Zerfällungserweiterungen und algebraisch abgeschlossene Körper

Bartel van der Waerden (1903-1996) war ein niederländischer Mathematiker. Bekannt wurde er durch sein zweibändiges Lehrbuch der Algebra, dessen erste Auflage 1930 unter dem Titel Moderne Algebra erschien und auf den Vorlesungen von Emil Artin und Emmy Noether basiert.

Wurzeln von Polynomen

• Sei ein Körper (mit entscheidbarer Gleichheit) und sei ein Polynom.
• Ist es möglich, einen Körper und einen (unitären) Ringhomomorphismus zu konstruieren, sodass es ein Element gibt, mit ?
• Ein solches Element heißt eine Wurzel oder eine Nullstelle für .
• Wenn irreduzibel ist, lautet die Antwort auf die obige Frage ja. Nämlich, der Körper ist die Adjunktion , der Ringhomomorphismus ist die kanonische Projektion
  und das Element ist die Klasse von modulo . Da ein -Algebrahomomorphismus ist, gilt genau

• Was passiert, wenn nicht irreduzibel ist?

Bemerkungen über Algebren und Körper

• Ein Ringhomomorphismus induziert eine -Algebrastruktur auf , nämlich die eindeutige -Algebrastruktur bezüglich dessen ein -Algebrahomomorphismus ist.
• Nämlich, die skalare Multiplikation von auf ist die Verknüpfung , die für alles und alles durch definiert wird, wobei die Multiplikation im Ring ist. Hier ist es wichtig, zu haben.
• In der vorherigen Situation, wobei ein Körper ist, ist ein Ringhomomorphismus unbedingt injektiv. Daher ist ein Körpererweitrung.
• Das heißt, gegeben ein Polynom , möchten wir eine Körpererweiterung finden, in der die Eigenschaft erfüllt ist.

Hinzufügen von Wurzeln eines beliebigen Polynoms

• Sei ein Körper und ein Polynom. Nehmen wir an, dass wir ein Polynom haben, sodass ein irreduzibler Faktor von ist. Wenn endlich ist, ist das entscheidbar, weil es in diesem Fall nur endlich viele Polynome mit gibt, und entscheidbar ist.
• Dann bietet die Adjunktion eine Lösung für unser Problem: ist eine Erweiterung von , in der , somit auch , eine Nullstelle hat, nämlich die Klasse von modulo .
• In der klassischen Logik ist das Problem dann vollständing gelöst, weil der Ring ein eIZ-Ring ist (ein Ring mit eindeutiger Irreduzibelzerlegung).
• Ohne zusätzliche Axiome müssen wir jedoch weitere Annahmen über treffen, zum Beispiel dass ein eIZ ist. In der Praxis können wir das manchal direkt beweisen, wie zum Beispiel für (der Satz von Kronecker).

Abzählbare Körper und Ringe

• Um unser Problem zu lösen, reicht es ein maximales ideal mit zu finden. Dann ist ein Körper, in dem die Klasse eine Nullstelle für ist.
• Zum Beispiel, wenn ein irreduzibler Faktor von ist, können wir nehmen. Da ein Hauptidealring ist und irreduzibel ist, ist das Ideal maximal.
• Wir werden nun zeigen, dass, wenn abzählbar ist, ein solches Ideal ohne Faktorisierung von konstruiert werden kann.
• Hier ist die Definition von Abzählbarkeit die folgende: Eine Menge heißt abzählbar (oder hochstens abzählbar), wenn es eine Teilmenge und eine Abbildung gibt, mit surjektiv.
• Tatsächlich sollen wir auch fordern, dass das Prädikat entscheidbar ist. Das heißt, gilt (in diesem Fall heißt die Teilmenge abtrennbar).

Übung 1

• Sei ein abzählbarer Ring.
• Zeigen Sie, dass der Polynomring abzählbar ist.

Übung 2

• Zeigen Sie die folgende Eigenschaften:

  • Die leere Menge ist abzählbar.
  • Eine nicht-leere Menge ist genau dann abzählbar, wenn es eine Abbildung gibt, mit surjektiv.

Maximale Ideale in abzählbaren Ringen

• Später werden wir den folgenden Satz in Polynomringen mit Koeffizienten in einem abzählbaren Ring anwenden.

  Satz. Sei ein abzählbarer Ring, in dem endlich erzeugter Ideale abtrennbar sind, und sei ein echtes Ideal von . Dann existiert ein maximales Ideal in , mit abtrennbar und .

• Bemerkung. Wenn wir ein solches Ideal in konstruieren könnten, das auch endlich erzeugt wäre, dann würde daraus folgen, dass, wenn abzählbar ist, jedes Polynom einen irreduziblen Faktor besitzt (weil jedes endlich erzeugt Ideal von ein Hauptideal ist). In der klassischen Logik gelten alle diese Eigenschaften.

Konstruktion eines geeigneten maximalen Ideals

• Geben wir den Beweis des vorherigen Satzes. Sei eine Aufzählung des Rings Wir werden eine steigende Folge von Idealen bauen, mit und ein maximales Ideal.

• Um zu definieren, betrachten wir die entscheidbare Eigenschaft .

  • Wenn , dann setzen wir .
  • Wenn , dann setzen wir .

• Dann gilt und, per Konstruktion der Folge ,

• Dann ist ein Ideal (Übung), das abtrennbar und maximal ist (weil invertierbar modulo ist).

Polynomringe mit Koeffizienten in einem abzählbaren Körper

Satz. Sei ein abzählbarer Körper (mit entscheidbarer Gleichheit) und sei ein nicht konstantes Polynom. Dann existiert eine Körpererweiterung und ein Element mit . Außerdem ist abzählbar, mit entscheidbarer Gleichheit.

Beweis.

• Da kein konstantes Polynom ist, ist das Ideal ein echtes Ideal von , der ein abzählbarer Ring ist. Außerdem folgt aus der Existenz der Division mit Rest für Polynome, dass die endlich erzeugte Ideale von Hauptideale sond. Daher sind sie auch abtrennbar, weil die Teilbarkeitsrelation entscheidbar ist.
• Dann folgt aus dem vorherigen Satz, dass für geeignetes maximales Ideal . Daher gilt, dass ein abzählbarer Körper ist, mit eine Nullstelle für in . Da abtrennbar ist, ist die Gleichheit von entscheidbar.

Zerfällung eines Polynoms als Produkt von Linearfaktoren

• Wir haben unser Problem gelöst: Hinreichende Bedingungen auf zu finden, so dass, für alles , eine Körpererweiterung existiert, in der eine Wurzel hat.
• Dies erreichten wir entweder durch die Annahme vom SAD oder durch die Annahme, dass abzählbar ist.
• Auf jedem Fall haben wir bewiesen, dass das Polynom ein Teiler von in ist. Das heißt, existiert ein , mit . Insbesondere gilt .
• Durch eine endliche Wiederholung dieses Vorgangs, können wir einen Körper bauen, in dem gilt, wobei und der Leitkoeffizient von ist.
• Außerdem können wir den Teilkörper betrachten, und gilt noch in , mit algebraisch über (weil ).

Zerfällungserweiterungen

• Ein Körper der Gestalt , wobei die Wurzeln eines Polynoms sind, heißt eine Zerfällungserweiterung.

• Bevor wir zur formalen Definition kommen, möchten wir den folgenden Satz beweisen.

  Satz. Sei eine Körpererweiterung und nehmen wir an, dass für bestimmte in . Dann sind die folgende Bedingungen äquivalent:

  1. ist eine algebraische Erweiterung von .
  2. ist algebraisch über .
  3. ist als -Vektorraum endlich erzeugt.

  In diesem Fall gilt außerdem . Das heißt, wenn algebraisch über ist, ist die endlich erzeugte -Algebra ein Körper.

Endliche Algebren

• Eine endliche -Algebra ist eine -Algebra , die als -Vektorraum endlich erzeugt ist. Das heißt, es gibt Elemente in , sodass gilt.
• Inbesondere ist eine solche Algebra auch als -Algebra endlich erzeugt. Das heißt, es gibt Elemente in , sodass gilt.
• Der vorherige Satz sagt genau, dass ein Körper der Gestalt genau dann eine algebraische Erweiterung von ist, wenn endlich als -algebra ist.
  In diesem Fall ist das Erzeugendsystem von als -Algebra im Allgemeinen kein Erzeugendsystem von als -Vektorraum.

Algebraizität für endliche Erweiterungen

• Beweisen wir den vorheringen Satz. Sei eine Erweiterung von , die endlich erzeugt als Körper ist.

• „(i) (ii)“. Wenn algebraisch ist, ist insbesondere jedes algebraisch über .

• „(ii) (iii)“. Zeigen wir, durch endliche Induktion über , dass als -Vektorraum endlich erzeugt ist, und dass ) gilt.

  • Wenn ist, gilt ( algebraisch über ) und als -Vektorraum endlich erzeugt.
  • Wenn die Induktionsannahme für erfüllt ist, und algebraisch über ist, dann ist auch algebraisch über , der als -Vektorraum endlich erzeugt ist. Dann ist endlich erzeugt als -Vektorraum, somit auch als -Vektorraum. Dies beendet die Induktion.

Ende des Beweises

• „(iii) (i)“.

  • Es verbleibt zu beweisen, dass, wenn als -Vektorraum endlich erzeugt ist, dann ist jedes in algebraisch über .
  • Dies folgt aus der Tatsache, die wir bewiesen haben, dass, wenn eine -Teilalgebra eines Körpers endlich erzeugt als -Vektoraum ist, jedes Element algebraisch über ist (wir wenden dies auf die -Algebra an).

• Bemerkung. Nach einem Lemma von Zariski, gilt tatsächlich auch die Folgerung algebraisch (zugelassen). Genauer gesagt, behauptet dieses Lemma Folgendes (was einen Beweis des Hilbertschen Nullstellensatzes bietet):

  Sei eine endlich erzeugte -Algebra.Wenn ein Körper ist, dann ist eine algebraische Erweiterung von (die unbedingt endlich ist).

Formale Definition von Zerfällungserweiterungen

Definition. Sei eine Körpererweiterung und sei . Der Körper heißt eine Zerfällungserweiterung für das Polynom , wenn Elemente in existieren, mit:

1. in ( zerfällt in lineare Faktoren über ).
2. (mit algebraisch über ).

Bemerkungen.

• Das heißt, alle Wurzeln des Polynoms liegen in und wird von diesen Wurzeln als -Algebra erzeugt.
• In diesem Fall haben wir auch als Körper (mit, für jedes , algebraisch über ).

Beispiele für Zerfällungserweiterungen

Wenn ein irreduzibles Polynom ist, ist genau dann eine Zerfällungserweiterung für , wenn zerfällt in Linearfaktoren über .

• Sei . Das Element ist algebraisch über , mit Minimalpolynom . Insbesondere, . Da über , ist eine Zerfällungserweiterung für .
• Sei . Das Element ist algebraisch über , mit Minimalpolynom . Insbesondere, . Da mit irreduzibel über , ist keine Zerfällungserweiterung für .

Weitere Beispiele für Zerfällungserweiterungen

• Sei , mit . Da und Elemente von sind, und über , mit ist eine Zerfällungserweiterung für .
• Sei . Dann ist keine Zerfällungserweiterung für aber ist eine Zerfällungserweiterung für (Übung). Beachten Sie, dass, in diesem Beispiel, das Polynom nicht irreduzibel über ist.
• Sei und sei . Da , hat keine Wurzel in . Da ist, ist deshalb irreduzibel über . Setzen wir . Da ist, und eine Wurzel in hat, muss eine Zerfällungserweiterung für sein. Explizit gilt mit die zweite Wurzel von in (beachten Sie, dass aus den Elementen und besteht, und dass gilt).

Existenz von Zerfällungserweiterungen

• Sei ein Körper. Nehmen wir an, dass für alles , eine Erweiterung von konstruiert werden kann, in der eine Wurzel hat. Das gilt, zum Beispiel, wenn abzählbar ist, oder wenn ein irreduzibles Faktor hat. Inbesondere gilt das unter Verwendung des SAD.

• Dann gilt in , mit . Wenn abzählbar ist, oder wenn man den SAD verwendet, kann man dieses Argument wiederholen, um eine Erweiterung von zu konstruieren, in der , mit . Durch endliche Induktion erreichen wir das folgende Ergebnis.

  Satz. Sei ein Körper mit der oben genannten Eigenschaft. Dann, für alles existiert eine Zerfällungserweiterung für .

Übung 3

• Sei ein abzählbarer Körper mit entscheidbarer Gleichheit.
• Sei . Wir haben bereits bewiesen, dass es ein abzählbarer Körper mit entscheidbarer Gleichheit gibt, in dem eine Wurzel hat.
• Zeigen Sie, dass, durch wiederholung dieses Prozesses, ein abzählbarer Körper mit entscheidbarer Gleichheit konstruieren werden kann, in dem .
• Zeigen Sie danach, dass eine Zerfällungserweiterung für ist.
  Bemerkung. Dies gibt einen etwas anderen Beweis für die Existenz von Zerfällungserweiterungen.

Körper mit entscheidbarer Gleichheit

• In gewisser Weise ist die Annahme, dass abzählbar ist, nicht wesentlich.

  Satz. Sei ein Körper mit entscheidbarer Gleichheit und sei . Dann existiert ein Körper , in dem in Linearfaktoren zerfällt.

  Beweis. Sei der kleinste Teilkörper von , der die Koeffiziente von enthält. Dann ist abzählbar (siehe unten), mit entscheidbarer Gleichheit, und gilt . Daher existiert eine Erweiterung , sodass eine Zerfällungserweiterung von ist.

• Der Unterschied zur vorherigen Situation besteht darin, dass hier keine Erweiterung von ist. Stattdessen ist eine Erweiterung des Teilkörpers .

• Der Körper ist selbst eine Erweiterung des sogenannten Primkörpers von , der aus allen Elementen von der Gestalt besteht, mit und .

Übung 4

• Zeigen Sie, dass der Primkörper eines Körpers ein Teilkörper von ist.
• Zeigen Sie, dass der Primkörper von abzählbar ist, und dass, für alles mit , der Körper abzählbar ist.

Algebraisch abgeschlossene Körper

Definition. Ein Körper heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes Polynom mit eine Wurzel in hat.

• Durch Verwendung der Division mit Rest für Polynome ist die obige Bedingung äquivalent zu der Tatsache, dass jedes eine Zerfällung in Linearfaktoren in hat.

Beispiele und Gegenbeispiele.

• Der Körper der komplexen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen (Gauß).
• Der Körper der reellen Zahlen ist nicht algebraisch abgeschlossen, weil keine Wurzel in hat (Warum?).
• Ein endlicher Körper ist nicht algebraisch abgeschlossen (Übung).

Eigenschaften algebraisch abgeschlossener Körper

Satz. Wenn algebraisch abgeschlossen ist, gelten die folgende Eigenschaften:

1. Ist ein irreduzibles Polynom, dann gilt .
2. Ist eine algebraische Erweiterung, dann ist .

Beweis.

1. Sei ein irreduzibles Polynom. Da eine Wurzel in hat, ist .
2. Sei das Minimalpolynom von . Nach (i), muss gelten, somit .

Übung 5

Zeigen Sie dass, wenn der Körper abzählbar ist, oder wenn jedes nicht-invertierbar Polynom ein irreduzibles Faktor hat, die folgende Bedingungen äquivalent sind:

1. ist algebraisch abgeschlossen.
2. Ist ein irreduzibles Polynom, dann gilt .
3. Ist eine algebraische Erweiterung, dann ist .

Übung 6

• Sei ein Körper, ein Polynom mit und eine Erweiterung von die ein algebraisch abgeschlossener Körper ist. Zeigen Sie, dass in Linearfaktoren in zerfällt.
• Seien die Nullstelle von in . Zeigen Sie, dass der Körper der eindeutige Teilkörper von , der eine Zerfällungserweiterung für ist.