Normale Erweiterungen

Ernst Kummer (1810-1893) war ein deutscher Mathematiker und Hochschullehrer, der sich vor allem als Zahlentheoretiker bekannt wurde. Er führte 1847 beim Studium von dessen Ring ganzer Zahlen ideale Zahlen ein, woraus später die Idealtheorie durch Dedekind und Kronecker wurde, eine der Grundlagen der Entwicklung der abstrakten Algebra.

Homomorphismen von Algebren über einem festen Körper

• Sei ein Körper (immer mit entscheidbarer Gleichheit). Ein Homomorphismus von -Algebren wird -Homomorphismus genannt. Die Menge aller solchen Homomorphismen wird als bezeichnet.
• Die Bedingung, dass ein Ringhomomorphismus ein -Homomorphismus ist, kann durch die Kommutativität des obigen Diagramms ausgedrückt werden.
• Ist jede eine Körpererweiterung von , dann sind alle Abbildungen in den obigen Diagramm injektiv und ist ein Ringhomomorphismus genau dann ein -Homomorphismus, wenn ist (das heißt, wenn in ).

Konjugierte Elemente

• Als Beispiele für -Homorphismen, können wir die Menge aller -Homomorphismen von einer Zwischenerweiterung nach die Erweiterung untersuchen.
• In diesem Zusammenhang werden wir annehmen, dass algebraisch über ist. Dann gibt es einen -Isomorphismus , wobei das Minimalpolynom von ist. Da ein -Algebra Homomorphismus ist, gilt, für jedes Polynom , dass ist (Übung). Insbesondere ist eine Würzel von in , denn .
• Umgekehrt induziert jede Wurzel von in einen -Homomorphismus von , der eindeutig durch die Bedingung bestimmt ist. Eine Wurzel von in heißt ein Konjugiert (oder konjugiertes Element) von in .

Übung 1

• Sei eine Körpererweiterung und sei ein algebraisches Element über .
• Sei ein Konjugiert von in . Zeigen Sie, dass ist (wobei und die Minimalpolynome von und sind).
• Sei . Zeigen Sie, dass algebraisch über ist, und dass ist.

Die Menge aller Konjugierte eines algebraischen Element

Satz. Sei eine Körpererweiterung und sei . Wenn algebraisch über ist, mit Minimalpolynom , ist die folgende Abbildung eine Bijektion.

Insbesondere hat hochstens Elemente.

• Die inverse Abbildung bildet ein konjugiertes Element von nach der eindeutige -Homomorphismus ab, der ( die Klasse von in ) nach abbildet. Das heißt, gilt .
• Der Homomorphismus ist dank der universellen Eigenschaften von und wohldefiniert, denn . Gilt dann und , denn . Außerdem hat hochstens Elemente.

Beispiele für Konjugierte und Erweiterunghomomomorpshismen

• Seien und . Sei , mit Minimalpolynom , deren Wurzeln in die folgende sind: , , und . Der Körper enthält die Wurzeln von , aber nicht die Wurzeln
• Dann gilt
  und

• Der Körper ist ein Zerfällungskörper für und eine Erweiterung von . Da alle Konjugierte von in zu gehören, gilt

Endomorphismen einer algebraischen Erweiterung

Die Menge ist besonders interessant, weil jeder Endomorphismus einer algebraischen Erweiterung tatsächlich ein Automorphismus ist .

Satz. Sei eine algebraische Körpererweiterung. Dann ist jeder -Endomorphismus von ein -Automorphismus.

Beweis. Es reicht zu zeigen (Übg.), dass jeder -Endomorphismus eine Bijektion ist.

• Da ein Körper ist, ist der Ringhomomorphismus injektiv. Sei nun , mit Minimalpolynom . Da , gilt . Dies bedeutet, dass eine (injektive) Abbildung induziert.
• Da per Definition die Menge aller Wurzeln von in ist, hat diese Menge hochstens Elemente. Da eine Wurzel von ist, existieren daher , mit und . Da injektiv ist, gilt .

Übung 2

• Sei eine endliche Körpererweiterung.
• Zeigen Sie, dass es eine gibt, sodass die Gruppe hochstens Elemente hat.
  Hinweis. Schreiben Sie für geeignete , und bauen Sie eine injektive Abbildung
  dann setzen Sie .

Normale Körpererweiterungen

• Das Konzept einer normalen Erweiterung wird analog zu dem einer (algebraischen) separablen Erweiterung definiert.

• Das heißt, wir führen zunächst die Notion des normalen Element ein, dann die der normalen Erweiterung, als eine Erweiterung, in der jedes Element normal ist.

  Definition. Sei eine Körpererweiterung.

  • Ein Element heißt normal über wenn es algebraisch ist und ein Polynom mit Leitkoeffizient existiert, sodass in lineare Faktoren über zerfällt. Das heißt, wenn in .
  • Wenn eine Körpererweiterung ist, heißt diese Erweiterung normal, wenn jedes Element normal über ist.

Charakterisierung normaler Elementen einer endlichen Erweiterung

Wie für separable Elemente, haben wir eine äquivalente Charakterisierung der normalen Elemente einer endlichen Körpererweiterung .

Satz. Sei eine endliche Körpererweiterung und sei ein algebraisches Element. Dann ist genau dann normal über , wenn das Minimapolynom in lineare Faktoren über zerfällt.

Beweis:

• Um „“ zu beweisen, reicht es (das Minimalpolynom von ) zu setzen.
• Für „“, sei ein Polynom mit und in . Dann gilt Folgt daraus, dass in lineare Faktoren über zerfällt. Genauer gesagt, gilt für geeignete und (Übung).

Erweiterungen, die keine normale Erweiterung sind

• In der Praxis ist es nicht immer klar, wie zu überprüfen, dass jedes Element einer angegebenen Erweiterung normal über ist. Wir werden unten sehen, dass es zu zeigen reicht, dass ein Zerfällungskörper ist.

• Es ist etwas einfacher, es zu zeigen, dass eine angegebene endliche Erweiterung keine normale Erweiterung ist:

  • Es reicht ein algebraisches Element zu finden, dessen Minimalpolynom in lineare Faktoren über nicht zerfällt.
  • Zum Beispiel ist keine normale Erweiterung von , weil das Minimalpolynom von hat Wurzeln , die nicht zu gehören.

Übung 3

• Sei ein vollkommener Körper und sei eine normale Körpererweiterung.
• Sei , mit Minimalpolynom .
• Zeigen Sie, dass die Menge enthält genau Elemente.

Endliche normale Erweiterungen sind Zerfällungskörper

• Sei eine endliche Körpererweiterung und nehmen wir an, dass normal über ist.
• Dann können wir schreiben, mit normal über . Das heißt,für jedes existiert ein geeigenetes Polynom mit , sodass in lineare Faktoren über zerfällt.
• Es ist dann unmittelbar, dass ein Zerfällungskörper für das Polynom ist, denn zerfällt in lineare Faktoren über und die Wurzeln von erzeugen als -Algebra.

Zerfällungskörper sind normale Erweiterungen

• Die Umkehrung der vorherigen Satzes kann als erster Schritt der Galois-Theorie angesehen werden.

  Satz. Sei ein Körper. Sei und nehmen wir an, dass eine Erweiterung von ist, die ein Zerfällungskörper für ist. Dann ist eine normale Erweiterung.

• Zum Beispiel ist eine normale Erweiterung von , weil von den Wurzeln von erzeugt wird und alle Wurzeln von enthält (genauer gesagt, zerfällt in lineare Faktoren über ).

• In ähnlicher Weise ist der Körper ein Zerfällungskörper für . Daher ist eine normale Erweiterung.

Symmetrischen Polynome

• Für den Beweis des vorherigen Satzes, brauchen wir das folgende Ergebnis.
• Sei und sei ein Polynom in Unbestimmnten. Dann heißt symmetrisch, wenn für alle Permutation , gilt

• Zum Beispiel ist die Potenzsumme symmetrisch.
• Die sogenannte elementarsymmetrischen Poynome in Unbestimmnten sind die folgende Polynome .

Elementarsymmetrischen Polynome

Die Relevanz elementarsymmetrischer Polynomen liegt in den folgenden zwei Tatsachen:

• Die Relationen zwischen Koeffizienten und Wurzeln:

  • Sei und nehmen wir an, dass . Dann gilt, .
  • Insbesondere gilt: Wenn hat Koeffizienten in , dann sind die elementarsymmetrischen Funktionen der Wurzeln von Elemente von , selbst wenn die Wurzeln von zu einer Erweiterung von gehören.

• Der Hauptsatz über elementarsymmetrische Polynome:

  • Dies behauptet, dass jedes symmetrische Polynom eindeutig als Polynom dargestellt werden kann.
  • Zum Beispiel gilt .

Beweis des Satzes über Zerfällungskörper

• Nehmen wir an, dass eine Erweiterung von ist, die ein Zerfällungskörper für ein gegebener Polynom mit Leitkoeffizient ist. Dann gilt über , und .
• Sei . Wir müssen zeigen, dass normal über ist.
• Da der Gestalt für ein geeignetes ist, ist die Idee das folgende Polynom in Unbestimmten einzuführen:

• Dann ist , als Element von , ein symmetrisches Polynom. Zum Beispiel, wenn ist, gilt , das heißt .

Fortführung des Beweises

• Genauer gesagt ist jedes Koeffizient von als Element von eine elementarsymmetrische Funktion in die Unbestimmnten .

• Man kann das wie folgt schreiben: , somit

  und

  wobei die die elementarsymmetrische Funktionen in Unbestimmten sind.

  Das heißt, eine symmetrische Funktion aller Permutationen der Unbestimmten ist selbst eine symmetrische Funktion in .

Ende des Beweises

• Existieren daher Polynome , mit
  wobei die die elementarsymmetrische Funktionen in Unbestimmten sind.
• Daraus folgt, dass die Koeffiziente von sind Polyome in . Da die Wurzeln von sind, ist genau der Koeffizient des Monoms im Ausdruck von .
• Dann ist ein Element von , sodass ist und
  in lineare Faktoren über zerfällt. Daher ist normal über .

Übung 4

• Sei ein Körper und sei eine Erweiterung von , die ein algebraisch abgeschlossener Körper ist. Sei die Menge aller Elemente in , die algebraisch über sind.
• Begründen Sie kurz, warum ein algebraischer Abschluss für ist.
• Zeigen Sie, dass eine Zwischenerweiterung genau dann normal ist, wenn für alles , alle Konjugierte von in zu gehören.
  Hinweis. Da in lineare Faktoren über zerfällt, sind die Konjugierte von in genau die Wurzeln von .

Normale Erweiterungen sind invariant unter Automorphismen

Der folgende Satz stellt eine Beziehung zwischen normalen Zwischenrerweiterungen einer Körpererweiterung und Invarianz unter -Automorphismen von her.

Satz. Sei eine Körpererweiterung und sei eine Zwischenerweiterung. Wenn normal ist, dann gilt .

Beweis. Es genügt zu zeigen (Warum?), dass .

• Sei mit . Da normal über ist, existiert mit Leitkoeffizient , sodass gilt, und in lineare Faktoren über zerfällt. Das heißt, in .
• Sei . Dann gilt .
• Da alle Wurzeln von in zu gehören, gilt .

Erweiterungen, die invariant unter Automorphismen sind

Unter zusätzlichen Annahme, gilt eine Umkehrung des vorherigen Satzes.

Satz. Sei eine endliche und normale Körpererweiterung und sei eine Zwischenerweiterung. Wenn gilt, dann ist auch eine normale Erweiterung.

Beweis. Sei mit . Wir möchten zeigen, dass normal über ist.

• Da eine endliche Erweiterung ist, ist algebraisch über . Sei das Minimalpolynom von . Dann gilt in .
• Wir möchten zeigen, dass jedes zu gehört. Sei der eindeutige -Homomorphismus , der nach abbildet. Nun reicht es zu beweisen, dass eine Fortsetzung besitzt. Hier wird die Annahme verwendet, dass normal ist (siehe unten). Dies genügt, weil dann gilt, somit

Fortsetzung der Homomorphismen aus Zwischenerweiterungen

Die folgende Eigenschaft einer endlichen normalen Erweiterung wird oft benutzt.

Lemma. Sei eine Körpererweiterung und sei eine Zwischenerweiterung. Nehmen wir an, dass endlich ist, und dass normal ist. Dann existiert, für jeden -Homomorphismus , eine Forsetzung , das heißt ein -Homomorphismus , mit .

Bemerkungen.

• Eine solche Fortsetzung ist ein -Endomorphismus von , somit auch ein -Automorphismus von .
• In der Praxis (zum Beispiel im vorherigen Satz über Erweiterungen, die invariant unter Automorphismen sind), gilt oft, dass endlich-dimensional als -Vektorraum ist.