Primfaktorzerlegung und Faktorielle Ringe

Ein Porträt von Emmy Noether (1882-1935).

Emmy Noether (1882-1935) war eine deutsche Mathematikerin, die grundlegende Beiträge zur Abstrakten Algebra und zur Theoretischen Physik lieferte. Insbesondere revolutionierte sie die Theorie der Ringe, Körper und Algebren. Ihr erstes mathematisches Forschungsgebiet war die Invariantentheorie.

Florent Schaffhauser, Algebra 1, Wintersemester 2025/26, Uni-Heidelberg (©2025, CC BY-SA 4.0).

Primfaktorzerlegungen

  • Es ist sinnvoll zu fragen, ob die Primfaktorzerlegung einer ganzen Zahl auch in anderen Ringe als gilt und, falls ja, in welcher Form.

  • Mit die Bedingungen ist die obige Zerlegung eindeutig im folgenden Sinn: Wenn gilt, dann muss gelten und, für alles , und .
  • Erinnern wir uns, dass, in einem Integritätsring , es im Allgemeinen drei Konzepte gibt, die mit Primalität zu tun haben: irreduzible Elemente, Primelemente und extremal Elemente. Wir werden zunächst Primfaktorzerlegungen und Irreduziblenzerlegungen vergleichen.

Primfaktorzerlegung und Irreduziblenzerlegung

  • Die wichtigste Bemerkung ist die folgende.

    Satz. Sei ein Integritätsring und sei . Nehmen wir an, dass gilt, und dass die folgende Zerlegungen existieren:

    und

    Dann ist und existiert eine Permutation von , sodass Insbesondere sind Primelemente.

  • Daraus folgt, dass die Betrachtung von Zerlegungen in Produkte von extremalen Elementen zu keinem weiteren Ergebnis führen würde (Ãœbung!).

Beweis des Vergleichssatzes zwischen PFZ und IZ

  • Der Beweis läuft durch Induktion auf . Die Induktionsannahme ist

  • Wenn ist, haben wir .
    • Falls ist, gilt .
    • Falls , beachten wir zunächst, dass auch irreduzibel ist. Daher existiert ein mit invertierbar. Dies widerspricht der Irreduzibilität von .
  • Nehmen wir jetzt an, dass gilt. Wenn gilt, mit ein Primelement, muss für geeignetes gelten. Da irreduzibel ist, gilt .
    • Falls , bedeutet dies, dass invertierbar sind, was die Primalität der widerpricht.
    • Falls , muss gelten und können wir die Induktionsannahme benutzen, um die Permutation zu konstruieren.

PFZ-Ringe

  • Sei ein Integritätsring und sei . Eine Produktdarstellung

    mit , und natürliche Zahlen, und paarweise nicht assoziierte Primelemente in , heißt eine Primfaktorzerlegung (oder PFZ) von .

  • Wir werden uns für Ringe interessieren, in denen Primfaktorzerlegungen existieren.

    Definition. Ein (kommutativer, unitärer) Ring wird ein PFZ-Ring genannt, wenn die folgende Eigenschaften gelten:

    1. ist ein Integritätsring.
    2. , gilt .

PFZ sind „wesentlich eindeutig“

  • Eine wichtige und nützliche Eigenschaft von Primfaktorzerlegungen ist, dass sie bis auf Reihe und Assoziiertheit (RuA) eindeutig sind, im folgenden Sinn.

    Satz. Sei ein Integritätsring und sei . Nehmen wir an, dass ist, und die folgende Primfaktorzerlegungen besitzt:

    Dann ist und existiert eine Permutation von , sodass

  • Da Primelemente irreduzibel sind, folgt der Beweis unmittelbar von des vorherigen Vergleichssatzes zwischen PFZ und IZ.

Bemerkungen über Primteiler

  • In einem PFZ-Ring hat ein nicht-invertierbares Element endlich viele Primteiler.
    Beweis. Sei ein PFZ von und sei ein Primteiler von . Dann muss für geeignetes gelten, somit .
  • Für jedes Primteiler von , existiert außerdem eine eindeutige natürliche Zahl mit der Eigenschaft . Dies wird die -adische Bewertung von genannt, und als bezeichnet. Wenn oder , setzen wir .
    Beweis. Sei eine PFZ von und sei ein Primteiler von . Dann gilt für geeignetes , somit und . Insbesondere gilt .
  • Für alles ist daher die PFZ von (bis auf RuA), wobei die Menge aller Primeteiler von ist.

Ãœbung 1

  • Sei ein PFZ-Ring und sei ein Primelement.

  • Zeigen Sie die folgende Eigenschaften:

    1. .
    2. .
    3. .

Irreduzibiltät in einem PFZ-Ring

  • Der Vergleichssatz zwischen PFZ und IZ hat auch die folgende Konsequenz.

    Satz. Sei ein PFZ-Ring. Dann ist jedes irreduzible Element von ein Primelement. Insbesondere ist jedes von ein irreduzibles Element erzeugte Ideal eines PFZ-Rings ein Primideal:

    Beweis. Sei ein Primteiler von (der existiert, weil nicht invertierbar ist, daher ein PFZ besitzt). Dann existiert mit . Da irreduzibel ist und nicht invertierbar ist, muss invertierbar sein. Das heißt, , somit ein Primelement ist.

  • Wir haben bereits gesehen, dass in einem Ring mit ggT die gleiche Eigenschaft auch gilt, nämlich ( Ring mit ggT) ( irreduzibel in ) Primelement in . Tatsächlich sind PFZ-Ringe Ringe mit ggT.

PFZ-Ringe sind Ringe mit ggT

PFZ-Ringe bieten einen konkreten Ansatz zur Existenz eines ggTs.

Satz. Sei ein PFZ-Ring und seien . Dann gelten die folgende Eigenschaften:

  1. Wenn , ist ein ggT von und .
  2. Wenn , ist ein ggT von und .
  3. Wenn , seien und die PFZ bis auf RuA von und , und sei die Menge aller gemeinsamten Primteiler von und . Dann ist das folgende Element ein ggT von und in :

Den Beweis lasse ich als Übung stehen 🙃 . Hinweis. Siehe Übung 1.(iii)

Beispiele für Ringe, die keine PFZ-Ringe sind

  • Insbesondere ist ein Ring, der kein Ring mit ggT ist, kein PFZ-Ring.
  • Wir haben ein Beispiel bereits gesehen, nämlich der folgende Unterring von .

  • In diesem Ring ist das irreduzibel Element kein Primelement (weil ein Teiler vom Produkt aber kein Teiler von in ist). Da der eindeutige nicht-invertierbare Teiler von in ist, folgt daraus, dass das Element , das nicht invertierbar ist, keine PFZ in hat.
  • Außerdem können wir bermerken, dass das Element zwei IZ hat, die nicht bis auf RuA die gleiche sind. Diese Bemerkung ist die Grundlage für eine alternative Definition von PFZ-Ringen.

eIZ-Ringe

  • Sei ein Integritätsring und sei . Eine Produktdarstellung

    mit , und natürliche Zahlen, und paarweise nicht assoziierte irreduzible Elemente in , heißt eine Irreduzibelzerlegung (oder IZ) von .
  • Wir werden jetzt zeigen, dass PFZ-Ringe genau die Ringe sind, in denen Irreduzibelzerlegungen existieren und wesentlich eindeutig sind. Das heißt, wenn ist, und die folgende Irreduzibelzerlegungen besitzt, und dann ist und existiert eine Permutation von mit

eIZ-Ringe sind PFZ-Ringe und umgekehrt

  • eIZ steht für „eindeutige Irreduzibelzerlegung“.

    Definition. Ein (kommutativer, unitärer) Ring wird ein eIZ-Ring genannt, wenn die folgende Eigenschaften gelten:

    1. ist ein Integritätsring.
    2. , gilt .

  • Da Primelemente eines Integritätsrings irreduzibel sind, ist ein PFZ-Ring unbedingt ein eIZ-Ring.

  • Für die Umkehrung reicht es zu zeigen, dass, in einem eIZ, jedes irreduzible Element ein Primelement ist. Aber wenn irreduzibel ist und ist, muss, per Eindeutigkeit der IZ, ein irreduzibel Faktor entweder von oder von sein. Das heißt, .

Beispiele für PFZ-Ringe

  • PFZ-Ringe sind wichtig, weil jedes irreduzible Element eines solchen Rings ein Primideal erzeugt (in Bézout-Ringe erzeugen irreduzible Elemente maximale Ideale). Das ist besonders nützlich für Polynomringe.
  • Alle Mathematiker.innen sind sich einig, dass, für alle die Ringe und PFZ-Ringe sind. Wie dies bewiesen werden kann, hängt von der Wahl einer Logik ab.
  • Insbesondere sind die Ringe und PFZ-Ringe.

Der Standpunkt der klassischen Logik

  • Aus Sicht der klassischen Logik (das heißt, wenn man Axiomen verwendet), gilt das folgende Ergebnis.

    Satz. In einer Logik wobei der SAD gilt, ist ein Integritätsring genau dann ein eIZ-Ring (oder PFZ-Ring), wenn die folgende Eigenschaften geten:

    1. erfüllt die aufsteigende Kettenbedingung für Hauptideale (aKH).
    2. Jedes irreduzible Element ist ein Primelement.

  • Tatsächlich entspricht die erste Bedingung genau der Existenz einer IZ, während die zweite Bedingung äquivalent zu der Eindeutigkeit dieser Zerlegung ist.

  • Einen Beweis für diesen Satz finden Sie im Skript vom WS 2024/25 (siehe Satz 5.36 vom 29.11.2024).

Beispiele für eIZ-Ringe

  • In der klassischen Logik werden PFZ-Ringe auch faktorielle Ringe gennant.

    Satz. Jeder Hauptidealring ist ein faktorieller Ring. Inbesondere ist, für jeden Körper , der Ring ein faktorieller Ring.

    Beweis. Da in einem HIR jedes irreduzible Element ein Primelement ist, reicht es zu zeigen, dass ein HIR die aKH erfüllt. Sei eine solche Kette und sei . Dann ist ein Ideal von und, da ein HIR ist, ist, dank der klassischen Logik, das Ideal ein Hauptideal: . Daher existiert ein mit somit und .

  • Zum Beispiel ist ein faktorieller Ring, da dieser Ring ein euklidischer Ring ist (somit ein HIR, dank der klassischen Logik). Euklid hat fast immer Recht in der klassischen Logik!

- Add result about irreducible elments of $R[X]$ for $R$ a UFD? see book by ACL - Add theorem about R factorial => R[X] factorial - Add something about R integrity ring with factorial fraction field K (i.e. K[X] UFD) then R factorial (i.e. R[X] UFD)? holds constructively? Maybe that is a cool problem set :)