18  Separable Erweiterungen

Ein Porträt von Heinrich Weber (1842-1913).

Heinrich Weber (1842–1913) war ein deutscher Mathematiker, dessen Werk ein breites Spektrum mathematischer Gebiete umfasste. Er habilitierte sich 1866 in Heidelberg und wurde 1869 dort Professor. Er ist insbesondere für den Satz von Kronecker-Weber bekannt. Einer seiner Schüler war David Hilbert.

18.1 Ableitung von Polynomen

• Die Differentialrechnung zeigt, dass die Ableitung einer Polynomfunktion wieder eine Polynomfunktion ist. \[\forall\ k : \mathbb{N}_{\geqslant 0},\ \frac{d}{dx} x^{k + 1} = (k+1) x^k\ .\] Außerdem ist die Ableitung einer konstanten Funktion null.
• In Polynomringen können wir diese Formel als Definition nehmen, um die formale Ableitung eines Monoms einzuführen. Diese Definition lässt sich durch Linearität auf jedes beliebige Polynom erweitern. \[\text{F\"ur}\ P = a_0 + \sum_{k = 1}^n a_k X^k,\ \text{setzen wir}\ P' := 0 + \sum_{k = 1}^n (k \cdot a_k) X^{k-1}\ ,\] wobei \(k \cdot a _k = a_k +\ \ldots\ + a_k\) (\(k\)-mal).

18.2 Übung 1

• Sei \(R\) ein Ring.

• Zeigen Sie die folgende Eigenschaften für die formale Ableitung von Polynomen:

  1. Linearität: \((P + Q)' = P' + Q'\) und \(\forall\ a : R,\ (aP)' = aP'\).
  2. Leibnizregel: \((PQ) = P'Q + PQ'\). Hinweis. Nach der Linearitätseigenschaft, reicht es die Leibnizregel für \(P := X^n\) und \(Q := X^m\) zu überprüfen.
  3. Wenn \(P\) ein konstantes Polynom ist, dann gilt \(P' = 0_{R[X]}\).
  4. Zeigen Sie, dass die Umkehrung von (iii) im Allgemeinen nicht gilt. Hinweis. Betrachten Sie \(R = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) und \(P = X ^ n\), mit \(n > 0\), und erinnern Sie sich daran, dass \(n \cdot 1_R = 0_R\) in \(R := \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\).

18.3 Ableitungen höherer Ordnung

• Da die formale Ableitung eines Polynoms \(P\) ein Polynom \(P'\) ist, hat auch dieses \(P'\) eine formale Ableitung \(P''\). Daher können wir, für alle \(n : \mathbb{N}_{\geqslant 0}\), die Ableitung der Ordung \(n\) von \(P\) induktiv definieren: \[P^{(0)} := P\ \text{und}\ P^{(n+1)} = \big( P^{(n)} \big)'\ .\]
• Dann gilt \(\deg P \leqslant d \Leftrightarrow P^{(d + 1)} = 0\) (Übung).

18.4 Mehrfache Nullstellen

• Sei \(P : R[X]\) ein Polynom. Wenn \(P(x) = 0_R\) heißt \(x : R\) eine Nullstelle (oder Wurzel) von \(P\).

• Wir haben bereits gesehen, dass \(P(x) = 0_R\) genau dann gilt, wenn \(P = (X-x)Q\) in \(R[X]\) ist, das heißt, wenn \((X-x)\) ein Teiler von \(P\) in \(R[X]\) ist.

• Das Element \(x\) heißt eine mehrfache Nullstelle (oder mehrfache Wurzel), wenn es ein \(n \geqslant 2\) gibt, sodass \((X-x)^n\) ein Teiler von \(P\) ist.

  Definition. Sei \(n > 0\) eine natürliche Zahl. Eine Nullstelle \(x\) von \(P\) hat Vielfachheit (oder Ordnung) \(n : \mathbb{N}_{> 0}\), wenn \((X-x)^n\) ein Teiler von \(P\) ist, aber \((X-x)^{n+1}\) kein Teiler von \(P\) ist. Eine Nullstelle mit Vielfachhheit \(1\) heißt eine einfache Nullstelle.

• Die folgende Übung zeigt, dass eine mehrfache Nullstelle von \(P\) ist genau dasselbe wie eine gemeinsame Nullstelle von \(P\) und \(P'\).

18.5 Übung 2

• Sei \(P: R[X]\) ein Polynom.
• Zeigen Sie, dass ein Element \(x : R\) genau dann eine einfache Nullstelle von \(P\) ist, wenn \(P(x) = 0_R \wedge P'(x) \not= 0_R\) gilt. Hinweis. Betrachten Sie die Division mit Rest von \(P\) durch \((X-x)^2\).
• Zeigen Sie durch Induktion, dass \(x : R\) eine Nullstelle mit Vielfachheit \(n > 0\) ist, wenn \(P(x) = \ \ldots\ = P^{(n)}(x) = 0_R \wedge P^{(n+1)}(x)\not= 0_R\).

18.6 Separable Polynome

• Sei \(R\) ein (kommutatitaver, unitärer) Ring und sei \(P : R[X]\).

  Definition. Das Polynom \(P\) heißt separabel, wenn es Polynome \(A, B\) gibt, sodass \(AP + BP' = 1_{R[X]}\) gilt. Das heißt, wenn das von \(P\) und \(P'\) erzeugte Ideal der gesamte Polynomring ist: \(\left< P, P' \right> =R[X]\).

• Ist \(R\) ein Integritätsring und \(P\) ein separabel Polynom, so haben \(P\) und \(P'\) keinen nicht-konstanten gemeinsamen Teiler in \(R[X]\) und hat \(P\) keine mehrfachen Nullstelle in \(R\) (andernfalls wäre \(0_R = 1_R\)).

• Die obige Definition ist etwas abstrakt, aber wir werden ihre Bedeutung sehen. Der wichtige Fall ist der, wenn der Ring \(R\) ein Körper \(K\) (mit entscheidbarer Gleichheit) ist. Da \(K[X]\) ein Bézout-Ring ist, ist \(P : K[X]\) genau dann separabel, wenn \(P\) und \(P'\) teilerfremd sind. Außerdem ist diese Eigenschaft entscheidbar.

18.7 Charakterisierung von separablen Polynomen

• Wir haben bereits gesehen, dass ein separabel Polynom \(P : K[X]\) keine mehrfache Wurzel in \(K\) hat. Tatsächlich besitzt \(P\) in keiner Erweiterung des Körpers, der durch die Koeffizienten von \(P\) erzeugt wird, mehrfache Wurzeln.

• Darüber hinaus sind separable Polynome durch diese Eigenschaft charakterisiert.

  Satz. Sei \(P : K[X]\) und sei \(\mathbf{k}_P \subset K\) der Körper, der durch die Koeffizienten von \(P\) erzeugt wird. Dann gelten die folgenden Eigenschaften:

  1. Wenn \(P\) separabel ist, dann besitzt \(P\) in keiner Erweiterung (mit entscheidbarer Gleichheit) von \(\mathbf{k}_P\), mehrafche Wurzeln.
  2. Wenn \(P \not= 0_K\) und \(P\) nicht-separabel ist, existiert eine Erweiterung \(L_P\) (mit entscheidbarer Gleichheit) von \(\mathbf{k}_P\), sodass \(P\) eine mehrfache Wurzel in \(L_P\) besitzt.

18.8 Ein Lemma über teilerfremde Polynome

• Um den vorherigen Satz zu beweisen, zeigen wir zuerst das folgende Lemma.

  Lemma. Sei \(L/K\) eine Körpererweiterung (und nehmen wir an, dass \(L\), somit auch \(K\), entscheidbare Gleichheit hat). Seien \(P, Q : K[X]\) Polynome. Dann sind \(P\) und \(Q\) genau dann teilerfremd über \(K\), wenn sie teilerfremd über \(L\) sind.

• Da \(K[X]\) und \(L[X]\) Bézout-Ringe sind, ist die Bedingung, dass \(P\) und \(Q\) teilerfremd sind, äquivalent zu der Tatsache, dass \(\left< P, Q \right> = \left< 1 \right>\) ist.

• Inbesondere, wenn \(P, Q : K[X]\) teilerfremd über \(K\) sind, existieren \(U, V : K[X]\), mit \(UP + VQ = 1_K\). Da \(U\) und \(V\) ebenfalls Polynome mit Koeffizienten in \(L\) sind, sind \(P\) und \(Q\) auch teilerfremd über \(L\).

18.9 Beweis des Lemmas

• Angesichts der obigen Bemerkung, reicht es zu beweisen, dass, wenn \(P, Q : K[X]\) teilerfremd über \(L\) sind, dann auch \(P\) und \(Q\) auch teilerfremd über \(K\) sind.
• Nehmen wir an, dass \(S : K[X]\) ein gemeinsamer Teiler von \(P\) und \(Q\) in \(K[X]\) ist. Da \(UP + VQ = 1_L\) für geeignete Polynome \(U, V : L[X]\), muss \(S\) ein Teiler von \(1_L\) in \(L[X]\) sein. Aber \(1_L = 1_K \in K[X]\). Das heißt, \(S\) ist invertierbar in \(L[X]\). Daher muss \(S : K[X]\) ein konstantes Polynom sein.
• Es folgt daraus, dass \(1_K\) ein ggT von \(P\) und \(Q\) in \(K[X]\) ist. Das heißt, \(P\) und \(Q\) sind teilerfremd über \(K\).

18.10 Übung 3

• Sei \(L/K\) eine Körpererweiterung (und nehmen wir an, dass \(L\), somit auch \(K\), entscheidbare Gleichheit hat).

• Seien \(P, Q : K[X]\) Polynome und sei \(D : L[X]\) ein ggT von \(P\) über \(L\).

  1. Zeigen Sie, dass ein Element \(a : L\) existiert, mit \(a \not= 0_L,\) sodass \(aD \in K[X]\) und \(aD\) ein ggT von \(P\) und \(Q\) über \(K\) ist. Hinweis. Betrachten Sie einen ggT \(E : K[X]\) von \(P\) und \(Q\) über \(K\) und zeigen Sie, durch Division mit Rest, dass ein solches \(E\) auch ein ggT von \(P\) und \(Q\) über \(L\) ist. Daher muss \(E \cong D\) über \(L\) gelten. Das heißt, \(D\) und \(E\) sind assoziiert über \(L\).
  2. Zeigen Sie in ähnlicher Wiese, dass, wenn der Leitkoeffizient von \(D\) gleich \(1_L\) ist, das Polynom \(D : L[X]\) unbedingt zu \(K[X]\) gehört.

18.11 Beweis für den ersten Teil der Charakterisierung von Separabilität

• Zeigen wir zunächst, dass, wenn \(P : K[X]\) separabel ist, dann auch \(P\) in keiner Erweiterung von \(\mathbf{k}_P\) (inbesondere, in keiner Erweiterung von \(K\)) mehrfache Wurzeln besitzt.
• Beachten wir uns dafür dass, nach dem vorherigen Lemma, \(P\) separabel als Element von \(K[X]\) äquivalent zu \(P\) separabel als Element von \(\mathbf{k}_P[X]\) ist.
• Nehmen wir an, dass \(P\) eine mehrfache Wurzel \(x : L\) in einer Erweiterung \(L/\mathbf{k}_P\) besitzt. Da \(P\) separabel ist, existieren Polynome \(U, V : \mathbf{k}_P[X]\), mit \(UP + VP' = 1_{\mathbf{k}_P} = 1_L\). Da die Vielfachheit von \(x\) als Wurzel von \(P\) mindestens \(2\) ist, gilt \(P(x) = P'(x) = 0_L\), somit \(0_L = 1_L\) , was nicht gilt.

18.12 Beweis für den zweiten Teil der Charakterisierung von Separabilität

• Zeigen wir danach, dass, wenn \(P : K[X]\) ungleich Null und nicht separabel ist, dann auch \(P\) in geeigneter Erweiterung \(L_P\) von \(\mathbf{k}_P\) eine mehrfache Wurzel besitzt.
• Die Idee ist, für \(L_P\) eine Erweiterung von \(\mathbf{k}_P\) zu nehmen, die eine Zerfällungserweiterung für \(P\) ist. Wir haben bereits bewiesen, dass eine solche Erweiterung existiert. Per Definition einer Zerfällungserweiterung gilt insbesondere \(P = a \prod_{i = 1}^n (X - x_i)\) in \(L_P[X]\), wobei \(a : L_P\) (mit \(a \not= 0_{L_P}\)) und, für jedes \(i\), \(x_i : P\) .
• Da \(P\) (über \(K\), somit auch über \(\mathbf{k}_P\) und \(L_P\)) nicht separabel ist, haben \(P\) und \(P'\) einen nicht-konstanten gemeinsamen Teiler \(D : L_P[X]\). Das heißt, existiert ein nicht-konstantes \(Q : R[X]\), sodass \(DQ = P = a \prod_{i = 1}^n (X - x_i)\). Da \((X-x_i)\) irreduzibel ist, gilt \((X-x_i)\ |\ Q\) oder \((X-x_i)\ |\ D\). Da \(D\) nicht-konstant ist, existiert ein \(i_0\) mit \((X- x_i)\ |\ D\) (Übung).
• Da \(D\) auch ein Teiler von \(P'\) ist, gilt, für ein solches \(i_0\), dass \(P'(x_{i_0}) = 0_{L_P}\) ist. Das heißt, \(P\) und \(P'\) haben eine gemeinsame Wurzel in \(L_P\) (\(\Leftrightarrow\) \(P\) hat eine mehrfache Wurzel in \(L_P\)).

18.13 Bemerkungen über separable und nicht-separable Polynome

• Sei \(K\) ein Körper mit entscheidbarer Gleichheit und sei \(P : K[X]\).

• Nehmen wir an, dass \(L/K\) eine Zerfällungserweiterung für \(P\) ist. Dann haben wir bewiesen, dass die folgende Bedingungen paarweise äquivalent sind:

  1. \(P\) ist separabel (das heißt, \(\left< P, P' \right> = \left< 1 \right>\)).
  2. \(P\) und \(P'\) haben keinen nicht-konstanten gemeinsamen Teiler.
  3. \(P\) und \(P'\) haben keine gemeinsame Wurzel in \(L\).

• Insbesondere ist \(P\) genau dann nicht-separabel, wenn \(P\) und \(P'\) einen nicht-konstanten gemeinsamen Teiler haben, oder, in äquivalenter Weise, wenn \(P\) und \(P'\) eine gemeinsame Wurzel in \(L\) haben. Bemerkung: Das ist dasselbe wie oben, ich wiederhole es nur in dieser Form, weil es wichtig ist, es schriftlich zu sehen.

18.14 Separable algebraische Erweiterungen

• Das Konzept der separablen Erweiterung kann für beliebige Körpererweiterungen definiert werden. Unten beschränken wir uns auf algebraische Erweiterungen, deren Definition wie folgt lautet.

  Definition. Sei \(L/K\) eine algebraische Körpererweiterung.

  • Ein Element \(x : L\) heißt separabel über \(K\) wenn sein Minimalpolynom \(P_x : K[X]\) separabel ist, das heißt, wenn \(P_x\) und \(P'_x\) keinen nicht-konstanten gemeinsamen Teiler haben.
  • Die algebraische Erweiterung \(L/K\) heißt separabel, wenn jedes Element \(x : L\) separabel über \(K\) ist.

18.15 Zusätzlicher Charakterisierung der separablen Elemente

• Sei \(L/K\) eine algebraische Erweiterung und sei \(x : L\), mit Minimalpolynom \(P_x : K[X]\).

• Da jedes Polynom \(P : K[X]\) mit \(P(x) = 0_L\) ein Vielfach von \(P_x\) ist, ist die Bedingung, dass \(x\) separabel ist, äquivalent zu der Tatsache, dass ein separabel Polynom \(P\) existiert, sodass \(P(x) = 0_L\).

• Beweis:

  • Dies folgt aus der Tatsache, dass wenn \(P = P_x Q\) und \(P\) und \(P'\) keinen nicht-konstanten gemeinsamen Teiler haben, auch \(P_x\) und \(P'_x\) keinen nicht-konstanten gemeinsamen Teiler haben.
  • Um das zu beweisen, berechnet man \(P' = P'_x Q + P_x Q'\). Wenn \(D\) ein gemeinsamer Teiler von \(P_x\) und \(P'_x\) ist, dann muss \(D\) auch \(P\) und \(P'\) teilen. Daher gilt \(D \cong 1_{K[X]}\).

18.16 Übung 4

• Sei \(R\) ein Ring und sein \(P, Q : R[X]\).

• Das Ziel dieser Übung ist es zu zeigen, dass das Produkt \(PQ\) genau dann separabel ist, wenn \(P\) und \(Q\) separabel sind und \(\left< P, Q \right> = \left< 1_{R[X]} \right>\).

  1. Zeigen Sie, dass \(\left< PQ, P'Q + PQ' \right> \subseteq \left< P, P'\right>\) und \(\left< PQ, P'Q + PQ' \right> \subseteq \left< Q, Q' \right>\) als Ideale von \(R[X]\).
  2. Zeigen Sie, dass \(\left< PQ, P'Q + PQ' \right> \supseteq \underbrace{\left< P, P'Q + PQ' \right> \left< Q, P'Q + PQ' \right>}_{= \left< P, P'Q \right> \left< Q, PQ' \right> } \supseteq \left< P, P' \right> \left< Q, Q' \right> \left< P, Q \right>^2~.\)
  3. Zeigen Sie, dass \(PQ\) genau dann separabel ist, wenn \(P\) und \(Q\) separabel sind und \(\left< P, Q \right> = \left< 1_{R[X]} \right>\).

18.17 Beispiele für separable algebraische Erweiterungen

• Sei \(L/K\) eine algebraische Körpererweiterung und sei \(a : L\). Nehmen wir an, dass \(a\) separabel ist. Das heißt, dass \(P_a\) und \(P'_a\) teilerfremd sind, wobei \(P_a\) das Minimalpolynom von \(a\) ist. Wir werden zeigen, dass \(K[a]\) eine separable Erweiterung von \(K\) ist.
• Da \(a : L\) per Annahme algebraisch über \(K\) ist, ist die \(K\)-Algebra \(K[a]\) ein Körper, die eine algebraische Erweiterung von \(K\) ist.
• Um zu zeigen, dass die Erweiterung \(K[a]/K\) separabel ist, genügt es daher zu zeigen, dass die Menge \[K^{\text{sep}, L} := \{x : L\ /\ x\ \text{separabel \"uber}\ K\}\] bestehend aus aller Elemente von L, die über \(K\) separabel sind, eine \(K\)-Algebra bildet. Weil in diesem Fall gilt \(a \in K^{\text{sep}, L}\), somit auch \(K[a] \subseteq K^{\text{sep}, L}\) .

18.18 Separabler Abschluss

• Das Ziel ist nun den folgenden Satz zu beweisen.

  Satz. Sei \(K\) ein Körper (mit entscheidbarer Gleichheit) und sei \(A\) eine kommutative \(K\)-Unteralgebra von \(A\). Dann ist die Menge \[K^{\text{sep}, A} := \{ x : A\ /\ x\ \text{(algebraisch und) separabel \"uber}\ K\}\] eine \(K\)-Algebra, die der separable Abschluss von \(K\) in \(A\) genannt wird.

• Da \(K \subseteq K^{\text{sep}, A}\) gilt, reicht es zu beweisen, dass \(K^{\text{sep}, A}\) eine Ring ist, und dafür reicht es zu beweisen, dass \[\forall\ x, y : A,\ x, y \in K^{\text{sep}, A} \Rightarrow K[x,y] \subseteq K^{\text{sep}, A}\] weil in diesem Fall gilt, dass insbesondere \(x + y \in K^{\text{sep}, A}\) und \(xy \in K^{\text{sep}, A}\).

18.19 Lineare Algebra zur Rettung

• Die Idee ist die Unteralgebra \(K[x, y] \subseteq A\) zu betrachten. Da \(x\) und \(y\) algebraisch über \(K\) sind, ist die \(K\)-Algebra \(K[x,y]\) ein Körper und ein endlich-dimensional \(K\)-Vektorraum.
• Sei \(T_x : K[x ,y] \to K[x,y]\) der \(K\)-lineare Endomorphismus von \(K[x, y]\), der durch Multiplikation mit \(x\) definiert wird: \(\forall\ z : K[x, y], T_x(z) = x z\). In ähnlicher Weise, sei \(T_y\) der Endomorphismus, der durch \(T_y(z) := yz\) definiert wird.
• Da \(K[x, y]\) eine kommutative \(K\)-Algebra ist, gilt \(T_x \circ T_y = T_y \circ T_x\) und ist \(K[T_x, T_y]\) eine kommutative \(K\)-Unteralgebra von der (nicht-kommutativen) \(K\)-Algebra \(\text{End}_{K\text{-lin}}(K[x,y])\).
• Wir werden zeigen, dass, aufgrund \(x\) und \(y\) separabel sind, die Endomorphismen \(T_x\) und \(T_y\) diagonalisierbar über einem geeigneten Körper sind. Da \(T_x\) und \(T_y\) kommutieren, sind sie tatsächlisch in einer gemeinsamen Basis von Eigenvektoren diagonalisierbar.

18.20 Separabilität und Diagonalisierbarkeit

Lemma. Sei \(a : A\) ein Element der \(K\)-Algebra \(A\) und nehmen wir an, dass \(a\) algebraisch über \(K\) ist.

• Sei \(P_a\) das Minimalpolynom von \(a\) und sei \(\mathbf{k}_a \subseteq K\) der Unterkörper von \(K\), der durch der Koeffizienten von \(P_a\) erzeugt wird, und sei \(L_a/\mathbf{k}_a\) eine Zerfällungserweiterung für \(P_a\).
• Sei \(T_a\) der Endomorphismus des endlich-dimensionalen \(\mathbf{k}_a\)-Vektorraum \(\mathbf{k}_a[a]\), der durch \(T_a(z) := az\) definiert wird.

Dann ist \(a\) genau dann separabel über \(K\), wenn \(T_a\) über \(L_a\) diagonalisierbar ist.

Beachten Sie, dass \(a\) auch algebraisch über \(\mathbf{k}_a\) ist, und dass \(a\) genau dann separabel über \(K\) ist, wenn \(a\) separabel über \(\mathbf{k}_a\) ist.

18.21 Beweis des Lemma über Separabilität und Diagonalisierbarkeit

• Erinnern Sie sich daran, dass ein Endomorphismus \(T\) eines endlich-dimensionalen \(\mathbf{k}\)-Vektorraum \(V\) diagonalisiberbar über \(L\) ist, wenn sein Minimalpolynom in linearen Faktoren über \(\mathbf{k}\) zerfällt.
• Im Allgemeinmen ist das Minimalpolynom eines Endomorphismus \(T : \text{End}_{\mathbf{k}\text{-lin}}(V)\) dasselbe wie sein Minimalpolynom über \(\mathbf{k}\) als Element der kommutativen \(\mathbf{k}\)-Algebra \(\mathbf{k}[T]\). Wenn \(T = T_a = a Id_V\), dann ist dieses Minimalpolynom das Minimalpolynom von \(a\) über \(\mathbf{k}\).
• Die für uns wichtige Bemerkung ist dann die folgende. Nach der Charakterisierung von separablen Polynomen, die wie bewiesen haben, ist \(P_a\) genau dann separabel, wenn \(P_a\) keine mehrfache Wurzel in \(L_a\) besitzt. Das heißt, wenn \(T_a\) diagonalisierbar über \(L_a\) ist.