elementen einer endlichen Erweiterung

Satz. Sei \(L/K\) eine endliche Körpererweiterung und sei \(x : L\) ein separabel Element, mit Minimalpolynom \(P_x : K[X]\). Da jedes Polynom \(P : K[X]\) mit \(P(x) = 0_L\) ein Vielfach von \(P_x\) ist, ist die Bedingung, dass \(x\) separabel ist, äquivalent zu der Tatsache, dass ein \(P_x\) separabel ist.

Beweis:

Dies folgt aus der Tatsache, dass wenn \(P = P_x Q\) und \(P\) und \(P'\) keinen nicht-konstanten gemeinsamen Teiler haben, auch \(P_x\) und \(P'_x\) keinen nicht-konstanten gemeinsamen Teiler haben.
Um das zu beweisen, berechnet man \(P' = P'_x Q + P_x Q'\). Wenn \(D\) ein gemeinsamer Teiler von \(P_x\) und \(P'_x\) ist, dann muss \(D\) auch \(P\) und \(P'\) teilen. Daher gilt \(D \cong 1_{K[X]}\).

18.16 Übung 4

Sei \(R\) ein Ring und seien \(P, Q : R[X]\).
Das Ziel dieser Übung ist es zu zeigen, dass das Produkt \(PQ\) genau dann separabel ist, wenn \(P\) und \(Q\) separabel sind und \(\left< P, Q \right> = \left< 1_{R[X]} \right>\).
1. Zeigen Sie, dass \(\left< PQ, P'Q + PQ' \right> \subseteq \left< P, P'\right>\) und \(\left< PQ, P'Q + PQ' \right> \subseteq \left< Q, Q' \right>\) als Ideale von \(R[X]\).
2. Zeigen Sie, dass \(\left< PQ, P'Q + PQ' \right> \supseteq \underbrace{\left< P, P'Q + PQ' \right> \left< Q, P'Q + PQ' \right>}_{= \left< P, P'Q \right> \left< Q, PQ' \right> } \supseteq \left< P, P' \right> \left< Q, Q' \right> \left< P, Q \right>^2~.\)
3. Zeigen Sie, dass \(PQ\) genau dann separabel ist, wenn \(P\) und \(Q\) separabel sind und \(\left< P, Q \right> = \left< 1_{R[X]} \right>\).

18.17 Beispiele für separable algebraische Erweiterungen

Sei \(L/K\) eine Körpererweiterung und sei \(a : L\). Nehmen wir an, dass \(a\) separabel ist. Das heißt, dass \(P_a\) und \(P'_a\) teilerfremd sind, wobei \(P_a : K[X]\) das Minimalpolynom von \(a\) über \(K\) ist. Wir werden zeigen, dass \(K[a]\) eine separable Erweiterung von \(K\) ist.
Da \(a : L\) algebraisch über \(K\) ist, ist die \(K\)-Algebra \(K[a]\) ein Körper, die eine algebraische Erweiterung von \(K\) ist.
Um zu zeigen, dass die Erweiterung \(K[a]/K\) separabel ist, genügt es zu zeigen, dass die Menge \[K^{\text{sep}, L} := \{x : L\ /\ x\ \text{separabel \"uber}\ K\}\] bestehend aus aller Elemente von L, die separabel über \(K\) sind, eine \(K\)-Algebra bildet, weil in diesem Fall \(a \in K^{\text{sep}, L}\) gilt, somit auch \(K[a] \subseteq K^{\text{sep}, L}\) .

18.18 Separabler Abschluss

Das Ziel ist nun den folgenden Satz zu beweisen.

Satz. Sei \(L/K\) eine Körpererweiterung (mit entscheidbarer Gleichheit). Dann ist die Menge \[K^{\text{sep}, L} := \{ x : L\ /\ x\ \text{separabel \"uber}\ K\}\] ein Körper, die eine separable Erweiterung von \(K\) ist (und der separable Abschluss von \(K\) in \(L\) genannt wird).
Zeigen wir zuerst, dass \(K^{\text{sep}, L}\) eine \(K\)-Unteralgebra von \(L\) ist. Dazu genügt es zu zeigen, dass \(\forall\ x, y : L,\ x, y \in K^{\text{sep}, L} \Rightarrow K[x,y] \subseteq K^{\text{sep}, L}\) gilt, denn in diesem Fall gilt insbesondere \(x + y \in K^{\text{sep}, L}\) und \(xy \in K^{\text{sep}, L}\).
Eine ähnliche Strategie wurde angewendet, um zu zeigen, dass die algebraischen Elemente einer Körpererweiterung eine Teilalgebra bilden.

18.19 Lineare Algebra zur Rettung

Da \(x\) und \(y\) algebraisch über \(K\) sind, ist die \(K\)-Algebra \(K[x,y]\) ein endlich-dimensional \(K\)-Vektorraum. Sei \(n := \dim_K K[x, y]\) und sei \(\mathcal{B}\) eine Basis für den \(K\)-Vektorraum \(K[x,y]\).
Die Idee ist, für alles \(z : K[x,y]\), der \(K\)-lineare Endomorphismus \(T_z\) von \(K[x, y]\) zu betrachten, der durch Multiplikation mit \(z\) definiert wird: \(\forall\ w : K[x, y], T_z(w) = z w\). Die Matrix für \(T_z\) in der Basis \(\mathcal{B}\) wird als \(M_z : \text{Mat}(n \times n, K)\) bezeichnet.
Sei \(\mathbf{k}_z \subset K\) der Teilkörper von \(K\), der durch die Koeffizienten von \(M_z\) erzeugt wird. Das Minimalpolynom der Matrix \(M_z\) ist ein Polynom \(\mu_z : \mathbf{k}_z[X]\) mit Koeffizienten in \(\mathbf{k}_z\) (genau wie das charakteristische Polynom von \(M_z\) , von dem \(\mu_z\) ein Teiler ist).
Bemerkung. Wenn wir \(M_z\) als Element der kommutativen \(K\)-Unteralgebra \(K[M_z] \subset \text{Mat}(n \times n; K)\) betrachten, ist \(M_z\) ein sogennantes ganzes Element über \(K\), mit Minimalpolynom \(\mu_z\).

18.20 Minimalpolynome

Da \(K[x,y]\) eine algebraische Erweiterung von \(K\) ist, hat jedes \(z : K[x,y]\) ein Minimalpolynom \(P_z : K[X]\). Die Beziehung zwischen linearer Algebra und Körpererweiterungstheorie ist eine Konsequenz des folgenden Lemmas (siehe danach Separabilität und Diagonalisierbarkeit).

Lemma. Für alles \(z : K[x,y]\), gilt \(P_z = \mu_z\). Das heißt, das Minimalpolynom von \(z\) als algebraisches Element von \(K[x,y]\) ist dasselbe wie das Minimalpolynom von \(M_z\) als Element von \(\text{Mat}(n \times n, K)\).

Beweis. Da \(M_z\) die Matrix für den Endomorphismus \(T_z(w) = zw\) ist, gilt, für jedes Polynom \(\mu : K[X]\) und jeden Vektor \(w : K[x,y]\) , \(Q(M_z) \cdot v = Q(T_z)(v) = Q(z) v.\) Folgt daraus, dass \(Q(M_z) = 0_{K[M_z]} \Leftrightarrow Q(z) = 0_{K[x,y]}\) gilt, somit \(P_z\ |\ \mu_z\) und \(\mu_z\ |\ P_z\). ⚠️ Anmerkung. Da im Allgemeinen \(z\) kein Element von \(K\) ist, ist \(M_z\) keine diagonale Matrix. Aber \(Q(M_z) \cdot v = Q(T_z)(v)\), von wo aus berechnet man, dass \(\forall\ z : K[x,y],\ Q(T_z)(v) = Q(z)v\) .

18.21 Separabilität und Diagonalisierbarkeit

Da \(P_z = \mu_z\) und \(\mu_z \in\mathbf{k}_z[X] \subseteq K[X]\), gilt \(P_z \in \mathbf{k}_z[x]\), mit \(\mathbf{k}_z\) abzählbar. Sei \(L_z/\mathbf{k}_z\) eine Zerfällungserweiterung für \(P_z\) . Da \(\text{Mat}(n \times n, \mathbf{k}_z) \subseteq \text{Mat}(n \times n, L_z)\) ist, ist \(M_z\) auch eine Matrix mit Koeffizienten in \(L_z\) . Insbesondere zerfällt \(P_z\) in lineare Faktoren über \(L_z\) .
Da \(\mathbf{k}_z\) ein Teilkörper von \(K\) ist, und \(P_z \in \mathbf{k}_z[X]\) mit \(P_z(z) = 0_L\) , ist \(z\) algebraisch über \(\mathbf{k}_z\) , und wir haben gesehen, dass \(z\) genau dann separabel über \(K\) ist, wenn \(z\) separabel über \(\mathbf{k}_z\) ist. Außerdem ist \(z\) genau dann separabel, wenn \(P_z\) keine mehrfache Wurzel in \(L_z\) hat.
Da \(P_z = \mu_z\) ist, zerfällt auch \(\mu_z\) in lineare Faktoren über \(L_z\) . Außerdem hat \(\mu_z\) genau dann keine mehrfache Wurzel in \(L_z\) , wenn die Matrix \(M_z\) diagonalisierbar über \(L_z\) ist (das heißt, als Element von \(\text{Mat}(n \times n, L_z)\) ). Deshalb haben wir den folgenden Satz bewiesen.

Satz. Das Element \(z : K[x,y]\) genau dann separabel ist, wenn eine Erweiterung \(L_z/\mathbf{k}_z\) existiert, sodass \(M_z\) diagonalisierbar über \(L_z\) ist 🔥.

18.22 Separable Elemente bilden eine Teilalgebra

Um den Satz zu dem separablen Abschluss zu beweisen, genügt es, nach dem obigen Satz, Folgendes zu überprüfen, dass für jedes \(z : K[x,y]\), die Matrix \(M_z\) diagonalisierbar über einem geeignetem Körper \(L_z\) ist.
Sei \(F : K[X,Y]\), sodass \(z = F(x,y)\) in \(K[x,y]\). Sei \(\mathbf{k}_0 \subseteq K\) der kleinste Teilkörper, der die Körper \(\mathbf{k}_x\), \(\mathbf{k}_y\) und \(\mathbf{k}_z\) enthält. Wir betrachten die Matrizen \(M_x\), \(M_y\) und \(M_z\) als Elemente von \(\text{Mat}(n \times n, \mathbf{k}_0)\). Da per Annahme \(x\) und \(y\) separabel sind, sind \(M_x\) und \(M_y\) diagonalisierbar über eine geeignete Erweiterung \(\mathbf{k}_1/\mathbf{k}_0\) (für den Beweis nimmt man zunächst \(L_x/\mathbf{k}_0\), und beachtet man, dass \(y\) separabel über \(L_x\) ist).
Da \(xy = yx\) , gilt auch \(M_x M_y = M_y M_x\), und \(M_x\) und \(M_y\) sind außerdem gleichzeitig diagonalisierbar. Da \(z = F(x,y)\) ist, kommutiert \(M_z\) mit \(M_x\) und \(M_y\) und ist \(M_z\) auch diagonalisierbar über \(\mathbf{k}_1\) . Dies beendet den Beweis, dass \(z\) separabel ist.
Das heißt, gilt \(K[x, y] \subset K^{\text{sep}, L}\) 🎉.

18.23 Separable Elemente bilden einen Teilkörper

Wir werden nun zeigen, dass die \(K\)-Unteralgebra \(K^{\text{sep}, L} := \{ x : L\ /\ x\ \text{separabel \"uber}\ K \}\) ein Teilkörper von \(L\) ist. Nehmen wir \(x : L\) mit \(x \in K^{\text{sep}, L}\) und \(x \not= 0_L\) .
Da \(x\) algebraisch über \(K\) ist, ist die \(K\)-Algebra \(K[x] \subseteq L\) ein Körper und ist \(x^{-1} \in K[x]\).
Da \(x\) separabel über \(K\) ist, gilt auch \(K[x] \subseteq K^{\text{sep, L}}\), somit \(x^{-1} \in K^{\text{sep}, L}\).
Wir haben endlich ein Beispiel für eine (endliche) separable Erweiterung gebaut.

Satz. Sei \(L/K\) eine Körpererweiterung und sei \(a : L\) ein separabel Element über \(K\). Dann ist \(K[a]\) eine Teilkörper von \(L\) und eine separable Erweiterung von \(K\).
Später werden wir sehen, dass jede endliche und separable Erweiterung \(L/K\) ist von der Form \(L = K[a]\) für ein geeignetes Element \(a : L\) (Satz vom primitiven Element).

18.24 Weitere Beispiele für separable Erweiterungen

Es gibt Körper \(K\), für die jede algebraische Erweiterung von \(K\) separabel ist. Dies sind die sogennante vollkommenen Körper.
Zum Beispiel ist jedes endliche Körper \(K\) ein vollkommener Körper (zugelassen).
Unten werden wir zeigen, dass jeder Körper, dessen Primkörper \(\mathbb{Q}\) ist, ein vollkommener Körper ist. Erinnerung. Der Primkörper eines Körpers \(K\) ist der Teilkörper \(K_0\) von \(K\), der aus allen Elementen von \(K\) der Gestalt \(\frac{n \cdot 1_K}{m \cdot 1_K}\) besteht, mit \(n, m : \mathbb{Z}\) und \(m \cdot 1_K \not= 0_K\).
Es gibt Körper, die nicht vollkommen sind (zugelassen), zum Beispiel der Körper der rationalen Funktionen \(\mathbb{F}_q(X)\), mit Koeffizienten in einem endlichen Körper \(\mathbb{F}_q\) (zum Beispiel \(\mathbb{F}_p := \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\), mit \(p\) eine Primzahl).

18.25 Die Charakteristik eines Rings

Sei \(R\) ein (kommutativer, unitärer) Ring und sei \(R_0\) der Unterring \[R_0 := \{ n \cdot 1_K, \text{f\"ur}\ n : \mathbb{Z}\},\] der das Bild des eindeutigen Homomorphismus unitärer Ringen \(\varphi : \mathbb{Z} \to R\) ist.
Inbesondere induziert \(\varphi\) einen Ringisomorphismus \(R_0 \simeq \mathbb{Z}/\text{Ker}\ \varphi\). Da \(\text{ker}\ \varphi\) ein Ideal von \(\mathbb{Z}\) ist, existisiert außerdem ein \(p : \mathbb{N}_{\geqslant 0}\) , sodass \(\text{Ker}\ \varphi = p\mathbb{Z}\).
Wenn \(R\) ein Integritätsring ist, ist \(\text{ker}\ \varphi\) ein Primdeal und ist \(R_0 \simeq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) ein Integritätsring. Wenn \(p \not= 0\), muss daher \(p\) eine Primzahl sein und, in diesem Fall, ist \(R_0\) ein Körper.
Wenn \(R = K\) ein Körper ist, dann stimmt der Quotientenkörper \(\text{Quot}(R_0)\) mit dem Primkörper \(K_0\) überein.

18.26 Formale Definition der Charakteristik

Sei \(R\) ein Ring, in dem \(1_R \not= 0_R\) ist.
Wenn \(\exists\ n : \mathbb{Z},\ n \cdot 1_R = 0_R\), sagt man, dass \(R\) endliche Charakteristik hat. In diesem Fall gibt es, für eine wohldefinierte Primzahl \(p\), einen Ringisomorphismus \(R_0 \simeq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) und heißt diese \(p\) die Charakteristik von \(R\). Die Zahl \(p\) ist auch die Ordnung von \(1_K\) in der abelschen Gruppe \((R, +, 0_R)\). Zum Beispiel hat \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) Charakteristik \(p\).
Wenn \(\neg(\exists\ n : \mathbb{Z},\ n \cdot 1_R = 0_R)\), oder, in äquivalenter Weise, wenn \(\forall\ n : \mathbb{Z},\ n \cdot 1_R \not= 0_R\), sagt man, dass \(R\) Charakteristik Null hat. In diesem Fall gibt es \(R_0 \simeq \mathbb{Z}\). Zum Beispiel hat \(\mathbb{Q}\) Charakteristik Null.
Ein Körper \(K\) hat genau dann Charakteristik \(p > 0\) ist, wenn der Primkörper \(K_0\) von \(K\) isomorph zu \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) ist. In ähnlicher Wiese hat ein Körper \(K\) genau dann Charakteristik Null, wenn der Primkörper \(K_0\) von \(K\) isomorph zu \(\mathbb{Q}\) ist.

18.27 Übung 5

Zeigen Sie, dass die Charakteristik des Rings \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) gleich \(12\) ist.
Ist die Charakteristik von \(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) gleich \(kgV(m,n)\), wobei \(kgV(m,n)\) das kleinste gemeinsame Vielfache von \(m\) und \(n\) ist?

18.28 Körper mit Charakteristik Null sind vollkommen

Zum Beispiel sind \(\mathbb{Q}[\sqrt{2}]\), \(\mathbb{Q}[i]\), \(\mathbb{Q}^{\text{alg}}\) Körper mit Charakteristik Null. So auch ist \(\mathbb{Q}(X)\).
Um zu zeigen, dass jede algebraische Erweiterung \(L\) eine Körpers mit Charakteristik Null \(K\) separabel ist, reicht es zu beweisen, dass das Minimalpolynom \(P_x\) eines beliebigen Elements \(x : L\) separabel ist.
Da \(P_z\) irreduzibel ist, hat \(P\) keinen nicht-trivialen Faktor. Daher genügt es, den folgenden Satz zu beweisen.

Satz. Sei \(K\) ein Körper mit (entscheidbarer Gleichheit und) Charakteristik Null. Dann ist jedes nicht-konstantes Polynom \(P : K[Z]\) ein Produkt von separablen Polynomen.

18.29 Polynome über einem Körper mit Charakteristik Null

Sei \(P\) ein nicht-konstantes Polynom mit Koeffizienten in \(K\). Für den Beweis des vorherigen Satzes können wir annehmen, dass der Leitkoeffizient von \(P\) gleich \(1_K\) ist.
Sei \(n := \deg P\) und schreiben wir \(P = X^n + a_{n-1} X^{n-1} +\ \ldots\ + a_1 X + a_0\). Dann gilt \(P' = n X^{n-1} + (n-1) a_{n-1} X^{n-2} +\ \ldots\ + a_1\). Da \(K\) Charakteristik Null hat, ist der Leitkoeffizient \(n \cdot 1_K\) von \(P'\) ungleich \(0_K\). Insbesondere ist \(P' \not= 0_{K[X]}\).
Sei \(Q\) ein ggT von \(P\) und \(P'\). Das heißt, \(Q : K[X]\) mit \(\left< P, P' \right> = \left< Q \right>\). Da \(P' \not= 0_{K[X]}\) und \(Q\) ein Teiler von \(P'\) ist, muss \(\deg Q < n\) sein. Wenn \(Q \cong 1_{K[X]}\) (\(Q\) invertierbar), dann sind \(P\) und \(P'\) teilerfremd. Das heißt, \(P\) ist separabel. Wenn \(Q\) nicht-invertierbar ist, dann existiert ein Polynom \(S : K[X]\), auch mit \(\deg S < \deg P\), sodass \(P = SQ\). Durch Induktion können wir annehmen, dass \(Q\) und \(S\) Produkte von separablen Polynomen ist. Daher ist \(P\) auch ein Produkt von separablen Polynomen und dies beendet den Beweis.