Ringe und Ringhomomorphismen

Das Konzept des Ringes geht auf Richard Dedekind zurück. Das obiges Foto zeigt ihn um das Jahr 1900. Die Bezeichnung Ring wurde allerdings von David Hilbert eingeführt.

Distributivgesetze

• Betrachten wir eine Menge mit Verknüpfungen und .

• Die Verknüpfung heißt linksdistributiv über , wenn für alle , gilt

• Die Verknüpfung heißt rechtssdistributiv über , wenn für alle , gilt

• Die Verknüpfung heißt distributiv über , wenn sie links- und rechtsdistributiv über ist.

  Übung. Zeigen Sie, dass, falls kommutativ ist, dann ist genau dann linksdistributiv über , wenn sie rechtsdistributiv über ist.

Beispiele für Distributivgesetze

• Für alle , gilt und . Haben Sie jemals einen Beweis dafür gesehen?
• Im Gegensatz dazu, ist im Allgemeinen in .
• Für alle , gilt , aber im Allgemeinen ist . Das heißt, ist rechtdistributiv über aber nicht linksdistributiv über .
• In der Potenzmenge , gilt, für alle
  und auch

Ringe

• Es gibt verschiedene Weisen, die Definition eines Ringes zu präsentieren. In alle Definitionen werden wir ein Tupel sehen, wobei eine Menge ist, die mit einer algebraischer Struktur ausgestattet ist.

• Beginnen wir mit einer kurzen Definition:

  Definition. Ein Ring ist ein Tupel , oder einfach , wobei:

  1. Das Tupel , oder einfach , ist eine abelsche Gruppe.
  2. Das Tupel ist eine Halbgruppe.
  3. Die Verknüpfung ist distributiv über .

• Bemerkung. Im Tupel bezeichnet die Notation die Funktion, die ein Element auf sein inverses Element bezüglich abbildet: .

Formale Definition

• Die Formale Definition ist expliziter und enthält alle die notwendige Information:

  Definition. Ein Ring ist ein Tupel

  1. Das Tupel ist eine abelsche Gruppe.
  2. Das Tupel ist eine Halbgruppe.
  3. ist ein Beweis, dass die Verknüpfung linksdistributiv über ist.
  4. ist ein Beweis, dass die Verknüpfung rechtsdistributiv über ist.

• Subversiver Anspruch: Diese beweistheoretische Sichtweise ist bei Mathematikern, die aktuell in einflussreichen Positionen sind, ziemlich unbeliebt. Ähnlich wie damals, als Cantor die mengentheoretische Perspektive einführte. Was wird sich durchsetzen?

Kommutative und nicht-kommutative Ringe

• Ein Ring wird kommutativ genannt, wenn die Verknüpfung kommutativ ist. Das heißt, wenn für alle , .
• Zum Beispiel ist der Ring ein kommutativer Ring. So auch ist .
• Sei . Auf der Menge aller Matrizen mit Koeffizienten in einem Ring , können wir eine Ringstruktur konstruieren, mit Verknüpfungen:

• Übung. Zeigen Sie, dass ein Ring ist, der im Allgemeinen nicht kommutativ ist.

Rechnenregeln

• Sei ein Ring.
• In der abelschen Gruppe haben wir die Regel
  Wenn wir also berechnen, berechnen wir zuerst und addieren dann .
• Gelten auch die Regeln und .
• In ähnlicher Weise, gilt in der Halbgruppe .
• Dann haben eine neue Regel:

• Da kommutativ ist, müssen wir auch setzen.
• Um Computer zu verwirren, schreiben wir statt .

Übung 1

• Sie ein Ring. Zeigen Sie, dass .
• Sei und sei . Schreiben Sie die Definition von , in der Halbgruppe .
• Zeigen Sie, dass , und dass .
• Nehmen Sie an, dass kommutativ ist. Zeigen Sie, dass , und dass
  wobei eine ganze Zahl ist und die Wirkung der Gruppe auf der abelschen Gruppe ist.
• Zusätzlich sollten Sie noch überprüfen, dass und auch gelten.

Ringe mit Einselelement

• Im Kurs Algebra 1, betrachten wir tatsächlich nur Ringe, die ein Einselelement haben. Sagt man auch unitärer Ring.

  Definition. Ein Ring mit Einselelement ist ein Tupel , oder einfach , wobei:

  1. Das Tupel , oder einfach , ist eine abelsche Gruppe.
  2. Das Tupel ist ein Monoid.
  3. Die Verknüpfung ist distributiv über .

• Dies bedeutet, dass ein neutrales Element bezüglich die Verknüpfung ist:

  Das heißt, das Tupel ist ein Monoid.

Übung 2

• Sei ein unitäre Ring.
• Zeigen Sie die folgende Rechnenregel:

Übung 3

• Zeigen Sie, dass:

  • Die Ringe und unitäre sind.
  • Der Ring nicht unitär ist.

• Zeigen Sie dass, wenn ein unitäre Ring ist, so auch der Ring .

Unterringe

• Ist ein Ring, dann heißt Unterring von jede Untergruppe , sodass außerdem .
• Ein Unterring kann daher bezüglich die induzierte Verknüpfungen als Ring betrachten werden. Der Beweis ist das Gleiche wie für Untermonoide.
• Ist jetzt ein unitäre Ring, dann heißt unitäre Unterring jede Unterring , sodass außerdem .
• Um Unklarheiten zu vermeiden, ist es hilfreich, die Struktur, an der wir interessiert sind, vollständigaufzuschreiben. Zum Beispiel, ist die Teilmenge eine Unterstruktur des Ringes aber keine Unterstruktur des unitären Ringes . Wenn man nur schreibt, ist die Bedeutung des vorherigen Satzes nicht eindeutig.

Ringhomomorphismen

• Sind und Ringe, dann ist ein Ringhomomorphismus eine Abbildung , sodass die folgende Eigenschaften gelten:

  1. .
  2. .

• Insbesondere induziert einen Gruppenhomorphismus von nach . Daher gelten automatisch die folgende Eigenschaften:

  1. .
  2. , .

Homomorphismen unitärer Ringe

• Sind und Ringe, dann ist ein Ringhomomorphismus eine Abbildung , sodass die folgende Eigenschaften gelten:

  1. .
  2. .
  3. .

  Die dritte Bedingung ist nicht automatisch! Siehe unten für ein Beispiel einer solchen Funktion .

• Insbesondere induziert die Abbildung einen Monoidhomomorphismus von nach . Als Konsequenz, wenn ein Element invertierbar bezüglich ist, dann ist invertierbar bezüglich und gilt .

Übung 4

• Sei ein unitäre Ring.
• Zeigen Sie, dass genau ein Homomorphismus von unitären Ringe mit existiert.
• Sagen Sie explizit, was das Element ist, für jedes .

Division mit Rest

• Wir können die abeslche Gruppe als kommutativer Ring betrachten. Die Multiplikation wird wie folgt definiert:

• Das ist die eindeutige Ringsstrauktur auf der abelschen Gruppe , die die kanonische Projektion in einen Ringhomomorphismus umwandelt.
• Natürlich muss mann überprüfen, dass diese Verknüpfung wohldefiniert ist, und dass ein (unitäre) Ring ist.
• Beachten Sie, dass , zwischen dem unitären Ring und sich selbst, ist ein Ringendomorphismus, der die Bedingung nicht erfüllt. In diesem Beispiel ist es wichtig zu überprufen, dass . Dies gilt, weil .

Funktionen mit Werten in einem Ring

• Sei eine Menge und sei ein Ring. Wir können eine Ringstrukur auf der Menge aller Funktionen von nach konstruieren.
  • Addition: .
  • Multiplikation: .
  • Nullfunktion: .
  • Inverse Funktion bezüglich die Addition: .
• Ist unitär, dann ist auch unitär: die Einsfunktion ist .
• Zum Beispiel können wir den Ring , wobei eine Teilmenge von ist.

Polynome mit Koeffizienten in einem unitären Ring

• Sei ein unitäre Ring. Um die zugrundeliegende Menge des Ringes der Polynome mit Koeffizienten in ist die Menge aller Folgen , die die folgende Eigenschaft erfüllen:
  Diese Menge wird als bezeichnet. Es ist eine Teilmenge von .
• Die Addition und Multiplikation auf wird durch die folgende Verknüpfungen auf induziert (Übung):

• Das Nullelement ist die Folge . Das Einselelement ist die Folge .

Polynomringe

• Sei eine unitäre Ring. In der Menge , setzen wir , , und so weiter. Dann gilt

• Außerdem kann jedes Element eindeutig als formale lineare Kombination der geschrieben werden. Nämlich, . Wir setzen auch: und in dieser Menge .
• Mit dieser Notation kann die Multiplikation wie folgt geschrieben werden:

• Der so konstruierte unitäre Ring wird als bezeichnet. Wenn der Ring kommutativ ist, ist der Ring auch kommutativ. In der Praxis schreibt man einfach statt .

Polynomfunktionen

• Wenn kommutativ ist, induziert jeder Polynom eine funktion , mit der Eigenschaft, dass ein Ringhomomorphismus ist. Das heißt, , , und .
• Da , ist die Annahme, dass kommutativ ist, notwendig, um einen Ringhomomorphismus zu erhalten.
• Unter dieser Annahme, können wir, für alles , ein Element definieren, in dem wir durch in der Aussage für ersetzen:

• Wenn ein kommutativer Ring ist, der als Unterring enthält, dann induziert ein Polynom auch eine Funktion .

Polynome in mehreren Unbestimmten

• Der Ring ist der Ring von Polynomen in der Unbestimmte . Zum Beispiel können wir betrachten die Ringe oder .
• Aber wir können auch den Ring betrachten, der als bezeichnet wird.
• Die folgende Rechnenregeln gelten:

• Zum Beispiel können wir die Ringe oder betrachten. Das heißt, für in oder .
• Wenn kommutativ ist, induziert eine Funktion für jeden Ring , der als Unterring enthält.

Ideale

• Sei ein kommutative Ring.

  Definition. Eine Teilmenge heißt ein Ideal von , wenn die folgende Eigenschaften gelten:

  1. .
  2. .
  3. .

• In nicht-kommutativen Ringen, ist die obige Definition der eines Linksideals. Man kann auch Rechtsideale definieren, die erfüllen. In einem kommutativen Ring ist jedes Linksideal ein Rechtsideal.

Eigenschaften und Beispiele

• Beachten Sie, dass und Ideale von sind. Außerdem, gegeben ein Ideal , gilt . Um diese Äquivalenz zu beweisen, reicht es die Implikation „“ zu beweisen. Aber wenn , dann, da ein Ideal ist, gilt .
• Da , sind Ideale insbesondere Untergruppe (Übung).
• Der Kern eines Ringhomorphismus ist ein Ideal: Es ist eine Untergruppe und, wenn , dann gilt . Das heißt, .
• Alle Untergruppe von sind Ideale! Da die Untergruppe von bekannt sind, reicht es zu beweisen, dass für jedes , die Teilmenge ein Ideal ist: Es ist eine Untergruppe und, wenn für geeignetes , dann ist auch ein Vielfach von .

Übung 5

• Sei ein kommutativer Ring.
• Zeigen Sie, dass, wenn ein Einselement (das heißt, ist ein neutrales Element bezüglich ) hat, dann ist das eindeutige Ideal, das ein unitäre Unterring des unitären Ringes ist.
• Das heißt, in einem unitären Ring, ist ein Ideal im Allgemeinen kein Unterring. Beachten Sie, dass ein Unterring von ist, der kein Ideal von ist.

Übung 6

• Sei ein Ringhomomorphismus. Zeigen Sie die folgende Eigenschaften:

  • und .
  • ist genau dann ein Ringisomorphismus, wenn bijektiv ist.

• Zeigen Sie die folgende Eigenschaften:

  • Für jedes Ideal , ist die Teilmenge ein Ideal von .
  • Wenn surjektiv ist und ein Ideal von ist, dann ist ein Ideal von .

• Zeigen Sie die folgende Eigenschaften:

  • Für jeden Unterring , ist ein Unterring von .
  • Für jeden Unterring , ist ein Unterring von .

Faktorringe

• Sei ein Ring und sei ein Ideal. Auf der abeslchen Gruppe können wir eine eindeutige Ringstruktur konstruieren, sodass die kanonische Projektion ein Ringhomomorphismus ist.
• Nämlich setzen wir, für alle ,
  und überprüfen wir, dass diese Verknüpfung wohldefiniert ist.
• Es ist hilfreich, die Notation zu benuzten. Die Intuition ist, dass die Beziehung der Zugehörigkeit zu einem Ideal die Beziehung der Teilbarkeit verallgemeinert.