Teilbarkeit: Euklid, Bézout und Gauß

Carl Friedrich Gauß (1777-1855) war ein deutscher Mathematiker, Statistiker, Astronom, Geodät, Elektrotechniker und Physiker. Wegen seiner überragenden wissenschaftlichen Leistungen galt er bereits zu seinen Lebzeiten als Princeps mathematicorum (Fürst der Mathematiker).

Teilbarkeit

• In einem beliebigen (kommutativen, unitären) Ring , können wir die folgende Relation definieren:

• Das heißt, für alle , sagt man, dass das Element das Element teilt, oder ein Teiler von ist, wenn ein existiert, sodass .
• Hier haben wir die Teilbarkeitsrelation als eine Abbildung
  (mit Infix-Notation) geschrieben, wobei die Menge aller Aussagen ist.
• Wenn Sie möchten, können Sie statt schreiben (entscheidbare Relationen), oder sogar die Teilbarkeitsrelation als eine Teilmenge von definieren, nämlich

Assoziierte Elemente

• Von nun an, nehmen wir an, dass ein Integritätsring ist.

• Erinnern Sie sich daran, dass ein Element von heißt eine Einheit, wenn invertierbar in ist. Das heißt, wenn . Da ein Integritätsring ist, gilt .

• Die Einheistgruppe von wird als bezeichnet. Beachten Sie, dass die folgende Inklusion gilt:

  Definition. Elemente heißen assoziierte, wenn gilt. Dies wird als bezeichnet.

• Da ein Integritätsring ist, ist die obige Bedingung äquivalent zu die folgende (Übung):

Übung 1

Zeigen Sie die folgende Eigenschaften:

• Wenn , dann ist .
• Das eindeutige Element , das zu assoziert ist, ist .
• Die Teilbarkeitsrelation ist eine Quasiordnung. Das heisst, eine binäre Relation, die reflexiv und transtiv ist.
• Die Relation assoziiert-zu-sein ist eine Äquivalenzrelation auf , deren Äquivalenklasse die Bahnen der Wirkung von durch Multiplikation sind.
• Die Teilbarkeitsrelation auf induziert eine Ordnungsrelation auf der Quotientmenge .
• ist ein kommutatives Monoid. Dieses Monoid können wir nicht aus einem beliebigen Ring konstruieren, aber schon aus einem Integritätsring.

Teilbarkeit und Hauptideale

• Für alles , schreiben wir , oder einfach , für das von erzeugte Ideal von . Ein solches Ideal, das von eine einzige Element erzeugt ist, heißt ein Hauptideal.

• Dann sind für alle die folgende Eigenchaften paarweise äquivalent:

  1. .
  2. .
  3. .

  Vorsicht vor Richtungswechseln!

• Wenn , dann haben wir eine endliche aufsteigende Kette von Hauptidealen:

Aufsteigender Ketten von Hauptidealen

• Gegeben , was bedeutet es, wenn die Länge einer aufsteigende Kette von Hauptidealen, die von startet, durch eine natürliche Zahl beschränkt ist?

  Definition. Man sagt, dass durch beschränkt ist, wenn dies gilt:

• Zum Beispiel bedeutet die Tatsache, dass durch beschränkt ist, dass invertierbar ist.

• Der nächste interessante Fall ist wenn durch aber nicht beschränkt ist. Dann ist nicht invertierbar und muss ein Teiler von entweder assoziiert zu sein, oder invertierbar sein. In diesem Fall heißt das Element ein irreduzibles Element.

Irreduzible Elemente

• Die formale Definition eines irreduziblen Elements ist die folgende.

  Definition. Sei ein Integritätsring und sei . Dann heißt irreduzibel, wenn die folgende Eigenschaften gelten:

  1. und .
  2. .

• Zum Beispiel, jede Primzahl ist ein irreduzibles Element dieses Rings.

• Im Ring sind die folgende Polynome irreduzibel:

  • Ein Polynom mit . Das heißt, , mit und .
  • Ein Polynom mit ist genau dann irreduzibel, wenn keine Wurzel in hat (Übung). Zum Beispiel sind die Polynome und irreduzibel in .

Beispiele für irreduzible Elemente

• Ein irreduzibles Polynom hat keine Wurzel in aber die umgekehrte Folgerung gilt im Allgemeinen nicht: hat keine Wurzel in aber in .

• Das Konzept der Irreduzibilität eines Polynoms, wie das einer Wurzel, hängt von dem Ring der Koeffizienten ab:

  • Das Polynom ist irreduzibel in aber, da nicht invertierbar in ist, ist reduzibel in .
  • Das Polynom ist irreduzibel in aber reduzibel in .

• Das Polynom ist irreduzibel in (Übung!).

Übung 2

• Sei ein Integritätsring.
• Zeigen Sie, dass ein Element ist genau dann irreduzibel, wenn die folgende Bedingung gilt:

• Insbesondere ist für alles irreduzible Element das Hauptideal ein maximales Element unter den echten Hauptidealen von ist, wobei ein Ideal von echt heißt, wenn gilt. Nehmen Sie jetzt an, dass die Relation invertierbar-zu-sein ist entscheidbar: , und zeigen Sie, dass in diesem Fall die umgekehrte Folgerung gilt: wenn ein maximales Element unter den echten Hauptidealen von ist, dann ist irreduzibel.
  Im Allgemeinen ist die obige Definition eines echten Ideales von schwächer als die Bedingung .

Größter gemeinsamer Teiler

• Das Konzept der Teilbarkeit reicht, um das Konzept des größten gemeinsamen Teiler in einem abstrakten Ring zu definieren.

  Definition. Seien . Man sagt, dass ein Element ein größter geimeinsamer Teiler von und ist, wenn die folgende Eigenschaften gelten:

  • und .
  • .

• Ist ein Integritätsring, dann, falls es existiert, ist ein ggT „wesentlich eindeutig“. Das heißt, wenn und beide ggT von und sind, dann existiert eine Einheit , sodass (Übung). In äquivalenter Weise sind und assoziierte: .

• Daher können wir „“ statt „ ist ein ggT von und “ schreiben.

Ringe mit ggT

• Wir werden uns vor allem auf Ringe konzentrieren, bei denen je zwei Elemente einen größten gemeinsamen Teiler (ggT) haben.

  Definition. Ein (kommutativer, unitärer) Ring wird ein Ring mit ggT genannt, wenn die folgende Eigenschaften gelten:

  • ist ein Integritätsring.
  • .

• Wenn und beide ggT von und sind, dann gilt . Ist , dann ist auch ein ggT von und .

• Es ist nicht unbedingt der Fall, dass ein Integritätsring ein Ring mit ggT ist: Manchmal existieren und , die keinen ggT haben. Wir werden explizite Beispiele später sehen.

Übung 3

• Zeigen Sie, dass der Ring ganzer Zahlen ein Ring mit ggT ist.
• Beachten Sie, dass die übliche Definition des ggT im bedeutet, dass ein ggT von und größer ist als jeden gemeinsamten Teiler von und im folgenden Sinne: Wenn ein Teiler von und ist, dann gilt .
  Hinweis. Nach dem Lemma von Bézout in , ist ein ggT von und im obigen Sinn eine lineare Kombination von und : .

Teilerfremdheit

• Ein Ring mit ggT kann auch als gaußcher Ring bezeichnet. Das ist nicht dasselbe, wie der Ring der gaußschen Zahlen .

• In einem Ring mit ggT können wir teilerfremde Elemente wie folgt definieren.

  Definition. Sei ein Ring mit ggT und seien . Man sagt, dass und teilerfremd sind, wenn jeder ggT von und invertierbar ist. Das heißt:

• Diese Bedingung ist äquivalent zu der Tatsache, dass ein ggT von und ist (Übung). Daher können wir „“ statt „ und sind teilerfremd“ schreiben.

• Beachten Sie, dass wir keine Funktion eingeführt haben. Eine solche Funktion würde am besten Werte in annehmen.

Summe von Hauptidealen

• Sei ein Ring mit ggT. Seien und sei .

• Da gilt, haben wir und , somit auch . Beachten Sie, dass .

• Wenn gilt, dann gilt auch und . Daher gilt , somit , per Definition vom ggT. Das heißt, gilt.

• Wir haben Folgendes bewiesen:

  Satz. Sei ein Ring mit ggT. Seien und sei . Dann ist das kleinste Hauptideal, das die Summe enthält.

  Bemerkung. In einem Ring wie, zum Beispiel, , wobei jedes Ideal ein Hauptideal ist, gilt daher .

Bézout-Ringe

• Wir möchten die Bedingung , die zum Beispiel in gilt, separat betrachten. Das heißt, ohne die Annahme, dass jedes Ideal von ein Hauptideal ist.

  Definition. Ein (kommutativer, unitärer) Ring wird ein Bézout-Ring gennant, wenn die folgende Eigenschaften gelten:

  1. ist ein Integritätsring.
  2. .

• Diese Definition sollte mit der Definition eines Rings mit ggT vergleichen werden. Da gilt, muss ein Teiler von und sein. Außerdem, wenn und gelten, dann gilt auch . Das heißt, ist ein Teiler von jedem Element in . Da ein mit existiert, gilt . Das heißt, ein solches ist ein ggT von und und ein Bézout-Ring ist insbesondere ein Ring mit ggT.

Endlich erzeugte Ideale eines Bézout-Rings

• Nicht jeder Ring mit ggT ist ein Bézout-Ring. Wir werden explizite Beispiele später sehen.

• Derzeit haben wir die folgende Charakterisierung/alternative Definition eines Bézout-Rings.

  Satz. Ein Ring ist genau dann ein Bézout-Ring, wenn die folgende Eigneschaften gelten:

  1. ist ein Integritätsring.
  2. Jedes endlich erzeugte Ideal von ist ein Hauptideal.

  Beweis. Da das Ideal endlich erzeugt ist, ist die Folgerung „“ unmittelbar. Um „“ zu zeigen, nehmen wir an, dass ein Bézout-Ring ist. Es reicht zu zeigen, dass, für jedes , jedes endlich erzeugte Ideal ein Hauptideal ist.

Beweis der Charakterisierung von Bézout-Ringen

• Wir beweisen, durch Induktion auf , dass, für jedes und jedes endlich erzeugte Ideal , existiert ein sodass .
• Der Fall folgt aus der Definition eines Hauptideals ( ist ein Hauptideal).
• Nehmen wir an, dass die Induktionsannahme für gilt, und betrachten wir ein Ideal der Gestalt . Nach der Induktionsannahme existiert ein , mit

• Da ein Bézout-Ring ist, existiert ein , sodass . Dies beendet die Induktion.

Relation von Bézout

• Per Definition ist ein Bézout-Ring ein Integritätsring, in dem je zwei beliebige Elemente und ein ggT haben, der außerdem eine lineare Kombination von und ist:

• Insbesondere, je zwei beliebige Elemente eines Bézout-Rings sind genau dann teilerfremd, wenn Elemente existieren, mit .

• Dies bedeutet genau, dass invertierbar modulo ist (und invertierbar modulo ist):

• Das kann auch als oder geschrieben werden.

Irreduzibilität in einem Bézout-Ring

• Was bedeutet es, irreduzibel in zu sagen, wenn ein Bézout-Ring ist?

  Satz. Sei ein Bézout-Ring. Dann ist genau dann irreduzibel, wenn die folgende Eigenschaften gelten:

  1. und .
  2. .

• Insbesondere ist jedes in entweder Null oder invertierbar in . Dies bedeutet, dass, wenn ein irreduzibles Element eines Bézout-Rings ist, der Ring ein Körper ist.

• Daher ist ein von einem irreduziblen Element erzeugtes Ideal ein maximales Element in der Menge aller echten Ideale von (siehe unten).

Charakterisierung der irreduziblen Elemente eines Bézout-Rings

• „“ Per Definition eines irreduziblen Element , genügt es zu beweisen, dass, wenn gilt, dann die folgende Eigenschaft gilt:

• Seien sodass . Da , muss entweder oder gelten.

  • Falls , dann impliziert die Bedingung , dass für geeignetes . Da ein Integritätsring ist, impliziert dies, dass . Das heißt, ist invertierbar.
  • Falls , dann gilt, für geeignetes , in . Aber nach gilt auch in , somit in . Das heißt, . Daher gilt , das heißt . Dies widerspricht die Tatsache, dass nicht invertierbar ist.

• Bemerkung. Oben haben wir die Tatsache, dass ein Bézout-Ring ist, nicht benutzt.

Ende des Beweises

• „“ Für diese Folgerung, reicht es zu beweisen, dass, wenn irreduzibel ist, die folgende Eigenschaft gilt:

• Sei und betrachten wir das Ideal . Gilt und, da ein Bézout-Ring ist, existiert ein , sodass ist.

• Nach Übung 2, impliziert dies, da irreduzibel ist, dass gilt.

  • Falls ist, dann gilt . Das heißt, .
  • Falls , dann gilt . Daher existieren , sodass gilt. Das heißt, ist invertierbar in .

Extremale Elemente

• Der vorherige Satz besagt, dass in einem Bézout-Ring, jedes irreduzible Element die folgende Eigenschaften erfüllt:

  1. .
  2. .

• In einem Integritätsring heißt ein solches Element ein extremales Element und wir haben bewiesen dass, in einenm Bézout-Ring, irreduzibel extremal gilt.

• Wie der Beweis gezeigt hat, gilt tatsächlich die Folgerung extremal irreduzible in einem beliebiegen Integritätsring. Die Folgerung irreduzible extremal gilt in einem Bézout-Ring, aber nicht im Allgemeinen.

Von extremalen Elementen erzeugte Ideale

• Wir wissen bereits, dass ein extremales Element eines beliebigen Integritätsrings irreduzibel ist und, dass jedes Hauptideal , das von einem irreduziblen Element erzeugt ist, maximal unter den echten Hauptidealen von ist.

• Aber wie beobachtet, wenn ein extremales Element eines Rings ist, ist der Faktorring tatsächlich ein Körper und ist das Ideal ein maximales Element unter aller echten Idealen von . Das ist besonders interesssant, wenn ein Bézout-Ring ist.

  Satz. Sei ein Bézout-Ring. Dann für jedes irreduzible Element ist das Ideal ein maximales Ideal.

  Beweis. Da ein Bézout-Ring ist, ist jedes irreduzible Element ein extremales Element. Daher ist ein Körper. Es folgt daraus, per Definition eines maximalen Ideals, dass ein maximales Ideal ist.

Primalität

• Sei ein Integritätsring und sei ein extremales Element. Da das Ideal ein maximales Element ist, ist dieses Ideal auch ein Primideal.

• Dies bedeutet, dass das Element , das nicht Null und nicht invertierbar ist, auch die folgende Eigenschaft erfüllt:

  Das heißt, . Tatsächlich gilt sogar die folgende stärker Eigenschaft.

  Satz. Sei ein Integritätsring und sei ein extremales Element. Dann erfüllt die folgende Eigenschaft.

Extremale Elemente sind Primelemente (Beweis)

• Geben wir den Beweis für den vorherigen Satz.

• Seien , sodass . Da extremal in ist, gilt .

  • Wenn , dann .

  • Wenn invertierbar modulo ist, existieren , mit . Da per Annahme , existiert auch ein , mit . Dann gilt

    somit und .

  Dies beendet den Beweis.

Primelemente

• Die formale Definition eines Primelements in einem Integritätsring ist die folgende.

  Defintion. Sei ein Integritätsring. Ein Element wird ein Primelement genannt, wenn die folgende Eigenschaften gelten.

  1. .
  2. .

• Bemerkungen:

  1. Ein Primelement erzeugt ein Primideal (Übung). Wenn das Prädikat entscheidbar ist, dann gilt die umgekehrte Folgerung.
  2. Jedes extremale Element ist ein Primelement.
  3. Unten werden wir beweisen, dass ein Primelement irreduzibel ist.

Primelemente sind irreduzibel

• Die folgende Bemerkung ist wesentlich.

  Satz. Sei ein Integritätsring und sei ein Primelement. Dann ist irreduzibel.

  Beweis. Es geht um zeigen, dass nicht Null und nicht invertierbar ist, und dass die folgende Eigenschaft gilt:

  Da ein Primelement ist, ist insbesondere nicht Null und nicht invertierbar. Seien dann , mit . Dann gilt und, da ein Primelement ist, gilt auch .

  • Wenn , dann existiert , mit . Daher gilt , somit, da ein Integritätsring ist, . Das heißt, .
  • In analoger Weise, wenn , dann muss .

Zusammenfassung über Primalität

• Wenn R ein Integritätsring ist:

• Wenn ein Bézout-Ring ist:
  Daher sind in einem Bézout-Ring die drei Notionen paarweise äquivalent.
• Jetzt werden wir zeigen, dass, wenn, ein Ring mit ggT ist, die folgende Eigenschaft gilt:
  Daher gilt in einem Ring mit ggT die äquivalenz zwischen ein Primelement zu sein und irreduzibel zu sein.

Irreduzibilität in einem Ring mit ggT

• In einem Ring mit ggT , ist ein irreduzibel Element nicht unbedingt extremal, aber doch ein Primelement. Das heißt, das Ideal ist nicht unbedingt ein maximales Ideal, aber doch ein Primideal.

• Beispiel. Im Rimg , ist das Element ein Primelement (da ein Integritätsring ist ) aber kein extremales Element (da kein Körper ist).

• Der wichtige Satz läuft wie folgt.

  Satz. Sei ein Ring mit ggT und sei ein irreduzibel Element. Dann ist ein Primelement. Insbesondere ist das Ideal ein Primideal.

  Bemerkung Primzahlen in sind als irreduzible Elemente definiert ( und . Aber sie sind tatsächlich Primelemente (). Obwhohl es Variationen gibt, ist das manchmal als das Lemma von Euklid bekannt.

Irreduzibilität in einem Ring mit ggT (Beweis)

• Da ein irreduzibel Element nicht Null und nicht invertierbar ist, reicht es die folgende Eigenschaft zu zeigen:

• Seien und nehmen wir an, dass gilt. Die Idee ist, die Symmetrie des Problems zu brechen und einen ggT von und einzuführen. Nennen wir ihn . Es gilt insbesondere . Das heißt, für geeignetes .

• Da per Annahme irreduzibel ist, gilt .

  • Falls invertierbar ist, dann ist assoziiert zu und gilt .
  • Falls invertierbar ist, dann sind und teilerfremd: . Es verbleibt zu zeigen, dass in diesem Fall gilt.

Ein Lemma von Gauß

• Genauer gesagt, verbleibt es genau den folgenden Satz zu beweisen.

  Satz. (Gauß) Sei ein Ring mit ggT und sei ein irreduzibel Element. Dann gilt:

  Beweis. Die Idee ist, Folgendes zu zeigen:

  Das reicht, weil gilt, und, da per Annahme gilt, auch Folgendes gilt: . Wenn wir bewiesen haben, dann gilt auch , somit .