Algebraische Elemente und endliche Erweiterungen

Emil Artin (1898-1962) war ein österreichisch-deutscher Mathematiker und einer der führenden Algebraiker des 20. Jahrhunderts. Artin arbeitete vor allem auf dem Gebiet der Algebra und Zahlentheorie. Im Rahmen seiner Forschungen zu reellen Körper, löste er 1927 das 17. Hilbertsche Problem (Darstellung nicht-negativer Funktionen als Summe von Quadraten).

Körpererweiterungen

• In der Galois-Theorie werden wir fast immer Paaren betrachten, wobei ein Körper ist, und ein Unterkörper (oder Teilkörper) von ist.

• Das ist eine recht häufige Situation, wenn man zum Beispiel ein Polynom mit Koeffizienten im Körper hat, und man eine Nullstelle von im sucht (d.h. ein , mit ).

  Definition. Sei ein Körper, und sei eine Teilmenge von die und enthält und die folgende Eigenschaften erfüllt:

  1. .
  2. .

  Dann heißt ein Teilkörper von . In dieser Situation, sagt man auch, dass ein Oberkörper von ist. Das Paar wird eine Körpererweiterung genannt, und als bezeichnet ( das ist keinen Faktorring!).

Beispiele für Körpererweiterungen

• ist eine Körpererweiterung. So auch sind und .

• In den vorherigen Beispielen für eine Körpererweiterung ist ein endlich-dimensionaler -Vektorraum. Das ist nicht immer der Fall, wie das nächste Beispiel zeigt.

• Ist ein Körper, dann ist der Körper rationaler Funktionen (der Quotientenkörper des Polynomings mit Koeffizienten in ) ein Oberkörper von , die als -Vektorraum nicht endlich-dimensional ist.

• Gegeben eine Körpererweiterung , sagt man auch einfach, dass der Körper eine Körpererweiterung von ist.

  Im Folgenden nehmen wir stets an, dass unsere Körper eine entscheidbare Gleichheit besitzen.

Algebren über einem Körper

• Eine Körpererweiterung von ist auch ein Beispiel für eine -Algebra.

  Definition. Sei ein Körper. Eine -Algebra ist ein Tupel

  wobei:

  1. Das Tupel ein Ring ist.
  2. Das Tupel ein -Vektorraum ist.

• Dies bedeutet, dass eine Abbildung ist, die eine Vektorraumstruktur auf der abelsche Gruppe definiert. Insbesondere gilt .

• Ein -Algebrenhomomorphismus ist eine -lineare Abbildung , die auch ein Ringhomomorphismus ist.

Übung 1

• Sei ein Körper. Zeigen Sie, dass der Ring eine Algebrastruktur über besitzt.

• Zeigen Sie die folgende universelle Eigenschaft für die Polynomalgebra .

  Für alle -Algebra und alles Element , existiert ein eindeutiger Algebrenhomomorphismus mit .

  Wenn ein Oberkörper von ist, heißt der obige Algebrahomomorphismus ein Auswertungshomomorphismus.

• Zeigen Sie, dass jeder -Algebrenendomorphismus ein sogenannter Substitutionshomomorphismus ist. Das heißt, existiert ein , sodass Folgendes gilt:

Endliche Körpererweiterungen

• Sei eine Körpererweiterung. Wenn ein endlich-dimensionaler -Vektorraum ist, heißt die Körpererweiterung eine endliche Körpererweiterung.

  Definition. Sei eine endliche Körpererweiterung. Die Dimension von als -Vektorraum wird der Grad der Erweiterung genannt, und als bezeichnet.

• Zum Beispiel, sei ein irreduzibles Polynom. Da ein Hauptidealring ist, ist das Ideal ein maximales Ideal von und ist der Ring ein Körper. Sei die Klasse von modulo in . Dann ist eine endliche Körpererweiterung von , deren Dimension gleich zum Grad von ist. Um das zu zeigen, reicht es eine Basis von über zu finden (siehe unten).

Adjunktion

• Gegeben einen Körper und ein irreduzibles Element , kann man einen neuen Körper bauen, in dem eine Nullstelle hat. Nämlich nehmen wir . In diesem Körper ist (die Klasse von modulo das Ideal ) eine Nullstelle von , weil in .

• Zum Beispiel ist die Klasse von im Körper normalerweise als bezeichnet.

  Satz. Sei ein irreduzibles Polynom über einem Körper . Dann ist der Körper eine endliche Erweiterung von , mit

• Bemerkung. Diese Formel erklärt, warum im Allgemeinem als Grad der Erweiterung bezeichnet wird.

Dimension einer Adjunktion (Beweis)

• Geben wir einen Beweis für die Formel .
• Sei die Klasse von modulo . Da irreduzibel ist, ist für geeignetes . Wir werden zeigen, dass eine Basis für ist.
• Dies folgt aus der folgenden Bemerkung. Jeder Element von ist die Klasse eines Polynoms . Für ein solches , existieren eindeutige Polynome und mit und . Das heißt, . Dann können wir eindeutig wie folgt schreiben:

• Dies zeigt, dass eine Basis für ist. Daher gilt

Übung 2

• Sei ein Körper und sei . Sei ein Polynom mit (insbesondere ist ).
• Unter Verwendung der euklidischen Division von Polynomen, zeigen Sie, dass die -Algebra ein -Vektorraum mit dimension ist.
  Bemerkung. Diese Übung zeigt, dass die Annahme, dass irreduzibel ist, nicht hilfreich ist, um die Dimension des -Vektorraums zu bestimmen. Diese Annahme ist nur notwendig, um behaupten zu können, dass die -algebra ein Körper ist.

Gradsatz

Endliche Körpererweiterungen weisen nützliche Eigenschaften aus.

Satz. Sei eine Körpererweiterung und sei ein Zwischenkörper. Sind und endlich, dann ist auch endlich. In diesem Fall gilt die Gleichheit:

Beweis. Beachten wir zunächst, dass ein -Vektorraum ist, und dass ein -Vektorraum ist. Wenn endlich-dimensional über ist und endlich-dimensional über ist, folgt aus der linearen Algebra, dass endlich-dimensional über ist. In diesem Fall gilt außerdem .

Bemerkung. Wenn endlich-dimensional über ist, und endlich erzeugt über ist, dann ist endlich-dimensional über und gilt die Formel auch in diesem Fall. Unter dem SAD, kann die Annahme, dass endlich erzeugt über ist, weggelassen werden.

Algebraische Elemente

• Sei eine Körpererweiterung.

  Definition. Ein Element wird algebraisch über genannt, wenn ein Polynom existiert, sodass die folgende Eigenschaften gelten:

  Wenn nicht algebraisch über ist, heißt transzendent über .

• Zum Beispiel ist die reelle Zahl algebraisch über , denn für ist .

• Im Gegensatz dazu, ist die reelle Zahl nicht algebraisch über . Das Problem, festzustellen, ob transzendent ist, ist als Quadratur des Kreises bezeichnet und blieb über 20 Jahrhunderte lang ungelöst (Satz von Lindemann, 1882).

Bemerkungen zu algebraischer Elemente

• Sei eine Körpererweiterung und .
• Wenn gilt, ist algebraisch über , denn für ist .
• Wenn algebraisch über ist, dann, für alles Polynom mit , ist kein konstantes Polynom. Insbesondere existiert ein , mit .
• Wenn algebraisch über ist und ein Polynom mit und ist, dann können wir annehmen, dass der Leitkoeffizient von gleich zu ist. Ansonsten, nehmen wir , wobei der Leitkoeffizient von ist. Dann gilt noch und jetzt ist der Leitkoeffizient von gleich zu .
• Kurz zu sagen, ein Element ist genau dann algebraisch über , wenn es eine algebraische Gleichung der folgenden Gestalt gibt:

Übung 3

• Sei eine Körpererweiterung und sei .
• Zeigen Sie, dass das Bild des Auswertungshomomorphismus aus Übung 1, der nach abbildet, explizit wie folgt beschrieben werden kann:

• Zeigen Sie außerdem, dass die kleinste Teilalgebra von ist, die und enthält.
• Zeigen Sie, dass die Teilmenge
  ein Teilkörper von ist, der der kleinste Teilkörper von ist, der und enthält.

Charakterisierung algebraischer Elemente

• Die folgende Charakterisierung algebraischer Elemente einer Körpererweiterung wird ständig verwendet.

  Satz. Sei eine Körpererweiterung. Dann sind, für alles , die folgenden Bedingungen äquivalent:

  1. Das Element ist algebraisch über .
  2. Die -Algebra ist als -Vektorraum endlich erzeugt.

• Wir werden tatsächlich eine Äquivalenz zwischen den folgenden Eigenschaften aufzeigen:

  1. Existiert ein Polynom mit und .
  2. Existieren Elemente mit , wobei der -Vektorraum ist.

Beweis für die Charakterisierung der Algebraizität eines Elements

„(i) (ii)“ Nehmen wir zunächst an, dass algebraisch über ist.

• Dann existiert ein nicht-konstantes Polynom mit Leitkoeffizient sodass . Insbesondere finden wir eine algebraische Gleichung

• Sei der von die Elemente , , , ... , erzeugt -Vektorunterraum. Da für alles , gilt , gilt auch .
• Nun behaupten wir, dass . Da für alles gilt, reicht es Folgendes durch Induktion über zu beweisen: .
• Zunächst gilt . Danach, nach der Induktionsannahme schreiben wir , denn jedes . Dies beendet die Induktion. Daher ist .

Ende des Beweises für die Charakterisierung der Algebraizität

„(i) (ii)“ Nehmen wir nun an, dass die -Algebra als -Vektorraum endlich erzeugt ist.

• Da die Elemente von von der Form sind, und ist, behaupten wir, dass es ein gibt, sodass als -Vektorunterraum von . Um das zu zeigen, nehmen wir groß genug, so dass, für jedes gilt.
• Dann sind die Elemente linear abhängig in . Eine lineare Abhängigkeitsrelation zwischen ihnen ist genau eine algebraische Gleichung , wobei es mindestens ein mit gibt. Wenn die eindeutige mit wäre, dann würde gelten, was ein Widerspruch zu ist. Daher muss ein mit existieren.
• Dies bedeutet genau, dass algebraisch über ist.

Algebren, die endlich-dimensional als Vektorraum sind

• Der folgende Satz liefert Beispiele für algebraische Elemente und hat viele praktische Anwendungen.

  Satz. Sei eine Körpererweiterung und sei eine -Unteralgebra von . Dann gilt

• Beweis. Gegeben ein Element , möchten wir ein Polynom konstruieren, sodass .

• Da als -Vektorraum endlich erzeugt ist, existiert Elemente in , sodass . Für jedes , existieren daher Elemente in , sodass

Ende des Beweises

• Das können wir auch eine Gleichheit zwischen den folgenden Vektoren von schreiben.
  Das heißt, in , mit .
• Daher gilt auch , wobei die Matrix der Kofaktoren von ist. Das heißt, gilt für alles , .
• Aber . Da eine lineare Kombination der ist, folgt daraus, dass ist. Da eine polynomiale Gleichung für mit Koeffizienten in ist, ist algebraisch über .

Bemerkungen zu dem vorherigen Beweis

• Unter dem SAD, kann man wie folgt argumentieren.

  • Da ist, und ein endlich erzeugt -Vektorraum ist, ist auch als -Vektorraum endlich erzeugt.
  • Dann folgt aus der Charakterisierung der algebraischer Elemente einer Körpererwiterung, dass algebraisch über ist.

• Der von uns gegebene Beweis hat jedoch den Vorteil, dass er sich auf den Fall von ganzen Elementen über einem Ring verallgemeinern lässt.

Zweite Charakterisierung algebraischer Elemente

Wir können nun die folgende Bedingung zur Charakterisierung der algebraischen Elemente einer Körpererweiterung zusätzen.

Satz. Sei eine Körpererweiterung. Dann sind, für alles , die folgenden Bedingungen äquivalent:

1. Das Element ist algebraisch über .
2. Die -Algebra ist ein Körper.

Bemerkungen.

• Das obige Ergebnis ist spezifisch zu Körper (es gilt nicht, wenn nur ein Ring ist).
• Da gilt, ist genau dann ein Körper, wenn ist.

Beweis der zweite Charakterisierung

„(i) (ii)“ Nehmen wir zunächst an, dass algebraisch über ist.

• Dann ist als -Vektorraum endlich erzeugt.
• Sei , mit . Wir haben bereits bewiesen, dass in diesem Fall algebraisch über ist, und dass es eine algebraische Gleichung der folgenden Gestalt gibt:
  mit , und .
• Wenn ist, können wir die vorherige Gleichheit durch kürzen. Durch Wiederholung dieses Prozesses, falls erforderlich, können wir annehmen, dass .
• Dann gilt Dies zeigt, dass (das inverse Element zu in ) zu gehört, was zeigt, dass ein Körper ist.

Ende des Beweises der zweite Charakterisierung

„(i) (ii)“ Nehmen wir nun an, dass die -Algebra ein Körper ist.

• Das heißt, für jedes gehört (das inverse Element zu in ) zu .
• Da die Elemente von von der Form sind, und das Element invertierbar im Ring ist, muss, für geeignete , eine Gleichheit der folgende Gestalt gelten:

• Daraus folgt, dass , was bedeutet, dass algebraisch über ist.

Die Menge aller algebraischen Elemente einer Körpererweiterung

Satz. Sei eine Körpererweiterung. Dann ist die Teilmenge

ein Teilkörper von , der der relative algebraische Abschluss von in heißt.

Wir werden diesen Satz in zwei Schritten beweisen:

1. Die Elemente von , die algebraisch über sind, bilden eine Teilalgebra von .
2. Diese Teilalgebra von ist ein Teilkörper von .

Die algebraischen Elemente einer Erweiterung bilden eine Teilalgebra

• Da und gilt, sind und algebraisch über .
• Nehmen wir nun an, dass algebraisch über sind.
• Da algebraisch ist, ist die -algebra als -Vektorraum endlich erzeugt und ein Körper. Insbesondere ist der Körper als -Vektorraum endlich erzeugt.
• Da algebraisch über ist, ist auch algebraisch über . Dann ist die -Unteralgebra von endlich erzeugt als -Vektorraum, somit auch als -Vektorraum.
• Deswegen ist jedes algebraisch über . Insbesondere sind und algebraisch über . Dies zeigt, dass eine -Teilalgebra von ist. Nun zeigen wir, dass ein Körper ist.

Die algebraischen Elemente einer Erweiterung bilden einen Teilkörper

• Nehmen wir an, dass algebraisch über ist und zeigen wir, dass algebraisch über ist.
• Da algebraisch über ist, existiert eine algebraische Gleichung der Gestalt
  Insbesondere gilt als -Vektorunterräume von .
• Wenn ist, können wir die obige Relation durch kürzen. Durch Wiederholung dieses Vorgangs, falls erforderlich, gelangen wir zu einer Relation der selben Gestalt, aber mit . Dann gilt , somit

• Insbesondere ist auch algebraisch über .