Algebraischer Abschluss und transzendente Erweiterungen

Jacob Lüroth (1844-1910) war ein deutscher Mathematiker, der auf verschiedenen Gebieten der Geometrie arbeitete. Ab 1863 studierte er Mathematik an der Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg, an der er 1865 bei Otto Hesse (und Gustav Kirchhoff) promoviert wurde.

Algebraischer Abschluss eines Körpers

Definition. Sei ein Körper. Eine Erweiterung wird einen algebraischen Abschluss für genannt, wenn die folgende Eigenschaften gelten:

1. Jedes ist algebraisch über (das heißt, ist eine algebraische Erweiterung).
2. ist ein algebraisch abgeschlossener Körper.

Wir werden nun sehen, wie man einen algebraischen Abschluss für einen Körper konstruieren kann. Genauer gesagt, werden wir die folgenden beiden Situationen untersuchen:

• Wenn ist, mit ein algebraisch abgechlossener Körper.
• Wenn anzählbar ist.

Beispiel. Der Körper ist ein algebraischer Abschluss für .

Relativ algebraischer Abschluss

• Wir wissen bereits, dass, wenn eine Körpererweitetung ist, die Menge
  bestehend aus aller Elementen in die algebraisch über sind, ein Teilkörper von ist.
• Per Definition einer algebraischen Erweiterung ist der Körper eine algebraische Erweiterung von .
• Wir werden nun zeigen, dass, wenn algebraisch abgeschlossen ist, auch der Teilkörper algebraisch abgeschlossen ist.
• Damit werden wir gezeigt haben, dass ein algebraischer Abschluss für ist.
• Beispiel. Wenn wir und betrachten, heißt der Körper der Körper der algebraischen Zahlen.

Ketten algebraischer Erweiterungen

• Ziel ist es zu zeigen, dass jedes nichtkonstante Polynom eine Wurzel in besitzt.

• Da algebraisch abgeschlossen ist, existiert in , sodass gilt. Es reicht daher zu zeigen, dass ein solches unbedingt zu der Teilmenge gehört.

• Die abstrakte Situation ist die folgende. Wir haben eine Kette von Körpererweiterungen

  mit algebraisch. Wir werden nun zeigen, dass ein Element , das algebraisch über ist, auch algebraisch über ist.

• Als Sonderfall erreichen wir das folgende Ergebnis.

  Satz. Wenn und algebraisch sind, dann ist auch algebraisch.

Wurzel von Polynomen, deren Koeffizienten über einem Teilkörper algebraisch sind

• Sei eine Kette von Körpererweiterungen und nehmen wir an, dass algebraisch über ist. Wir möchten zeigen, dass jedes Element , das algebraisch über ist, auch algebraisch über ist.
• Da algebraisch über ist, existiert eine algebraische Gleichung der Gestalt , mit für jedes . Inbesondere ist algebraisch auch über den Teilkörper , der von und die Elemente erzeugt wird.
• Da jedes algebraisch über ist, ist ein endlich erzeugter -Vektorraum. Da algebraisch über ist, ist die -Algebra als -Vektorraum endlich erzeugt, somit auch als - Vektorraum. Daher ist jedes Element von , insbesondere , algebraisch über (typisches Argument in Beweise für Algebraizität).

Übung 1

• Sei eine Körpererweiterung, mit algebraisch abgeschlossen. Sei der relativ algebraische Abschluss von in .
• Nehmen wir an, dass abzählbar ist. Zeigen Sie, dass auch abzählbar ist.
• Als Beispiel können Sie den Körper der algebraischen Zahlen betrachten.

• Zeigen Sie, dass ein algebraischer Abschluss für ist.

Algebraischer Abschluss eines abzählbaren Körper

• In der vorherigen Situation, wenn es ein Oberkörper von gibt, der algebraisch abgeschlossen ist, kann man einen algebraischen Abschluss explizit konstruieren.

• Die nützliche Bermerkung dafür ist die folgende: Gegeben eine Körpererweiterung und einen Zweischenkörper , wenn ein Element eine Nullstelle eines Polynoms ist, deren Koeffizienten algebraisch über sind, dann ist auch algebraisch über .

• Es gibt eine andere Situation, in der man einen algebraischen Abschluss für einen Körper konstruieren kann, und zwar wenn abzählbar ist.

  Satz. Sei ein abzählbarer Körper mit entscheidbarer Gleichheit. Dann existiert ein algebraischer Abschluss für .

Konstruktion eines algebraischen Abschlusses

• Da per Annahme abzählbar ist, ist auch abzählbar. Sei eine Aufzählung aller nichtkonstanten Polynome in .
• Sei und ein Zerfällungskörper für über . Dann bauen wir eine Folge von Körpern, wobei ein Zerfällungskörper für über ist. Insbesondere ist, für jedes , der Körper eine Erweiterung des Körpers . Das heißt, es gibt einen injektiven Ringhomomorphismus .
• In dieser Situation existiert ein sogenannter direkter Limes (oder induktiver Limes) des Systems , der ein Körper ist, und zwar:
  wobei ist, wenn ein existiert, mit in .

Eigenschaften des direkten Limes (Übung)

• Zunächst sollten wir überprüfen, dass die obige definierte Relation eine Äquivalenzrelation über ist.
• Außerdem ist mit den folgenden Abbildungen ausgestattet
  die die Eigenschaft erfüllen.
• Schließlich ist ein Körper und sind die Abbildungen Ringhomomorphismen.

Universelle Eigenschaft des direkten Limes

• Der direkte Limes eines direkten System besitzt die folgende universelle Eigenschaft. Ob wir Mengen, Ringe, Körper usw. betrachten, spielt keine Rolle.
• Gegeben eine Menge , mit Morphismen , sodass , existiert ein eindeutiger Morphismus , so dass .

Der direkte Limes ist ein algebraischer Abschluss

• Nun behaupten wir, dass der Körper eine algebraische Erweiterung von ist und ein algebraisch abgeschlossener Körper. Das heißt, ist ein algebraicher Abschluss für .
• Zunächst gilt, dass algebraisch über ist, denn jedes zu einem Körper , für geeigenetes , gehört, und algebraisch über ist.
• Sei ein nichtkonstantes Polynom mit Koeffizienten in . Da abzählbar ist (Übung!), existiert eine Körpererweiterung , in der eine Wurzel besitzt. Da die Koeffiziente von algebraisch über sind, ist algebraisch über (Dasselbe Argument wie zuvor ). Dann existiert ein , mit ( nichtkonstante).
• Da alle Wurzeln von zu gehören, muss gelten. Das heißt, das Polynom hat eine Wurzel in , der entsprechend algebraisch abgeschlossen ist.

Endliche Körper

• Zum Beispiel, wenn ein endlicher Körper ist, können wir nach dem obigen Verfahren einen algebraischen Abschluss für bauen.
• Erinnern Sie sich daran, dass ein endlicher Körper nie algebraisch abgeschlossen ist, weil das Polynom
  keine Wurzel in besitzt.
  Bemerkung. Dieses Polynom zeigt auch, dass, wenn endlich ist, (weil ) gilt, aber .

Algebraische Unabhängigkeit

• Sei eine Körpererweiterung und seien .

  Definition. Die Elemente werden algebraisch unabhängig genannt, wenn zwischen ihnen keine algebraische Relation besteht, im folgenden Sinne:

• Dies verallgemeinert das Konzept der linearen Unabhängigkeit für Vektoren in einem -Vektorraum :

Übung 2

• Sei eine Körpererweiterung und seien .
• Zeigen Sie, dass genau dann algebraisch unabhängig über sind, wenn der kanonische -Algebrahomomomorphismus , der nach abbildet, ein Körperisomorphismus
  induziert.

Algebraisch Abhängigkeit

• Wenn der Körper entscheidbare Gleichheit hat (zum Beispiel, unter Verwendung des SAD), sagt man, dass die Elemente algebraisch abhängig sind, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist:

• Es ist eine gute Übung, zu beweisen, dass, wenn entscheidbare Gleichheit hat, die folgenden Bedingungen äquivalent sind:

  Das heißt, die Elemente sind genau dann algebraisch unabhängig, wenn sie nicht algebraisch abhängig sind.
  Hinweis. Der Ring hat auch entscheidbare Gleichheit.

Algebraisch Abhängigkeit und algebraische Elemente

Der folgende Satz stellt eine Beziehung zwischen algebraischer Abhängigkeit und algebraischen Elementen her.

Satz. Sei eine Körpererweiterung (zwischen Körper mit entscheidbarer Gleichheit) und sei . Dann sind genau dann algebraisch abhängig über , wenn entweder algebraisch abhängig über sind, oder algebraisch über ist.

Für den Beweis, genügt es, (1) (2) (3) zu beweisen, wobei:

1. .
2. .
3. .

Beweis des vorherigen Satzes

„(1) (2) (3)“

• Nehmen wir an, dass gilt. Dann ist ein Polynom mit Koeffizienten , somit auch in , sodass gilt. Da ist, sind nicht alle Polynome Null.

• Da die Eigenschaft entscheidbar ist, können wir durch Fallunterscheidung argumentieren:

  • Wenn ist, dann gibt es mindestens eine algebraische Abhängigkeitsrelation zwischen den über (gilt (2)).
  • Wenn , dann ist und ist algebraisch über (gilt (3)).

Ende des Beweises

„(2) (3) (1)“

• Es reicht „(2) (1)“ und „(3) (1)“ zu beweisen.
• „(3) (1)“ folgt aus den Definitionen: Wenn mit , dann gilt , mit
  Daher sind algebraisch abhängig über .
• Für „(2) (1)“, schreiben wir das Polyom als mit , , und . Da ist, muss gelten. Daher sind algebraisch abhängig über .

Transzendenzbasis und Grad

• Wenn mit algebraisch unabhängig über sind, sagt man, dass eine rein transzendentale Erweiterung von ist, und dass eine Transzendenzbasis für ist.

• Als Folgerung des vorherigen Satzes, ist die Anzahl der Elemente zweier beliebiger Transzendenzbasen gleich (zugelassen). Diese Anzahl heißt der Transzendenzgrad der Erweiterung und wird als bezeichnet. Dann gelten Eigenschaften wie die folgende (zugelassen):

  Sei eine Kette von Körpererweiterungen. Wenn zwei der drei vorherigen Erweiterungen (endliche) Transzendenzbasen haben, so hat auch die dritte eine Transzendenzbasis, und es gilt die folgende Gleichheit: