Galois-Erweiterungen

Évariste Galois (1811-1832) war ein französischer Mathematiker. Er starb im Alter von nur 20 Jahren bei einem Duell, erlangte allerdings postum Anerkennung aufgrund seiner Arbeiten zur Lösung algebraischer Gleichungen, der so genannten Galoistheorie, die sich mit der Auflösung algebraischer Gleichungen mit Radikalen befasst.

Körpererweiterungen, die normal und separabel sind

Definition. Sei ein Körper. Eine Erweiterung von , die normal und separabel ist, heißt eine Galois-Erweiterung.

• Zum Beispiel, für alles , wenn ein Zerfällungskörper für ist, dann ist eine Galois-Erweiterung von . Grund dafür ist: jede algebraische Erweiterung von separabel ist, und jeder Zerfällungskörper eine normale Erweiterung ist. Explizit können wir die Erweiterung oder betrachten.
• Die Körpererweiterung ist ein Beispiel für eine Galois-Erweiterung, die keine endliche Erweiterung ist. Hier ist diese Erweiterung normal, weil jedes algebraisch über ist, und, da algebraisch abgeschlossen ist, das Minimalpolynom von in lineare Faktoren über zerfällt.

Die Galoisgruppe

Definition. Sei eine Galois-Erweiterung. Dann heißt die Gruppe aller -Automorphismen von die Galoisgruppe von . Diese Gruppe wird dann als bezeihnet.

• Wenn ein Zerfällungskörper für ist, heißt die Galoisgruppe des Polynoms .
• Galois' revolutionäre Intuition besteht darin, dass die Struktur dieser Gruppe Informationen über die Lösbarkeit der Gleichung enthält.
• Er hatte diese Idee, obwohl der Begriff der Gruppe noch nicht definiert war.
• Damals gab es keine solche Korrespondenz zwischen scheinbar unterschiedlichen Bereichen der Mathematik .

Die Galoisgruppe einer endlichen Galois-Erweiterung

• Sei eine endliche Körpererweiterung. Wir wissen bereits, dass höchstens eine endliche Anzahl von Elementen hat. Wenn Galois ist, können wir sogar sagen, was die Mächtigkeit von ist.

  Satz. Sei eine endliche Galois-Erweiterung. Dann ist eine endliche Gruppe, mit Ordnung (der Grad der Erweiterung).

• Bemerkung. Da eine Teilmenge der Menge aller Funktionen von nach ist, bedeutet die Bedingung in , dass die folgende Bedingung gilt: in . Mit dieser Definition, kann man außerdem zeigen, dass die folgende Eigenschaft gilt: .

• Beweis des Satzes. Siehe unten.

Mächtigkeit der Galoisgruppe (Beweis)

• Da per Annahme eine endliche separable Erweiterung von ist, existiert, dach dem Satz von primitiven Element, ein sodass .
• Sei das Minimalpolynom von . Da normal ist, zerfällt in lineare Faktoren über . Außerdem hat keine mehrfache Wurzel in , weil separabel ist. Das heißt, die Menge aller Wurzeln von , die zu gehören, ist eine endliche Menge der Mächtigkeit .
• In dieser Situation ist aber die Abbildung eine Bijektion. Da ist, und ist, ist eine endliche Gruppe mit Ordnung .

Fixpunktkörper

• Sei ein Körper. Die Gruppe aller Ringhomomorphismen von nach sich selbst wird als bezeichnet.
• Sei eine beliebige Untergruppe und betrachten wir die Fixpunktmenge

• Da die Elemente von Ringhomomorphismen sind, ist ein Teilkörper von (Übung).
• Später werden wir zeigen, dass, wenn eine endliche Gruppe ist, dann eine endliche Galois-Erweiterung ist, mit Galoisgruppe . Insbesondere gilt .
• Zuerts betrachten wir aber die Situation, wobei eine feste endliche Galois-Erweiterung ist.

Fixpunkte der Galoisgruppe

• Sei eine endliche Galois-Erweiterung. Die Galoisgruppe wird als bezeichnet.

• Per Definition der -Automorphismen, gilt . Das heißt, gilt

  Tatsächlich gilt das für alle Körpererweiterung, mit . Für eine endliche Galois-Erweiterung gilt auch die umgekehrte Inklusion. Dies ergibt sich aus dem folgenden stärkeren Satz, weil .

  Satz. Sei eine endliche Galois-Erweiterung. Dann gilt die folgende Eigenschaft:

Die Fixpunkte der Galoisgruppe gehören zum Grundkörper (Beweis)

• Wir möchten zeigen, dass gilt. Da entscheidbar ist, reicht es zu zeigen, dass . Dafür genügt es den vorherigen Satz zu beweisen.

• Sei das Minimalpolynom von . Da , gilt . Da normal und separabel ist, hat mindestens eine Wurzel mit .

• Da und , gibt es ein (eindeutiger) -Homomorphismus mit . Inbesondere gilt .

• Da galoissch ist, können wir den -Homomorphismus zu einem -Homomorphismus fortsetzen, der unbedingt ein -Automorphismus von ist. Dann haben wir den folgenden Satz bewiesen.

  Satz. Sei eine endliche Galois-Erweiterung. Dann gilt .

Eine Abbildung, aus Zwischenerweiterungen nach Untergruppen

• Sei eine Galois-Erweiterung und sei ihre Galoisgruppe.
• Sei eine Zwischenerweiterung. Da jedes normal und separabel über ist, ist auch normal und separabel über . Das heißt, ist eine Galois-Erweiterung.
• Da ist, ist die Galois-gruppe eine Untergruppe von . Daher haben wir die folgende Abbildung definiert:

• Der Hauptsatz der Galois-Theorie behauptet, dass, wenn eine endliche Galois-Erweiterung ist, dann auch diese Abbildung eine Bijektion ist. Zuerst werden wir zeigen, dass injektiv ist. Die Abbildung wird oft die Galois-Korrespondenz genannt.

Injektivität der Galois-Korrespondenz

• Die Idee für den Beweis der Injektivität von ist die folgende: Um die Eigenschaft zu beweisen, genügt es zu zeigen.

• Dies bedeutet, dass wir eine Abbildung bauen, die eine Linkinverse zu ist. Das heißt, eine Abbildung mit . Später werden wir zeigen, dass auch gilt. Das heißt, ist auch eine Rechtsinverse. Der präzise Satz ist der folgende.

  Satz. Sei eine endliche Galois-Erweiterung und sei eine endlich-dimensionale Zwischenerweiterung. Dann gilt .

  Beweis. Nach der Konstruktion von , dass eine Galois-Erweiterung ist. Da endlich ist, folgt aus dem Satz über Fixpunten der Galoisgruppe, dass ist.

Normale Erweiterungen des Grundkörpers

Wir möchten zeigen, dass die Galois-theorie es uns erlaubt, die Eigenschaften der Zwischenerweiterung von in Eigenschaften der Untergruppe zu übersetzen.

Satz. Sei eine endliche Galois-Erweiterung und sei eine endlich-dimensional Zwischenerweiterung. Dann ist genau dann eine normale Erweiterung, wenn eine normale Untergruppe von ist. In diesem Fall gilt außerdem

Bemerkung. Da eine Zwischenerweiterung der separablen Erweiterung ist, ist separabel. Daher ist genau dann normal, wenn eine Galois-Erweiterung ist.

Zwischenerweiterungen, die normal sind

„“ Nehmen wir an, dass eine normale Erweiterung ist und zeigen wir, dass eine normale Untergruppe ist.

• Nach der Bermerkung ist Galois und wir werden die Automorphismengruppe dieser Erweiterung als bezeichnen.
• Da normal ist, ist invariant unter allen Automorphismen . Das heißt, gilt und die induziert einen Gruppenhomomorphismus
  dessen Kern die Gruppe ist.
• Es folgt daraus, dass eine normale Untergruppe von ist.

Die Galois-Gruppe einer normalen Zwischenerweiterung

• In der obigen Situation (das heißt, wenn normal ist), können wir außerdem die Galoisgruppe bestimmen.
• Es reicht zu zeigen, dass der Homomorphismus surjektiv ist. Da , folgt daraus, dass einen Gruppenisomorphismus induziert.
• Um zu zeigen, dass surjektiv ist, nehmen wir . Da ist, kann als Element von angesehen werden. Da endlich-dimensional als -Vektorraum ist, und eine Zwischenerweiterung ist, ist endlich-dimensional und besitzt der -Homomorphismus eine Fortsetzung , die ein -Endomorphismus, somit auch ein -Automorphismus, von ist. Per Definition bedeutet dies, dass . Das heißt, ist surjektiv.

Zwischenerweiterungen, deren Galoisgruppe normal ist

„“ Nehmen wir nun an, dass eine normale Untergruppe ist und zeigen wir, dass eine normale Erweiterung ist.

• Da endlich-dimensional und normal ist, genügt es zu zeigen, dass , .
• Die Annahme, dass eine normale Untergruppe von ist, bedeutet, dass . Gilt aber, per Definition, dass . Daher gilt .
• Da und endliche Galois-Erweiterungen sind, folgt es daraus, dass .

Surjektivität der Galois-Korrespondenz

• Wir möchten noch die Surjektivität der folgenden Abbildung zeigen.

• Wie angekündigt, ist die Idee, eine inverse Abbildung für zu konstruieren. Dazu werden wir die folgende Abbildung betrachten.

• Wir haben bereits bewisesen, dass ist (das heißt, und das war der Beweis für die Injektivität von ). Nun werden wir zeigen, dass auch gilt. Das heißt, dass ist.

Bauplan für den Beweis

• Sei eine endliche Gruppe und sei die Ordnung von .
• Das Ziel des bevorstehenden Beweises ist es, zu zeigen, dass ein endlich-dimensional -Vektorraum ist, mit .
• Dann ist eine endliche Körpererweiterung, in der außerdem die Eigenschaft gilt, denn per Definition gilt , und ist das Prädikat entscheidbar. Es folgt daraus, dass auch gilt.
• Dann reicht es zu zeigen, dass diese Eigenschaft die endliche Galois-Erweiterungen charakterisiert. Das heißt, angegeben eine endliche Körpererweiterung , gilt
  Benötigen Sie, dass die Folgerung „“ bereits bewiesen wurde.

Eine weitere Charakterisierung der endlichen Galois-Erweiterungen

• Der folgende Satz ist eine Konsequenz der obigen Strategie für den Beweis der Galois-Korrespondenz.

  Satz. Sei ein Körper und sei eine endliche Gruppe, mit Ordnung . Dann ist eine endliche Galois-Erweiterung, mit Grad und Galoisgruppe .

• Insbesondere:

  Satz. Wenn eine endliche Erweiterung ist, dann ist genau dann eine Galois-Erweiterung, wenn eine endliche Gruppe mit Mächtigkeit ist.

  Beweis. Die Folgerung „“ haben wir bereits bewiesen. Für die Folgerung „“ reicht es zu bemerken, dass und dass endlich-dimensional über und über ist. Daher ist endlich-dimensional als -Vektorraum, und gilt . Aber gilt auch

Zurück zum Beweis der Surjektivität

Zunächt zeigen wir den letzten Teil unseres Bauplans.

Satz. Sei eine endliche Körpererweiterung und sei . Dann gilt

Beweis.

• Es reicht zu zeigen, dass jedes normal und separabel über ist. Da endlich ist, ist das äquivalent zu der Tatsache, dass das Minimalpolynom zerfällt in linearen Faktoren in , ohne mehrfache Wurzeln.
• Dazu werden wir Folgendes zeigen: Wenn wir den Grad von als bezeichnen, existieren , sodass paarweise verschiedene sind, und gilt in . Inbesondere git .
• Der Fall ist klar, weil dann linear und separabel ist.

Endes des Beweises

• Nehmen wir nun an, dass , und setzen wir . Da , gilt in . Per Annahme existiert , mit . Da Koeffiziente in hat, gilt , somit und .
• Daher gilt in . Wenn Koeffiziente in hätte, würde , nach der Eindeutigkeit der Division mit Rest, auch zu gehören. Dies würde jedoch der Irreduzibilität von widersprechen. Dann hat mindestens einen Koeffizient , der nicht zu gehört, und per Annahme existiert , mit . Für ein solches , gilt . Insbesondere existiert mindestens eine Wurzel von , die keine Wurzel von ist. Das heißt, existiert , sodass . Dann setzen wir für ein solches .
• Nach endlich vielen Schritten, erreichen wir , mit . Dies beendet den Beweis.

Dimension über dem Fixpunktkörper

• Es bleibt noch zu beweisen, dass, wenn eine endliche Gruppe mit Mächtigkeit ist, dann auch ein endlich-dimensional -Vektorarum ist, mit .

• Ein wichtiger Schritt in dem Beweis ist der folgende.

  Satz. Sind eine natürliche Zahl und paarweise verschiedene Ringautomorphismen von , dann , sodass die Matrix

  invertierbar ist.

Konstruktion einer Basis

• Mithilfe des vorherigen Satzes können wir eine Basis für als -Vektorraum bauen, wobei eine Untergruppe von ist.

• Nämlich werden wir zeigen, dass für alle sodass invertierbar ist, ist eine -Basis für .

  • Dazu zeigen wir zunächst, dass liner unabhängig über sind. Dies folgt aber direkt aus der Tatsache, dass ist.
  • Es bleibt zu zeigen, dass ein Erzeugendsystem für als -Vektorraum ist.

Erzeugendsystem

• Sei und betrachten wir den Vektor in .
• Da invertierbar ist, existieren in , sodass

• Das heißt, für alles ,

• Da eine Untergruppe von ist, existiert mit . Daher gilt , derzeit mit .

Ende der Konstruktion des Erzeugendsystem

• Aus folgt, für alles ,

• Aber gilt auch, für alles ,

• Daher gilt für alles ,
  somit .

Konstruktion einer geeigneten Matrix

• Wir müssen noch eine geeignete invertierbare Matrix bauen.

• Die Annahme ist, dass paarweise verschiedene Ringautomorphismen von sind. Ein solcher Ringautomorphismus induziert einen Gruppenhomomorphismus und solche Gruppenhomomorphismus , wobei eine Gruppe ist, und ein Körper ist, werden Charakteren der Gruppe genannt.
• Die Charakteren sind insbesondere Elemente des -Vektorraums und wir werden zeigen, dass sie linear unabhängig sind.