Primalität

Carl Friedrich Gauß (1777-1855) war ein deutscher Mathematiker, Statistiker, Astronom, Geodät, Elektrotechniker und Physiker. Wegen seiner überragenden wissenschaftlichen Leistungen galt er bereits zu seinen Lebzeiten als Princeps mathematicorum (Fürst der Mathematiker).

Primideale

• Sei ein (kommutativer, unitärer) Ring.

  Definition. Ein Ideal von heißt ein Primideal, wenn der Ring ein Integritätsring ist.

• Nach der Charakterisierung eines Integritäsrings, ist ein Ideal von genau dann ein Primideal, wenn die folgende Eigenschaften erfüllt sind:

  1. (das heißt, ).
  2. .

Weitere Charakterisierung von Primidealen

• Wenn das Prädikat außerdem entscheidbar ist (das heißt, wenn gilt), dann ist ein Integritätsring mit entscheidbarer Gleichheit.

• In diesem Fall ist die obige Bedingung (ii) äquivalent zu der Eigenschaft:

  Der Beweis ist zum Beweis der Charakterisierung der Integrität in Ringen mit entscheidbarer Gleichheit ähnlich.

• Beachten Sie, dass ein Hauptideal genau dann ein entscheidbares Prädikat induziert, wenn gilt (Übung). Wenn diese Eigenschaft für alles gilt, sagt man, dass die Teilbarkeitsrelation von entscheidbar ist.

• Wenn man den SAD annimmt, dann sind alle Prädikaten und alle Relationen entscheidbar.

Maximale Ideale

• Sei ein (kommutativer, unitärer) Ring.

  Definition. Ein Ideal von heißt ein maximales Ideal, wenn der Ring ein Körper ist. Daher ist ein maximales Ideal insbesondere ein Primideal.

• Nach der Charakterisierung eines Körpers, ist ein Ideal von genau dann ein maximales Ideal, wenn die folgende Eigenschaften erfüllt sind:

  1. .
  2. .

• Die Bedingung (ii) bedeutet genau Folgendes: Wenn nicht zu gehört, dann ist invertierbar in (sagt man auch invertierbar modulo ).

Übung 1

• Sei ein (kommutativer, unitärer) Ring und sei ein Ideal.

• Zeigen Sie, dass genau dann ein maximales Ideal von ist, wenn die folgende Eigenschaften gelten:

  1. .
  2. Für alles Ideal von , gilt .

  Hinweis. Um die Folgerung „“ zu beweisen, erinnern Sie sich daran, dass Folgendes bedeutet, , und betrachten Sie das Ideal . Um die Folgerung „“ zu beweisen, nehmen Sie und betrachten Sie wieder das Ideal .

Eine Bemerkung zu maximaler Idealen

• Wenn das Prädikat außerdem entscheidbar ist, dann ist ein Körper mit entscheidbarer Gleichheit.

• In diesem Fall ist jedes maximale Ideal ein maximales Element unter den echten Idealen von , wobei ein Ideal von echt heißt, wenn die Bedingung , oder in äquivalenter Weise , erfüllt ist.

  Beweis. Nehmen wir an, dass ein Ideal von ist, das die Bedingung

  erfüllt. Da gilt, reicht es zu zeigen, um zu beweisen, dass ist. Sei dann . Wir möchten zeigen, dass . Da entscheidbar ist, können wir durch Fallunterscheidung argumentieren.

Ende des Beweises und eine weitere Bemerkung

• Gilt .

  • Falls ist, dann gilt .
  • Falls ist, betrachten wir das Ideal . Da ist, gilt . Da ein maximales ideal ist, muss dann, nach der Übung 1, gelten. Das heißt, es gilt . Aus folgt dann , was die Annahme widerspricht. Aus einer Anwendung von ex falso folgt auch .

• Dies beendent den Beweis.

  Bemerkung. Falls das Prädikat für alles Ideal von entscheidbar ist, gilt auch die umgekehrte Folgerung:

Übung 2

• Sei ein Ring, in dem, für alles Ideal , das Prädikat entscheidbar ist (wir werden Beispiele für solche Ringe sehen, nämlich Euklidische Ringe).
• Zeigen Sie, dass genau dann ein maximales Ideal von ist, wenn die folgende Eigenschaft gilt:

Primalität und Primideale

• Sei ein Integritätsring und sei ein extremales Element. Da das Ideal ein maximales Element ist, ist dieses Ideal auch ein Primideal.

• Dies bedeutet, dass das Element , das nicht Null und nicht invertierbar ist, auch die folgende Eigenschaft erfüllt:

  Das heißt, . Tatsächlich gilt sogar die folgende stärker Eigenschaft.

  Satz. Sei ein Integritätsring und sei ein extremales Element. Dann erfüllt die folgende Eigenschaft.

Extremale Elemente sind Primelemente (Beweis)

• Geben wir den Beweis für den vorherigen Satz.

• Seien , sodass . Da extremal in ist, gilt .

  • Wenn , dann .

  • Wenn invertierbar modulo ist, existieren , mit . Da per Annahme , existiert auch ein , mit . Dann gilt

    somit und .

  Dies beendet den Beweis.

Primelemente

• Die formale Definition eines Primelements in einem Integritätsring ist die folgende.

  Defintion. Sei ein Integritätsring. Ein Element wird ein Primelement genannt, wenn die folgende Eigenschaften gelten.

  1. .
  2. .

• Bemerkungen:

  1. Ein Primelement erzeugt ein Primideal (Übung). Wenn das Prädikat entscheidbar ist, dann gilt die umgekehrte Folgerung.
  2. Jedes extremale Element ist ein Primelement.
  3. Unten werden wir beweisen, dass ein Primelement irreduzibel ist.

Primelemente sind irreduzibel

• Die folgende Bemerkung ist wesentlich.

  Satz. Sei ein Integritätsring und sei ein Primelement. Dann ist irreduzibel.

  Beweis. Es geht um zeigen, dass nicht Null und nicht invertierbar ist, und dass die folgende Eigenschaft gilt:

  Da ein Primelement ist, ist insbesondere nicht Null und nicht invertierbar. Seien dann , mit . Dann gilt und, da ein Primelement ist, gilt auch .

  • Wenn , dann existiert , mit . Daher gilt , somit, da ein Integritätsring ist, . Das heißt, .
  • In analoger Weise, wenn , dann muss .

Zusammenfassung über Primalität

• Wenn R ein Integritätsring ist:

• Wenn ein Bézout-Ring ist:
  Daher sind in einem Bézout-Ring die drei Notionen paarweise äquivalent.
• Jetzt werden wir zeigen, dass, wenn, ein Ring mit ggT ist, die folgende Eigenschaft gilt:
  Daher gilt in einem Ring mit ggT die äquivalenz zwischen ein Primelement zu sein und irreduzibel zu sein.

Irreduzibilität in einem Ring mit ggT

• In einem Ring mit ggT , ist ein irreduzibel Element nicht unbedingt extremal, aber doch ein Primelement. Das heißt, das Ideal ist nicht unbedingt ein maximales Ideal, aber doch ein Primideal. Zum Beispiel, in , ist das Element ein Primelement (da ein Integritätsring ist ) aber kein extremales Element (da kein Körper ist). Wir werden später sehen, dass ein Ring mit ggT ist.

• Der wichtige Satz läuft wie folgt.

  Satz. Sei ein Ring mit ggT und sei ein irreduzibel Element. Dann ist ein Primelement. Insbesondere ist das Ideal ein Primideal.

  Bemerkung Primzahlen in sind als irreduzible Elemente definiert ( und . Aber sie sind tatsächlich Primelemente (). Obwhohl es Variationen gibt, ist das manchmal als das Lemma von Euklid bekannt.

Irreduzibilität in einem Ring mit ggT (Beweis)

• Da ein irreduzibel Element nicht Null und nicht invertierbar ist, reicht es die folgende Eigenschaft zu zeigen:

• Seien und nehmen wir an, dass gilt. Die Idee ist, die Symmetrie des Problems zu brechen und einen ggT von und einzuführen. Nennen wir ihn . Es gilt insbesondere . Das heißt, für geeignetes .

• Da per Annahme irreduzibel ist, gilt .

  • Falls invertierbar ist, dann ist assoziiert zu und gilt .
  • Falls invertierbar ist, dann sind und teilerfremd: . Es verbleibt zu zeigen, dass in diesem Fall gilt.

Ein Lemma von Gauß

• Genauer gesagt, verbleibt es genau den folgenden Satz zu beweisen.

  Satz. (Gauß) Sei ein Ring mit ggT und sei ein irreduzibel Element. Dann gilt:

  Beweis. Die Idee ist, Folgendes zu zeigen:

  Das reicht, weil gilt, und, da per Annahme gilt, auch Folgendes gilt: . Wenn wir bewiesen haben, dann gilt auch , somit .

Fortführung des Beweises des Lemmas von Gauß

• Sei . Da und gelten, muss auch somit gelten. Das heißt, .

  Bemerkung. Beachten Sie, dass dies auch ohne die Annahme gilt, dass irreduzibel ist.

• Sei . Wir haben bereits bewiesen, dass gilt, und wir möchten jetzt zeigen, dass gilt.

• Da und gelten, müssen auch somit gelten.

• Wir besagen nun, dass ist (siehe unten für den Beweis).

• Da per Annahme, ist, würden wir dann erhalten, dass somit gelten. Das heißt, es gilt somit und dies ist genau .

Ende des Beweises des Lemmas von Gauß

• Wir müssen noch zeigen, dass . Dies wird für alle gelten. Da ein Teiler von und ist, ist ein Teiler von und . Das heißt, ist ein Teiler von .
• Es wäre naheliegend, hier zu beweisen, dass ein Teiler von ist. Da wir bereits wissen, dass ein Teiler von gilt, gibt es aber einen anderen Ansatz, und zwar, für geeignetes zu schreiben und zu beweisen, dass invertierbar ist.
• Um zu zeigen, dass invertierbar ist, reicht es zu beweisen, dass ein Teiler von ist, weil, wenn gilt, und ein Integritätsring ist, muss auch gelten.

Ende des Endes des Beweises

• Um zu zeigen, dass ein Teiler von ist, reicht es zu beweisen, dass ein Teiler von und von ist.
• Wir haben aber bereits bewiesen, dass gilt. Das heißt, teilt und . Da ein Integritätsring ist, muss dann beide und teilen.
• Dies beendet den Beweis.

Übung 4

• Sei ein Ring mit ggT und seien .

• Zeigen Sie, dass die folgende Eigenschaften gelten:

  1. .
  2. .

Beispiele für Integritätsringe, die keine Ringe mit ggT sind

• Wir haben gerade bewiesen, dass in einem Ring mit ggT, jedes irreduzibel Element ein Primelement ist. Daher, wenn ein Integritätsring ein irreduzibel Element besitzt, das kein Primelement ist, ist kein Ring mit ggT.
• Wie wir in den nächten Vorlesungen sehen werden, hat die Existenz ein solches Element , mit der Faktorisierung eines beliebigen Elements von zu tun, nämlich ob einer solchen Faktorisierung (existiert und) eindeutig ist. Wir können jedoch ein einfaches Beispiel geben, für einen Ring, der ein irreduzibel Element besitzt, der kein Primelement ist.

Ein konkretes Beispiel für ein Integritätsring, der kein Ring mit ggT ist

• Sei der Unterring vom , bestehend aus denjenigen Polynomen , sodass gilt.
• Dieser Ring ist ein Integritätsring und das Element ist irreduzibel in (weil ist und ein Körper ist).
• Aber ist kein Primelement in : teilt in , aber ist kein Teiler von in , weil das konstante Polynom nicht zu gehört.
• Beachten Sie, dass das Element von zwei sogenannte Irreduzibelfaktorzerlegungen in hat. Nämlich, in und in , mit und irreduzible in .
• Wir werden in den nächsten Vorlesungen näher darauf eingehen.