Untergruppen und endlich erzeugte Gruppen

Untermonoide

• Sei ein Monoid.
• Die Idee ist, dass ein Untermonoid von aus einer Teilmenge von konstruiert werden kann, wenn die Verknüpfung von eine Monoidstruktur auf induziert.
• Genauer gesagt, bitten wir um folgenden Eigenschaften für die Teilmenge .
  • .
  • .

Formaler Standpunkt und Notation

• Sei ein Monoid.
• Ein Untermonoid von ist ein Tupel , wobei:
  • eine Teilmenge von ist.
  • ein Beweis für ist.
  • ein Beweis ist, dass das Produkt zweier Elemente von , die zu gehören, immer noch zu gehört:

• In diesem Fall, sagen wir auch einfach, dass die Teilmenge ein Untermonoid von ist.

Begründung für die Definition

• Seien ein Monoid und ein Untermonoid von (normalerweise schreiben wir die Eigenschaften und nicht).
• Dann gibt es eine Verknüpfung auf , die durch induziert wird (siehe unten).
• Da die Verknüpfung assoziativ ist, ist die Verknüpfung auch assoziativ.
• Außerdem, da gilt, hat die Verknüpfung ein neutrales Element.
• Ein Submonoid kann daher automatisch als Monoid angesehen werden (siehe unten).

Eine Bemerkung über Teilmengen

• Sei eine Menge. Aufgrund des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten, wird eine Teilmenge durch eine Indikatorfunktion definiert.
• Aus solcher Funktion können wir die folgende Menge definieren:

• Gegeben ein Element , wenn wir schreiben, meinen wir . Das heißt, der Ausdruck ist eine Eigenschaft des Elements von , und ist die Menge, die aus den Elementen von konstruiert wird, die diese Eigenschaft erfüllen.
• Wegen dieser Definitionen sollte ein Element der Teilmenge als Paar geschrieben werden, wobei ein Element von ist, und ein Beweis für die Eigenschaft ist.

Die induzierte Verknüpfung

• Sei ein Monoid und ein Untermonoid davon. Insbesondere ist eine Teilmenge von und ein Beweis für die folgende Eigenschaft:

• Dann können wir eine Verknüpfung auf der Menge definieren:
  wobei der Beweis ist, dass .
• Dieser Beweis wird aus und abgeleitet.

Eigenschaften der induzierten Verknüpfung

• Da per Definition , und die Verknüpfung assoziativ ist, ist die Verknüpfung auch assoziativ.
• Um ehrlicher zu sein, müssen wir, für alle die folgende Gleichheit beweisen:

• Dies ergibt sich aus dem Beweis für die Gleichheit und der Tatsache (die wir akzeptieren werden), dass wenn , dann ist (dies ist der schwierige Teil).
• Außerdem ist das Element ein neutrales Element für die Verknüpfung Der Beweis dafür geht um dieselben Ideen wie oben.
• Wenn Ihnen dieser formale Standpunkt nicht gefällt, können Sie die Beweise (in Blau) einfach nicht schreiben.

Untermonoide können als Monoide angesehen werden

• Sei ein Monoid und ein Untermonoid davon. Insbesondere ist eine Teilmenge von .
• Aus diesem Untermonoid können wir ein Monoid konstruieren, wobei:
  • die zugrundeliegende Menge von die Menge ist,
  • die Verknüpfung von die Verknüpfung ist,
  • das neutrales Element von das Element ist.
• Beachten Sie, dass und sind unterschiedliche Konzepte: ist ein Untermonoid von , während ein Monoid ist, das aus konstruiert wurde.

Konventionen und Notation

• Wie gesagt, in der Praxis, schreibt man oft „Sei ein Monoid und ein Untermonoid“, wobei eine Teilmenge von ist.
• Das heißt, die Eigenschaften, dass zu gehört und dass die Teilmenge unter der Verknüpfung stabil bleibt, erscheinen nicht explizit.
• Es ist auch üblich, ein Untermonoid von einfach als ein Monoid zu betrachten, dessen zugrunde liegende Menge eine Teilmenge von ist. Das heißt, man identifiziert oft die Teilmenge mit dem Monoid .

Beispiele für Untermonoide

• Betrachten wir das Monoid und eine ganze Zahl . Die Teilmenge
  von Vielfachen von ist ein Untermonoid von (das heißt, diese Teilmenge erfüllt die Eigenschaften eines Untermonoids):
  • Da ist, gilt .
  • Wenn ist und ist, gilt , somit .
• Die Teilmenge ist ein Untermonoid von .
• Die Teilmenge ist kein Untermonoid von . Grund dafür ist, dass das neutrales Element nicht zu dieser Teilmenge gehört.

Untergruppen

• Sei eine Gruppe und eine Teilmenge von .
• Wir sagen, dass eine Untergruppe von ist, wenn die folgende Eigenschaften gelten:
  • .
  • .
  • .
• Aus formaler Sicht, ist eine Untergruppe von daher ein Tupel
  wobei ein Untermonoid von ist und ein Beweis ist, dass .

Beispiele für Untergruppen

• Sei eine Gruppe und die Teilmenge von . Dann ist eine Untergruppe von . Wenn wir als eine Teilmenge seiner selbst betrachten, dann ist auch eine Untergruppe von . Die leere Teilmenge ist keine Untergruppe.
• Betrachten wir die Gruppe und eine ganze Zahl . Die Teilmenge
  von Vielfachen von ist eine Untergruppe von :
  • Wir haben bereits bewiesen, dass ein Untermonoid von ist.
  • Wenn , gilt , somit .
• Die Teilmenge ist ein Untermonoid von , die keine Untergruppe ist. Grund dafür ist, dass (zum Beispiel) zu dieser Teilmenge gehört, aber nicht.

Untergruppen der Symmetriegruppe eines Quadrats

• In der Symmetriegruppe eines Quadrats, ist die Teilmenge eine Untergruppe. Diese Untergruppe ist genau die Gruppe der direkten Symmetrien des Quadrats (die Reihenfolge der Punkte A, B, C, D ändert sich nach eine Rotation nicht).
• Die Teilmenge , , und sind auch Untergruppe der Symmetrie gruppe des Quadrats.

Direkte Symmetrien des Quadrats

Die Verknüpfungstafel der Untergruppe ist unten sichtbar. Sie ist sozusagen in der Verknüpfungstafel der Umbgebungsgruppe abgeschlossen.

Andere Untergruppen

Bei anderen Untergruppen kann es etwas komplizierter sein, die Verknüpfungstafel zu visualisieren, aber immer noch möglich.

Untergruppen der Gruppe der ganzen Zahlen

Wir kommen endlich zu einem konkreten und nützlichen Satz .

Satz. Die nicht-trivialen Untergruppen von sind genau die Teilmengen der Gestalt für ein eindeutiges bestimmtes .

• Mit nicht-trivialer Untergruppe einer Gruppe meinen wir eine Untergruppe , die die folgende Eigenschaft erfüllt:

• Dies wird normalerweise als geschrieben. Ob dies eine primitive Definition oder eine Konsequenz der Definition von ist, hängt davon ab, wie frei Sie das Prinzip des ausgeschlossenen Dritten anwenden.
• Es ist auch möglich, zu schreiben.

Satz und Beweis

Satz. Sei eine Untergruppe von . Wenn nicht-trivial ist, dann existiert es eine eindeutige positive ganze Zahl , so dass ist.

Beweis. Beachten Sie, dass dieser Satz aus zwei Teilen besteht:

• Existenz:

• Eindeutigkeit:

Wir können auch statt schreiben. So oder so, wenn wir schreiben, müssen wir das Element von oder als Element von interpretieren.

Existenz

• Zeigen wir zuerst, dass .
  Da per Annahme nicht-trivial ist, existiert ein , so dass und . Diese erfüllt . Wir können daher zwei Fälle unterscheiden.
  • Falls , dann haben wir es bewiesen, dass ist.
  • Falls , dann ist . Aber (da ist und eine Untergruppe ist). Dann gilt wieder
• Da eine nicht-leere Teilmenge von ist, existiert es ein minimales Element in (das heißt, und , ). Insbesondere .
• Wir werden nun zeigen, dass (für dieses , deren Existenz wir bewiesen haben). Es reicht, und zu zeigen.

Direkte Inklusion

Zeigen wir zunächst, dass ist. Das heißt, .
Gegeben sodass ist, existiert ein , sodass ist. Dieses erfüllt . Durch Fallunterscheidung, erhalten wir Folgendes.

• Falls ist, gilt ( mal). Da und , können wir durch Induktion auf zeigen, dass ist. Das heißt, ist.
• Wenn , dann gibt es . Aus dem vorherigen Fall folgern wir, dass . Da eine Untergruppe ist, gilt auch .

Umgekehrte Inklusion und Ende des Existenzbeweises

• Zeigen wir danach, dass ist.
• Gegeben sodass ist, die Division mit Rest von durch (die ist) ergibt ganze Zahlen und , so dass und . Insbesondere, ist. Da eine Untergruppe ist, impliziert die vorherige Gleichheit, dass (denn ist und ). Wenn ist, widerspricht das der Minimalität von als Element von . Dann gilt und . Das heißt, .
• Da ist und ist, haben wir bewiesen, dass ist.

Eindeutigkeit

• Nehmen wir an, dass es und gibt, sodass , und gelten. Wir werden es zeigen, dass dies impliziert.
• Von der Gleichheit folgern wir, dass die ganze Zahl die ganze Zahl teilt, und dass die ganze Zahl die ganze Zahl teilt. Das heißt, es existiert sodass ist, und sodass ist. Dann gilt .
• Da , impliziert die vorherige Gleichheit, dass ist, mit eine ganze Zahl. Insbesondere gilt oder .
• Da und , muss auch positiv sein. Dann gilt , somit .

Vergleich der Untergruppen einer Gruppe

• Sei eine Gruppe und seien und Untergruppen von , wobei und Teilmenge von sind. Können wir und vergleichen?
• Betrachten wir die folgende Relation:

• Da eine Ordnungsrelation auf ist, ist die Relation eine Ordnungsrelation (zwischen Untergruppen von ).

Eine Bemerkung über binäre Relationen

• Denken wir zunächst daran, dass die Relation Folgendes bedeutet:

• So wie die Zugehörigkeit von einem Element zu einer Teilmenge durch ein unäres Prädikat definiert wird, wird eine Relation auf einer Menge durch ein binäres Prädikat definiert.
• Zum Beispiel, für , wird das binäre Prädikat durch die Funktion definiert, die ein Paar Teilmengen genau dann nach abbildet, wenn .
• Wenn wir versuchen, diese Funktion explizit zu berechnen, erhalten wir Folgendes:

Von einer Teilmenge erzeugte Untergruppe

• Sei eine Gruppe. Gegebene eine Teilmenge , gibt es eine kleinste Untergruppe von G, sodass ?
• Da wir Untegruppen von vergleichen können, ist die Frage sinnvoll. Das heißt, das Konzept eines kleinsten Elements ist in diesem Zusammenhang sinnvoll.
• Beachten wir zunächst, dass es mindestens eine Untergruppe gibt, sodass ist. Nämlich, die Untergruppe .
• Wir werden nun auf zwei verschiedenen Arten zeigen, dass die Menge aller dieser Untergruppen ein minimales Element hat.

Durchschnitt von Untergruppen

• Seien eine Gruppe und eine Familie Untergruppen von . Das heißt, für jedes , eine Untergruppe von .

• Wir möchten eine Untergruppe von konstruieren, mit

• Es reicht dazu, die folgende Eigenschaften zu beweisen:

  • (das heißt, ).
  • .
  • .

• Alle drei Eigenschaften ergeben sich aus der Tatsache, dass für jedes , ist.

Erzeugte Untergruppe: erste Konstruktion

• Seien eine Gruppe und eine Teilmenge von .

• Betrachten wir die folgende Menge, die als Teilmenge von der Menge der Untergruppen von definiert wird:

• Da es eine Projektion gibt, können wir eine Familie definieren. Explizit ist aus der Form , wobei eine Untergruppe von ist, und ein Beweis für die Eigenschaft ist. Dann wird als definiert. Wir setzen dann, für jedes , .

• Es ist deshalb sinnvoll, die Untergruppe einzuführen. Diese Untergruppe wird die von der Teilmenge erzeugte Untergruppe gennant (und oft einfach als bezeichnet).

Die kleinste Untergruppe, die eine Teilmenge enthält

• Seien eine Gruppe und eine Teilmenge von . Sei die Familie aller Untergruppen von , die die Eigenschaft erfüllen, wobei die zugrundeliegende Menge der Untergruppe ist. Wie zuvor gesehen, ist die zugrundeliegende Menge der Untergruppe die Teilmenge .
• Dann können wir überprüfen, dass die Untergruppe die kleinste Untergruppe von ist, die die Eigenschaft erfüllt. Das heißt:
  • Die Untergruppe erfüllt diese Eigenschaft.
  • Für jede Untergruppe , die diese Eigenschaft erfüllt, gilt .
• Die erste Eigenschaft folgt von der Tatsache, dass ist (per Definition von , gilt für jedes , dass ist). Die zweite Eigenschaft folgt von der Tatsache, dass ist.