Gruppenoperationen und Anwendungen

Die Gruppe der Symmetrieabbildungen des Würfels (genannt die „Würfelgruppe“) operiert auf der Menge der Ecken, auf der Menge der Kanten, auf der Menge der Raumdiagonalen usw.

Gruppenoperationen

• Wir haben bereits verschiedene Beispiele für Gruppe gesehen, die Symmetriegruppen geometrischen Figuren waren. Zum Beispiel, die Symmetriegruppe eines Rechtecks oder eines Quadrats.

• Diese Symmetriegruppen sind auch Beispiele für Gruppen, die auf einer Menge wirken.

  Definition. Sei eine Gruppe und eine Menge. Eine Aktion (oder Operation, oder Wirkung) von auf ist eine Abbildung , die die folgende Eigenschaften erfüllt:

  1. Für alles , , wobei das neutrale Element von ist.
  2. Für alle und alles , .

• Die übliche Notation ist (auf Wikipedia sehen Sie auch ).

Die Symmetrische Gruppe einer Menge

• Die Bedeutung der zweiten Bedingung

  ist wie folgt: Die Wirkung von über , gefolgt von der Wirkung von über , ist die gleiche wie die Wirkung von ( das Produkt von und in der Gruppe ).

• Sei eine Menge. Die Gruppe , bestehend aus Bijektionen wirkt auf durch :

  1. .
  2. .

• Die Gruppe wird auch als oder bezeichnet, und die symmetrische Gruppe von genannt. Jede Untergruppe wirkt auf .

Aktionen als Gruppenhomomorphismen

• Sei eine Gruppenaktion von auf . Dann ist, für jedes , die partielle Abbildung , die durch definiert wird, eine Bijektion von nach , mit inversen Bijektion :

  • .
  • .

• Allgemeiner gesagt gilt :

• Das heißt, das Datum einer Aktion von auf ist äquivalent zum Datum eines Gruppenhomomorphismus : gegeben einen solchen , ist die Abbildung eine Aktion von auf (Übung).

Currying

• Die Korrespondenz zwischen Aktionen von auf und Gruppenmorphismen von nach wird in Wirklichkeit durch eine allgemeinere Korrespondenz induziert, die als Currying bekannt ist.

• Per Definition gilt (die partielle Abbildung . Hier, ist Notation für die Menge , bestehend aus Abbildungen von nach sich selbst.

• Die Abbildung ist die Curried-Version von (die eine Funktion mit zwei Variablen ist()). Das heißt, ist eine Abbildung, die eine Abbildung zurückgibt. Das Konzept des Currying ist in der funktionalen Programmierung wichtig.

Rechtsaktionen

• Was wir definiert haben heißt tatsächlich eine Linksaktion:

• Es gibt auch Rechtsaktionen, das heißt Abbildungen , sodass

• Der Unterschied liegt darin, dass die Wirkung von über jetzt die gleiche ist, wie die Wirkung von zuerst, gefolgt von der von .

• Zum Beispiel wirkt die Gruppe rechts auf der Menge durch (Übung). Beachten Sie auch, dass die Gruppe wirkt links auf der selben Menge, durch . Der erste Teil der Übung besteht darin, den Typ von , und in den vorherigen Ausdrücken zu bestimmen.

Übung 1

• Sei eine Gruppe. Sei die Verknüpfung, die für alle durch definiter wird. Zeigen Sie, dass der Tupel eine Gruppe ist. Diese Gruppe heißt die Gegengruppe von . Zeigen Sie, dass .
• Zeigen Sie, dass das Datum einer Rechtsaktion von auf einer Menge das Gleiche ist, wie das Datum einer Linksaktion von auf .
• In ähnlicher Weise, kann man einen Gruppenantihomomorphismus als eine Abbildung mit definieren. Dann ist eine Rechtsaktion von auf das Gleiche, wie ein Gruppenantihomomorphismus von nach .
• Außerdem ist eine Gruppenantihomomorphismus das Selbe wie ein Gruppenhomomorphismus von nach , oder von nach .

G-Menge

• Sei eine Gruppe. Eine -Menge ist ein Paar , wobei

  • eine Menge ist.
  • eine Wirkung von auf ist.

  Oft sagt man einfach „Sei eine -Menge“, mit implizit.

• Ein Homomorphismus von -Mengen zwischen -Mengen und ist eine Abbildung , sodass . Oft schreibt man einfach

  und sagt man, dass die Abbildung eine -äquivariant Abbildung ist.

• Wir werden später auf Beispiele stoßen.

Treue Aktionen

• Seien eine Gruppe und eine -Menge. In äquivalenter Weise, kann man das Paar betrachten, wobei ein Gruppenhomomorphismus ist. Nämlich, der Gruppenhomomorphismus .

• Wenn injektiv ist, sagt man, dass die Aktion treu ist. In äquivalenter Weise, ist die Aktion genau dann treu, wenn das eindeutige Element , das wie wirkt, ist das neutrale Element .

• Oft sagt man auch, dass ein injektiver Gruppenhomomorphismus eine treue Darstellung von ist.

Übung 2

• Sei eine Gruppe und sei eine -Menge.

• Zeigen Sie, dass genau dann treu ist, wenn die folgende Bedingung erfüllt wird:

• Das heißt, eine Aktion genau dann treu ist, wenn beliebige Elemente , die auf die gleiche Weise auf der Menge wirken, gleich sind.

Der Satz von Cayley

• Der Satz von Cayley besagt, dass jede Gruppe auf einiger Menge treu wirkt. Das heißt, abstrakte Gruppen kann als Symmetriegruppen betrachten werden.

  Satz von Cayley. Sei eine Gruppe und sei die Aktion, von auf sich selbst durch Linkstranslationen:

  Dann ist diese Aktion treu. Das heißt, wir haben einen injektiven Gruppenhomomorphismus .

  Beweis. Sei und nehmen wir an, dass . Mit , gilt .

• Wenn endlich ist, mit , dann ist isomorph zu die symmmetrische Gruppe (Übung). Dann besagt der Satz von Cayley, dass jede Gruppe mit Ordnung , als Untergruppe von betrachten werden kann. Bemerkung: (Fakultät ).

Bahnen

• Sei eine Gruppe und sei eine -Menge.

• Für alles heißt die Teilmenge

  die Bahn (oder der Orbit) von unter . Die Notation ist auch üblich.

• In äquivalenter Weise ist das Bild der Abbildung , die durch definiert wird.

• Eine Teilmenge wird als -Orbit bezeichnet, wenn es ein Element gibt, mit .

Beispiele für Bahnen

In diese Bilder werden einigen Bahnen von Wirkungen der Gruppe auf der Menge dargestellt. Die erste Wirkung ist . Die zweite ist .

Bahnen als Äquivalenzklassen

• Sei die Relation „in der selben Bahn liegen“. Das heißt, genau dann wenn . Dann ist eine Äquivalenzrelation (Übung). Die Äquivalenzklassen dieser Relation sind genau die Bahnen der Aktion.

• Zum Beispiel, wann sind und sind genau dann in der gleichen Bahn für die vorherigen Aktion von auf , wenn es ein gibt, sodass und . Es gibt dann vier Möglichkeiten:

  • und . Dann ist und , somit . Daher ist, für jedes , die Teilmenge eine Bahn dieser Aktion.
  • und . Dann ist und . Daher ist eine Bahn.
  • und . Dann ist und . Daher ist eine Bahn.
  • und . Dann ist und . Daher ist eine Bahn.

Weitere Beispiele: Nebenklassen als Bahnen

• Sei eine Untergruppe. Die Bahnen der Wirkung von auf durch Linkstranslation sind genau die Rechtsnebenklassen von in .
• Für die Linksnebenklassen muss man die Wirkung durch Rechstranslation, die eine Rechtsaktion ist.
• In diesem Beispiel wissen wir, wie eine Menge den Links oder Rechtsnebenklassen zu bauen. Die Konstruktion funktioniert für eine beliebige Äquivalenzrelation. Gegeben eine Äquivalenzrelation, können wir die Menge der Äquivalenzklassen betrachten.

Orbiträume

• Sei eine Gruppe und sei eine Menge, mit einer Linksaktion . Dann wird die Menge der Bahnen dieser Aktion als bezeichnet, und einen Orbitraum genannt.

• Zum Beispiel, wenn eine Untergruppe von ist, ist die Menge der Rechtsnebenklassen von in der Orbitraum .

• Für eine Rechtsaktion , schreibt man für den Orbitraum.

• Zum Beispiel ist die Menge der Linknebenklassen ein Orbitraum.

  Bemerkung. Viele Leute, mich eingeschlossen, schreibt oft für den Orbitraum einer Linksaktion...

Isotropiegruppen

• Sei eine -Menge, für eine Gruppe . Für alles ist die Teilmenge

  eine Untergruppe von , die als Isotropiegruppe (oder Stabilisator) von bezeichnet wird. Die Notation ist auch üblich.
  Beweis. Da , gilt . Wenn , dann gilt . Das heißt, . Schließlich, wenn , gilt , und daher

  Das heißt, .

• In äquivalenter Weise ist die Faser über der Abbildung , die durch definiert wird.

Bahnensatz

• Sei eine -Menge, für eine Gruppe .

  Bahnensatz. Sei eine Bahn der Wirkung von auf .

  1. Für alles , ist .
  2. Für alles induziert die Abbildung eine Bijektion

  3. Wenn endlich ist, ist inbesondere die Bahn auch endlich und sie hat die gleiche Mächtigkeit als die Menge von Linknebenklasse von . Das heißt, die Kardinalität einer Bahn ist gleich dem Index der Isotropiegruppe eines beliebigen Punkts dieser Bahn:

Beweis des Bahnensatzes

• Sei . Dann gilt genau dann , wenn . Das heißt, wenn , oder in äquivalenter Weise .
• Per Definition einer Bahn ist die durch Abbildung surjektiv. Dann haben zwei Elemente genau das selbe Bild durch dieser Abbildung, wenn . Das heißt, wenn , oder in äquivalenter Weise . Dies bedeutet genau, dass die induzierte Abbildung, die durch definiert wird, injektiv ist.
• Die dritte Eigenschaft folgt dann aus den ersten zwei und der Definition des Index.

Übung 3

Seien eine Gruppe und eine Untergruppe.

• Zeigen Sie, dass wirkt aud der Menge durch die Aktion .
• Zeigen Sie, dass diese Aktion eine eindeutige Orbit hat.

Bahnengleichung

• Sei eine -Menge, für eine bestimmte Gruppe .

• Wir nehmen an, dass endlich ist. Seien die Orbiten der Aktion von auf .

  Satz. Sei ein beliebiges Vertretersystem von der Orbiten . Das heißt, für alles , . Dann gilt die folgende Gleichung für die Kardinalität von :

  Beweis. Da die Orbiten einer Aktion die Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation sind, gilt . Daher gilt . Aber nach dem Bahnensatz gilt, für alles , .

Fixpunktgleichung

• Sei eine -Menge und sei . Wenn , heißt einen Fixpunkt der Aktion (die Bedingung bedeutet genau, dass ). Die Menge aller Fixpunkte wird als bezeichnet.

• Zum Beispiel ist ein Fixpunkt der oben definierte Aktion . Per Definition ist die Bahn eines Fixpunkts ein Singleton.

• Wenn eine endliche -Menge ist, können wir die Bahngleichung wie folgt umschreiben.

  Satz. Sei ein Vertretersystem von der Orbiten der -Aktion, die mehr als ein Element haben. Dann gilt die folgende Gleichung für die Kardinalität von :

Klassengleichung

• Die Fixpunktgleichung ist insbesondere nützlich, wenn man sie für die Aktion durch Konjugation schreibt. Das heißt, die Aktion von auf sich selbst, die durch definiert wird. Die Bahnen dieser Aktion werden Konjugationklassen genannt.

• Diese Aktion besitzt besondere Eigenschaften:

  • Für jedes , ist die Abbildung ein Gruppenautomorphismus.
  • Als Konsequenz der vorheringen Bemerkung, ist die Fixpunktmenge der Konjugation-Aktion eine Untergruppe von , die das Zentrum von heißt:

  Satz. Sei eine endliche Gruppe. Dann gilt , wobei die Konjugationklassen in sind, die mehr als ein Element haben.

Übung 4

• Sei eine Gruppe und sei

  das Zentrum von .

• Zeigen Sie, dass:

  • eine normale Untergruppe von ist.
  • eine abelsche Gruppe ist.
  • ist genau dann abelsch, wenn ist.

Zentrum einer p-Gruppe

• Denken Sie daran, dass, für eine Primzahl , eine -Gruppe, eine nicht-triviale Gruppe ist, in der die Ordnung jedes Element eine Potenz von ist. Wenn endlich ist, ist das äquivalent zur Tatsache, dass die Ordnung von eine Potenz von ist.

• Eine -Gruppe ist nicht unbedingt abelsch. Aber das Zentrum einer -Gruppe ist nicht trivial:

  Satz. Sei das Zentrum einer -Gruppe . Dann ist ein Teiler von .

  Beweis. Nach der Klassengleichung und dem Bahnensatz, gilt , wobei die Isotropiegruppe von bezüglich Konjugtion ist. Nach dem Satz von Lagrange ist , für ein bestimmtes , mit . Da ein Teiler von und von jedem ist, muss auch ein Teiler von sein.

Gruppen mit Ordnung das Quadrat einer Primzahl

• Der vorherige Satz hat Konsequenzen für die Struktur von -Gruppen.

• Zum Beispiel, eine Gruppe mit Ordnung oder muss abelsch sein.

  Satz. Sei eine Gruppe mit Ordnung . Dann ist abelsch.

  Beweis. Da eine -Gruppe ist, ist ein Teiler von . Insbesondere ist . Nehmen wir an, dass ein mit existiert. Da die Isotropiegruppe bezüglich Konjugation eine Untergruppe von ist, die und enthält, muss ein Teiler von und sein. Das heißt, , somit . Aber dies bedeutet, dass , was unserer Annahme widerspricht. Dann muss gelten. Das heißt, die Gruppe ist abelsch.

• Die Untergruppe ist auch als Zentralisator von bekannt.

Übung 5

• Sei eine Gruppe mit Ordung .
• Zeigen Sie, dass isomorph zu oder zu ist, je nachdem, ob ein Element mit Ordnung besitzt oder nicht.
• Können Sie dieses Ergebnis erhalten, ohne Anwendung des Struktursatzes für abelsche endliche -Gruppen?
  Hinweis. Falls kein Element mit Ordnung hat, dann muss ein Element mit Ordnung haben. Betrachten Sie, in diesem Fall, die Untergruppen und , mit sodass , und zeigen Sie dass auch Ordnung hat, und dass .

Aktionen von p-Gruppen

Satz. Sei eine -Gruppe und sei eine endliche -Menge. Dann gilt

Beweis. Das ist eine direkte Anwending der Fixpunktgleichung.

wobei ein Vertretersystem von der Orbiten der -Aktion ist, die mehr als ein Element haben. Das heißt, für jedes , gilt . Dann muss

mit . Insbesondere ist ein Teiler von . Daher und .