Gruppen und Gruppenhomomorphismen

.

Niels Henrik Abel (1802-1829) war ein norwegischer Mathematiker, der die Unlösbarkeit bewies, von Gleichungen fünften Grades durch Adjunktion von Wurzeln.

Beispiel und Motivation

• Sei die komplexe Zahl . Die Multiplikation mit bewirkt eine Rotation um dem Winkel in . Rotationen können zusammengesetzt und umgekehrt werden.
• Sei die Menge . Elemente von können multipliziert und invertiert werden: und .

Verknüpfung auf einer Menge

• Sei eine Menge und sei das kartesische Produkt von mit sich selbst. Unter einer Verknüpfung auf versteht man eine Abbildung

• Das heißt, wenn Elemente in sind, dann gibt es ein Element in .

Beispiele für Verknüpfungen

• Die Addition ist eine Verknüpfung auf . So ist die Multiplikation . Dies zeigt, dass eine Menge verschiedene Verknüpfungen ausführen kann.
• Sei eine Menge und sei die Menge, deren Elemente die Abbildungen sind. Dann definiert die Komposition solcher Abbildungen eine Verknüpfung auf :

• Auf der Menge alle Matrizen mit komplexen Koeffizienten ist die Ableitung eine Verknüpfung.

Infix-Notation

• Man benutzt fast immer eine Infix-Notation für . Das heißt, man schreibt als , oder einfach , und das Element als . Dieses Element wird als Produkt von und bezeichnet.
• Zum Beispiel schreibt man die Addition ganzer Zahlen, oder die Komposition von Abbildungen von nach , immer mit Infix-Notation.
• Die übliche Konvention für die Infix-Notation einer Verknüpfung ist, dass der Ausdruck , als verstanden werden sollte (ohne solche Konvention, müsste man immer Klammern verwenden).

Assoziativität

• Mit der Infix-Notation ist es oft einfacher, die Eigenschaften einer Verknüpfung zu schreiben, zum Beispiel die Folgende.
• Eine Verknüpfung auf einer Menge heißt assoziativ, falls die folgende Eigenschaft gilt:

• Äquivalent dazu haben wir: .
• Die Addition und die Komposition beide sind assoziativ (Übung).
• Auf der Menge alle Matrizen mit komplexen Koeffizienten ist die Ableitung nicht assoziativ.

Kommutativität

• Eine Verknüpfung auf einer Menge heißt kommutativ, falls die folgende Eigenschaft gilt:

• Beispiele und Gegenbeispiele:
  • Die Addition ist kommutativ.
  • Die Komposition ist im Allgemeinen nicht kommutativ (siehe unten, oder betrachten Sie die Multiplikation von Matrizen).
  • Auf der Menge der geraden Zahlen, ist die Multiplikation eine kommutative Verknüpfung.

Eine nichtkommutative Verknüpfung

• Im Dreieck , die Permutationen und bestätigen , denn , aber .
• Da , ist die Verknüpfung auf nicht kommutativ.

Grundlegende algebraische Strukturen

• Eine Verknüpfung auf einer Menge ist ein Beispiel für eine (algebraische) Struktur auf .
• Ein Paar , bestehend aus einer Menge und einer Verknüpfunng heißt ein Magma.
• Falls die Verknüpfung eines Magmas kommutativ ist, sagt man, dass dieses Magma kommutativ ist.
• Ein Dreifach , bestehend aus einer Menge , einer Verknüpfung , und einem Beweis , dass die Verknüpfung kommutativ ist, wird kommutatives Magma genannt.

Halbgruppen

• Falls die Verknüpfung eines Magmas assoziativ ist, sagt man, dass das Magma assoziativ ist.
• Ein Dreifach , bestehend aus einer Menge , einer Verknüpfunng , und einem Beweis , dass die Verknüpfung assoziativ ist, wird Halbgruppe genannt.
• Falls die Verknüpfung einer Halbgruppe kommutativ ist, sagt man, dass diese Halbgruppe kommutativ ist. Aus dieser Sicht ist eine kommutative Halbgruppe ein Vierfach .
• Beispiele und Gegenbeispiele:
  • Die Magmas und sind assoziativ und kommutativ.
  • Das Magma ist assoziativ aber im allgemeinen nicht kommutativ.

Neutrales Element

• Sei ein Magma und sei ein Element in . Man nennt das Element ein neutrales Element (oder Einselement) bezüglich der Verknüpfung , falls die folgende Eigenschaft gilt:

• Falls und beide neutrale Elemente für die Verknüpfung sind, dann gilt . Der Beweis ergibt sich aus folgender Berechnung:

Beispiele für neutrale Elemente

• ist ein neutrales Element für .
• ist ein neutrales Element für .
• ist ein neutrales Element für .
• Die Matrix ist ein neutrales Element für Matrix-multiplikation in .
• Da nicht gerade ist, hat das Magma kein neutrales Element.

Monoide

• Ein Monoid ist ein Tupel , bestehend aus:
  • einer Menge .
  • einer Verknüpfung auf .
  • einem Element in .
  • einem Beweis , dass die Verknüpfung assoziativ ist:
  • einem Beweis , dass ein neutrales Element bezüglich ist:

• Wir nennen die zugrunde liegende Menge des Monoids . Elemente von werden auch Elemente von genannt. In moderner Notation schreibt man auch für diese Menge.

Kommutative Monoide

• Sei ein Monoid. Das Tupel wird eine Monoidstruktur auf der Menge genannt.
• Falls die Verknüpfung kommutativ ist, sagt man, dass das Monoid kommutativ ist. Ein kommutatives Monoid ist deshalb ein Paar , bestehend aus:
  • einem Monoid .
  • einem Beweis , dass die Verknüpfung kommutativ ist.
• Äquivalent dazu ist ein kommutatives Monoid ein Tupel

Daten und Eigenschaften

• Um die Notation zu vereinfachen, ist es hilfreich zu lernen, welche Daten tatsächlich Eigenschaften sind.
• Zum Beispiel, in der Definition eines Monoides:
  • , und sind Daten.
  • und sind Eigenschaften (weil sie durch Gleichheiten in der Menge definiert werden).
• Üblicherweise schreibt man die Eigenschaften nicht. Das heißt, ein Monoid wird einfach als geschrieben.
• Zum Beispiel, können wir an die Tupeln und als Monoide denken. Auch an das Tupel .

Existenz eines neutralen Elements

• Es stellt sich heraus, dass wir sogar das Element aus den Daten löschen können, die ein Monoid definieren. Wir müssen nur annehmen, dass es ein neutrales Element gibt, das heißt, dass die folgende Eigenschaft gilt:

  Beweis: Per Annahme ist die Menge nicht leer. Da solches Element , falls es existiert, eindeutig ist, es handelt sich sogar um ein Singleton. Wir können also ein Element aus dieser Menge auswählen, und es nennen.

• Deswegen können wir auch ein Monoid als Tupel darstellen, in dem ein Beweis ist, dass es ein Element existiert, so dass gilt .

Inverse Elemente

• Seien ein Monoid und ein Element in . Ein Element in heißt invers zu (bezüglich ), falls die folgende Eigenchaft gilt:

• Das Element heißt invertierbar, falls die folgende Eigenschaft gilt:

• Wenn sagt man auch, dass ein linksinverses Element zu ist. Gleichfalls, wenn sagt man auch, dass ein rechtsinverses Element zu ist.

Eindeutigkeit des inversen Elements

• Nehmen wir an, dass invertierbar ist. Wenn und beide invers zu sind, gilt . Der Beweis ergibt sich aus folgender Berechnung:

• Die Menge ist daher ein Singleton.

• Deshalb können wir dieses Element auswählen und es nennen:

Beispiele für invertierbare Elemente

• In einem Monoid ist das neutrale Element invertierbar, mit .
• Wenn invertierbar ist, dann ist auch invertierbar, mit .
• Wenn und invertierbar sind, dann ist das Element auch invertierbar, da das Element ein inverse Element dazu ist. Der Beweis ergibt sich aus folgender Berechnung:

• Wir haben die „Regel von Hemd und Jacke“ bewiesen: .

Konkrete Beispiele für invertierbare Elemente

• Im kommutativen Monoid , ist jedes Element invertierbar, da gilt (das inverse Element von ist ).

• Im kommutativen Monoid , ist hingegen das neutrale Element das einzige invertierbare Element.

• Im Monoid sind die invertierbaren Elemente die Bijektionen , das heißt, die Abbildungen , für die eine Umkehrfunktion existiert (eine Abbildung , so dass ).

  Anmerkung. Wenn es kein neutrales Element gibt, zum Beispiel im Magma , ist das Konzept „invertierbares Element“ sinnlos.

Die Menge invertierbaren Elemente eines Monoids

• Gegeben ein Monoid , können wir eine Menge definieren. Auf dieser Menge können wir dann eine Abbildung definieren. Wir haben bereits bewiesen, dass , und dass die Verknüpfung von eine Verknüpfung auf induziert:

• Deswegen haben wir ein Monoid gebaut, in dem jedes Element invertierbar ist. Dieses Monoid wird die Einheitgruppe von genannt. Es ist tatsächlich eine Gruppe (siehe unten).

Monoide, in denen alle Elemente invertierbar sind

• Betrachten wir ein Monoid , mit der Eigenschaft, dass jedes Element invertierbar ist.
• Aus formarler Sicht haben wir ein Paar , in dem ein Monoid ist, und ein Beweis für die folgende Eigenschaft ist:

• Wenn diese Eigenschaft gilt, impliziert die Eindeutigkeit eines inversen Elements, dass wir eine Abbildung definieren können, die ein Element nach seinem inversen Element abbildet: .
• Diese Abbildung überprüft die folgende Eigenschaft, dass für alles , das Element ein inverse Element zu ist: .

Gruppen

• Die Idee ist, dass eine Gruppe, ein Monoid ist, in dem jedes Element invertierbar ist.
• Formal ist eine Gruppe ein Tupel bestehend aus:
  • einer Menge .
  • einer Verknüpfung auf .
  • einem Element in .
  • einer Abbildung .
  • einem Beweis , dass gilt.
  • einem Beweis , dass gilt.
  • einem Beweis , dass gilt.

Eigenschaften und Notation

• Wie wir gesehen haben, können wir ein neutrales Element und eine Abbildung konstruieren, wenn die folgende Eigenschaften gelten,:
  • Existenz von einem neutralen Element:
  • Existenz von inversen Elementen:

• Deshalb können wir eine Gruppe auch als Tupel definieren.
• Wenn wir die Eigenschaften entfernen und nur die Daten behalten, können wir sogar eine Gruppe mit , oder einfach , bezeichnen.

Kommutative Gruppen

• Sei eine Grupppe.
• Falls die Verknüpfung kommutativ ist, heißt die Gruppe kommutativ (oder abelsch).
• Eine kommutative Gruppe ist deshalb ein Paar , bestehend aus:
  • einer Gruppe .
  • einem Beweis , dass die Verknüpfung dieser Gruppe kommutativ ist.
• In der Praxis sagen wir jedoch einfach „Sei eine kommutative Gruppe“ (die Eigenschaften entfernen und nur die Daten behalten).

Beispiele für Gruppen

• Sei die Abbildung, die durch definiert wird. Das Tupel ist eine abelsche Gruppe.
• Wenn ein Monoid ist, gibt es auf der Menge die Abbildung . Dann ist das Tupel eine Gruppe (die Einhgeitgruppe von ).
• Ein Monoid ist genau dann eine Gruppe, wenn . Damit können wir beweisen, dass bestimmte Monoide keine Gruppenstruktur unterstützen.
• Zum Beispiel, das Monoid ist keine Gruppe (da ).
• Beachten Sie, dass die Notation mehrdeutig ist (da invertierbar nur Sinn macht, wenn eine Verknüpfung angegeben wurde). Zum Beispiel, und . Hingegen ist die Notation voll korrekt.

Hierarchie gruppenähnlicher Strukturen

• Wir haben eine grundlegende „Hierarchie“ algebraischer Strukturen erstellt.
• Wir begannen mit einer Menge und fügten dann eine Operation und einige Eigenschaften hinzu.

Pause

• Machen wir eine kurze Pause. Bisher war alles sehr abstrakt.
• Wir benötigen weitere Beispiele.
• Wenn Sie Fragen haben, können Sie diese jetzt oder später auf Zulip stellen.

Symmetriegruppe eines Rechtecks

• Ein Rechteck hat zwei Reflexionachsen. Es besitzt außerdem eine Rotationssymmetrie (um den Winkel ).
• Nennen wir A, B, C, D die Eckpunkte eines Rechtecks.
• Wir können die Wirkung der Reflexionen und an diesen Eckpunkte betrachten.
• Wenn wir dann anwenden, ist die Wirkung dieselbe wie bei der Rotation .

Verknüpfungstafel der Symmetriegruppe eines Rechtecks

• Mit den Transformationen , , und , können wir eine Gruppe bauen.

• Eine Verknüpfungstafel für diese Gruppe sieht wie folgt aus. Die Existenz inverser Elemente, so wie die Kommutativität dieser Verknüpfung, sind auf dieser Tafel sichtbar.

• Assoziativität ist nicht offensichtlich.

  Die Verknüpfungstafel hängt davon ab, wie die Gruppenelemente aufgelistet werden.

Symmetriegruppe eines Quadrats

• Ein Quadrat hat vier Reflexionachsen und eine Rotationssymmetrie (um den Winkel ).
• Wir können s und r verwenden, um jede andere dieser Symmetrien zu erhalten. Zum Beispiel, ist die Reflexion an der vertikalen Achse ().
• Wir schreiben statt , und so weiter.

Eine Verknüpfungstafel für die Symmetriegruppe eines Quadrats

Die Verknüpfungstafel hängt davon ab, wie die Gruppenelemente aufgelistet werden.

Die in einer Symmetriegruppe enthaltene Information

• Die Intuition ist: Je mehr Symmetrien die Figur aufweist, desto komplizierter ist ihre Symmetriegruppe.
• Beispielsweise ist ein Quadrat symmetrischer als ein Rechteck, und dies kann man in der Verknüpfungstafel sehen, die für das Quadrat komplizierter ist.
• In der Galois-Theorie ist die „Figur“ eine Polynomgleichung. Ihre „Symmetriegruppe“ wird als Galois-Gruppe bezeichnet.
• Die Eigenschaften der Galois-Gruppe spiegeln die Eigenschaften der Gleichung wider und liefern Informationen darüber. Dies zu verstehen, ist das Ziel dieses Kurses.
• Natürlich gibt es viel bessere Möglichkeiten, die interne Struktur einer Gruppe zu studieren, als einfach eine Verknüpfungstafel zu schreiben! Wir werden das hier lernen.

Übung 1

1. Bestimmen Sie eine Verknüpfungstafel für die Symmetriegruppe eines gleichschenkligen Dreiecks.
2. Machen Sie dann dasselbe für ein gleichseitiges Dreieck.
3. Welche Tafel ist komplizierter?

Übung 2

• Seien und Gruppen.
• Auf der Produktmenge können wir die folgende Verknüpfung definieren.

• Zeigen Sie, dass das Magma mit einer Gruppenstruktur ausgestattet werden kann.

Monoidhomomorphismus

• Seien und Monoiden.

• Man sagt, dass eine Abbildung ein Monoidhomomorphismus ist, falls die folgenden Eigenschaften gelten:

  • .

• Die Idee ist, dass die Abbildung mit der Verknüpfung, und mit dem neutralen Element, kompatibel sein sollte.

  In der Praxis schreibt man oft und oder sogar .

Formale Definition

• Aus formaler Sicht ist ein Monoidhomomorphismus zwischen den Monoiden und ein Tupel
  wobei:
  • eine Abbildung ist (oft die zugrunde liegende Abbildung des Homomorphismus genannt).
  • ein Beweis für die folgende Eigenschaft ist:

  • ein Beweis für die folgende Eigenschaft ist:

Menge von Homomorphismen

• Seien und Monoide. Dann können wir die Menge aller Homomorphismen zwischen den Monoiden und betrachten.
• Die Elemente dieser Menge sind die zuvor definierten Tupel

• Oft wird einfach als bezeichnet. Dies ist Notation für die Abbildung (und, wie üblich, bleiben die Eigenschaften implizit).
• Zum Beispiel, falls , ist der durch die Identitätsfunktion induziert Monoidhomomorphismus. Das heißt, .

Komposition von Homomorphismen

• Wenn , und Monoide sind, können wir eine Verknüpfung definieren, das heißt, eine Abbildung

• Die Definition ergibt sich aus der folgenden Beobachtung: gegeben Abbildungen und , die Monoidehomomorphismen sind, ist die Abbildung auch ein Monoidhomomorphismus.

• Um sicherzustellen, dass dies korrekt ist, müssen wir die folgenden Eigenschaften überprüfen, die von der Definition folgen:

• Aus formaler Sicht, falls und , haben wir .