Separable algebraische Erweiterungen

Heinrich Weber (1842–1913) war ein deutscher Mathematiker, dessen Werk ein breites Spektrum mathematischer Gebiete umfasste. Er habilitierte sich 1866 in Heidelberg und wurde 1869 dort Professor. Er ist insbesondere für den Satz von Kronecker-Weber bekannt. Einer seiner Schüler war David Hilbert.

Ableitung von Polynomen

• Die Differentialrechnung zeigt, dass die Ableitung einer Polynomfunktion wieder eine Polynomfunktion ist.
  Außerdem ist die Ableitung einer konstanten Funktion null.
• In Polynomringen können wir diese Formel als Definition nehmen, um die formale Ableitung eines Monoms einzuführen. Diese Definition lässt sich durch Linearität auf jedes beliebige Polynom erweitern.
  wobei (-mal).

Übung 1

• Sei ein Ring.

• Zeigen Sie die folgende Eigenschaften für die formale Ableitung von Polynomen:

  1. Linearität: und .
  2. Leibnizregel: .
     Hinweis. Nach der Linearitätseigenschaft, reicht es die Leibnizregel für und zu überprüfen.
  3. Wenn ein konstantes Polynom ist, dann gilt .
  4. Zeigen Sie, dass die Umkehrung von (iii) im Allgemeinen nicht gilt.
     Hinweis. Betrachten Sie und , mit , und erinnern Sie sich daran, dass in .

Ableitungen höherer Ordnung

• Da die formale Ableitung eines Polynoms ein Polynom ist, hat auch dieses eine formale Ableitung . Daher können wir, für alle , die Ableitung der Ordung von induktiv definieren:

• Dann gilt (Übung).

Mehrfache Nullstellen

• Sei ein Polynom. Wenn heißt eine Nullstelle (oder Wurzel) von .

• Wir haben bereits gesehen, dass genau dann gilt, wenn in ist, das heißt, wenn ein Teiler von in ist.

• Das Element heißt eine mehrfache Nullstelle (oder mehrfache Wurzel), wenn es eine gibt, sodass ein Teiler von ist.

  Definition. Sei eine natürliche Zahl. Eine Nullstelle von hat Vielfachheit (oder Ordnung) , wenn ein Teiler von ist, aber kein Teiler von ist. Eine Nullstelle mit Vielfachhheit heißt eine einfache Nullstelle.

• Die folgende Übung zeigt, dass eine mehrfache Nullstelle von ist genau dasselbe wie eine gemeinsame Nullstelle von und .

Übung 2

• Sei ein Polynom.
• Zeigen Sie, dass ein Element genau dann eine mehrfache Nullstelle von ist, wenn gilt.
  Hinweis. Betrachten Sie die Division mit Rest von durch .
• Zeigen Sie durch Induktion, dass eine Nullstelle mit Vielfachheit ist, wenn .

Separable Polynome

• Sei ein (kommutatitaver, unitärer) Ring und sei .

  Definition. Das Polynom heißt separabel, wenn es Polynome gibt, sodass gilt. Das heißt, wenn das von und erzeugte Ideal der gesamte Polynomring ist: .

• Ist ein separabel Polynom, so ist jeder gemeinsame Teiler von und invertierbar in . Das heißt, separabel teilerfremd. Außerdem hat keine mehrfache Nullstelle in (außer wenn gilt).

• Die obige Definition ist etwas abstrakt, aber wir werden ihre Bedeutung sehen. Der wichtige Fall ist der, wenn der Ring ein Körper (mit entscheidbarer Gleichheit) ist. Da in diesem Fall ein Bézout-Ring ist, ist genau dann separabel, wenn und teilerfremd sind. Außerdem ist diese Eigenschaft entscheidbar.

Charakterisierung separabler Polynomen

Wir haben bereits gesehen, dass ein separabel Polynom keine mehrfache Wurzel in hat. Tatsächlich besitzt in keiner Erweiterung des Körpers, der durch die Koeffizienten von erzeugt wird, eine mehrfache Wurzel. Darüber hinaus sind separable Polynome durch diese Eigenschaft charakterisiert. Genauer gesagt, haben woir den folgenden Satz.

Satz. Sei und sei der Körper, der durch die Koeffizienten von erzeugt wird. Dann gelten die folgenden Eigenschaften:

1. Wenn separabel ist, dann besitzt in keiner Erweiterung (mit entscheidbarer Gleichheit) von , eine mehrfache Wurzel.
2. Wenn und nicht-separabel ist, existiert eine Erweiterung (mit entscheidbarer Gleichheit) von , sodass eine mehrfache Wurzel in besitzt. Man kann sogar explizit für einen Zerfällungskörper für (über ) nehmen.

Ein Lemma über teilerfremde Polynome

• Um den vorherigen Satz zu beweisen, zeigen wir zuerst das folgende Lemma.

  Lemma. Sei eine Körpererweiterung (und nehmen wir an, dass , somit auch , entscheidbare Gleichheit hat). Seien Polynome. Dann sind und genau dann teilerfremd über , wenn sie teilerfremd über sind.

• Da und Bézout-Ringe sind, ist die Bedingung, dass und teilerfremd sind, äquivalent zu der Tatsache, dass ist.

• Inbesondere, wenn teilerfremd über sind, existieren , mit . Da und ebenfalls Polynome mit Koeffizienten in sind, sind und auch teilerfremd über . Dies beweist die erste Folgerung („“).

Beweis des Lemmas

• Angesichts der obigen Bemerkung, reicht es die Umkehrung („“) zu beweisen. Das heißt, wenn teilerfremd über sind, dann sind und auch teilerfremd über .
• Nehmen wir an, dass ein gemeinsamer Teiler von und in ist (wir wissen bereits, dass ein Ring mit ggT ist). Dann ist auch ein gemeinsamer Teiler von und in .
• Da für geeignete Polynome , muss ein Teiler von in sein. Das heißt, ist invertierbar in .
• Daher muss ein konstantes (ungleich Null) Polynom sei. Das heißt, und sind teilerfremd über .

Übung 3

• Sei eine Körpererweiterung (und nehmen wir an, dass , somit auch , entscheidbare Gleichheit hat).

• Seien Polynome und sei ein ggT von über .

  1. Zeigen Sie, dass ein Element existiert, mit sodass und ein ggT von und über ist.
     Hinweis. Betrachten Sie einen ggT von und über und zeigen Sie, dass und assoziert in sind. Das heißt, ist auch ein ggT von und über . Sie können dafür eine Bézout-Relation über zwischen , und benutzen.
  2. Zeigen Sie, in ähnlicher Wiese, dass, wenn der Leitkoeffizient von gleich ist, dann auch das Polynom unbedingt zu gehört.

Beweis für den ersten Teil der Charakterisierung von Separabilität

• Zeigen wir zunächst, dass, wenn separabel ist, dann auch in keiner Erweiterung von (inbesondere, in keiner Erweiterung von ) mehrfache Wurzeln besitzt.
• Beachten wir uns dafür dass, nach dem vorherigen Lemma, separabel über äquivalent zu separabel über ist.
• Nehmen wir an, dass eine mehrfache Wurzel in einer Erweiterung besitzt. Da separabel ist, existieren Polynome , mit . Da die Vielfachheit von als Wurzel von mindestens ist, gilt , somit , was im Körper nicht gilt.

Beweis für den zweiten Teil der Charakterisierung von Separabilität

• Zeigen wir danach, dass, wenn ungleich Null und nicht-separabel ist, dann auch in geeigneter Erweiterung von eine mehrfache Wurzel besitzt.
• Die Idee ist, für eine Erweiterung von zu nehmen, die eine Zerfällungserweiterung für ist. Wir haben bereits bewiesen, dass eine solche Erweiterung existiert. Per Definition einer Zerfällungserweiterung gilt insbesondere in , wobei (mit ) und, für jedes , .
• Da (über , somit auch über und ) nicht-separabel ist, haben und einen nicht-konstanten gemeinsamen Teiler . Daher existiert ein , sodass . Da irreduzibel ist, gilt oder . Da nicht-konstant ist, existiert ein mit (Übung).
• Da auch ein Teiler von ist, gilt, für ein solches , dass ist. Das heißt, und haben eine gemeinsame Wurzel in ( hat eine mehrfache Wurzel in ).

Bemerkungen über separable und nicht-separable Polynome

• Sei ein Körper mit entscheidbarer Gleichheit und sei .

• Nehmen wir an, dass eine Zerfällungserweiterung für ist. Dann haben wir bewiesen, dass die folgende Bedingungen paarweise äquivalent sind:

  1. ist separabel (das heißt, ).
  2. und haben keinen nicht-konstanten gemeinsamen Teiler (weder in noch in ).
  3. und haben keine gemeinsame Wurzel in .

• Insbesondere ist genau dann nicht-separabel, wenn und einen nicht-konstanten gemeinsamen Teiler haben, oder, in äquivalenter Weise, wenn und eine gemeinsame Wurzel in haben. Bemerkung: Das ist dasselbe wie oben, ich wiederhole es nur in dieser Form, weil es wichtig ist, es schriftlich zu sehen.

Separable Elemente und separable Erweiterungen

Das Konzept der separablen Erweiterung kann für beliebige Körpererweiterungen definiert werden. Unten beschränken wir uns jedoch auf algebraische Erweiterungen, für die die Definition der Separabilität wie folgt lautet.

Definition. Sei eine Körpererweiterung.

• Ein Element heißt separabel über wenn es ein separables Polynom gibt, sodass .
• Wenn eine algebraische Erweiterung ist, heißt diese Erweiterung separabel, wenn jedes Element separabel über ist.

Charakterisierung separabler Elementen einer endlichen Erweiterung

Satz. Sei eine endliche Körpererweiterung und sei ein separabel Element, mit Minimalpolynom . Da jedes Polynom mit ein Vielfach von ist, ist die Bedingung, dass separabel ist, äquivalent zu der Tatsache, dass ein separabel ist.

Beweis:

• Dies folgt aus der Tatsache, dass wenn und und keinen nicht-konstanten gemeinsamen Teiler haben, auch und keinen nicht-konstanten gemeinsamen Teiler haben.
• Um das zu beweisen, berechnet man . Wenn ein gemeinsamer Teiler von und ist, dann muss auch und teilen. Daher gilt .

Übung 4

• Sei ein Ring und seien .

• Das Ziel dieser Übung ist es zu zeigen, dass das Produkt genau dann separabel ist, wenn und separabel sind und .

  1. Zeigen Sie, dass und als Ideale von .
  2. Zeigen Sie, dass
     
  3. Zeigen Sie, dass genau dann separabel ist, wenn und separabel sind und .

Beispiele für separable algebraische Erweiterungen

• Sei eine Körpererweiterung und sei . Nehmen wir an, dass separabel ist. Das heißt, dass und teilerfremd sind, wobei das Minimalpolynom von über ist. Wir werden zeigen, dass eine separable Erweiterung von ist.
• Da algebraisch über ist, ist die -Algebra ein Körper, die eine algebraische Erweiterung von ist.
• Um zu zeigen, dass die Erweiterung separabel ist, genügt es zu zeigen, dass die Menge
  bestehend aus aller Elemente von L, die separabel über sind, eine -Algebra bildet, weil in diesem Fall gilt, somit auch .

Separabler Abschluss

• Das Ziel ist nun den folgenden Satz zu beweisen.

  Satz. Sei eine Körpererweiterung (mit entscheidbarer Gleichheit). Dann ist die Menge

  ein Körper, die eine separable Erweiterung von ist (und der separable Abschluss von in genannt wird).

• Zeigen wir zuerst, dass eine -Unteralgebra von ist. Dazu genügt es zu zeigen, dass gilt, denn in diesem Fall gilt insbesondere und .

• Eine ähnliche Strategie wurde angewendet, um zu zeigen, dass die algebraischen Elemente einer Körpererweiterung eine Teilalgebra bilden.

Lineare Algebra zur Rettung

• Da und algebraisch über sind, ist die -Algebra ein endlich-dimensional -Vektorraum. Sei und sei eine Basis für den -Vektorraum .
• Die Idee ist, für alles , der -lineare Endomorphismus von zu betrachten, der durch Multiplikation mit definiert wird: . Die Matrix für in der Basis wird als bezeichnet.
• Sei der Teilkörper von , der durch die Koeffizienten von erzeugt wird. Das Minimalpolynom der Matrix ist ein Polynom mit Koeffizienten in (genau wie das charakteristische Polynom von , von dem ein Teiler ist).
• Bemerkung. Wenn wir als Element der kommutativen -Unteralgebra betrachten, ist ein sogennantes ganzes Element über , mit Minimalpolynom .

Minimalpolynome

Da eine algebraische Erweiterung von ist, hat jedes ein Minimalpolynom . Die Beziehung zwischen linearer Algebra und Körpererweiterungstheorie ist eine Konsequenz des folgenden Lemmas (siehe danach Separabilität und Diagonalisierbarkeit).

Lemma. Für alles , gilt . Das heißt, das Minimalpolynom von als algebraisches Element von ist dasselbe wie das Minimalpolynom von als Element von .

Beweis. Da die Matrix für den Endomorphismus ist, gilt, für jedes Polynom und jeden Vektor , Folgt daraus, dass gilt, somit und .
Anmerkung. Da im Allgemeinen kein Element von ist, ist keine diagonale Matrix. Aber , von wo aus berechnet man, dass .

Separabilität und Diagonalisierbarkeit

• Da und , gilt , mit abzählbar. Sei eine Zerfällungserweiterung für . Da ist, ist auch eine Matrix mit Koeffizienten in . Insbesondere zerfällt in lineare Faktoren über .

• Da ein Teilkörper von ist, und mit , ist algebraisch über , und wir haben gesehen, dass genau dann separabel über ist, wenn separabel über ist. Außerdem ist genau dann separabel, wenn keine mehrfache Wurzel in hat.

• Da ist, zerfällt auch in lineare Faktoren über . Außerdem hat genau dann keine mehrfache Wurzel in , wenn die Matrix diagonalisierbar über ist (das heißt, als Element von ). Deshalb haben wir den folgenden Satz bewiesen.

  Satz. Das Element genau dann separabel ist, wenn eine Erweiterung existiert, sodass diagonalisierbar über ist .

Separable Elemente bilden eine Teilalgebra

• Um den Satz zu dem separablen Abschluss zu beweisen, genügt es, nach dem obigen Satz, Folgendes zu überprüfen, dass für jedes , die Matrix diagonalisierbar über einem geeignetem Körper ist.
• Sei , sodass in . Sei der kleinste Teilkörper, der die Körper , und enthält. Wir betrachten die Matrizen , und als Elemente von . Da per Annahme und separabel sind, sind und diagonalisierbar über eine geeignete Erweiterung (für den Beweis nimmt man zunächst , und beachtet man, dass separabel über ist).
• Da , gilt auch , und und sind außerdem gleichzeitig diagonalisierbar. Da ist, kommutiert mit und und ist auch diagonalisierbar über . Dies beendet den Beweis, dass separabel ist.
• Das heißt, gilt .

Separable Elemente bilden einen Teilkörper

• Wir werden nun zeigen, dass die -Unteralgebra ein Teilkörper von ist. Nehmen wir mit und .

• Da algebraisch über ist, ist die -Algebra ein Körper und ist .

• Da separabel über ist, gilt auch , somit .

• Wir haben endlich ein Beispiel für eine (endliche) separable Erweiterung gebaut.

  Satz. Sei eine Körpererweiterung und sei ein separabel Element über . Dann ist eine Teilkörper von und eine separable Erweiterung von .

• Später werden wir sehen, dass jede endliche und separable Erweiterung ist von der Form für ein geeignetes Element (Satz vom primitiven Element).

Weitere Beispiele für separable Erweiterungen

• Es gibt Körper , für die jede algebraische Erweiterung von separabel ist. Dies sind die sogennante vollkommenen Körper.
• Zum Beispiel ist jedes endliche Körper ein vollkommener Körper (zugelassen).
• Unten werden wir zeigen, dass jeder Körper, dessen Primkörper ist, ein vollkommener Körper ist.
  Erinnerung. Der Primkörper eines Körpers ist der Teilkörper von , der aus allen Elementen von der Gestalt besteht, mit und .
• Es gibt Körper, die nicht vollkommen sind (zugelassen), zum Beispiel der Körper der rationalen Funktionen , mit Koeffizienten in einem endlichen Körper (zum Beispiel , mit eine Primzahl).

Die Charakteristik eines Rings

• Sei ein (kommutativer, unitärer) Ring und sei der Unterring
  der das Bild des eindeutigen Homomorphismus unitärer Ringen ist.
• Inbesondere induziert einen Ringisomorphismus . Da ein Ideal von ist, existisiert außerdem ein , sodass .
• Wenn ein Integritätsring ist, ist ein Primdeal und ist ein Integritätsring. Wenn , muss daher eine Primzahl sein und, in diesem Fall, ist ein Körper.
• Wenn ein Körper ist, dann stimmt der Quotientenkörper mit dem Primkörper überein.

Formale Definition der Charakteristik

• Sei ein Ring, in dem ist.
• Wenn , sagt man, dass endliche Charakteristik hat. In diesem Fall gibt es, für eine wohldefinierte Primzahl , einen Ringisomorphismus und heißt diese die Charakteristik von . Die Zahl ist auch die Ordnung von in der abelschen Gruppe . Zum Beispiel hat Charakteristik .
• Wenn , oder, in äquivalenter Weise, wenn , sagt man, dass Charakteristik Null hat. In diesem Fall gibt es . Zum Beispiel hat Charakteristik Null.
• Ein Körper hat genau dann Charakteristik ist, wenn der Primkörper von isomorph zu ist. In ähnlicher Wiese hat ein Körper genau dann Charakteristik Null, wenn der Primkörper von isomorph zu ist.

Übung 5

• Zeigen Sie, dass die Charakteristik des Rings gleich ist.
• Ist die Charakteristik von gleich , wobei das kleinste gemeinsame Vielfache von und ist?

Körper mit Charakteristik Null sind vollkommen

• Zum Beispiel sind , , Körper mit Charakteristik Null. So auch ist .

• Um zu zeigen, dass jede algebraische Erweiterung eine Körpers mit Charakteristik Null separabel ist, reicht es zu beweisen, dass das Minimalpolynom eines beliebigen Elements separabel ist.

• Da irreduzibel ist, hat keinen nicht-trivialen Faktor. Daher genügt es, den folgenden Satz zu beweisen.

  Satz. Sei ein Körper mit (entscheidbarer Gleichheit und) Charakteristik Null. Dann ist jedes nicht-konstantes Polynom ein Produkt von separablen Polynomen.