Separable Erweiterungen

Heinrich Weber (1842–1913) war ein deutscher Mathematiker, dessen Werk ein breites Spektrum mathematischer Gebiete umfasste. Er habilitierte sich 1866 in Heidelberg und wurde 1869 dort Professor. Er ist insbesondere für den Satz von Kronecker-Weber bekannt. Einer seiner Schüler war David Hilbert.

Ableitung von Polynomen

• Die Differentialrechnung zeigt, dass die Ableitung einer Polynomfunktion wieder eine Polynomfunktion ist.
  Außerdem ist die Ableitung einer konstanten Funktion null.
• In Polynomringen können wir diese Formel als Definition nehmen, um die formale Ableitung eines Monoms einzuführen. Diese Definition lässt sich durch Linearität auf jedes beliebige Polynom erweitern.
  wobei (-mal).

Übung 1

• Sei ein Ring.

• Zeigen Sie die folgende Eigenschaften für die formale Ableitung von Polynomen:

  1. Linearität: und .
  2. Leibnizregel: .
     Hinweis. Nach der Linearitätseigenschaft, reicht es die Leibnizregel für und zu überprüfen.
  3. Wenn ein konstantes Polynom ist, dann gilt .
  4. Zeigen Sie, dass die Umkehrung von (iii) im Allgemeinen nicht gilt.
     Hinweis. Betrachten Sie und , mit , und erinnern Sie sich daran, dass in .

Ableitungen höherer Ordnung

• Da die formale Ableitung eines Polynoms ein Polynom ist, hat auch dieses eine formale Ableitung . Daher können wir, für alle , die Ableitung der Ordung von induktiv definieren:

• Dann gilt (Übung).

Mehrfache Nullstellen

• Sei ein Polynom. Wenn heißt eine Nullstelle (oder Wurzel) von .

• Wir haben bereits gesehen, dass genau dann gilt, wenn in ist, das heißt, wenn ein Teiler von in ist.

• Das Element heißt eine mehrfache Nullstelle (oder mehrfache Wurzel), wenn es ein gibt, sodass ein Teiler von ist.

  Definition. Sei eine natürliche Zahl. Eine Nullstelle von hat Vielfachheit (oder Ordnung) , wenn ein Teiler von ist, aber kein Teiler von ist. Eine Nullstelle mit Vielfachhheit heißt eine einfache Nullstelle.

• Die folgende Übung zeigt, dass eine mehrfache Nullstelle von ist genau dasselbe wie eine gemeinsame Nullstelle von und .

Übung 2

• Sei ein Polynom.
• Zeigen Sie, dass ein Element genau dann eine einfache Nullstelle von ist, wenn gilt.
  Hinweis. Betrachten Sie die Division mit Rest von durch .
• Zeigen Sie durch Induktion, dass eine Nullstelle mit Vielfachheit ist, wenn .

Separable Polynome

• Sei ein (kommutatitaver, unitärer) Ring und sei .

  Definition. Das Polynom heißt separabel, wenn es Polynome gibt, sodass gilt. Das heißt, wenn das von und erzeugte Ideal der gesamte Polynomring ist: .

• Ist ein Integritätsring und ein separabel Polynom, so haben und keinen nicht-konstanten gemeinsamen Teiler in und hat keine mehrfachen Nullstelle in (andernfalls wäre ).

• Die obige Definition ist etwas abstrakt, aber wir werden ihre Bedeutung sehen. Der wichtige Fall ist der, wenn der Ring ein Körper (mit entscheidbarer Gleichheit) ist. Da ein Bézout-Ring ist, ist genau dann separabel, wenn und teilerfremd sind. Außerdem ist diese Eigenschaft entscheidbar.

Charakterisierung von separablen Polynomen

• Wir haben bereits gesehen, dass ein separabel Polynom keine mehrfache Wurzel in hat. Tatsächlich besitzt in keiner Erweiterung des Körpers, der durch die Koeffizienten von erzeugt wird, mehrfache Wurzeln.

• Darüber hinaus sind separable Polynome durch diese Eigenschaft charakterisiert.

  Satz. Sei und sei der Körper, der durch die Koeffizienten von erzeugt wird. Dann gelten die folgenden Eigenschaften:

  1. Wenn separabel ist, dann besitzt in keiner Erweiterung (mit entscheidbarer Gleichheit) von , mehrafche Wurzeln.
  2. Wenn und nicht-separabel ist, existiert eine Erweiterung (mit entscheidbarer Gleichheit) von , sodass eine mehrfache Wurzel in besitzt.

Ein Lemma über teilerfremde Polynome

• Um den vorherigen Satz zu beweisen, zeigen wir zuerst das folgende Lemma.

  Lemma. Sei eine Körpererweiterung (und nehmen wir an, dass , somit auch , entscheidbare Gleichheit hat). Seien Polynome. Dann sind und genau dann teilerfremd über , wenn sie teilerfremd über sind.

• Da und Bézout-Ringe sind, ist die Bedingung, dass und teilerfremd sind, äquivalent zu der Tatsache, dass ist.

• Inbesondere, wenn teilerfremd über sind, existieren , mit . Da und ebenfalls Polynome mit Koeffizienten in sind, sind und auch teilerfremd über .

Beweis des Lemmas

• Angesichts der obigen Bemerkung, reicht es zu beweisen, dass, wenn teilerfremd über sind, dann auch und auch teilerfremd über sind.
• Nehmen wir an, dass ein gemeinsamer Teiler von und in ist. Da für geeignete Polynome , muss ein Teiler von in sein. Aber . Das heißt, ist invertierbar in . Daher muss ein konstantes Polynom sein.
• Es folgt daraus, dass ein ggT von und in ist. Das heißt, und sind teilerfremd über .

Übung 3

• Sei eine Körpererweiterung (und nehmen wir an, dass , somit auch , entscheidbare Gleichheit hat).

• Seien Polynome und sei ein ggT von über .

  1. Zeigen Sie, dass ein Element existiert, mit sodass und ein ggT von und über ist.
     Hinweis. Betrachten Sie einen ggT von und über und zeigen Sie, durch Division mit Rest, dass ein solches auch ein ggT von und über ist. Daher muss über gelten. Das heißt, und sind assoziiert über .
  2. Zeigen Sie in ähnlicher Wiese, dass, wenn der Leitkoeffizient von gleich ist, das Polynom unbedingt zu gehört.

Beweis für den ersten Teil der Charakterisierung von Separabilität

• Zeigen wir zunächst, dass, wenn separabel ist, dann auch in keiner Erweiterung von (inbesondere, in keiner Erweiterung von ) mehrfache Wurzeln besitzt.
• Beachten wir uns dafür dass, nach dem vorherigen Lemma, separabel als Element von äquivalent zu separabel als Element von ist.
• Nehmen wir an, dass eine mehrfache Wurzel in einer Erweiterung besitzt. Da separabel ist, existieren Polynome , mit . Da die Vielfachheit von als Wurzel von mindestens ist, gilt , somit , was nicht gilt.

Beweis für den zweiten Teil der Charakterisierung von Separabilität

• Zeigen wir danach, dass, wenn ungleich Null und nicht separabel ist, dann auch in geeigneter Erweiterung von eine mehrfache Wurzel besitzt.
• Die Idee ist, für eine Erweiterung von zu nehmen, die eine Zerfällungserweiterung für ist. Wir haben bereits bewiesen, dass eine solche Erweiterung existiert. Per Definition einer Zerfällungserweiterung gilt insbesondere in , wobei (mit ) und, für jedes , .
• Da (über , somit auch über und ) nicht separabel ist, haben und einen nicht-konstanten gemeinsamen Teiler . Das heißt, existiert ein nicht-konstantes , sodass . Da irreduzibel ist, gilt oder . Da nicht-konstant ist, existiert ein mit (Übung).
• Da auch ein Teiler von ist, gilt, für ein solches , dass ist. Das heißt, und haben eine gemeinsame Wurzel in ( hat eine mehrfache Wurzel in ).

Bemerkungen über separable und nicht-separable Polynome

• Sei ein Körper mit entscheidbarer Gleichheit und sei .

• Nehmen wir an, dass eine Zerfällungserweiterung für ist. Dann haben wir bewiesen, dass die folgende Bedingungen paarweise äquivalent sind:

  1. ist separabel (das heißt, ).
  2. und haben keinen nicht-konstanten gemeinsamen Teiler.
  3. und haben keine gemeinsame Wurzel in .

• Insbesondere ist genau dann nicht-separabel, wenn und einen nicht-konstanten gemeinsamen Teiler haben, oder, in äquivalenter Weise, wenn und eine gemeinsame Wurzel in haben. Bemerkung: Das ist dasselbe wie oben, ich wiederhole es nur in dieser Form, weil es wichtig ist, es schriftlich zu sehen.

Separable algebraische Erweiterungen

• Das Konzept der separablen Erweiterung kann für beliebige Körpererweiterungen definiert werden. Unten beschränken wir uns auf algebraische Erweiterungen, deren Definition wie folgt lautet.

  Definition. Sei eine algebraische Körpererweiterung.

  • Ein Element heißt separabel über wenn sein Minimalpolynom separabel ist, das heißt, wenn und keinen nicht-konstanten gemeinsamen Teiler haben.
  • Die algebraische Erweiterung heißt separabel, wenn jedes Element separabel über ist.

Zusätzlicher Charakterisierung der separablen Elemente

• Sei eine algebraische Erweiterung und sei , mit Minimalpolynom .

• Da jedes Polynom mit ein Vielfach von ist, ist die Bedingung, dass separabel ist, äquivalent zu der Tatsache, dass ein separabel Polynom existiert, sodass .

• Beweis:

  • Dies folgt aus der Tatsache, dass wenn und und keinen nicht-konstanten gemeinsamen Teiler haben, auch und keinen nicht-konstanten gemeinsamen Teiler haben.
  • Um das zu beweisen, berechnet man . Wenn ein gemeinsamer Teiler von und ist, dann muss auch und teilen. Daher gilt .

Übung 4

• Sei ein Ring und sein .

• Das Ziel dieser Übung ist es zu zeigen, dass das Produkt genau dann separabel ist, wenn und separabel sind und .

  1. Zeigen Sie, dass und als Ideale von .
  2. Zeigen Sie, dass
     
  3. Zeigen Sie, dass genau dann separabel ist, wenn und separabel sind und .

Beispiele für separable algebraische Erweiterungen

• Sei eine algebraische Körpererweiterung und sei . Nehmen wir an, dass separabel ist. Das heißt, dass und teilerfremd sind, wobei das Minimalpolynom von ist. Wir werden zeigen, dass eine separable Erweiterung von ist.
• Da per Annahme algebraisch über ist, ist die -Algebra ein Körper, die eine algebraische Erweiterung von ist.
• Um zu zeigen, dass die Erweiterung separabel ist, genügt es daher zu zeigen, dass die Menge
  bestehend aus aller Elemente von L, die über separabel sind, eine -Algebra bildet. Weil in diesem Fall gilt , somit auch .

Separabler Abschluss

• Das Ziel ist nun den folgenden Satz zu beweisen.

  Satz. Sei ein Körper (mit entscheidbarer Gleichheit) und sei eine kommutative -Unteralgebra von . Dann ist die Menge

  eine -Algebra, die der separable Abschluss von in genannt wird.

• Da gilt, reicht es zu beweisen, dass eine Ring ist, und dafür reicht es zu beweisen, dass

  weil in diesem Fall gilt, dass insbesondere und .

Lineare Algebra zur Rettung

• Die Idee ist die Unteralgebra zu betrachten. Da und algebraisch über sind, ist die -Algebra ein Körper und ein endlich-dimensional -Vektorraum.
• Sei der -lineare Endomorphismus von , der durch Multiplikation mit definiert wird: . In ähnlicher Weise, sei der Endomorphismus, der durch definiert wird.
• Da eine kommutative -Algebra ist, gilt und ist eine kommutative -Unteralgebra von der (nicht-kommutativen) -Algebra .
• Wir werden zeigen, dass, aufgrund und separabel sind, die Endomorphismen und diagonalisierbar über einem geeigneten Körper sind. Da und kommutieren, sind sie tatsächlisch in einer gemeinsamen Basis von Eigenvektoren diagonalisierbar.

Separabilität und Diagonalisierbarkeit

Lemma. Sei ein Element der -Algebra und nehmen wir an, dass algebraisch über ist.

• Sei das Minimalpolynom von und sei der Unterkörper von , der durch der Koeffizienten von erzeugt wird, und sei eine Zerfällungserweiterung für .
• Sei der Endomorphismus des endlich-dimensionalen -Vektorraum , der durch definiert wird.

Dann ist genau dann separabel über , wenn über diagonalisierbar ist.

Beachten Sie, dass auch algebraisch über ist, und dass genau dann separabel über ist, wenn separabel über ist.

Beweis des Lemma über Separabilität und Diagonalisierbarkeit

• Erinnern Sie sich daran, dass ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen -Vektorraum diagonalisiberbar über ist, wenn sein Minimalpolynom in linearen Faktoren über zerfällt.
• Im Allgemeinmen ist das Minimalpolynom eines Endomorphismus dasselbe wie sein Minimalpolynom über als Element der kommutativen -Algebra . Wenn , dann ist dieses Minimalpolynom das Minimalpolynom von über .
• Die für uns wichtige Bemerkung ist dann die folgende. Nach der Charakterisierung von separablen Polynomen, die wie bewiesen haben, ist genau dann separabel, wenn keine mehrfache Wurzel in besitzt. Das heißt, wenn diagonalisierbar über ist.