Der Satz vom primitiven Element

Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917) war ein deutscher Mathematiker. Er beschäftigte sich hauptsächlich mit der Theorie der Gruppen und ihrer Darstellungstheorie. Beispielweise bewies Frobenius 1878 den Satz von Cayley-Hamilton für Matrizen beliebiger Dimension.

Einfache Erweiterungen und primitive Elemente

• Sei eine Körpererweiterung. Wenn gilt, heißt eine einfache Erweiterung.
• In dieser Definition ist nicht unbedingt algebraisch über . Zum Beispiel definiert der Körper der rationalen Funktionen mit Koeffizienten in eine einfache Erweiterung .
• Wir werden uns jedoch hautpsächlich für algebraischen Erweiterungen interessieren. Eine einfache algebraische Erweiterung erfüllt und ist insbesondere eine endliche Erweiterung. Ein Element mit wird primitives Element von genannt und ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt.

Separable endliche Erweiterungen

• Der Satz vom primitiven Element behauptet, dass jede separable endliche Erweiterung einfach ist.

• Inbesondere ist jede endliche Erweiterung eines Körpers mit Charakteristik Null einfach. Auch so ist jede Erweiterung eines endlinchen Körpers. Der Grund dafür ist, dass Körper mit Charakteristik Null und endliche Körper vollkommene Körper sind: Jede algebraische Erweiterung eines solchen Körpers ist separabel.

  Satz vom primitiven Element. Sei eine endliche Erweiterung (mit entscheidbarer Gleichheit). Ist separabel, dann ist einfach. Das heißt, existiert ein Element mit .

  Bemerkung. Da ein Element von ist, ist separabel.

Beweis durch Induktion

• Erinnern wir uns daran, dass eine endliche Erweiterung von , ein Körper der Gestalt ist, wobei jedes Element algebraisch über ist. Das heißt, ist ein Körper, der eine endliche -Algebra ist. Der Beweis des Satzes vom primitiven Element lautet durch Induktion auf . Wenn , dann ist einfach.

• Nehmen wir nun an, dass, wenn eine separable Erweiterung ist, dann auch mit existiert, und betrachten wir eine separable Erweiterung der Gestalt . Sei . Dann gilt und, per Induktion, existiert sodass , somit . Es reicht daher den fogenden Satz zu zeigen.

  Satz. Sei ein Körper mit entscheidbarer Gleichheit und sei mit (algebraisch und) separabel über . Dann existiert , sodass .

Eine Idee für den Beweis

• Sei . Wie zuvor, nehmen wir eine Basis für den -Vektorraum , und betrachten wir die Matrizen der Multiplikation mit und in . Insbesondere gilt .
• Da und separabel sind, sind und gleichzeitig diagonalisierbar über einem geeigneten endlichen Erweiterung des Körpers ist, wobei der kleinste Teilkörper ist, der die Koeffiziente der Matrizen und enthält.
• Außerdem gilt, für jedes und jedes Polynom , dass äquivalent zu ist. Dies gilt insbesondere für alles .
• Dann ist die Idee die folgende: Wenn es ein und Polynome gibt, sodass und sind, dann gilt und , somit . Daher ist ein primitives Element.

Kann diese Idee funktionieren?

• Sei und mit und .
• Wir möchten eine diagonale Matrix und Polynome konstruieren, sodass, für jedes , und .
• Dank des Newton-Lagrange Interpolationspolynom, genügt es mit der folgenden Eigenschaft zu definieren: .
• Wenn wir nach in der Form mit suchen, bemerken wir, dass

• Es folgt daraus, dass, wenn ist, dann auch gilt, somit (weil ).

Körper, die groß genug sind

• Für die vorherige Idee zu funktionieren, reicht es daher ein Element zu finden, sodass
• Dies gilt, wenn mehr als Elemente hat. Zum Beispiel wird das unbedingt gelten, wenn Charakteristik Null hat (oder einfach, wenn unendlich ist).
• Dann finden wir Polynome , sodass und sind. Da die Matrizen und , somit auch , Koeffizienten in haben (weil zu gehört!), können wir sogar annehmen, dass und Polynome mit Koeffizienten in sind (eine Übung, die nicht so einfach ist).
• Per Definition ist diagonalisierbar über und gilt, für dasselbe Matrix wie zuvor . Auch ist die Matrix der Multiplikation mit im -Vektorraum .

Was passiert mit Körper, die nicht groß genug sind?

• Der vorherige Beweis ist nicht mehr gültig: Ohne die Eigenschaft, dass ist, können wir im Allgemeinen das Newton-Lagrange Interpolationspolynom nicht verwenden, um ein Polynom mit zu bauen.

• Der Rest des Beweises ist dann wie folgt aufgebaut:

  1. Im Fall, in dem der Körper endlich ist, zeigen wir mit einer anderen Methode, dass es ein Element und geeignete Polynome gibt, sodass und sind. Da ist, gilt .
  2. Abschließend zeigen wir, dass die beiden bereits betrachteten Fälle ausreichen, um eine Schlussfolgerung zu ziehen. Genauer gesagt, werden wir zeigen, dass, in unserer Situation, die folgende (nicht ausschließliche) Disjunktion gilt:

Endliche Körper

• Nehmen wir nun an, dass der Körper endlich ist, und zeigen wir, dass es ein Element und geeignete Polynome gibt, sodass und sind. Dazu reicht es zu zeigen, dass gilt.

• Bemerken wir, dass die Algebra ein Körper ist, weil und algebraisch über sind. Dann ist die Idee, die Gruppe (mit der Multiplikation von als Verknüpfung) zu betrachten. Da endlich ist, so auch ist .

  Lemma. Sei ein Körper (nicht unbedingt endlich aber mit entscheidbarer Gleichheit) und sei eine Untergruppe von . Ist endlich, dann ist eine zyklische Gruppe. Das heißt, es gibt und , sodass gilt.

Verwendung des Lemmas

• In unserer Situation ist die Gruppe endlich, somit auch endlich. Daher existieren und , sodass gilt.
• Folgt daraus, dass
  somit auch gilt. Hiermit ist der Beweis des ersten Schritts unseres Ansatzes zum Satz vom primitiven Element abgeschlossen.
• Bemerkung. Unter dem SAD können wir das vorherige Lemma auf anwenden. In diesem Fall, zeigt das Lemma, dass jede endliche Untergruppe von aus Einheitswurzeln besteht:

Beweis des Lemmas

• Sei . Da endlich ist, haben und endliche Ordnung. Seien und , und sei das kleinste gemeinsame Vielfache von und . Insbesondere gilt und .
• Wir können als schreiben, mit , und .
  Beweis. Man schreibt , , , und setzt:

• Dann gilt . Zeigen wir nun, dass Ordnung hat.
• Wenn ist, dann gilt , somit . Da ist, folgt daraus, dass , somit (denn ). Aus folgt dann, dass . In ähnlicher Weise, gilt und, aus , folgt .

Ende des Beweises des Lemmas

• Dann hat jedes Ordung , wobei und .
• Setzen wir dann und sei ein Element von mit Ordnung .
• Sei ein beliebiges Element von und sei . Da Ordnung hat, muss (per Maximalität) sein. Das heißt, und (für alles ). Das heißt, jedes ist eine Wurzel von .
  Bemerkung. Wir haben bewiesen, dass jedes Element einer endlichen Gruppe eine Einheitwurzel in ist, deren Ordnung ein Teiler von ist.
• Da das Polynom hochstens verschiedene Wurzeln in hat, und alle Elemente in der Teilmenge (paarweise verschiedene) Wurzeln von sind, muss jedes Element zu dieser Teilmenge gehören. Das heißt, existiert ein mit . Daher ist (für jedes mit Ordnung ) und ist eine zyklische Gruppe.

Ende des Beweises des Satzes vom primitiven Element

• Wir müssen noch einen Beweis für den zweiten Schritt unseres Ansatzes zum Satz vom primitiven Element geben.

• Dazu genügt es, das folgende Lemma zu zeigen.

  Lemma. Sei ein Körper mit entscheidbarer Gleichheit. Sei der Primkörper von . Nehmen wir an, dass endlich erzeugt über ist. Das heißt, für geeignete Elemente . Dann gilt die folgende Eigenschaft:

• Wenn wir den SAD verwenden, dann hat , für ein gegebenes , entweder mehr als Elemente oder weniger als Elemente, sodass es nichts zu beweisen gibt . Außerdem ist die Annahme, dass endlich erzeugt ist, unter dem SAD nicht notwendig.

Beweis für die vorherige Alternative

• Sei . Ohne den SAD können wir die folgende abstrakte Disjunktion über die Mächtigkeit von im Allgemeinen nicht beweisen: .

• Wir können allerdings die Teilmenge betrachten, wobei (-mal). Dann ist die Eigenschaft, dass die Elemente dieser Teilmenge paarweise verschieden sind, entscheidbar.

  • Wenn diese Eigenschaft gilt, besistzt der Körper mindestens Elemente.
  • Nehmen wir nun an, dass diese Eigenschaft nicht gilt. Dann muss der Körper endlich Charackteristik () haben. In diesem Fall ist der Primkörper endlich (isomorph zu ). Unten werden wir diese Situation weiter analysieren.

Fortführung des Beweises

• Da endlich erzeugt über ist, existieren Elemente in , sodass gilt. Dies bedeutet, dass jedes Element der Gestalt ist, mit endlich () und .

• Erinnern wir uns an die Frage, die ist, ob mehr als Elemente hat, oder endlich ist.

• Sei die Teilmenge aller Polynomen mit und sei die Teilmenge aller Elementen , für die ein existiert, sodass ist. Da endlich ist, so auch sind und .

• Sei die Mächtigkeit von . Dann gilt in .

  • Wenn ist, hat mehr als Elemente .
  • Es bleibt noch der Fall zu analysieren, in dem ist.

Ende des Beweises

• Wir werden zeigen, dass, wenn , dann auch gilt, dass für alles ein mit existiert. Da endlich ist, impliziert dies, dass endlich ist.
• Schreiben wir (wobei ). Dann gilt

• Gilt auch, für alles , in . Wenn ist, gilt , wobei ist. Wenn , betrachten wir die Teilmenge . Da ist, muss mindestens zwei Elemente dieser Menge gleich sein. Daher hat Ordnung in und gilt , wobei . Folgt daraus, mit , dass und ist.

Bemerkungen zum Beweis des Lemmas

• Die Annahme, dass ein Körper ist, der endlich erzeugt über seinem Primkörper ist, ist in unserer Situation erfüllt. Nämlich ist der Körper endlich erzeugt über (der Primkörper von ), weil , wobei und die Koeffizienten der Matrizen und sind. Dann, im Beweis des Satzes vom primitiven Element, wenden wir das Lemma mit , wobei .
• In diesem Fall behauptet das Lemma, dass entweder mehr als Elemente hat, oder endlich ist. In beiden Fällen ist der Beweis des Satzes über primitive Elemente uns bekannt.
• Formell bedeutet der Ausdruck „ hat mehr als Elemente", dass eine Teilmenge existiert, der endlich ist, und erfüllt. Daraus folgt, dass es für jedes mit ein Element gibt, sodass .

Bemerkungen zum Beweis des Satzes vom primitiven Element

• Im Prinzip berechnet der Beweis ein explizites primitives Element z, sodass gilt.
• In diesem Beweis sagen wir niemals, dass gilt, noch dass gilt. Um eines dieser beiden Ergebnisse für einen beliebigen Körper zu beweisen, muss man den SAD verwenden.

Separabilität in positiver Charakteristik

• In Charakeristik Null ist jede algebraische Erweiterung separabel (vollkommener Körper). Das ist auch der Fall für endliche Körper (zugelassen).

• Was können wir über unendliche Körper positiver Charakteristik sagen? Zum Beispiel, wann ist eine algebraische Erweiterung von separabel, wobei ?

  Satz. Sei ein Körper mit der Charakteristik . Sei eine Körpererweiterung von und sei ein Element von . Dann gilt:

  1. Ist separabel über , dann gilt, , , wobei .
  2. Existiert sodass für , dann ist separabel über .

Potenzen, deren Exponent eine Potenz der Charakteristik ist

• Zeigen wir zunächst (ii). Sei und , sodass gilt, mit . Wir möchten zeigen, dass separabel ist.
• Die Bedingung bedeutet, dass ein existiert, mit . Daher ist eine Wurzel von . Da , gilt . Inbesondere gilt . Das heißt, ist separabel.
• Dies genügt, um zu beweisen, dass separabel ist.

Separable Elemente in positiver Charakteristik

• Zeigen wir nun (i). Sei und nehmen wir an, dass separabel über ist. Sei und sei (wobei ). Wir werden zeigen, dass .
• Sei das Minimalpolynom von und sei der Körper . Sei die Klasse von in .
• Es reicht zu zeigen, dass , weil in diesem Fall, gilt für geeignetes , somit für geeignetes . Daher gilt .
• Da algebraisch über ist, ist ein endlich-dimensional -Vektorraum. Sei und sei die Matrix, in einer beliebigen Basis, der Multiplikation mit in . Da eine separable Erweiterung von ist, ist separabel über . Deswegen ist diagonalisierbar über einem geeigneten Körper . Wir werden unten zeigen, dass ein existiert, mit .