11  Teilbarkeit: Euklid, Bézout und Gauß

Ein Porträt von Carl Friedrich Gauß (1777-1855).

Carl Friedrich Gauß (1777-1855) war ein deutscher Mathematiker, Statistiker, Astronom, Geodät, Elektrotechniker und Physiker. Wegen seiner überragenden wissenschaftlichen Leistungen galt er bereits zu seinen Lebzeiten als Princeps mathematicorum (Fürst der Mathematiker).

11.1 Teilbarkeit

• In einem beliebigen (kommutativen, unitären) Ring \(R\), können wir die folgende Relation definieren: \[a\ |\ b\ :=\ \exists\ c\ : R,\ b = ca~.\]
• Das heißt, für alle \(a, b : R\), sagt man, dass das Element \(a\) das Element \(b\) teilt, oder \(a\) ein Teiler von \(b\) ist, wenn ein \(c : R\) existiert, sodass \(b = ca\).
• Hier haben wir die Teilbarkeitsrelation als eine Abbildung \[(\cdot\ |\ \cdot) : R \times R \to \text{Prop}\] (mit Infix-Notation) geschrieben, wobei \(\text{Prop}\) die Menge aller Aussagen ist.
• Wenn Sie möchten, können Sie \(\{0, 1\}\) statt \(\text{Prop}\) schreiben (entscheidbare Relationen), oder sogar die Teilbarkeitsrelation als eine Teilmenge von \(R \times R\) definieren, nämlich \[\{(a, b) : R \times R\ /\ \exists\ c : R,\ b = ca\}~.\]

11.2 Assoziierte Elemente

• Von nun an, nehmen wir an, dass \(R\) ein Integritätsring ist.

• Erinnern Sie sich daran, dass ein Element \(u\) von \(R\) heißt eine Einheit, wenn \(u\) invertierbar in \(R\) ist. Das heißt, wenn \(\exists\ v : R,\ uv = 1_R\). Da \(R\) ein Integritätsring ist, gilt \(u \not= 0_R\).

• Die Einheistgruppe von \(R\) wird als \(R^\times\) bezeichnet. Beachten Sie, dass die folgende Inklusion gilt: \[R^\times \subseteq R \setminus \{0_R\}~.\]

  Definition. Elemente \(a, b : R\) heißen assoziierte, wenn \(a\ |\ b \wedge b\ |\ a\) gilt. Dies wird als \(a \cong b\) bezeichnet.

• Da \(R\) ein Integritätsring ist, ist die obige Bedingung äquivalent zu die folgende (Übung):

  \[\exists\ u : R,\ (u \in R^\times) \wedge (b = ua)~.\]

11.3 Übung 1

Zeigen Sie die folgende Eigenschaften:

• Wenn \(0\ |\ b\), dann ist \(b = 0_R\).
• Das eindeutige Element \(a : R\), das zu \(0_R\) assoziert ist, ist \(0_R\).
• Die Teilbarkeitsrelation ist eine Quasiordnung. Das heisst, eine binäre Relation, die reflexiv und transtiv ist.
• Die Relation assoziiert-zu-sein ist eine Äquivalenzrelation auf \(R \setminus \{0_R\}\), deren Äquivalenklasse die Bahnen der Wirkung von \(R^\times\) durch Multiplikation sind.
• Die Teilbarkeitsrelation auf \(R \setminus \{0_R\}\) induziert eine Ordnungsrelation auf der Quotientmenge \((R\setminus \{0_R\})/R^\times\).
• \((R \setminus \{0_R\}, \times, 1_R)\) ist ein kommutatives Monoid. Dieses Monoid können wir nicht aus einem beliebigen Ring konstruieren, aber schon aus einem Integritätsring.

11.4 Teilbarkeit und Hauptideale

• Für alles \(a : R\), schreiben wir \(Ra\), oder einfach \(\left< a \right>\), für das von \(a\) erzeugte Ideal von \(R\). Ein solches Ideal, das von eine einzige Element erzeugt ist, heißt ein Hauptideal.

• Dann sind für alle \(a, b : R\) die folgende Eigenchaften paarweise äquivalent:

  1. \(a\ |\ b\).
  2. \(b \in Ra\).
  3. \(R b \subseteq R a\).

  ⚠️ Vorsicht vor Richtungswechseln!

• Wenn \(a = a_0 a_1 a_2\ \ldots\ a_n\), dann haben wir eine endliche aufsteigende Kette von Hauptidealen: \[\left< a \right> \subseteq \left< a_1 a_2\ \ldots\ a_n \right> \subseteq \left< a_2\ \ldots\ a_n \right> \subseteq\ \ldots\ \subseteq \left< a_n \right>~.\]

11.5 Aufsteigender Ketten von Hauptidealen

• Gegeben \(a : R \setminus \{0_R\}\), was bedeutet es, wenn die Länge \(n\) einer aufsteigende Kette von Hauptidealen, die von \(\left< a \right>\) startet, durch eine natürliche Zahl \(n : \mathbb{N}_{\geqslant 0}\) beschränkt ist? \[\left< a \right> = \left< b_0 \right> \subseteq \left< b_1 \right> \subseteq \left< b_2 \right> \subseteq\ \ldots\ \subseteq \left< b_{n(a)} \right> = R\]

  Definition. Man sagt, dass \(a : R \setminus \{0_R\}\) durch \(n : \mathbb{N}_{\geqslant 0}\) beschränkt ist, wenn dies gilt: \[\forall\ a_0,\ \ldots\ a_n : R,\ a = a_0\ \ldots\ a_n \Rightarrow \exists\ i\ \in \{0,\ \ldots\ ,n\},\ a_i \in R^\times~.\]

• Zum Beispiel bedeutet die Tatsache, dass \(a\) durch \(0\) beschränkt ist, dass \(a\) invertierbar ist.

• Der nächste interessante Fall ist wenn \(a\) durch \(1\) aber nicht \(0\) beschränkt ist. Dann ist \(a\) nicht invertierbar und muss ein Teiler \(b\) von \(a\) entweder assoziiert zu \(a\) sein, oder invertierbar sein. In diesem Fall heißt das Element \(a : R \setminus \{0_R\}\) ein irreduzibles Element.

11.6 Irreduzible Elemente

• Die formale Definition eines irreduziblen Elements ist die folgende.

  Definition. Sei \(R\) ein Integritätsring und sei \(a : R\). Dann heißt \(a\) irreduzibel, wenn die folgende Eigenschaften gelten:

  1. \(a \not= 0_R\) und \(a \not\in R^\times\).
  2. \(\forall\ b, c : R \setminus \{0_R\},\ a = bc \Rightarrow (b \in R^\times) \vee (c \in R^\times)\) .

• Zum Beispiel, jede Primzahl \(p : \mathbb{Z}\) ist ein irreduzibles Element dieses Rings.

• Im Ring \(\mathbb{Q}[X]\) sind die folgende Polynome irreduzibel:

  • Ein Polynom \(P\) mit \(\deg P = 1\). Das heißt, \(P = aX+b\), mit \(a \in \mathbb{Q}^\times\) und \(b \in \mathbb{Q}\).
  • Ein Polynom \(P\) mit \(\deg P =2, 3\) ist genau dann irreduzibel, wenn \(P\) keine Wurzel in \(\mathbb{Q}\) hat (Übung). Zum Beispiel sind die Polynome \(X^2 -2\) und \(X^3-2\) irreduzibel in \(\mathbb{Q}[X]\).

11.7 Beispiele für irreduzible Elemente

• Ein irreduzibles Polynom \(P : R[X]\) hat keine Wurzel in \(R\) aber die umgekehrte Folgerung gilt im Allgemeinen nicht: \((X^2-2)^2\) hat keine Wurzel in \(\mathbb{Q}\) aber \((X^2-2)^2 = (X^2 - 2) (X^2 - 2)\) in \(\mathbb{Q}[X]\).

• Das Konzept der Irreduzibilität eines Polynoms, wie das einer Wurzel, hängt von dem Ring der Koeffizienten ab:

  • Das Polynom \(P = 2X\) ist irreduzibel in \(\mathbb{Q}[X]\) aber, da \(2\) nicht invertierbar in \(\mathbb{Z}\) ist, \(P\) ist reduzibel in \(\mathbb{Z}[X]\).
  • Das Polynom \(P = X^2 + 1\) ist irreduzibel in \(\mathbb{R}[X]\) aber reduzibel in \(\mathbb{C}[X]\).

• Das Polynom \(P(X, Y) = Y ^ 2 - X ^ 3\) ist irreduzibel in \(\mathbb{Q}[X, Y] = \mathbb{Q}[X][Y]\) (Übung!).

11.8 Übung 2

• Sei \(R\) ein Integritätsring.
• Zeigen Sie, dass ein Element \(a : R\) ist genau dann irreduzibel, wenn die folgende Bedingung gilt: \[\forall\ b : R,\ Ra \subseteq Rb \Rightarrow (Rb = Ra) \vee (Rb = R)~.\]
• Insbesondere ist für alles irreduzible Element \(a : R\) das Hauptideal \(\left< a \right>\) ein maximales Element unter den echten Hauptidealen von \(R\) ist, wobei ein Ideal \(I\) von \(R\) echt heißt, wenn \(\neg(I = R)\) gilt. Nehmen Sie jetzt an, dass die Relation invertierbar-zu-sein ist entscheidbar: \(\forall\ a : R,\ a \in R^\times \vee a \notin R^\times\), und zeigen Sie, dass in diesem Fall die umgekehrte Folgerung gilt: wenn \(Ra\) ein maximales Element unter den echten Hauptidealen von \(R\) ist, dann ist \(a\) irreduzibel. ⚠️ Im Allgemeinen ist die obige Definition eines echten Ideales \(I\) von \(R\) schwächer als die Bedingung \(\exists\ x : R,\ x \notin I\).

11.9 Größter gemeinsamer Teiler

• Das Konzept der Teilbarkeit reicht, um das Konzept des größten gemeinsamen Teiler in einem abstrakten Ring zu definieren.

  Definition. Seien \(a, b : R\). Man sagt, dass ein Element \(d : R\) ein größter geimeinsamer Teiler von \(a\) und \(b\) ist, wenn die folgende Eigenschaften gelten:

  • \(d\ |\ a\) und \(d\ |\ b\).
  • \(\forall\ c : R,\ (c\ |\ a \wedge c\ |\ b) \Rightarrow c\ |\ d\) .

• Ist \(R\) ein Integritätsring, dann, falls es existiert, ist ein ggT „wesentlich eindeutig“. Das heißt, wenn \(d_1\) und \(d_2\) beide ggT von \(a\) und \(b\) sind, dann existiert eine Einheit \(u : R^\times\), sodass \(d_2 = u d_1\) (Übung). In äquivalenter Weise sind \(d_1\) und \(d_2\) assoziierte: \(d_1 \cong d_2\).

• Daher können wir „\(d \cong ggT(a,b)\)“ statt „\(d\) ist ein ggT von \(a\) und \(b\)“ schreiben.

11.10 Ringe mit ggT

• Wir werden uns vor allem auf Ringe konzentrieren, bei denen je zwei Elemente einen größten gemeinsamen Teiler (ggT) haben.

  Definition. Ein (kommutativer, unitärer) Ring \(R\) wird ein Ring mit ggT genannt, wenn die folgende Eigenschaften gelten:

  • \(R\) ist ein Integritätsring.
  • \(\forall\ a, b : R,\ \exists\ d : R,\ d \cong ggT(a,b)\).

• Wenn \(d_1\) und \(d_2\) beide ggT von \(a\) und \(b\) sind, dann gilt \(R d_1 = R d_2\). Ist \(R d_3 = R d_1\), dann ist \(d_3\) auch ein ggT von \(a\) und \(b\).

• Es ist nicht unbedingt der Fall, dass ein Integritätsring ein Ring mit ggT ist: Manchmal existieren \(a\) und \(b\), die keinen ggT haben. Wir werden explizite Beispiele später sehen.

11.11 Übung 3

• Zeigen Sie, dass der Ring ganzer Zahlen \(\mathbb{Z}\) ein Ring mit ggT ist.
• Beachten Sie, dass die übliche Definition des ggT im \(\mathbb{Z}\) bedeutet, dass ein ggT \(d\) von \(a\) und \(b\) größer ist als jeden gemeinsamten Teiler von \(a\) und \(b\) im folgenden Sinne: Wenn \(c\) ein Teiler von \(a\) und \(b\) ist, dann gilt \(|c| \leqslant |d|\). Hinweis. Nach dem Lemma von Bézout in \(\mathbb{Z}\), ist ein ggT von \(a\) und \(b\) im obigen Sinn eine lineare Kombination von \(a\) und \(b\): \(\exists\ s, t : \mathbb{Z},\ d =sa + tb\).

11.12 Teilerfremdheit

• Ein Ring mit ggT kann auch als gaußcher Ring bezeichnet. Das ist nicht dasselbe, wie der Ring der gaußschen Zahlen \(\mathbb{Z}[i]\).

• In einem Ring mit ggT können wir teilerfremde Elemente wie folgt definieren.

  Definition. Sei \(R\) ein Ring mit ggT und seien \(a, b : R\). Man sagt, dass \(a\) und \(b\) teilerfremd sind, wenn jeder ggT von \(a\) und \(b\) invertierbar ist. Das heißt: \[d \cong gcd(a,b) \Rightarrow d \in R^\times~.\]

• Diese Bedingung ist äquivalent zu der Tatsache, dass \(1\) ein ggT von \(a\) und \(b\) ist (Übung). Daher können wir „\(\text{ggT}(a,b) \cong 1\)“ statt „\(a\) und \(b\) sind teilerfremd“ schreiben.

• Beachten Sie, dass wir keine Funktion \(\text{ggT}: (R \setminus \{0_R\}) \times (R \setminus \{0_R\}) \to R \setminus \{0_R\}\) eingeführt haben. Eine solche Funktion würde am besten Werte in \((R \setminus \{0_R\}) / R^\times\) annehmen.

11.13 Summe von Hauptidealen

• Sei \(R\) ein Ring mit ggT. Seien \(a, b : R\) und sei \(d \cong \text{ggT}(a, b)\).

• Da \(d\ |\ a \wedge d\ |\ b\) gilt, haben wir \(Ra \subseteq Rd\) und \(Rb \subseteq Rd\), somit auch \(Ra + Rb \subseteq Rd\). Beachten Sie, dass \(Ra + Rb = \left< a \right> + \left< b \right> = \left< a, b \right>\).

• Wenn \(Ra + Rb \subseteq Rc\) gilt, dann gilt auch \(Ra \subset Rc\) und \(Rb \subseteq Rc\). Daher gilt \(c\ |\ a \wedge c\ |\ b\), somit \(c\ |\ d\), per Definition vom ggT. Das heißt, \(Rd \subseteq Rc\) gilt.

• Wir haben Folgendes bewiesen:

  Satz. Sei \(R\) ein Ring mit ggT. Seien \(a, b : R\) und sei \(d \cong \text{ggT}(a, b)\). Dann ist \(\left< d \right>\) das kleinste Hauptideal, das die Summe \(\left< a \right> + \left< b \right> = \left< a, b \right>\) enthält.

  Bemerkung. In einem Ring wie, zum Beispiel, \(\mathbb{Z}\), wobei jedes Ideal ein Hauptideal ist, gilt daher \(\left< a, b \right> = \left< d \right>\) 💡.

11.14 Bézout-Ringe

• Wir möchten die Bedingung \(\left< a, b \right> = \left< \text{ggT}(a, b) \right>\), die zum Beispiel in \(\mathbb{Z}\) gilt, separat betrachten. Das heißt, ohne die Annahme, dass jedes Ideal von \(R\) ein Hauptideal ist.

  Definition. Ein (kommutativer, unitärer) Ring \(R\) wird ein Bézout-Ring gennant, wenn die folgende Eigenschaften gelten:

  1. \(R\) ist ein Integritätsring.
  2. \(\forall\ a, b : R,\ \exists\ d : R,\ \left< a , b \right> = \left< d \right>\).

• Diese Definition sollte mit der Definition eines Rings mit ggT vergleichen werden. Da \(\left< a \right>, \left< b \right> \subseteq \left< a, b \right> \subseteq \left< d \right>\) gilt, muss \(d\) ein Teiler von \(a\) und \(b\) sein. Außerdem, wenn \(c\ |\ a\) und \(c\ |\ b\) gelten, dann gilt auch \(\forall\ s, t : R,\ c\ |\ (sa + tb)\). Das heißt, \(c\) ist ein Teiler von jedem Element in \(\left< a, b \right>\). Da ein \(d : R\) mit \(\left< a, b \right> = \left< d \right>\) existiert, gilt \(c\ |\ d\). Das heißt, ein solches \(d\) ist ein ggT von \(a\) und \(b\) und ein Bézout-Ring ist insbesondere ein Ring mit ggT.

11.15 Endlich erzeugte Ideale eines Bézout-Rings

• Nicht jeder Ring mit ggT ist ein Bézout-Ring. Wir werden explizite Beispiele später sehen.

• Derzeit haben wir die folgende Charakterisierung/alternative Definition eines Bézout-Rings.

  Satz. Ein Ring \(R\) ist genau dann ein Bézout-Ring, wenn die folgende Eigneschaften gelten:

  1. \(R\) ist ein Integritätsring.
  2. Jedes endlich erzeugte Ideal von \(R\) ist ein Hauptideal.

  Beweis. Da das Ideal \(\left< a, b \right>\) endlich erzeugt ist, ist die Folgerung „\(\Leftarrow\)“ unmittelbar. Um „\(\Rightarrow\)“ zu zeigen, nehmen wir an, dass \(R\) ein Bézout-Ring ist. Es reicht zu zeigen, dass, für jedes \(n : \mathbb{N}_{>0}\), jedes endlich erzeugte Ideal \(R a_1 +\ \ldots\ + R a_n\) ein Hauptideal ist.

11.16 Beweis der Charakterisierung von Bézout-Ringen

• Wir beweisen, durch Induktion auf \(n\), dass, für jedes \(n : \mathbb{N}_{>0}\) und jedes endlich erzeugte Ideal \(I := \left< a_1,\ \ldots\ , a_n \right>\), existiert ein \(d : R\) sodass \(I = \left< d \right>\).
• Der Fall \(n = 1\) folgt aus der Definition eines Hauptideals (\(R a_1\) ist ein Hauptideal).
• Nehmen wir an, dass die Induktionsannahme für \(n\) gilt, und betrachten wir ein Ideal der Gestalt \(R a_1 +\ \ldots\ + R a_n + R a_{n + 1}\) . Nach der Induktionsannahme existiert ein \(b : R\), mit \[(R a_1 +\ \ldots\ + R a_n) + R a_{n + 1} = R b + R a_{n + 1}~.\]
• Da \(R\) ein Bézout-Ring ist, existiert ein \(d : R\), sodass \(R b + R a_{n + 1} = R d\). Dies beendet die Induktion.

11.17 Relation von Bézout

• Per Definition ist ein Bézout-Ring ein Integritätsring, in dem je zwei beliebige Elemente \(a\) und \(b\) ein ggT haben, der außerdem eine lineare Kombination von \(a\) und \(b\) ist: \[d \cong \text{ggT}(a,b) \Leftrightarrow \exists\ s, t : R\ sa + tb =d~.\]

• Insbesondere, je zwei beliebige Elemente eines Bézout-Rings sind genau dann teilerfremd, wenn Elemente \(s, t : R\) existieren, mit \(sa + tb = 1_R\).

• Dies bedeutet genau, dass \(b\) invertierbar modulo \(a\) ist (und \(a\) invertierbar modulo \(b\) ist): \[[t][b] = [1_R]\ \text{mod} \left< b \right > ~.\]

• Das kann auch als \([b] \in (R/\left<a\right>)^\times\) oder \([b] \in (R/Ra)^\times\) geschrieben werden.

11.18 Irreduzibilität in einem Bézout-Ring

• Was bedeutet es, \(a\) irreduzibel in \(R\) zu sagen, wenn \(R\) ein Bézout-Ring ist?

  Satz. Sei \(R\) ein Bézout-Ring. Dann ist \(a : R\) genau dann irreduzibel, wenn die folgende Eigenschaften gelten:

  1. \(a \not= 0_R\) und \(a \not\in R^\times\).
  2. \(\forall\ b : R \setminus \{0_R\},\ (a\ |\ b) \vee \big( [b] \in (R/Ra)^\times \big)\) .

• Insbesondere ist jedes \([b]\) in \(R/Ra\) entweder Null oder invertierbar in \(R/Ra\). Dies bedeutet, dass, wenn \(a\) ein irreduzibles Element eines Bézout-Rings ist, der Ring \(R / Ra\) ein Körper ist.

• Daher ist ein von einem irreduziblen Element erzeugtes Ideal ein maximales Element in der Menge aller echten Ideale von \(R\) (siehe unten).

11.19 Charakterisierung der irreduziblen Elemente eines Bézout-Rings

• „\(\Leftarrow\)“ Per Definition eines irreduziblen Element \(a\), genügt es zu beweisen, dass, wenn \(\forall\ b : R \setminus \{0_R\},\ (a\ |\ b) \vee ([b] \in (R/Ra)^\times)\) gilt, dann die folgende Eigenschaft gilt: \[\forall\ b, c : R \setminus\{0_R\},\ a = bc \Rightarrow b \in R^\times \vee c \in R^\times~.\]

• Seien \(b, c \not= 0_R\) sodass \(a = bc\). Da \(b \not= 0_R\), muss entweder \(a\ |\ b\) oder \([b] \in (R/Ra)^\times\) gelten.

  • Falls \(a\ |\ b\), dann impliziert die Bedingung \(a = bc\), dass \(a = (ae)c\) für geeignetes \(e\). Da \(R\) ein Integritätsring ist, impliziert dies, dass \(1_R = ec\). Das heißt, \(c\) ist invertierbar.
  • Falls \([b] \in (R/Ra)^\times\), dann gilt, für geeignetes \(t : R\), \([t][b] = [1_R]\) in \(R/Ra\). Aber nach \(a = b c\) gilt auch \([b] = [0_R]\) in \(R/Ra\), somit \([0_R] = [1_R]\) in \(R/Ra\). Das heißt, \(0_{R/Ra} = 1_{R/Ra}\). Daher gilt \(R/Ra = \{0_{R/Ra}\}\), das heißt \(Ra = R\). Dies widerspricht die Tatsache, dass \(a\) nicht invertierbar ist.

• Bemerkung. Oben haben wir die Tatsache, dass \(R\) ein Bézout-Ring ist, nicht benutzt.

11.20 Ende des Beweises

• „\(\Rightarrow\)“ Für diese Folgerung, reicht es zu beweisen, dass, wenn \(a\) irreduzibel ist, die folgende Eigenschaft gilt: \[\forall\ b : R \setminus \{0_R\},\ (a\ |\ b) \vee \big( [b] \in (R/Ra)^\times \big)~.\]

• Sei \(b \not= 0_R\) und betrachten wir das Ideal \(Ra + Rb\). Gilt \(Ra \subset Ra + Rb\) und, da \(R\) ein Bézout-Ring ist, existiert ein \(d : R\), sodass \(Ra + Rb = Rd\) ist.

• Nach Übung 2, impliziert dies, da \(a\) irreduzibel ist, dass \((Rd =Ra) \vee (Rd = R)\) gilt.

  • Falls \(Rd = Ra\) ist, dann gilt \(Rb \subseteq Ra + Rb = Rd = Ra\). Das heißt, \(a\ |\ b\).
  • Falls \(Rd =R\), dann gilt \(1_R \in Rd = Ra + Rb\). Daher existieren \(s, t : R\), sodass \(1_R = sa + tb\) gilt. Das heißt, \([b]\) ist invertierbar in \(R/Ra\).

11.21 Extremale Elemente

• Der vorherige Satz besagt, dass in einem Bézout-Ring, jedes irreduzible Element die folgende Eigenschaften erfüllt:

  1. \((b \not= 0_R) \wedge (b \notin R^\times)\) .
  2. \(\forall\ b : R \setminus \{0_R\},\ (a\ |\ b) \vee \big( [b] \in (R/Ra)^\times \big)\) .

• In einem Integritätsring heißt ein solches Element ein extremales Element und wir haben bewiesen dass, in einenm Bézout-Ring, irreduzibel \(\Leftrightarrow\) extremal gilt.

• Wie der Beweis gezeigt hat, gilt tatsächlich die Folgerung extremal \(\Rightarrow\) irreduzible in einem beliebiegen Integritätsring. Die Folgerung irreduzible \(\Rightarrow\) extremal gilt in einem Bézout-Ring, aber nicht im Allgemeinen.

11.22 Von extremalen Elementen erzeugte Ideale

• Wir wissen bereits, dass ein extremales Element \(a\) eines beliebigen Integritätsrings \(R\) irreduzibel ist und, dass jedes Hauptideal \(I = Ra\), das von einem irreduziblen Element \(a\) erzeugt ist, maximal unter den echten Hauptidealen von \(R\) ist.

• Aber wie beobachtet, wenn \(a\) ein extremales Element eines Rings \(R\) ist, ist der Faktorring \(R/Ra\) tatsächlich ein Körper und ist das Ideal \(Ra\) ein maximales Element unter aller echten Idealen von \(R\). Das ist besonders interesssant, wenn \(R\) ein Bézout-Ring ist.

  Satz. Sei \(R\) ein Bézout-Ring. Dann für jedes irreduzible Element \(a : R\) ist das Ideal \(Ra\) ein maximales Ideal.

  Beweis. Da \(R\) ein Bézout-Ring ist, ist jedes irreduzible Element ein extremales Element. Daher ist \(R/Ra\) ein Körper. Es folgt daraus, per Definition eines maximalen Ideals, dass \(Ra\) ein maximales Ideal ist.

11.23 Primalität

• Sei \(R\) ein Integritätsring und sei \(p\) ein extremales Element. Da das Ideal \(Rp\) ein maximales Element ist, ist dieses Ideal \(Rp\) auch ein Primideal.

• Dies bedeutet, dass das Element \(p\), das nicht Null und nicht invertierbar ist, auch die folgende Eigenschaft erfüllt: \[\forall\ a, b : R,\ (ab \in Rp) \wedge (a \notin Rp) \Rightarrow b \in Rp~.\]

  Das heißt, \(p\ |\ ab \wedge p\ |\ a \Rightarrow p\ |\ b\). Tatsächlich gilt sogar die folgende stärker Eigenschaft.

  Satz. Sei \(R\) ein Integritätsring und sei \(p : R\) ein extremales Element. Dann erfüllt \(p\) die folgende Eigenschaft. \[\forall\ a, b : R,\ p\ |\ ab \Rightarrow p\ |\ a \vee p\ |\ b~.\]

11.24 Extremale Elemente sind Primelemente (Beweis)

• Geben wir den Beweis für den vorherigen Satz.

• Seien \(a, b : R\), sodass \(p\ |\ ab\). Da \(p\) extremal in \(R\) ist, gilt \((p\ |\ a) \vee (a \in (R/Rp)^\times)\).

  • Wenn \(p\ |\ a\), dann \(p\ |\ a\) 🥳.

  • Wenn \(a\) invertierbar modulo \(p\) ist, existieren \(s, t : R\), mit \(sa + tp = 1_R\). Da per Annahme \(p\ |\ ab\), existiert auch ein \(c : R\), mit \(ab = pc\). Dann gilt \[s(pc) = s(ab) = (sa) b = (1_R - tp) b = b - tpb~.\]

    somit \(b = p(tb + sc)\) und \(p\ |\ b\).

  Dies beendet den Beweis.

11.25 Primelemente

• Die formale Definition eines Primelements in einem Integritätsring \(R\) ist die folgende.

  Defintion. Sei \(R\) ein Integritätsring. Ein Element \(p : R\) wird ein Primelement genannt, wenn die folgende Eigenschaften gelten.

  1. \((p \not= 0_R) \wedge (p \notin R^\times)\) .
  2. \(\forall\ a, b : R,\ p\ |\ ab \Rightarrow p\ |\ a \vee p\ |\ b\) .

• Bemerkungen:

  1. Ein Primelement \(p :R\) erzeugt ein Primideal \(Rp\) (Übung). Wenn das Prädikat \(P(a) := p\ |\ a\) entscheidbar ist, dann gilt die umgekehrte Folgerung.
  2. Jedes extremale Element ist ein Primelement.
  3. Unten werden wir beweisen, dass ein Primelement irreduzibel ist.

11.26 Primelemente sind irreduzibel

• Die folgende Bemerkung ist wesentlich.

  Satz. Sei \(R\) ein Integritätsring und sei \(p : R\) ein Primelement. Dann ist \(p\) irreduzibel.

  Beweis. Es geht um zeigen, dass \(p\) nicht Null und nicht invertierbar ist, und dass die folgende Eigenschaft gilt: \[\forall\ a, b : R \setminus \{0_R\},\ p = ab \Rightarrow (a \in R^\times) \vee (b \in R^\times)~.\]

  Da \(p\) ein Primelement ist, ist \(p\) insbesondere nicht Null und nicht invertierbar. Seien dann \(a, b : R\), mit \(p = ab\). Dann gilt \(p\ |\ ab\) und, da \(p\) ein Primelement ist, gilt auch \(p\ |\ a \vee p\ |\ b\).

  • Wenn \(p\ |\ a\), dann existiert \(c : R\), mit \(a = pc\). Daher gilt \(p = ab = pcb\), somit, da \(R\) ein Integritätsring ist, \(1_R =cb\). Das heißt, \(b \in R^\times\).
  • In analoger Weise, wenn \(p\ |\ b\), dann muss \(a \in R^\times\).

11.27 Zusammenfassung über Primalität

• Wenn R ein Integritätsring ist: \[\text{extremal}\ \Rightarrow\ \text{Primelement}\ \Rightarrow\ \text{irreduzibel}~.\]
• Wenn \(R\) ein Bézout-Ring ist: \[\text{irreduzibel}\ \Rightarrow\ \text{extremal}~.\] Daher sind in einem Bézout-Ring die drei Notionen paarweise äquivalent.
• Jetzt werden wir zeigen, dass, wenn, \(R\) ein Ring mit ggT ist, die folgende Eigenschaft gilt: \[\text{irreduzibel}\ \Rightarrow\ \text{Primelement}~.\] Daher gilt in einem Ring mit ggT die äquivalenz zwischen ein Primelement zu sein und irreduzibel zu sein.

11.28 Irreduzibilität in einem Ring mit ggT

• In einem Ring mit ggT \(R\), ist ein irreduzibel Element \(p: R\) nicht unbedingt extremal, aber doch ein Primelement. Das heißt, das Ideal \(Rp\) ist nicht unbedingt ein maximales Ideal, aber doch ein Primideal.

• Beispiel. Im Rimg \(\mathbb{Q}[X,Y]\), ist das Element \(X\) ein Primelement (da \(\mathbb{Q}[X,Y] /\left< X \right> \simeq \mathbb{Q}[Y]\) ein Integritätsring ist ) aber kein extremales Element (da \(\mathbb{Q}[Y]\) kein Körper ist).

• Der wichtige Satz läuft wie folgt.

  Satz. Sei \(R\) ein Ring mit ggT und sei \(p : R\) ein irreduzibel Element. Dann ist \(p\) ein Primelement. Insbesondere ist das Ideal \(Rp\) ein Primideal.

  Bemerkung Primzahlen in \(\mathbb{Z}\) sind als irreduzible Elemente definiert (\(p \notin \{0, +1, -1\}\) und \(p = ab \Rightarrow a \in \mathbb{Z}^\times \vee b \in \mathbb{Z}^\times\). Aber sie sind tatsächlich Primelemente (\(p\ |\ ab \Rightarrow p\ |\ a \vee p\ |\ b\)). Obwhohl es Variationen gibt, ist das manchmal als das Lemma von Euklid bekannt.

11.29 Irreduzibilität in einem Ring mit ggT (Beweis)

• Da ein irreduzibel Element nicht Null und nicht invertierbar ist, reicht es die folgende Eigenschaft zu zeigen: \[\forall\ a, b : R,\ p\ |\ ab \Rightarrow p\ |\ a \vee p\ |\ b~.\]

• Seien \(a, b : R\) und nehmen wir an, dass \(p\ |\ ab\) gilt. Die Idee ist, die Symmetrie des Problems zu brechen und einen ggT von \(p\) und \(a\) einzuführen. Nennen wir ihn \(d \cong \text{ggT}(p, a)\). Es gilt insbesondere \(d\ |\ p\). Das heißt, \(p = cd\) für geeignetes \(c : R\).

• Da per Annahme \(p\) irreduzibel ist, gilt \(c \in R^\times \vee d \in R^\times\) .

  • Falls \(c\) invertierbar ist, dann ist \(p\) assoziiert zu \(d\) und gilt \(p\ |\ a\).
  • Falls \(d\) invertierbar ist, dann sind \(p\) und \(a\) teilerfremd: \(\text{ggT}(p, a) \cong 1_R\). Es verbleibt zu zeigen, dass in diesem Fall \(p\ |\ b\) gilt.

11.30 Ein Lemma von Gauß

• Genauer gesagt, verbleibt es genau den folgenden Satz zu beweisen.

  Satz. (Gauß) Sei \(R\) ein Ring mit ggT und sei \(p\) ein irreduzibel Element. Dann gilt: \[\forall\ a, b : R,\ (p\ |\ ab) \wedge \big( \text{ggT}(p, a) \cong 1_R \big) \Rightarrow p\ |\ b~.\]

  Beweis. Die Idee ist, Folgendes zu zeigen: \[\text{ggT}(p, a) = 1_R \Rightarrow \text{ggT}(p, ab) = \text{ggT}(p, b)~.\]

  Das reicht, weil \(p\ |\ b \Leftrightarrow p\ |\ \text{ggT}(p, b)\) gilt, und, da per Annahme \(p\ |\ ab\) gilt, auch Folgendes gilt: \(p\ |\ \text{ggT}(p, ab)\). Wenn wir \(\text{ggT}(p, ab) = \text{ggT}(p, b)\) bewiesen haben, dann gilt auch \(p\ |\ \text{ggT}(p, b)\), somit \(p\ |\ b\).

11.31 Fortführung des Beweises des Lemmas von Gauß

• Sei \(e \cong \text{ggT}(p, b)\). Da \(e\ |\ p\) und \(e\ |\ b\) gelten, muss auch \(e\ |\ ab\) somit \(e\ |\ \text{ggT}(p, ab)\) gelten. Das heißt, \(\text{ggT}(p, b)\ |\ \text{ggT}(p, ab)\).

  Bemerkung. Beachten Sie, dass dies auch ohne die Annahme gilt, dass \(p\) irreduzibel ist.

• Sei \(f \cong \text{ggT}(p, ab)\). Wir haben bereits bewiesen, dass \(e\ |\ f\) gilt, und wir möchten jetzt zeigen, dass \(f\ |\ e\) gilt.

• Da \(f\ |\ p\) und \(f\ |\ ab\) gelten, müssen auch \(f\ |\ pb\) somit \(f\ |\ \text{ggT}(pb, ab)\) gelten.

• Wir besagen nun, dass \(\text{ggT}(pb, ab) \cong b\ \text{ggT}(p, a)\) ist (siehe unten für den Beweis).

• Da per Annahme, \(\text{ggT}(p, a) \cong 1_R\) ist, würden wir dann erhalten, dass \(\text{ggT}(pa, pb) \cong b\) somit \(f\ |\ b\) gelten. Das heißt, es gilt \(\text{ggT}(p, ab)\ |\ b\) somit \(\text{ggT}(p, ab)\ |\ \text{ggT}(p, b)\) und dies ist genau \(f\ |\ e\).

11.32 Ende des Beweises des Lemmas von Gauß

• Wir müssen noch zeigen, dass \(\text{ggT}(bp, ba) \cong b\ \text{ggT}(p, a)\). Dies wird für alle \(p, a, b : R\) gelten. Da \(d \cong \text{ggT}(p,a)\) ein Teiler von \(p\) und \(a\) ist, ist \(bd\) ein Teiler von \(bp\) und \(ba\). Das heißt, \(b\ \text{ggT}(p,a)\) ist ein Teiler von \(\text{ggT}(bp, ba)\).
• Es wäre naheliegend, hier zu beweisen, dass \(\text{ggT}(bp, ba)\) ein Teiler von \(b\ \text{ggT}(p, a)\) ist. Da wir bereits wissen, dass \(b\ \text{ggT}(p,a)\) ein Teiler von \(\text{ggT}(pb, ab)\) gilt, gibt es aber einen anderen Ansatz, und zwar, \(\text{ggT}(bp, ba) \cong x(b\ \text{ggT}(p, a))\) für geeignetes \(x : R\) zu schreiben und zu beweisen, dass \(x\) invertierbar ist.
• Um zu zeigen, dass \(x\) invertierbar ist, reicht es zu beweisen, dass \(x\ \text{ggT}(p, a)\) ein Teiler von \(\text{ggT}(p, a)\) ist, weil, wenn \(d = g(xd)\) gilt, und \(R\) ein Integritätsring ist, muss \(1_R = gx\) auch gelten.

11.33 Ende des Endes des Beweises

• Um zu zeigen, dass \(x\ \text{ggT}(p, a)\) ein Teiler von \(\text{ggT}(p, a)\) ist, reicht es zu beweisen, dass \(x\ \text{ggT}(p,a)\) ein Teiler von \(p\) und von \(a\) ist.
• Wir haben aber bereits bewiesen, dass \(bx\ \text{ggT}(p,a) \cong \text{ggT}(bp, ba)\) gilt. Das heißt, \(bx \text{ggT}(p,a)\) teilt \(bp\) und \(ba\). Da \(R\) ein Integritätsring ist, muss dann \(x\ \text{ggT}(p, a)\) beide \(p\) und \(a\) teilen.
• Dies beendet den Beweis.

11.34 Übung 4

• Sei \(R\) ein Ring mit ggT und seien \(a, b, c : R\).

• Zeigen Sie, dass die folgende Eigenschaften gelten:

  1. \(\text{ggT} \big( \text{ggT}(a,b),c \big) = \text{ggT} \big( a, \text{ggT}(b,c) \big)\) .
  2. \(\text{ggT}(a, bc) = \text{ggT} \big( a, \text{ggT}(a,b) c \big)\) .

11.35 Beispiele für Integritätsringe, die keine Ringe mit ggT sind

• Wir haben gerade bewiesen, dass in einem Ring mit ggT, jedes irreduzibel Element ein Primelement ist. Daher, wenn ein Integritätsring \(R\) ein irreduzibel Element \(a\) besitzt, das kein Primelement ist, ist \(R\) kein Ring mit ggT.
• Wie wir in den nächten Vorlesungen sehen werden, hat die Existenz ein solches Element \(a\), mit der Faktorisierung eines beliebigen Elements \(x\) von \(R\) zu tun, nämlich ob einer solchen Fakotirisierung (existiert und) eindeutig ist. Wir können jedoch ein einfaches Beispiel geben, für einen Ring, der ein irreduzibel Element besitzt, der kein Primelement ist.

11.36 Ein konkretes Beispiel für ein Integritätsring, der kein Ring mit ggT ist

• Sei \(R := \{ P \in \mathbb{Q}(\sqrt{2}) [X]\ |\ P(0) \in \mathbb{Q} \}\) der Unterring vom \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}) [X]\), bestehend aus denjenigen Polynomen \(P \in \mathbb{Q}(\sqrt{2}) [X]\), sodass \(P(0) \in \mathbb{Q}\) gilt.
• Dieser Ring ist ein Integritätsring und das Element \(X\) ist irreduzibel in \(R\) (weil \(\deg X = 1\) ist und \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) ein Körper ist).
• Aber \(X\) ist kein Primelement in \(R\): \(X\) teilt \(2 X^2 = (\sqrt{2}X)(\sqrt{2}X)\) in \(R\), aber \(X\) ist kein Teiler von \(\sqrt{2}X\) in \(R\), weil das konstante Polynom \(\sqrt{2}\) nicht zu \(R\) gehört.
• Beachten Sie, dass das Element \(2X^2\) von \(R\) zwei sogenannte Irreduziblenzerlegungen in \(R\) hat. Nämlich, \(2X^2 = (2X) X\) in \(R\) und \(2X^2 = (\sqrt{2} X)(\sqrt{2} X)\) in \(R\), mit \(2X, X\) und \(\sqrt{2}X\) irreduzible in \(R\).
• Wir werden in den nächsten Vorlesungen näher darauf eingehen.