Sylowuntergruppen

Ein Porträt von Ludwig Sylow.

Peter Ludwig Mejdell Sylow (1832-1918) war ein norwegischer Mathematiker, der grundlegende Arbeiten zur Gruppentheorie verfasste.

Florent Schaffhauser, Algebra 1, Wintersemester 2025/26, Uni-Heidelberg (© 2025, CC BY-SA 4.0).

Maximale p-Untergruppe

  • Sei eine endliche Gruppe und sei eine Primzahl. Sei und schreiben wir mit , und .

    Definition. Eine Untergruppe wird -Sylowuntergruppe von gennant, wenn .

  • Zum Beispiel, wenn , ist eine -Sylowuntergruppe von . Außerdem ist eine nicht-triviale -Sylowuntergruppe von eine -Gruppe (nach Lagrange und Cauchy, sind die endliche -Gruppen genau die Gruppen, deren Ordnung eine Potenz von ist).

  • Falls , mit und eine -Untergruppe von , dann muss gelten. Daher ist eine nicht-triviale Untergruppe genau dann eine -Sylowuntergruppe, wenn ein maximales Element unter den -Untergruppen von ist.

Beispiel: eine Sylowuntergruppe der allgemeinen linearen Gruppe

  • Betrachten wir die Gruppe . Wir werden bald sehen, dass Elemente von multiplizieren und (wenn sie nicht null sind) invertieren werden kann. Das heißt, wir haben ein Körper (wie oder ), mit nur endlich vielen Elementen!

  • Dann ist die Gruppe auch endlich, mit Ordnung

  • Wenn Sie einverstanden sind, dann können Sie auch vorstellen, dass die Untergruppe der oberen Dreiecksmatrizen mit 1 auf der Diagonalen Ordnung hat. Daher ist diese Untergruppe eine -Sylowuntergruppe von 🙃 🤯.

Einzelheiten zum Beispiel

  • Um die Ordnung von zu berechnen, reicht es die Anzahl von Basen des Vektoraums zu bestimmen. Zunächst nehmen wir ein von Null verschiedener Vektor in diesem Vektorraum. Da dieser Vektorraum Elemente hat, gibt es für einen .
  • Danach entfernen wir alle Vektoren, die kollinear zu sind. Das heißt, die p Vektoren , , , , . Es verbleiben Vektoren, aus denen ein zweiter Vektor aus der Basis ausgewählt werden kann.
  • Danach entfernen wir alle Linearkombinationen von und . Es verbleiben Vektoren. So geht es weiter bis zu , das aus Vektoren ausgewählt werden kann. Das heißt, .

Dreiecksmatrizen mit 1 auf der Diagonalen

  • Schließlich können wir, für die Ordnung von , die Koeffizienten oberhalb der Diagonalen in frei wählen.
  • Daher gibt es .
  • Wir werden nun sehen, dass dieses Beispiel für eine -Sylowuntergruppe sowohl konkret als auch nützlich ist.

Erster Satz von Sylow

  • Sei eine Primzahl.

    Erster Satz von Sylow. Sei eine endliche Gruppe mit Ordnung , wobei , und . Dann besitzt eine -Sylowuntergruppe.

  • Es gibt verschiedene Beweise dieses Satzes. Wir werden einen geometrischen Beweis liefern. Das heißt, wir werden die Gruppe als eine Gruppe von linearen Transformationen ansehen, nämlich eine Untergruppe von .

  • Genauer gesagt, nach dem Satz von Cayley können wir einen injektiven Gruppenhomomorphismus betrachten, und diesen mit einem injektiven Gruppenhomomorphismus komponieren, um zu erhalten. Der Gruppenhomomorphismus abbildet die Permutation nach die eindeutige lineare Transformation, die nach abbildet (kanonische Basis).

Beweis des ersten Satzes von Sylow

  • Wir möchten zeigen, das, für jede Primzahl , die endliche Gruppe eine -Sylowuntergruppe hat. Wie oben erklärt, können wir annehmen, dass einer gruppe der allgemeneinen linearen Gruppe ist: .
  • In der Gruppe , haben wir eine -Sylowuntergruppe . Beachten Sie, dass jede Untergruppe auch eine -Sylowuntergruppe ist. Die Idee ist jetzt, die Existenz eines Elements zu beweisen, sodass eine -Sylowuntergruppe von ist.
  • Da nicht-trivialen -Sylowuntergruppen von maximale -Untergruppen sind, ist es sinnvoll, nach solchen Untergruppen als Untergruppen der Gestalt zu suchen, wobei eine maximale -Untergruppe von ist.

Fortführung des Beweises des ersten Satzes von Sylow

  • Die abstrakte Version der vorherigen Bemerkung läuft wie folgt.

    Lemma. Sei eine endliche Gruppe und sei eine Primzahl. Nehmen wir an, dass eine -Sylowuntergruppe von ist. Dann, für jede Untergruppe , existiert ein , sodass eine -Sylowuntergruppe von ist.

  • In unserem Kontext, ist und .

  • Beweis. Die Idee ist, die Aktion der Gruppe auf die Menge zu betrachten, die durch definiert wird. Grund dafür ist, die Isotropriegruppe des Elements ist genau die Untergruppe

Ende des Beweises des ersten Satzes von Sylow

  • Die Isotropiegruppe ist eine Untergruppe von , die Ordnung hat, mit . Daher ist die Untergruppe genau dann eine -Sylowuntergruppe von , wenn . Das heißt, wenn .

  • Sei ein Vertretersystem der Bahnen der Wirkung von auf . Nach dem Bahnensatz gilt

  • Wenn für alles gilt, dann muss auch ein Teiler von sein. Da dies die Eigenschaft widerspricht, muss ein mit existieren. Für dieses ist eine -Sylowuntergruppe von 🎉.

p-Untergruppen einer endlichen Gruppe

  • Als Folgerung des vorherigen Lemmas, können wir beweisen, dass jede -Untergruppe einer endlichen Gruppe, in einiger -Sylowuntergruppe enthalten ist.

  • Die nützliche Vorbemerkung ist, dass eine -Gruppe eine eindeutige -Sylowuntergruppe besitzt, nämlich die ganze Gruppe .

    Satz. Sei eine endliche Gruppe und sei eine Primzahl. Wenn eine -Untergruppe von ist, dann existiert eine -Sylowuntergruppe mit .

    Beweis. Sei eine -Sylowuntergruppe von . Nach dem vorherigen Lemma, existiert ein , sodass eine -Sylowuntergruppe von ist. Da eine -Gruppe ist, muss . Somit , mit eine -Sylowuntergruppe von .

Existenz von p-Untergruppen einer endlichen Gruppe

  • Als Folgerung des ersten Satzes von Sylow, können wir das folgende Existenzsatz beweisen, der den Satz von Cauchy verallgemeinert.

  • Genauer gesagt, ist der Satz von Cauchy äquivalent zum Fall des nächsten Satzes.

    Satz. Sei eine Primzahl und sei eine endliche Gruppe mit Ordnung , wobei . Dann existiert, für alles eine Untergruppe von , mit . Insbesondere, für , gibt es eine -Untergruppe von mit Ordnung .

    Bemerkung. Die Ideen im folgenden Beweis können tatsächlich verwendet werden, um einen abstrakteren Beweis für Sylows ersten Satz zu liefern als den, den wir gegeben haben. Der Beweis erfolgt durch Induktion über .

Beweis für die Existenz von p-Untergruppen

  • Die Induktionsannahme ist, dass, für alle Gruppe mit Ordnung von der Form mit , enthält die Gruppe , für jedes , eine Untergruppe mit Ordnung .
  • Um diese Eigenschaft zu beweisen, ist die Idee zunächst eine Untergruppe mit Ordnung in einer -Sylowuntergruppe von zu finden, und danach die Induktionsannahme auf anzuwenden.
  • Sei dann eine -Sylowuntergruppe von . Per Definition, gilt .
  • Wenn , dann ist eine Untergruppe von mit Kardinalität .
  • Wenn , dann gibt es einen Gruppenisomorphismus . Es reicht daher oder zu betrachten.

Fortführung vom Beweis der Existenz von -Untergruppen

Ende des Beweises der Existenz von -Untergruppen

  • Nach einer Anwendung der Induktionsannahme mit , existiert eine Untergruppe mit Ordnung . Es gibt dann eine (eindeutige) Untergruppe , sodass . Insbesondere gilt:

  • Dann können wir die Induktionsannahme erneut anwenden, diesmal auf , und für alles eine Untergruppe mit Ordnung finden. Diese ist auch eine Untergruppe von und .

Zweiter Satz von Sylow

  • Sei eine Primzahl und sei eine endliche Gruppe mit , wobei .

    Zweiter Satz von Sylow. Seien -SylowUntergrruppen von . Dann existiert , mit . Insbesondere ist eine -Sylowuntergruppe von genau dann ein Normalteiler, wenn eine eindeutige -Sylowuntergruppe hat (Übung).

    Beweis. Nach dem Lemma, den wir für den Beweis des ersten Satzes von Sylow verwendet haben, existiert , sodass eine -Sylowuntergruppe von ist.

    • Da insbesondere eine -Gruppe ist, ist die eindeutige -Sylowuntergruppe von die ganze . Das heißt, .
    • Da beide Untergruppe -SylowUntergruppen sind, haben sie die gleiche Mächtigkeit und gilt

Dritter Satz von Sylow

  • Sei eine Primzahl und sei eine endliche Gruppe mit , wobei .

  • Sei die Teilmenge aller -SylowUntergruppen von und sei .

    Dritter Satz von Sylow. Gelten die folgende Eigenschaften:

    1. teilt .
    2. .
    3. teilt .

  • Beachten wir, dass, nach dem ersten Satz von Sylow, ist . Das heißt, .

  • Da mit , folgt außerdem den dritten Teil des Satzes von den ersten zwei.

Beweis des dritten Satzes von Sylow: Erster Teil

  • Betrachten wir zunächst die Aktion von auf die Menge durch Konjugation: für jedes und jede -Sylowuntergruppe ist eine -Sylowuntergruppe von . Nach dem zweiten Satz von Sylow hat diese Aktion einen einzigen Orbit:

    Das heißt, .

  • Nach dem Bahnensatz gibt es, für alle , eine Bijektion

  • Inbesondere gilt , der ein Teiler von ist. Das heißt,

Beweis des dritten Satzes von Sylow: Zweiter Teil

  • Um die Kongruenz zu beweisen, die Idee ist die Formel

    für die Aktion einer endlichen -Gruppe auf eine endliche Menge zu anwenden.

  • Wir werden natürlich nehmen. Unsere Gruppe ist jedoch im Allgemeinen keine -Gruppe. Dann ersetzen wir die Aktion von auf mit der Aktion einer -Sylowuntergruppe auf .

  • Da diese Aktion durch Konjugation ist, ist ein Fixpunkt der Aktion. Inbesondere ist . Wir möchten nun beweisen, dass .

  • Dafür reicht es zu beweisen, dass .

Ende des Beweises des dritten Satzes von Sylow

  • Sei , sodass für alles , , und sei die durch un erzeugte Untergruppe von .
  • Dann sind und noch -Sylowuntergruppen von . Außerdem gibt es, für alles , . Übung: Beweisen Sie diese Eigenschaft durch Induktion auf .
  • Nach dem zweiten Satz von Sylow existiert aber mit . Daher gilt .
  • Wir haben deshald bewiesen, dass, für alles , . Da eine -Gruppe ist, muss gelten. Das heißt:

Anwendung

  • Die Sätze von Sylow liefern Information über die Struktur endlicher Gruppen.

  • Zum Beispiel:

    Sei eine Gruppe mit Ordnung 30. Dann besitzt einen nicht-trivialen Normalteiler.

    Beweis.

    • Da , haben wir , und . Das heißt, , und .
    • Da gilt, muss . Da , muss .

Ende der Anwendung

  • Nehmen wir an, dass beide und .
  • Da und teilerfremd sind, muss das Durchschnitt einer -Sylowunterguppe und einer -Sylowunterguppe trivial sein. Außerdem hat jede -Sylow Ordnung , das heißt, . Daher hat genau verschiedene Elemente der Ordnung .
  • In analoger Weise hat genau verschiedene Elemente der Ordnung . Dann muss . Da dies ein Widerspruch ist, muss oder gelten.
  • Wenn gilt, dann ist die eindeutige -Sylowuntergruppe von ein Normalteiler von . Wenn gilt, dann ist die eindeutige -Sylowuntergruppe von ein Normalteiler von . Im jeden Fall hat eine nicht-triviale normale Untergruppe.

Übung

  • Sei eine Gruppe mit Ordnung .

    1. Zeigen Sie, dass einen nicht-trivialen Normaleteiler besitzt.
    2. Zeigen Sie, dass

  • Insbesondere ist jede Gruppe mit Ordnung abelsch.

## Gruppen, die modulo das Zentrum zyklische sind - Das nächste Ergebnis ist weniger intuitiv. Es bietet jedoch eine nützliche Charakterisierung abelscher Gruppen (siehe unten). > **Satz.** Eine Gruppe $G$ ist genau dann abelsch, wenn die Faktorgruppe $G / \mathcal{Z}(G)$ zyklisch ist. - Gruppen mit Ordnung 45 (oder $pq$, mit $p < q$ und $p \nmid (q-1)$; un tel groupe est d'ordre impair !). Aurélien p. 276. - Groupes d'ordre $pq$, où $p$ et $q$ sont premiers et $p \nmid (q-1)$. Aurélioen p. 276. --- ## This lecture and the next ones - Vocabulaire : action transitive, libre, espace homogène, torseur, ... - Gruppen, die Produkte von $p$-Gruppen sind. Aurélien p. 278. - For later: 1. Aurélien exemples 6.39 (en lien avec Übung 1) et 6.45 ($\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$ non isom. à $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p \mathbb{Z}$). 1. Si $G/\mathcal{Z}(G)$ est cyclique, alors $G$ abélien (see YouTube video). 1. Application : un groupe fini d'ordre $pq$ avec $p$ et $q$ premiers et $p \nmid (q-1)$ est nécessairement abélien. 1. Attention, un tel groupe n'est pas nécessairement cyclique ! Voir cours Aurélien (6.124). - Produit semi-direct ! Groupe symétrique ! (cf. cours Aurélien pour les deux) ---