Euklidische Ringe und Hauptidealringe

Ernst Kummer (1810-1893) war ein deutscher Mathematiker und Hochschullehrer, der sich vor allem mit Zahlentheorie, Analysis und Geometrie befasste. Er führte ideale Zahlen ein, um mit diesen verallgemeinerten Zahlbegriffen die eindeutige Primfaktorzerlegung in Kreisteilungskörpern zu gewährleisten.

Was sind die Beispiele für Bézout-Ringe?

• Erinnern wir uns, dass ein Bézout-Ring ein Integritätsring ist, in dem jedes endlich erzeugte Ideal ein Hauptideal ist. Das ist äquivalent zu der Existenz, für jeden , eines Elements , sodass .
• Da ein solches als eine lineare Kombination aufgeschrieben werden kann, ist jeder Erzeugter von ein ggT von und .
• Das heißt, die Bedingung über Idealen, für ein Integritätsring ein Bézout-Ring zu sein, kann man auch wie folgt formulieren: enthält das Ideal einen ggT von und .
• Als Beispiel für einen Bézout-Ring, haben wir derzeit nur den Ring . Beachten Sie, dass, in gilt: Wenn ist, dann ist auch . Dies spiegelt die Tatsache wider, dass . Jetzt möchten wir weitere Beispiele geben.

Euklidische Normfunktionen

• Um euklidische Ringe zu definieren, brauchen wir die folgende Notion.

  Definition. Sei ein Integritätsring. Eine euklidische Normfunktion (oder Gradfunktion) auf ist eine Abbildung , die die folgende Eigenschaft erfüllt:

• Gegeben eine Funktion , bedeutet die obige Bedingung, dass der Ring eine Division mit Rest bezüglich besitzt: Für alle , gilt entweder mit , oder mit , und .
  Hier gibt es keine Eindeutigkeitsbedingung auf und , und in Beispiele werden wir sehen, dass es im Allegemeinen keine Eindeutigkeitseigenschaft gibt.

Beispiele für euklidische Normfunktionen

• Wir kennen schon die folgende Beispiele für eine Division mit Rest.

  1. Die Betragsfunktion ist eine euklidische Normfunktion auf . Da mit und mit , sehen wir explizit, dass es keine Eindeutigkeit gibt. Mann kann jedoch die zusätzliche Bedingung auferlegen, um die Eindeutigkeit des Paares zu erhalten.
  2. Wenn ein Körper mit entscheidbarer Gleichheit ist, ist die Gradfunktion eine euklidische Normfunktion (Übung!). In diesem Fall sind die Polynome mit und eindeutig.

• Wenn ein Körper ist, gilt für alles . Dann ist jede Abbildung (zum Beispiel für alles in ) eine euklidische Normfunktion.

Übung 1

• Sei ein (kommutativer, unitärer) Ring. Seien Polynome und nehmen wir an, dass eine natürliche Zahl existiert, sodass .

• Zeigen Sie die folgende Eigenschaften:

  1. Wenn das Leitkoeffizient von gleich zu ist, dann existiert ein eindeutiges Paar , sodass und .
  2. Für alles , existiert ein eindeutiges Polynom mit .
  3. Für alles , gilt genau dann in , wenn in .

Die Gaußschen Zahlen

• Die Menge der Gaußschen Zahlen ist die Menge

• Eine äquivalente Konstruktion, die nicht benutzt, ist die folgende:
  mit , die Klasse von modulo das Ideal .
• In beiden Fällen besitzt eine Ringstruktur, bezüglich der es ein Integritätsring ist.

Übung 2

• Sei und sei in diesem Ring.

• Zeigen Sie Folgende:

  1. Jedes Element in kann als für eindeutigen geschrieben werden.
  2. ist ein Primelement in .
  3. ist ein Körper.
  4. ist ein Unterring von .
  5. ist ein Integritätsring mit Quotientenkörper .
  6. .

Die Norm einer Gaußschen Zahl

• Betrachten wir die folgende Abbildung, die als Gaußscher Norm bezeichnet wird.

• Seien mit . Die Idee, um die Existenz von und in mit und zu zeigen, ist, die komplexe Zahl zu betrachten. Im Fall, der im obigen Bild dargestellet wird, gibt es drei Lösungen.

Euklidische Ringe

Definition. Ein euklidischer Ring ist ein Integritätsring die eine euklidische Normfunktion besitzt. Das heißt, ein Integritätsring , für den existiert eine Abbildung , die die folgende Eigenschaft erfüllt:

Eine bestimmte oder bevorzugte Abbildung ist nicht Teil der Definition eines euklidischen Rings. Die Definition verlangt lediglich die Existenz einer solchen Funktion (keine zusätzliche Daten, nur die Eigenschaft, dass auf dem gegebenen Ring eine solche Funktion existiert).

Zum Beispiel, für den Ring , wobei ein Körper (mit entscheidbarer Gleichheit) ist, können wir auch, für alles , als euklidische Normfunktion betrachten. Dann gibt es außerdem die Multiplikativitätseigenschaft .

Aus einem euklidischen Ring, einen Bézout-Ring zu bauen

• Wir möchten zeigen, dass jeder euklidische Ring mit entscheidbarer Gleichheit ein Bézout-Ring „ist“.

  Satz. Sei ein euklidischer Ring mit entscheidbarer Gleichheit. Für alle , existiert ein mit . Insbesondere ist jeder euklidische Ring ein Bézout-Ring.

• Beachten Sie, dass es nichts zu beweisen gibt, wenn gilt. Deswegen können wir annehmen, dass .

• Die Idee für den Beweis ist, eine euklidische Normfunktion auf festzulegen, und das folgende Ergebnis durch Induktion auf zu zeigen:

Der Beweis, dass ein euklidische Ring ein Bézout-Ring ist

• Da eine euklidische Normfunktion ist, gilt,

• Zunächst beweisen wir . Seien , mit .

  • Falls gilt, dann ist und können wir setzen.
  • Falls , dann gilt, für ein solches , , und folgt daraus einen Widerspruch.

• Die Logik, um die Folgerung zu zeigen, ist die folgende:

  Der Widerspruch, im Fall wobei gilt, kommt aus der Aussage , die , somit auch , impliziert. Wir leiten ohne Verwendung der doppelte Negation ab.

Ende der Induktion

• Danach nehmen wir an, dass gilt, und beweisen wir .

• Seien mit .

  • Falls gilt, dann ist und können wir setzen.
  • Falls , dann nehmen wir ein solches , für den gilt insbesondere . Existiert außerdem mit . Daher gilt . Da ist, existiert per Induktion ein , mit und . Das heißt, .

• Dies beendet die Induktion.

Der Algorithmus von Euklid

• Es ist in der Praxis oft möglich, den Beweis des vorherigen Satz zu verwenden, um einen ggT zweier beliebigen Elementen zu berechnen, und ihn als eine lineare Kombination der Gestalt , mit , zu aussagen.

• Wenn die Teilbarkeitsrelation entscheidbar ist, ergibt sich die Intuition für die Existenz eines solchen Algorithmus aus dem Induktionsschritt des vorherigen Beweis, nämlich aus der Tatsache, dass Folgendes gilt: Wenn ist, dann gilt , wobei und .

  • Falls ist, dann ist auch ein Teiler von , somit von , und außerdem ist eine explizite lineare Kombination von und .
  • Falls , wird der Algorithmus ausgeführt: , mit und , und so weiter.

Division mit Rest

• Wenn es tatsächlich wohldefinierte Funktionen und gibt, die die folgende Eigenschaft erfüllen

  dann kann man den Algorithmus auf einer Maschine implementieren.

• Die Idee ist, die Relation als zu interpretieren um rekursiv zu berechnen:

    ggT a b := if mod a b = 0 then b else ggT(b, mod a b)
  

• Im Prinzip sollte das für die Ringe , und funktionieren. Eine Verbesserung der obigen Funktion wäre, eine allgemeinere Funktion, die zusätzlich eine Bézout-Relation für den ggT zurückgibt.

Mit Stift und Papier

• Man setzt und und führt konsekutive Divisionen mit Rest durch, bis der Rest null ist. Nennen wir die kleinste natürliche Zahl mit der folgende Eigenschaft:

• In diesem Fall ist ein ggT von und (und es gibt eine Bézout-Relation dafür):

  • Per Definition von , gilt . Dann muss auch gelten, und so weiter. Insbesondere ist ein Teiler von und .
  • Wenn , dann gilt auch , und so weiter. Insbesondere gilt .

Übung 3

• Sei ein Körper mit paarweise verschiedene Elemente .
• Zeigen Sie, dass, für alle Elemente in , ein eindutiges Polynom existiert, sodass

• Dieses Polynom ist als das Newton-Lagrange Interpolationspolynom bekannt.

Beispiele für nicht-euklidische Ringe

• Es ist nicht kompliziert, Beispiele für Ringe zu finden, die keine Bézout-Ringe sind: Es reicht ein Ring und darin ein endlich erzeugete Ideal zu finden, das kein Hauptideal ist.
• Zum Beispiel, im Integritätsring , ist das Ideal kein Hauptideal (Übung). Oder, im , ist das Ideal kein Hauptideal. Insbesondere sind und auch keine euklidische Ringe.
• Wir werden später sehen, dass diese Ringe tatsächlich Ringe mit ggT sind. Derzeit wissen wir nur, dass Sie Integritätsringe sind.
• Es ist viel komplizierter, ein Beispiel für einen Bézout-Ring zu finden, der kein euklidischer Ring ist. Wir müssen zuerst eine neue Art von Normfunktion einführen.

Dedekind-Hasse-Normfunktionen

• Als Folgerung der Definition einer euklidischen Normfunktion , gilt für alle mit , dass mit und . Dies folgt aus der Tatsache, dass . Daher gilt , mit ).

• Eine swächere Bedingung als wäre: und , mit nicht unbedingt gleich zu . Das ist genau die Definition einer Dedekind-Hasse-Normfunktion.

  Definition. Sei ein Integritätsringe. Eine Dedekind-Hasse-Normfunktion auf ist eine Abbildung , die die folgenbde Eigenschaft erfüllt:

• Das einzige Unterschied, mit der Definition eines euklidischen Ring, ist die Präsenz der Bedingung , statt die stärkere Bedingung .

Dedekind-Hasse-Ringe

• In analoger Weise zu euklidischen Ringe, können wir Dedekind-Hasse-Ringe wie folgt definieren.

  Definition. Ein Dedekind-Hasse-Ring (oder DH-Ring) ist ein Integritätsring die eine DH-Normfunktion besitzt. Das heißt, ein Integritätsring , für den existiert eine Abbildung , die die folgende Eigenschaft erfüllt:

• Natürlich ist jeder euklidische Ring ein DH-Ring. Die Umkehrung gilt aber nicht und das „klassische“ Beispiel ist der Ring , der eine DH-Normfunktion besitzt aber keine euklidische Normfunktion (zugelassen).

DH-Ringe sind Bézout-Ringe

• Es ist eine bemerkenswerte Tatsache, dass DH-Ringe mit entscheidbarer Gleichheit sind noch Bézout-Ringe.

  Satz. Sei ein DH-Ring mit entscheidbarer Gleichheit. Für alle , existiert ein mit . Insbesondere ist jeder DH-Ring ein Bézout-Ring.

• Die Idee für den Beweis ist die gleiche als im euklidischen Fall. Wir liegen eine DH-Normfunktion auf fest, und beweisen das folgende Ergebnis durch Induktion auf .

Induktionsschritt

• Das Unterschied mit dem euklidischen Fall liegt im Beweis des Induktionsschritts.

• Nehmen wir an, dass gilt, und zeigen wir . Seien mit .

  • Falls gilt, dann ist und können wir setzen, genau wie im euklidischen Fall.
  • Falls , dann gilt, für ein solches , . Per Induktion existiert ein , mit und , und auch (zusätzlicher Schritt) ein , mit und . Dann gilt mit . Aus einer neuen Anwendung der Induktionsannahme, folgt die Existenz eines Elements mit und . Dies beendet die Induktion.

DH-Ringe sind beschränkt

• Erinnern wir uns, dass, in einem Integritätsring , ein Element beschränkt durch heißt, wenn die folgende Eigenschaft gilt.

• Ein Element wird beschränkt genannt, wenn ein existiert, so dass beschränkt durch ist. Wenn jedes Element beschränkt ist, sagt man, dass der Integritätsring beschränkt ist.

  Satz. Sei ein DH-Ring. Dann ist beschränkt.

  Die Idee für den Beweis ist, ein DH-Normfuktion auf festzulegen, und Folgendes zu zeigen: , das Element ist durch die natürliche Zahl beschränkt.

Übung 4

• Sei ein Integritätsring und sei .
• Sei und nehmen wir an, dass beschränkt durch ist.
• Zeigen Sie durch Induktion auf , dass, für alles , das Element durch besschränkt ist.

Der Beweis, dass DH-Ringe beschränkt sind

• Wir zeigen Folgendes durch Induktion auf .

• Im Fall , nehmen wir mit . Da ein DH-Ring ist, muss die Eigenschaft gelten. Da die durch beschränkte Elemente genau die invertierbare Elemente von sind, müssen wir zeigen, dass invertierbar ist.

  • Wenn , ist invertierbar.
  • Wenn gilt, dann widerspricht dies die Tatsache, dass ist. Es folgt daraus, dass invertierbar ist.

Ende des Beweises

• Nehmen wir an, dass gilt, und zeigen wir .

• Sei , mit . Wir möchten zeigen, dass durch beschränkt ist. Schreiben wir dann . Da ein DH-Ring ist, muss Folgendes gelten:

  • Wenn gilt, dann existiert ein mit . Daher gilt , somit und invertierbar.
  • Wenn , dann ist ein solches ein Element von und existiert mit . Da, per Induktion, das Element durch beschränkt ist, muss (nach Übung 4) ein existieren, sodass invertierbar ist.

• In beiden Fällen ist durch beschränkt, und dies beendet die Induktion.

Aufsteigende Kettenbedingung für Hauptideale

• Wir haben bewiesen, dass jedes endlich erzeugte Ideal eines DH-Rings ein Hauptideal ist, und dass ein DH-Ring beschränkt ist.

• In Übung 5 werden wir zeigen, dass jeder beschränkte Ring die folgende Eigenschaft erfüllt.

  Definition. Sei ein Integritätsring. Man sagt, dass die aufsteigende Kettenbedingung für Hauptideale (oder aKH) erfüllt, wenn die folgende Eigenschaft gilt: Für alle aufsteigende Kette von Hauptidealen

  existiert ein mit

Übung 5

• Sei ein beschränkter Ring.
• Zeigen Sie, dass der Ring die aufsteigende Kettenbedingung für Hauptideale erfüllt.
  Hinweis. Zeigen Sie, dass, wenn durch beschränkt ist, für jede endliche Kette von Hauptidealen , die von startet, die folgende Eigenschaft erfüllt:

Hauptidealringe

• Dann kommen wir an der Definition eines Hauptidealrings.

  Definition. Ein Hauptidealring (oder HIR) ist ein (kommutativer, unitärer) Ring , der die folgende Eigenschaften erfültt:

  1. ist ein Integritätsring.
  2. Jedes endlich erzeugte Ideal von ist ein Hauptideal.
  3. erfüllt die aufsteigende Kettenbedingung für Hauptideale.

• Das heißt, ein Hauptidealring ist ein Bézout-Ring, der die aKH erfüllt.

DH-Ringe sind Hauptidealringe

• Wir haben schon bewiesen, dass ein DH-Ring ein Bézout-Ring ist, und dass ein DH-Ring beschränkt ist.

• Aus der zweiten Teil dieser Bemerkung erfolgt, dass ein DH-Ring die aKH erfüllt. Daher haben wir den folgenden Satz bewiesen.

  Satz. Ein DH-Ring (insbesondere ein euklidische ring) ist ein Hauptidealring.

• Zum Beispiel sind , und Hauptidealringe. Aber nicht oder .

• Hauptidealringe sind besonders nützlich, denn die Theorie der endlich erzeugten Moduln über diesen Ringen ähnlich zu der von abelschen Gruppen ist: Es gibt zum Beispiel einen Struktursatz mit invarianten Faktoren für solche Moduln (die sogenannte Smith-Normalform).

Übung 6

• Die Verwendung von Induktion in den Beweisen der Sätze, die zeigen, dass euklidische und DH-Ringe Bézout-Ringe sind, steht in Zusammenhang mit dem sogenannten Prinzip des unendlichen Abstiegs. Hier ist eine Übung, um diese Methode wieder anzuwenden.

• Sei ein Integritätsring. Eine euklidische Normfuktion auf heißt multiplikativ, wenn, für alles , und, für alle , .

• Zeigen Sie, dass die folgende Eigenschaften gelten:

  1. Wenn eine DH-Normfunktion ist, gilt für alle ,
  2. Wenn außerdem multiplikativ ist, ist ein Element genau dann invertierbar, wenn .