Integritätsringe und Körper

David Hilbert (1862-1943) war ein deutscher Mathematiker und Hochschullehrer. Hilberts programmatische Rede auf dem internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der er eine Liste von mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die mathematische Forschung des 20. Jahrhunderts nachhaltig.

Invertierbare Elemente (Einheiten)

• Sei ein (kommutativer, unitärer) Ring. Das heißt, ist eine abelsche Gruppe, ist ein Monoid, und ist links- und rechtsdistributiv über :

• Ein Element (das heißt, ein Element in der zugrundeliegende Menge von ) heißt invertierbar, wenn es invertierbar im Monoid . Das heißt, falls

• In diesem Fall, ist ein solches Element eindeutig und wird als bezeichnet, und wird auch eine Einheit von genannt. Wir können daher eine Gruppe konstruieren, deren Elemente sind die invertierbaren Elemente von .

Einheitsgruppe

• Wenn ein Ring ist, heißt die Gruppe die Einheistgruppe von .

• Zum Beispiel ist , weil wenn invertierbar ist, dann muss und gelten.

  Bemerkung. Da , ist das Nullelement genau dann invertierbar, wenn , das heißt, wenn als Teilmenge von .

• In ist jedes von Null verschiedenes Element invertierbar, das heißt,
  Beweis. Ein Element ist der Gestalt mit und und genau dann, wenn . In diesem Fall, ist ein inverses Element für , wobei das Vorzeichen der rationale Zahl ist.

• Wir werden später weitere Beispiele sehen, insbesondere in Polynomringen.

Nullteilern

• Wir betrachten nur kommutativen Ringe mit Einselement.

• In einem beliebigen solchen Ring kann es sein, dass sogar und . Zum Beispiel, wenn , gilt , mit und Oder, in , gilt und .

• Wenn das passiert, sagt man, dass Nullteilern besitzt:

  Definition. Sei ein (kommutativer, unitärer) Ring. Ein Element wird Nullteiler gennant, wenn die folgende Bedingung gilt:

• Zum Beispiel, sei der Ring aller Funktionen von nach , wobei die Vereingung zweier disjunkter Intervalle von ist, und sei die Funktion, sodass , wenn und , wenn Dann gilt .

Kürzbare Elemente

• Eine mögliche Definition für ein Integritätsring ist ein Ring, der keinen nicht-trivialen Nullteiler besizt. Aber wir möchten etwas präziser sagen.

  Definition. Sei ein (kommutativer, unitärer) Ring. Ein Element heißt kürzbar, wenn die folgende Eigenschaft gilt:

• Zum Beispiel ist jedes invertierbares Element kürzbar: Wenn und , dann ist . Daraus folgt .

• Ein kürzbares Element ist kein Nullteiler: Wenn ein Nullteiler wäre, würde ein mit und existieren. Wenn auch kürzbar ist, würde aus der vorherigen Gleichheit folgern, dass ist. Dies widerspricht die Eigenschaft .

Übung 1

• Zeigen Sie, dass ein Element genau dann kürzbar ist, wenn die folgende Eigenschaft gilt:

• Zeigen Sie, dass genau dann kürzbar ist, wenn .

Entscheidbare Gleichheit

• Wir haben die Eigenschaft bereits bewiesen. Gilt auch

• Versuchen wir, einen Beweis zu schreiben. Nehmen wir an, dass kein Nullteiler ist und betrachten wir ein , sodass . Wenn , impliziert dies, dass ein Nullteiler ist, was der Annahme auf widerspricht. Wenn , haben wir bewiesen, dass kürzbar ist.
• Gibt es ein Problem mit diesem Beweis? Das hängt davon ab, wen man fragt!
• Für die Fallunterscheidung, haben wir die Disjunktion benutzt. Wenn man den Satz vom ausgeschlossenen Dritten annimmt, dann gilt das. Diese Eigenschaft kann aber auch einfach für bestimmten Ringe erfüllt sein, zum Beispiel .
• Wenn , sagt man, dass die Menge entscheidbare Gleichheit hat.

Übung 2

• Sei ein (kommutativer, unitärer) Ring.

• Zeigen Sie, dass die Gleichheit von genau dann entscheidbar ist, wenn die folgende Eigenschaft gilt:

  Bemerkung Die Gleichheit folgender Ringen ist entscheidbar: , . Die Gleichheit folgender Ringen ist nicht entscheidbar: , .

Zusammenfassung zu kürzbaren Elementen und Nullteilern

• Sei ein (kommutativer, unitärer) Ring und sei .
• Das kürzbar ist, bedeutet, dass .
• Das ein Nullteiler ist, bedeutet, dass .
• Das kein Nullteiler ist, bedeutet, dass . Dies impliziert, dass . Die umgekehrte Folgerung gilt im Allgemeinen nicht, aber gilt wenn endlich ist oder man den Satz vom ausgeschlossenen Dritten annimmt.
• Gilt die Eigenschaft kürzbar ist kein Nullteiler. Das heißt:

• Wenn die Gleichheit von entscheidbar ist, gilt die umgekehrte Folgerung:

Integritätsringe

• Nun können wir Integritätsringe definieren.

  Definition. Ein Integritätsring ist ein (kommutativer, unitärer) Ring , für den die von Null verschiedene Elemente sind genau die kürzbare Elemente:

• Wir werden sehen, dass Ringe wie zum Beispiel , und Integritätsringe sind.

• Insbesondere besitzt ein Integritätsringe kein nicht-triviales Nullteiler. Das heißt:

• In einem Integritätsring, gilt auch , weil, per Definition von , , und per Definition eines Integritätrings impliziert dies, dass ist.

Praktische Charakterisierung eines Integritätsrings

• Die vorherige Bemerkungen bestehen eine Charakterisierung von Integritätstingen.

  Satz. Sei ein (kommutativer, unitärer) Ring. Dann ist genau dann ein Integritätsring, wenn die folgende Eigenschaften gelten:

  1. .
  2. .

  Beweis. Wir haben die Implikation „“ bereits bewiesen. Für die umgekehrte Folgerung
  „“ müssen wir beweisen, dass die obige Bedingungen (i) und (ii) Folgendes implizieren:

  Ist aber „“ eine einfache Umschreibung von (ii). Sehen Sie es? Dann für „“ nehmen wir sodass . Wenn ist, dann gilt, für , , somit . Das heißt, , was der Annahme (i) widerspricht.

Übung 3

• Denken Sie daran, dass per Definition bedeutet, wobei eine Absudität ist. Insbesondere, wenn gilt, dann können wir ableiten. Und aus folgt alles (ex falso quod libet).
• In der Praxis, um eine Eigenschaft zu beweisen, reicht es für bestimmte zu beweisen. Das ist nicht das Gleiche wie zu beweisen. Im Allgemeinen impliziert dies nicht , es sei denn, es ist von anderer Stelle bekannt, dass entscheidbar ist (das heißt, das gilt).
• Um dies zu üben, beweisen Sie Folgendes: in einem beliebigen Ring gilt die Eigenschaft
  Hinweis. Erinnern wir uns zunächst daran, dass es zum Beweis eine Konjunktion genügt, die Aussagen und separat zu beweisen.

Eine Eigenschaft von Integritätsringen

• Das folgende Ergebnis ist in der Praxis sehr nützlich.

  Satz. Sei ein Integritätsring. Dann gilt:

• Wir haben schon bewiesen, dass in einem Integritätsring ist.

• Seien , mit und . Nehmen wir an, dass ist. Da ist und ein Integritätsring ist, muss gelten, was die Annahme widerpricht. Daher haben wir bewiesen, dass ist.

• Bemerkung. Wir haben gezeigt, dass die obige Bedingung eine notwendige Bedingung ist, um ein kommutativer unitärer ein Integritätsring zu zein. Am nächsten werden wir eine hinreichende Bedingung dafür geben.

Eine hinreichende Bedingung, um ein Integritätsring zu sein

Die folgende Eigenschaft impliziert, dass ein Integritätsring ist.

Satz. Sei ein (kommutativer, unitärer) Ring, sodass die folgende Eigenschaft gilt.

Dann ist ein Integritätsring.

Beweis. Wir haben schon bewiesen, dass in einem Integritätsring ist. Nach der praktischen Charakterisierung eines Integritätsring, die wir bereits bewiesen haben, verbleibt Folgendes zu beweisen:

Sein mit und . Aus der Annahme auf und die Bedingung folgt dann . Falls , dann, da auch gilt, erreichen wir einen Widerspruch. Falls , gilt .

Integrität in Ringen mit entscheidbarer Gleichheit

• Für Ringen mit entscheidbarer Gleichheit können wir die Eigenchaft, ein Integritätsring zu sein, wie folgt charakterisieren.

  Satz. Sei ein (kommutativer, unitärer) Ring mit entscheibarer Gleichheit. Dann sind die folgende Eigenschaften äquivalent:

  1. ist ein Integritätsring.

• Wir haben und ](#eine-hinreichende-bedingung-um-ein-integritätsring-zu-sein) bereits bewiesen. Dies setzt nicht voraus, dass die Gleichheit in entscheidbar ist. Es reicht dann zu beweisen, dass, wenn die Gleichheit in entscheidbar ist, die Eigenschaft gilt.

Integrität in Ringen mit entscheidbarer Gleichheit (Beweis)

• Um den Beweis des vorherigen Satz zu beenden, reicht es zu zeigen, dass

• Nehmen wir an, dass gilt. Seien dann . Wir möchten zeigen, dass

• Beachten Sie, dass die Kontraposition der obigen Implikation die folgende ist:

• Das heißt , was erfüllt ist.
• Wo habe ich Sie betrogen?

Bemerkungen zum vorherigen Beweis

• Es ist für beliebigen Aussagen und korrekt zu sagen, dass . Wenn und entscheibar sind, gilt die umgekehrte Folgerung (Übung).

• Es ist für beliebigen Aussagen und korrekt zu sagen, dass . Wenn und entscheibar sind, gilt die umgekehrte Folgerung (Übung).

• Wenn und entscheibar sind, dann ist auch entscheidbar:

  • Falls gilt, dann gilt auch .
  • Falls nicht gilt und gilt, dann gilt auch .
  • Falls nicht gilt und nicht gilt, dann gilt (Übung).

• Im vorheringen Beweis, alle Aussagen waren Gleichheiten in , somit per Annahme entscheidbar.

Beweise ohne so viel Logik

• Wenn das zu viel Logik ist, können wir auch direkte Beweisen schreiben. Zeigen wir zum Beispiel, dass, wenn die Gleichheit von entscheidbar ist, dann gilt im vorherigen Satz. Das heißt:

• Nach der praktischen Charakterisierung von Integritätsringen, die wir gegeben haben, reicht es zu beweisen, unter der obigen Annahme, dass

• Seien , mit und . Wir möchten zeigen, dass . Da erfüllt ist, können wir die folgende zwei Fälle betrachten:

  • Falls , dann gilt .
  • Falls , dann muss , was widerspricht.

Übung 4

• Zeigen Sie die Folgerung im vorherigen Satz. Das heißt, nehmen Sie an, dass die Gleichheit von entscheidbar ist, und zeigen Sie die Folgerung:
  Hinweis. Nehmen Sie an, dass , und benutzen Sie die Eigenschaft

• Um das Konzept von entscheibarer Aussagen weiter zu üben, zeigen Sie, dass, wenn eine entscheidbare Aussage ist, dann gilt .
  Hinweis. Per Definition, bedeutet die Bedingung, dass entscheidbar ist, dass gilt.

Integritätsbereichen

• Ein Integritätsbereich ist ein Integritätsring , der außerdem ein Bereich ist. Das heißt, ein Integritätsring , der kein nicht-triviales idempotentes Element besitzt.
• Zum Beispiel, ist ein Ring , für den die folgende Eigenschaft gilt, ein Integritätsbereich:
  Beweis. Wir wissen bereits, dass ein solcher Ring ein Integritätsring ist. Wir wollen nun zeigen, dass kein nicht-triviales idempotentes Element besitzt. Sei mit . Dann ist . Per Annahme auf impliziert dies, dass .
• Ein Bereich ist nicht unbedingt ein Integritätsbereich. Zum Beispiel ist der Bereich kein Integritätsring.
• Wenn die Gleichheit von entscheidbar ist, z. B. wenn man die ausgeschlossene Dritte annimmt, dann ist genau dann ein Integritätsbereich, wenn ein Integritätsring ist.

Mehr zu Polynomringen

• Sei ein Ring und sei der (kommutative, unitäre) Polynomring in der Unbestimmte mit Koeffizienten in .
• Per Definition wird ein Polynom in durch eine Folge von Elementen von bestimmt, bei denen fast alle (also alle bis auf endlich viele) Folgenglieder gleich sind. Das heißt:

• Auch per Definition ist das Polynom, dessen Koeffizienten alle null sind.
• Die Abildung ist ein Homomorphismus unitärer Ringe, die injektiv ist. Dieser kanonische Homomorphismus erlaubt es, den Ring mit einem (unitären) Unterring von identifizieren. Ein Polynom mit heißt konstantes Polynom.

Grad eines Polynoms

Definition. Sei und sei . Dann sagt man, dass:

1. ( Grad streng kleiner als hat), wenn .
2. ( Grad größer oder gleich zu hat), wenn .
3. ( Grad hat), wenn .

Das ist nicht genau das Gleiche, wie eine Funktion zu definieren. Was wäre ? Selbst wenn , wie berechnet man den Grad von für beliebige

Leitkoeffizient eines Polynoms

• Per Definition des Grads gelten die folgende Eigenschaften:

  1. .
  2. (und manchmal gilt die umgekherte Folgerung, zum Beispiel wenn endlich ist).
  3. konstant .

• Wenn , wird der Leitkoeffizient von genannt. Um den Grad zu charakterisieren (somit den Leitkoeffizienten zu bestimmen), können wir den folgenden Satz anwenden.

  Satz. Sei ein Polynom mit Koeffizienten in . Dann, für alles , ist .

Beweis für die Tatsache, dass der Leitkoeffizient nicht Null ist

• Sei in . Im vorherigen Satz, folgt der Beweis für „“ direkt aus der Definition der Bedingung . So auch der Beweis für . Es reicht daher zu beweisen, dass .

• Nehmen wir an, dass , für geeignete . Dann gilt . Insbesondere gibt es ein mit . Aber für natürliche Zahlen und gilt . Dann können wir mit einer Fallunterscheidung fortfahren:

  • Falls , dann ist .
  • Falls , benützen wir die Tatsache, die wir bereits bewiesen haben, dass , um den Widerspruch zu erreichen.

Polynome mit Koeffizienten in einem Ring mit enscheidbarer Gleichheit

• Wenn ein Ring ist, dann gilt, für alles in , dass

  Dies folgt aus der Definition eines Polynoms () und der Definition der Bedingung .

• Wenn die Gleichheit von entscheidbar ist, dann ist auch die Aussage , durch Induktion auf , entscheidbar. Dies zeigt, dass entweder oder gilt. Da ist insbesondere die Aussage entscheidbar. Wir haben bewiesen:

  Satz. Hat der Ring eine entscheidbare Gleichheit, dann ist auch die induzierte Gleichheit des Polynomsrings entscheidbar.

Grad eines Polynoms mit Koeffizienten in einem Ring mit enscheidbarer Gleichheit

• Wenn ein Ring mit entscheidbarer Gleichheit ist, dann gelten die folgende Eigenschaften:

  1. .

• Für alle , gilt die Folgerung (Übung). Daher können wir auch, wenn die Gleichheit von entscheidbar ist, den Grad eines Polynoms durch eine Gradfunktion einführen, die wie folgt definiert wird:

Integrität für Polynomringe

• Der wichtige Satz, den wir nun beweisen möchten, ist der folgende.

  Satz. Sei ein Integritätsring mit entscheidbarer Gleichheit. Dann ist der Polynomring ein Integritätsring mit entscheidbarer Gleichheit.

• Da wir schon wissen, dass in diesem Fall die Gleichheit von entscheidbar ist, reicht es zu beweisen, dass

• Die erste Eigenschaft, nämlich , folgt aus , die gilt, weil ein Integritätsring ist. Für die zweite Eigenschaft reicht es das folgende Lemma zu beweisen.

  Lemma. Sei ein Integritätsring. Dann gilt, für alle und alle , .