Nebenklassen und der Satz von Lagrange

Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) war ein französischer Mathematiker und Astronom italienischer Herkunft. Er begründete die analytische Mechanik in Physik und leistete auch Beiträge zur Gruppentheorie und zur Theorie der quadratischen Formen in der Zahlentheorie.

Links und Rechtsnebenklassen

• Seien eine Gruppe und (das heißt, eine Untergruppe von ).

• Für alles Element (das heißt, ein Element in der zugrundeliegende Menge von ), wird die Teilmenge (die auch durch bezeichnet werden kann)

  die Linksnebenklasse von nach genannt ( ist die übliche Abkürzung für ).

• In analoger Weise, ist die Rechtsnebenklasse von nach die Teilmenge

• Die Linkstranslation , die ein Element nach das Element abbildet, eine Bijektion von nach induziert. Insbesondere sind und gleichmächtig. In analoger Weise induziert die Rechtstranslation eine Bijektion von nach .

Beispiele für Nebenklassen

Sei die Symmetriegruppe eines Quadrats. Sei die (oben in blau dargestellt) Untergruppe von , die aus direkten solchen Symmetrien besteht. Die Linksnebenklasse ist in Pink dargestellt. In Grün ist die Rechtsnebenklasse .

Repräsentanten einer Linksnebenklasse

• Seien eine Gruppe und eine Unterguppe von . Eine Teilmenge wird eine Linksnebenklasse von genannt, falls es ein Element gibt, sodass .

• Solches Element wird als Repräsentant der Nebenklasse bezeichnet. Gibt es weitere Repräsentaten? Falls ja, wie können wir diese charakterisieren?

  Satz. Sei . Dann sind äquivalent:

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .

• Da ist (denn mit ), sind Linksnebenklassen nicht leer.

Gleichheit zwischen Linksnebenklassen

Beweisen wir i ii iii iv i.

• „ i ii “ : Nehmen wir an, dass . Dann . Da ist, folgt ii.
• „ ii iii “ : Durch Annahme erhalten wir und , so dass . Da eine Untergruppe ist, gilt mit . Das heißt, .
• „ iii iv “ : Wenn , gibt es , sodass . Somit .
• „ iv i “ : Da ist, gibt es , sodass (nämlich, ). Zeigen wir dann, das und .
  • Falls mit gilt, dann gilt mit . Somit .
  • Gleichfalls, falls mit gilt, dann gilt mit . Somit .

Übung 1 - Unterscheidung zwischen Linksnebenklassen

• Da und Teilmengen von sind, ist äquivalent zu .

• Per Definition, ist äquivalent zu . Die Relation bedeutet:

• Geben Sie für jede der folgenden Implikationen einen direkten Beweis:

  1. . Das heißt, wenn nicht leer ist, gibt es .
  2. . Das heißt, wenn und unterschiedliche Teimengen von sind, dann ist das Durchschnitt die leere Teilmenge von .

• Beachten Sie, dass die Implikation bereits bewiesen wurde.

Übung 2

• Nehmen Sie die drei vorherigen Folien an und formulieren Sie analogen Sätze für Rechtsnebenklassen. Beweisen Sie danach diese Sätze.

• Sei eine Untergruppe von und die Relation, die durch die Bedingung definiert wird. Zeigen Sie Folgende:

  1. Die Relation ist eine Äquivalenzrelation auf (das heißt, auf der zugrundeliegende Menge von ).
  2. Die Äquivalenzklassen der Relation sind die Linksnebenklassen von .
  3. Für Rechtsnebenklassen kann man in analoger Weise die Relation betrachten.

Links ≠ Rechts

• Es ist im Allgemeinen . Zum Beispiel, in der Symmetriegruppe eines gleichseitigen Dreiecks, betrachten wir die Untergruppe und die Permutation . Dann ist die Linksnebenklasse unterschiedlich von der Rechtsnebenklasse .
• Sichtbarer Grund dafür ist die Nichtkommutativität der Umgebungsgruppe ().

Nebenklassen in kommutativen Gruppen

• Falls eine kommutative Gruppe ist, dann für jede Untergruppe und jedes Element , gilt .

• Dies ergibt sich direkt aus der Definition von Links und Rechtsnebenklassen: Wenn , gilt auch .

  Anmerkung. Manchmal ist es hilfreich, informelle Berechnungen wie folgt durchzuführen:

Mengen Links und Rechstnebenklassen

• Wir werden eine Menge konstruieren, deren Elemente die Linksnebenklassen von sind. In änhlicher Weise, werden wir auch eine Menge konstruieren, deren Elemente die Rechtsnebenklassen von sind.

• Der Kernpunkt der Konstruktion ist das Prädikat , das eine Teilmenge genau dann nach abbildet, wenn eine Linksnebenklasse von ist (das heißt, wenn es ein Element gibt, sodass ist).

• Dann wird die Menge von Linksnebenklassen von so konstruiert:

  In dieser Schreibung, ist die Kardinalität von einfach (da eine Menge mit einem einzigen Element ist, nämlich das Element ).

Beispiel für eine Menge Linksnebenklassen

In der Symmetriegruppe eines Quadrats, hat die Untergruppe direkten Symmetrien zwei Linksnebenklassen: und . Beachten Sie, dass gilt (da ist), und dass auch gilt.

Die induzierte Partition

• Die Menge von Linksnebenklassen von in ist mit einer Abbildung nach ausgestattet:

• In dieser Situation ist die disjunkte Vereinigung der Linksnebenklassen von .

• Dies bedeutet:

  1. . Explizit existiert es eine Teilmenge von , die eine Linknebenklasse von ist, sodass (noch expliziter nehmen wir an).
  2. . Explizit ist , wie aus dem Satz über Repräsentanten einer Linksnebenklasse folgt.

Eine Bemerkung zur Definition eine Linksnebenklasse

• Wir können das vorheriges Beispiel benötigen, um etwas über den formalen Standpunkt zu erklären. Zunächst möchte ich aber sagen, dass der Ausdruck eine Notation ist, für was Sie als (die Potenzmenge von ) oder kennen.

• Wir haben zuvor ein Prädikat definiert, sodass , genau dann wenn (das heißt, ist genau dann gleich , wenn ein existiert, sodass ist). Dies gibt der Aussage „ ist eine Linksnebenklasse von “ eine Bedeutung.

• Dann haben wir die Menge von Linksnebenklassen von als Teilmenge von konstruiert:

  Diese Menge kann auch als charakterisiert werden.

Prädikaten und Teilmenge

• Formalerweise, sollten wir die Elemente einer Teilmenge als Paaren bezeichnen.

• Zum Beispiel, sollten die Elemente der Menge Linksnebenklassen nach als Paaren repräsentiert werden, wobei:

  • eine Teilmenge von ist (das heißt, eine Teilmenge von der zugrundeliegende Menge der Gruppe ...).
  • ein Beweis ist, dass eine Linksnebenklasse von ist (im vorherigen Sinn).

• Zweck davon ist, Folgendes zu garantieren: Wenn wir ein Objekt haben, das wir eine Linksnebenklasse nennen, sollten wir in der Lage sein, nicht nur eine Teilmenge daraus zu erbringen, sondern auch einen Beweis, dass diese Teilmenge eine Linknebenklasse ist . Wir möchten diese Eigenschaft irgendwo speichern.

Natürliche Sprache und Formalisierung der Mathematik

• In der natürlichen Sprache betrachten wir die folgende Ausdrücke üblicherweise als das gleiche:

  • „ ist eine Linksnebenklasse von “.
  • „ ist ein Element der Menge der Linksnebenklassen von “.

• Formal ist das jedoch nicht der Fall:

  • Der erste ist ein Satz, nämlich der Satz . Damit diese Notation korrekt ist, muss eine Teilmenge von sein (da ein Prädikat über Teilmengen von ist).
  • Der zweite ist ein Urteil, der außerdem nur dann wohltypisiert ist, wenn ein Paar ist, wobei eine Teilemenge von ist und ein Beweis ist, dass eine Linksnebenklasse von ist.

Übung 3

• Sei eine Gruppe und seien Untergruppen von , mit .

• Zeigen Sie, dass

Der Satz von Lagrange

• Sei eine endliche Gruppe. Die Kardinalität von wird auch die Ordnung von gennant. Die Ordnung von wird mit bezeichnet. Dies erstreckt sich auf Untergruppen von G.

• Da endlich ist, so ist die Menge . Daher ist für jede Untergruppe von die Menge auch endlich. Die Kardinalität von wird den Index von genannt, und mit bezeichnet (üblicherweise verwendet man die Notation ).

  Satz von Lagrange. Gegeben eine Endliche Gruppe , gibt es, für jede Untergruppe von , die Gleichheit

  Insbesondere ist die Ordnung von ein Teiler von der Ordnung von .

Beweis des Satzes von Lagrange

• Da die disjunkte Vereinigung der Linksnebenklassen von ist, gilt

• Hat aber jede Linksnebenklasse von die gleiche Kardinalität als (weil es eine Bijektion von nach existiert). Daher ergibt sich, per definition von als die Kardinalität von , die Gleichheit

Bemerkungen zum Satz von Lagrange

• Sei eine endliche Gruppe und die von einem Element erzeugte Untergruppe. Da endlich ist, muss endliche Ordnung haben. Dann hat der Satz von Lagrange die folgende Konsequenz.

  Satz. Sei eine endliche Gruppe und sei . Dann hat endliche Ordnung und ist ein Teiler von . Insbesondere, falls nicht ein Teiler der Ordnung von ist, gibt es kein Element mit Ordnung in .

• In analoger Weise ist jede Gruppe die disjunkte Vereinigung der Rechtsnebenklassen einer Untergruppe , und gilt auch . Insbesondere ist die Kardinalität von die gleiche von der von .

  Also ist der Index von in auch die Anzahl von Rechtsnebenklassen.

Der Satz von Euler-Fermat

Sei eine endliche Gruppe und ein Element von . Dann gilt .

Beweis. Da endlich ist, hat endliche Ordnung. Nach dem Satz von Lagrange, ist ein Teiler von . Das heißt, es gibt , sodass . Dann gilt

Beispiel. Die Symmetriegruppe eines Quadrats hat Elemente. Dann für jede Transformation dieses Quadrats, gibt es . Explizit gibt es Transformationen mit Ordnung und (die Teiler von ) aber nicht oder .

Die Links oder Rechtsnebenklasse eines Elements

• Seien eine Gruppe und eine Untergruppe von . Für alles Element können wir die Linksnebenklasse betrachten. Dies definiert eine Abbildung

• Diese Abbildung besitzt die folgende Eigenschaften:

  1. ist surjektiv (per Definition, für jede Linksnebenklasse , gibt es sodass ).
  2. (das heißt, ).
  3. Für jede Linksnebenklasse , ist die Faser .

• In änhlicher Weise können wir die Abibildung betrachten (die analoge Eigenschaften besitzt).

Faktorgruppe?

• Ist es möglich, die Abbildung in einen Gruppenhomomorphismus zu verwandeln? Genauer gesagt, gibt es eine Gruppenstruktur auf der Menge , so dass ein Gruppenhomomorphismus ist?
• Wenn ja, würde die folgende Gleichheit gelten:

• In diesem Fall, würden wir gerne wie folgt berechnen:

• Nach naiver Betrachtung scheint es, dass wir dafür nur Folgendes benötigen:

Normalteiler

• Seien eine Gruppe und eine Untergruppe von .

• heißt ein Normalteiler (oder normale Untergruppe) von , wenn die folgende Eigenschaft gilt:

• In diesem Fall, schreibt man .

  Bemerkung. Falls eine kommutative Gruppe ist, dann ist jede Untergruppe ein Normalteiler (denn ).

Übung 4

• Sei die Teilmenge . Zeigen Sie, dass die folgende Eigenschaten äquivalent zu einander sind:

  1. ist ein Normalteiler von .
  2. .
  3. .
  4. .

• Insbesondere, wenn ein Normalteiler von , stimmt die Linksnebenklasse von nach mit der Rechtsnebenklasse von nach überein.

Beispiele für Normalteiler

• Da eine kommutative Gruppe ist, ist jede Untergruppe ein Normalteiler.

• Wenn ein Gruppenhomomorphismus ist, dann ist ein Normalteiler von Grund dafür ist, dass , weil für alle

• In der Symmetriegruppe eines Quadrats (oder eines Dreiecks, etc), ist die Untergruppe der direkten Symmetrien ein Normalteiler. Grund dafür ist, wenn eine direkte Transformation ist, so ist (falls nicht direkt ist, dann ist auch nicht direkt, aber die Verknüpfung zwei nicht direkte Transformationen ist wieder direkt!).

• Dieses letztes Beispiel kann auch wie folgt behandelt werden.

Untergruppen mit Index zwei

Satz. Seien eine Gruppe und eine Untergruppe von mit Index . Dann ist ein Normalteiler von .

Beweis.

• Erinnern wir uns daran, dass der Index von in sowhohl die Anzahl der Linksnebenklassen als auch die Anzahl der Rechtsnebenklassen von in ist.
• Sei . Falls , dann ist . Falls , dann ist die Partition von wegen Linksnebenklasse von die folgende: . In analoger Weise, ist die Partition wegen Rechtsnebenklasse . Da ist, muss sein.
• Also gilt in jedem Fall . Beachten Sie jedoch, dass dieser Beweis nur dann korrekt ist, wenn man die folgende Eigenschaft ohne Beweis akzeptiert: .

Eine Verknüpfung für die Faktorgruppe

• Wenn ein Normalteiler von ist, möchten wir eine Verknüpfung auf der Menge der Linksnebenklassen von definieren.

• Da jede Linksnebenklasse von der Form für ein bestimmtes Element ist, ist die Idee gerade

  zu setzen.

• Die Schwierigkeit bei dieser Definition besteht darin, dass wir sicherstellen müssen, dass das Ergebnis nicht von der Wahl der Repräsentanten und abhängt:

  Problem. Wenn und , gibt es ?

Die vorherige Verknüpfung ist wohldefiniert

• Zunächst untersuchen wir den Fall wenn für ein bestimmtes . Dann gilt

• Danach untersuchen wir den Fall wenn für ein bestimmtes . Dann gilt

• Dieser Beweis gilt in der Mathematik allgemein als überzeugend. Sollte aber man zeigen:

  wobei die kanonische Abbildung ist, die früher gebaut wurde. Dann als Anwendung dieses Satzes und einer swachen Form des Auswahlaxioms könnte man setzen, wobei das Element ist, das im Beweis konstruiert wurde.

Eigenschaften dieser Verknüpfung

• Nun wollen wir beweisen, dass das Paar eine Gruppe ist. Das heißt, wir müssen Folgendes überprüfen:

  1. Die Assoziativität der Verknüpfung .
  2. Die Existenz eines neutralen Elements für .
  3. Die Existenz, für alles , eines inversen Element zu .

• Für die Assoziativität können wir einfach schreiben:

Neutrale und inverse Elemente

• Sei das neutrales Element für . Wir behaupten, dass das Element ein neutrales Element für ist.

  • .
  • .

• Als Konsequenz, für jedes Element , ist ein inverse Element für (bezüglich ).

  • .
  • .

• Dies beendet den Beweis, dass, wenn ein Normalteiler von der Gruppe ist, eine Gruppe ist.