Struktur endlich erzeugter abelscher Gruppen

Felix Klein (1849-1925) war ein deutscher Mathematiker. Seine Forschungen lieferten grundlegende Beiträge zur Geometrie, Gruppentheorie, Funktionentheorie und Anwendugen der Mathematik.

Endlich erzeugte abelsche Gruppen

• Denken Sie daran, dass eine Gruppe endlich erzeugt gennant wird, wenn es ein endlich Erzeugendensystem gibt, sodass .

• Im abelschen Fall bedeutet das, dass jedes Element als lineare Kombination der geschrieben werden kann:

• Zum Beispiel ist jede Gruppe endlich erzeugt.

• Jede endliche Gruppe ist endlich erzeugt (nehmen Sie für ein Erzeugendensystem die ganze zugrundeliegende Menge von ).

• Wenn und endlich erzeugt sind, so ist das Produkt . Zum Beispiel ist endlich erzeugt.

Klassifikationssatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen

• In gewisser Weise kennen wir bereits alle endlich erzeugten abelschen Gruppen.

  Satz. Sei eine endlich erzeugte abelsche Gruppe. Dann gibt es eindeutige natürliche Zahlen und und eine eindeutige Folge natürlichen Zahlen , so dass die folgende Eigenschaften gelten:

  1. .

  2. Es gibt einen Gruppenisomorphismus

• Beachten Sie, dass der Teil eine endliche abelsche Gruppe ist.

• Dieser Satz hat viele Anwendungen, zum Beispiel in der algebraischen Topologie (Homologietheorie von Mannigfaltigkeiten usw).

Torsionsuntergruppe

• Wir werden den Beweis des vorherigen Satzes in mehrere Schritte unterteilen.

• Die erste Frage ist: Wenn , wie kann man die endliche Gruppe als Untergruppe von charakterisieren?

  Definition. Sei eine abelsche Gruppe. Ein Element von mit endlicher Ordnung wird als Torsionselement bezeichnet.

• Da abelsch ist, ist die Teilmenge eine Untergruppe von .
  Beweis. und, wenn , dann gibt es und für einigen , somit auch für . Schließlich gilt auch . Das heißt, ist auch Torsion.

Beispiel für Torsionsuntergruppen

• Wenn eine endliche Gruppe ist, ist . Die Faktorgruppe (die isomorph zu die Gruppe der Einheitswurzeln ist) ist ein Beispiel für eine unendliche abelsche Gruppe mit .
• Die Torsionsuntergruppe von ist genau die Untergruppe .
  Beweis. Sei ein Element von und sei eine natürliche Zahl mit für alles . Dann gilt . Insbesondere, wenn gilt, dann ist . Das heißt, .
  Umgekehrt, wenn für einige , dann gibt es, für alles , . Da , impliziert das, dass . Das heißt, .

Quotient durch die Torsionsuntergruppe

• Im Beispiel gilt und ist torsionsfrei / ohne Torsion (das heißt, ).

• Dies ist eine allgemeine Tatsache.

  Satz. Sei eine abelsche Gruppe. Die Faktorgruppe hat keine Torsion:

  Beweis. Sei ein Element von (das heißt, ist die Nebenklasse, modulo die Untergruppe , des Elements von ) und nehmen wir an, dass es ein gibt, mit . Dann gilt . Das heißt, . Existiert dann , so dass . Das heißt, , mit . Somit und . Dies genügt, um zu beweisen.

Übung 1

Seien und abelsche Gruppen.

• Zeigen Sie die folgende universelle Eigenschaft:

• Inbesondere, wenn torsionsfrei ist, gibt es eine eindeutige Faktorisation , sodass .

Endlich erzeugte Torsionsgruppen

Wir haben bereits gesehen, dass eine endliche Gruppe endlich erzeugt ist, und eine Torsionsgruppe. Das Umgekehrte gilt ebenfalls.

Satz. Eine endlich erzeugte Torsionsgruppe ist endlich.

Beweis. Sei eine abelsche Gruppe, die endlich erzeugt und eine Torsionsgruppe ist. Sei ein Erzeugendensystem für . Dies bedeutet, dass der folgende Gruppenhomorphismus surjektiv ist.

Da eine Torsionsgruppe ist, hat jedes endlich Ordnung. Sei . Dann gilt und gibt es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus von einer endlichen Gruppe nach . Insbesondere ist eine endliche Gruppe.

Freie abelsche Gruppen

• Eine endlich erzeugte abelsche Gruppe ist analog zu einem endlichdimensionalen Vektorraum: das heißt, es gibt ein endliches Erzeugendensystem. Der Unterschied besteht darin, dass ein endlichdimensionaler Vektorraum unbedingt eine endliche Basis besitzt.

  Definition. Sei eine abelsche Gruppe. Eine Familie von Elementen aus wird als -Basis bezeichnet, wenn es, für alles , eine eindeutige Familie von ganzen Zahlen gibt, sodass:

  1. Die Menge endlich ist. In diesem Fall ist ein Element aus der Menge , bestehend aus Abbildungen mit endlichen Träger.
  2. (Im Hinblick auf Bedingung (i), ist diese Summe wohldefiniert).

• Wenn eine -basis besitzt, wird eine -freie abelsche Gruppe genannt. Man sagt auch Basis und freie abelsche Gruppe, statt -Basis und -freie abelsche Gruppe.

Endliche Basen und Rang

• Eine endliche Familie ist genau dann eine Basis, wenn, für jedes , , sodass .

  Satz. Sei eine abelsche Gruppe, die eine Basis mit Elementen besitzt. Dann hat jede Basis für genau Elemente.

  Beweis. Nehmen wir an, dass und beide Basen von sind.

  • Dann ist, per Definition einer Basis, die Abbildung , die durch definiert wird, ein Gruppenisomorphismus. Das heißt, durch die Wahl von ist .
  • In analoger Weise, ist durch die Wahl von isomorph zu .
  • Aber wenn , muss auch gelten. Durch Vergleichung die Kardinalität dieser Mengen, gibt es , somit .

Der Rang einer freien Gruppe mit endlicher Basis

• Wenn eine endliche Basis besitzt, kann man den Rang von definieren.

  Definition. Die Kardinalität einer beliebigen Basis für wird Rang von genannt, und als bezeichnet.

• Zum Beispiel hat Rang . Um es zu beweisen, reicht es eine Basis zu finden! Die sogenannte kanonische Basis von ist:

• Der Fall ist äquivalent zu . In diesem Fall ist die leere Familie eine Basis für (nehmen Sie in der Definition einer Basis).

Untergruppen einer endlich erzeugten freien abelschen Gruppe

Satz. Sei eine endlich erzeugte freie abelsche Gruppe (das heißt, eine abelsche Gruppe mit einer endlichen Basis). Sei . Dann ist jede Untergruppe eine endlich erzeugte freie abelsche Gruppe, mit .

Beweis. Der Beweis erfolgt durch Induktion über .

• Wenn , gilt , die eine endlich erzeugte freie Gruppe mit Rang ist.
• Nehmen wir an, dass und dass die Eigenschaft gilt, für Untergruppen von endlich erzeugten Gruppen mit Rang . Dann können wir als , für einige -Basis von schreiben. Sei die durch definierte Projektion.
• Dann ist eine Untergruppe von . Aber eine Untergruppe von muss von der Form sein. Dann gilt , die -frei ist.

Folge vom Beweis der Existenz einer Basis

• Das heißt, besitzt eine Basis, mit einem einzigen Element .

• Danach, per die Induktionsannahme, besitzt die Untergruppe

  eine Basis, mit Kardinalität . Sei eine solche Basis für .

• Sei ein Element von . Da , ist ein Element von . Außerdem ist ein Element aus . Daher können wir und schreiben.

• Dann gilt . Dies bewiest, dass . Insbesondere ist endlich erzeugt.

Ende vom Beweis der Existenz einer Basis

• Es bleibt zu beweisen, dass das Erzeugendensytem eine Basis für ist. Das heißt, dass die Familie auch eine freie Familie ist:

• Setzen wir und und nehmen wir an, dass . Dann gilt . Daher auch .

• Aus und der Tatsache, dass die Familie eine Basis für ist, folgt .

• Und aus und der Tatsache, dass eine Basis für ist, folgt . Dies beendet den Beweis.

Unterschiede zu Vektorräume

• In einer endlich erzeugten freien abelschen Gruppe mit Rang , ist eine freie Familie mit Elemente nicht unbedingt eine Basis. Zum Beispiel, in , die Familie mit dem einzigen Element ist -frei () aber kein Erzeugendensystem für .
• Aus dem gleichen Grund, ist eine Untergruppe von mit nicht unbedingt die ganze . Zum Beispiel, .
• Es ist im Allgemeinen nicht möglich, in einem Erzeugendensystem, eine Unterfamilie zu finden, die eine Basis für ist. Zum Beispiel, in , ist die Familie ein Erzeugendensystem (da und ) aber weder noch sind Basen für .

Freie abelsche Gruppe sind torsionsfrei

• Das folgende Ergebnis gilt für alle freie abelsche Gruppe (keine Annnahme, dass endlich erzeugt ist).

  Satz. Sei eine freie abelsche Gruppe. Dann ist torsionsfrei.

  Beweis. Sei eine Basis für und sei ein Torsionselement. Dann existiert mit und eine Familie , sodass . Gilt deshalb

  Da die Familie frei ist, impliziert dies, dass , somit .

• Die umgekehrte Implikation gilt im Allgemeinen nicht. Zum Beispiel, die abelsche Gruppe ist torsionsfrei () aber nicht -frei (siehe unten).

Übung 2

• Zeigen Sie, dass Elemente und in immer linear abhängig über sind. Das heißt, finden Sie , so dass .
• Folgern Sie daraus, dass wenn die abelsche Gruppe endlich erzeugt ist, dann jedes Erzeugendensystem für genau ein Element besitzt.
• Nehmen Sie an, dass ein existiert, mit und erreichen Sie einen Widerspruch.

Übung 3

Sei eine abelsche Gruppe. Zeigen Sie, dass für jedes , die Familie genau dann frei ist, wenn nicht ein Torsionselement von ist.

Endlich erzeugte und torsionsfreie abelsche Gruppen

• Wir haben gerade gesehen, dass torsionsfreie abelsche Gruppen im Allgemeinen nicht frei sind.

• Allerdings gibt es für endlich erzeugte abelsche Gruppe das folgende Ergebnis.

  Satz. Sei eine endliche erzeugte abelsche Gruppe, die außerdem torsionsfrei ist. Dann besitzt eine endliche -basis.

  Beweis. Man startet mit einem Erzeugendensystem für . Da torsionsfrei ist, ist die Familie eine freie Familie. Es gibt deshalb eine wohldefinierte natürliche Zahl mit

  Wir werden zeigen, dass eine -Basis für ist.

Folge vom Beweis, dass G eine Basis besitzt

• Sei . Per Konstruktion ist eine Basis für . Wenn , ist auch eine Basis für .
• Nehmen wir jetzt an, dass . Per Maximalität von , ist, für jedes , die Familie nicht frei. Das heißt, es gibt ganze Zahlen , , , , nicht alle von ihnen null, so dass .
• Dann gilt . Weil, wenn , dann .
• Sei und sie die durch definierte Abbildung. Dann ist einen Gruppenhomomorphismus und setzen wir .
• Beachten Sie, dass eine lineare Kombination von ist.

Ende vom Beweis, dass G eine Basis besitzt

• Da für alles , und , gilt .
• Da endlich erzeugt und frei ist, ist auch endlich erzeugt und frei, als Untergruppe einer endlich erzeugten freien abelschen Gruppe.
• Da torsionsfrei ist, ist die Abbildung injektiv. Sie induziert daher ein Gruppenisomorphismus .
• Da eine endliche -Basis hat, hat auch eine endliche -Basis. Dies beendet den Beweis.

Zerlegungssatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen

• Der folgende Zerlegungssatz ist der letzte Schritt in der Klassifiezierung endlich erzeugter abelscher Gruppen.

  Satz. Sei eine endlich erzeugte abelsche Gruppe und sei die Torsionsuntergruppe von . Dann ist die Faktorgruppe eine endlich erzeugte freie abelsche Gruppe. Außerdem gibt es eine Untergruppe , sodass und

• Insbesondere „hat jede endlich erzeugte abelsche Gruppe einen freien Teilen (mit endlichen Rang) und einen Torsionsteilen (die endliche ist)“.

• Aus diesem Satz und dem Satz über invariante Faktoren, folgt der Klassifikationssatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen (siehe unten).

Beweis des Zerlegunssatzes

• Sei die kanonische Projektion und sei ein Erzeugendensystem für . Da surjektiv ist und , gilt . Das heißt, die Gruppe ist endlich erzeugt.
• Da torsionsfrei ist, muss dann eine -Basis besitzen.
• Da surjektiv ist, existiert, für jedes , ein Element mit . Sei dann der eindeutige Gruppenhomomorphismus, die nach abbildet.
  Übung: ein solcher Gruppenhomomorphismus existiert und erfüllt .
• Sei . Wir werden beweisen, dass ist und dass gilt.

Ende vom Beweis des Zerlegunssatzes

• Da die Bedingung erfüllt, ist injektiv. Da per Definition , gilt .
• Um zu beweisen, reicht es und zu zeigen.
  • Sei . Dann gilt für einzige , , in und auch . Daher gilt . Da eine freie Familie ist, muss jedes . Somit .
  • Sei . Schreiben wir . Dann gilt . Außerdem gilt . Somit und .