Faktorgruppen und Isomorphiesätze

Leopold Kronecker (1823-1891) war ein deutscher Mathematiker. Seine Forschungen lieferten grundlegende Beiträge zur Algebra und Zahlentheorie, aber auch zur Analysis und Funktionentheorie.

Untergruppen von Faktorgruppen

• Seien eine Gruppe und ein Normalteiler von . Die Elemente der Faktorgruppe sind die Linknebenklassen von . Da die Untergruppe normal ist, ist jede Linksnebenklasse von auch eine Rechtsnebenklasse: .

• Die kanonische Projektion von nach , die ein Element nach die Linknebenklasse abbildet, wird als bezeichnet. Diese Abbildung ist ein Gruppenhomomorphismus, der die Eigenschaft erfüllt.

  Satz. Falls eine Untergruppe ist, dann ist eine Untergruppe von , die enthält. Die Abbildung induziert eine Bijektion zwischen Untergruppen von und Untergruppen von , die enthalten.

Konstruktion einer inversen Abbildung

• Zunächst überprüfen wir den ersten Teil des Satzes. Das Urbild einer Untergruppe durch einen Gruppenhomomorphismus ist immer eine Untergruppe. Daher ist eine Untergruppe von . Da enthalten ist, gibt es außerdem . Das heißt, .
• Jetzt möchten wir eine Abbildung konstruieren, die eine Untergruppe von , die enthält, nach eine Untergruppe von abbildet. Wir setzen einfach .
• Es bleibt zu beweisen, dass und . Die erste Gleichheit folgt von der Tatsache, dass surjektiv ist. Für die zweite, folgt die Inklusion von der Definition des Urbilds. Für die umgekehrte Inklusion, müssen wir beweisen, dass, für jedes gilt , wenn (siehe unten).

Ende des Beweises

• Der Satz bedeutet, dass ein Element in existiert, mit .

• Per Definition von , ist äquivalent zu als Teilmenge von . Inbesondere, . Das heißt, es existiert , sodass und .

• Da eine Untergruppe von ist, impliziert die vorherige Gleichheit, dass .

  Bemerkung. Nach dem Homomorphiesatz, können wir mit der Faktorgruppe identifizieren. Durch dieser Identifikation sind die Unterguppen von die Gruppen der Gestalt , wobei eine Untergruppe von ist, die enthält.

Erster Isomorphiesatz

• Sei eine Untergruppe von . Auch wenn nicht enthält, ist eine Untergruppe von . Deshalb existiert eine Untergruppe von , die enthält, sodass . Wie können wir die Untergruppen und besser beschreiben?

  Satz. Der Gruppenhomomorphismus induziert einen Gruppenisomorphismus

  Außerdem gibt es eine Gleichheit (die von erzeugte Untergruppe von ) und einen Gruppenisomorphismus

• Für abelsche Gruppen, schreibt man oft .

Beweis des ersten Isomorphiesatzes

• Nach dem Homomorphiesatz, induziert einen Gruppenisomorphimus

• Es bleibt daher zu beweisen, dass . Dies folgt von der Tatsachen, dass , und .

• Danach müssen wir noch beweisen, dass . Da für alle , gilt . Da per Definition des Urbilds auch gilt, gibt es tatsächlich . Da eine Untergruppe von ist, impliziert die vorherige Inklusion, dass .

• Für die umgekehrte Inklusion, betrachten wir ein , sodass . Dann existiert ein , sodass . Insbesondere .

Zweiter Isomorphiesatz

Alle Untergruppen von von der Form sind. Aber für welche sind diese Untergruppen Normalteiler von ?

Satz. Sei eine Untergruppe von , die enthält. Dann ist genau dann ein Normalteiler von , wenn ein Normalteiler von ist. Dann gibt es außerdem ein Gruppenisomorphismus

der von dem kanonischen Gruppenhomomorphismus

induziert wird.

Beweis des zweiten Isomorphiesatzes

• Wir haben schon gesehen, dass das Urbild eines Normalteilers durch einen Gruppenhomomorphismus ein Normalteiler ist.
• Wenn der Gruppenhomomorphismus außerdem surjektiv ist, ist das Bild eines Normalteilers auch ein Normalteiler.
• Da der Gruppenhomomorphismus surjektiv ist, ist eine Untergruppe von , die enthält, genau dann ein Normalteiler von , wenn (das isomorph zu ist) ein Normalteiler von ist.
• In diesem Fall, ist der kanonische Gruppenhomomorphismus surjektiv (als Komposition von surjektiven Homomorphismus) und wir müssen nur den Kern bestimmen. Da ist, ist äquivalent zu , was zu äquivalent ist. Also .

Endliche zyklische Gruppen

• Denken Sie daran, dass eine zyklische Gruppe, eine Gruppe ist, die von einem einzigen Element erzeugt wird: als Untergruppen von . Äquivalent dazu, existiert , sodass der kanonische Gruppenhomomorphismus surjektiv ist. Außerdem wissen wir bereits, dass, in diesem Fall, die Gruppe genau dann endlich ist, wenn nicht-injecktiv ist.

• Dann ergibt sich Folgendes unmittelbar vom Homomorphiesatz.

  Satz. Sei eine endliche zyklische Gruppe und sei die Ordnung von (insbesondere ). Dann gibt es einen Gruppenisomorphismus .

  Beweis. Per Annahme, und durch eine Anwendung des Homomorphiesatzes, existiert mit . Da eine Untergruppe von ist, ist für ein bestimmtes . Da die Ordnung von ist, gibt es unbedingt .

Faktorgruppen einer zyklischen Gruppen

• Wir wissen bereits, dass die Untergruppen einer zyklische Gruppe zyklische Gruppen sind. Der analoge Satz gilt für Faktorgruppen einer zyklischen Gruppe.

• Beachten Sie dass eine zyklische Gruppe ist unbedingt abelsche. Daher ist jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe ein Normalteiler.

  Satz. Sei eine zyklische Gruppe und sei eine Untergruppe von . Dann ist zyklisch. Wenn nicht-trivial ist, gilt außerdem, dass endlich ist.

  Beweis. Da zyklische ist, gibt es ein surjektiv Gruppenhomomorphismus . Da der kanonische Gruppenhomomorphismus auch surjektiv ist, ist der Gruppenhomomorphismus wiederum surjektiv. Dies impliziert, dass die Gruppe zyklisch ist. Falls endlich ist, ist auch endlich. Ansonsten, ist und für ein bestimmtes . Also ist auch in diesem Fall endlich.

Übung 1

• Sei eine endliche zyklische Gruppe, mit Ordnung .
• Zeigen Sie, dass, für jeden Teiler von , eine Untergruppe von existiert, mit
• Sei eine Untergruppe von , mot Ordnung . Finden Sie , sodass .

Struktur endlich erzeugter abelscher Gruppen

• Die Struktur einer Gruppe zu bestimmen bedeutet, eine Liste von Gruppen anzugeben, zu denen isomorph sein kann. Dies wird auch als Klassifizierungsproblem bezeichnet.
• Das allgemeneine Klassifizierungsproblem für Gruppen ist, sogar für sogenannte endliche einfache Gruppen, eine schwierige Frage.
• Aber für endlich erzeugte abelsche Gruppen haben wir zwei relativ zugänglich Klassifizierungssätze, die wir unten vorstellen werden.
• Wir werden insbesondere sehen, dass die Struktur einer endlichen abelschen Gruppe der Ordnung n vollständig durch die „arithmetische Komplexität“ von n bestimmt wird.

Gruppen mit Primzahlordnung

• Manchmal ist die Annahme, dass abelsch ist, nicht notwendig, um zu charakterisieren. Zum Beispiel ist jede zyklische Gruppe isomorph zu oder .

• Als Nächstes, können wir nach Verwendung des Satzes von Lagrange beweisen, dass alle Gruppen mit Primzahlordnung zyklisch sind. Insbesondere ist eine solche Gruppe abelsch.

  Satz. Sei eine Primzahl und sei eine endliche Gruppe mit Ordnung . Dann ist eine zyklische Gruppe. Das heißt, es gibt ein Gruppenisomorphismus .

  Beweis. Da die Ordnung von eine Primzahl ist, ist . Das heißt, es gibt ein , sodass . Sei die Ordnung des Elements . Da ist, ist . Nach dem Satz von Lagrange, ist ein Teiler von . Da eine Primzahl ist, impliziert dies, dass . Die Untergruppe von hat deshalb Ordnung . Somit

Klassifizierung endlicher abelscher Gruppen

• Endliche Gruppen sind endlich erzeugt. Als ersten Schritt zur Klassifizierung der endlich erzeugten abelschen Gruppen werden wir endliche abelsche Gruppen klassifizieren.

• Das wichtigste Begriff für den Beweis ist das von -primären Anteile, für jede Primzahl , die wir unten studieren werden.

• Der folgende Satz gibt eine komplette Klassifikation endlicher abelscher Gruppen.

  Satz. Sei eine endliche abelsche Gruppe. Sei die Ordnung von und sei die Primfaktorzerlegung von . Dann existieren eindeutige Partitionen , sodass

Anmerkungen zu der Klassifikationssatz endlicher abelscher Gruppen

• Per Definition einer Partition, haben wir und Wenn wir einen Gruppenisomorphismus haben, dann ist . Da die Primfaktorzerlegung einer natürtlichen Zahl eindeutig ist, können wir auch den Klassifikationssatz wie folgt formulieren.

  Satz. Sei eine endliche abelsche Gruppe. Dann exisitieren eine eindeutige natürliche Zahl , eindeutige Primzahlen und, für alles , eine eindeutige endliche Folge sodass isomorph zu die Gruppe ist.

• Die natürlichen Zahlen werden die elementaren Teiler von gennant. Der Klassifikationssatz besagt, dass jede endliche abelsche Gruppe isomorph zu einem Produkt zyklischer Gruppen ist.

Primären Anteile

• Sei eine endliche Gruppe und sei . Nach dem Satz von Euler-Fermat, gibt es, für alles , .

• Sei die Primfaktorzerlegung von und sei . Nach dem Satz von Lagrange, ist die Ordnung von ein Teiler von . Dann ist unbedingt von der Form , für einige natürliche Zahlen , mit .

• Die Idee für -primären Anteile besteht darin, alle Elemente von eine endliche zusammenzufassen, deren Ordnung eine Potenz der Primzahl ist.

  Definition. Sei eine abelsche Gruppe, nicht unbedingt endlich. Für jede Primzahl wird der -primär Anteil, als Teilmenge von , wie folgt definiert:

Primären Anteile sind Untergruppen

• Für abelsche Gruppe ist es oft praktisch, additive Notation zu verwenden. Das heißt, statt und, wenn eine natürliche Zahl ist, statt zu schreiben. Das neutrale Element wird als bezeichnet und , das inverse Element zu , als .

  Satz. Der -primär Anteil ist eine Untergruppe von . Wenn , ist ein Teiler von .

  Beweis. Aus folgt, dass ein Element von ist. Danach:

  • Wenn , dann gibt es mit und . Somit .
  • Wenn , dann für einiges . Somit
  • Wenn und , gilt . Da eine Primzahl ist, muss .

Bemerkungen zu primären Anteile

• bedeutet, dass endliche Ordung hat und dass die Ordnung von ein Teiler von ist. Da eine Primzahl ist, muss für einiges gelten.

• Die hier betrachteten Konzepte sind Teil eines umfassenderen Zusammenhangs, nämlich dem der Torsion in einem Modul (eine abelsche Gruppe kann auch als Modul über angesehen werden). In diesem Zusammenhang sind die -primären Komponente Beispiele für abelsche Torsionsgruppen.

  • Für jedes , ist die Teilmenge eine Untergruppe von , die als die -Torsion von bezeichnet wird.
  • Wenn die Eigenschaft sodass erfüllt, heißt ein Torsionselement von . Die Teilmenge aller Torsionselemente einer abelschen Gruppe ist eine Untergruppe , die die Torsionsuntergruppe von genannt wird.

Abelsche Torsionsgruppen

• Eine abelsche Gruppe wird eine Torsionsgruppe genannt, wenn jedes Element ein Torsionselement ist. Das heißt, falls . Zum Beispiel, die Torsionsuntergruppe ist eine Torsionsgruppe. Das heißt, .

• Jede endliche Gruppe ist eine Torsionsgruppe. Die Gruppe , deren Elemente als Einheitswurzeln in angesehen werden können, ist eine unendliche Torsionsgruppe.

• Die Teilmenge

  ist auch eine Untergruppe von , die als -Torsion von bezeichnet wird.

• Für eine Primzahl , wird die Notation verwendet.

Elemente mit Primzahlordnung

• Der Satz von Lagrange lässt die folgende partielle Umkehrung zu.

  Satz von Cauchy (kommutativer Fall). Sei eine endliche abelsche Gruppe und sei ein Primteiler von . Dann existiert ein element mit .

• Als Konsequenz dieses Satzes ist der -primär Anteil einer abelsche Gruppe, deren Ordnung durch Teilbar ist, nicht trivial:

• Die Annahme, dass eine Primzahl ist, ist wesentlich. Zum Beispiel, hat die Kleinsche Viergruppe Ordnung aber besitzt kein Element mit Ordnung .

• Die Annahme, dass abelsch ist, ist nicht wesentlich (siehe den Satz von Cauchy später im Kurs).

Bemerkung zum Beweis

• Es reicht zu beweisen, dass ein Element existiert, sodass .

• Grund dafür ist, wenn , dann . Das heißt, . Außerdem ist , weil . Somit und . Da eine Primzahl ist, gilt .

• Sei die natürliche Zahl sodass . Der Beweis des vorherigen Satzes läuft dann durch vollständige Induktion auf .

• Genauer gesagt, werden wir beweisen, für jede Primzahl , dass gilt, wobei der folgende Satz ist:

  Für jede endliche abelsche Gruppe sodass und , gibt es ein Element , sodass .

Induktion

• Wenn , sei eine endliche Gruppe sodass und . Dann muss gelten. Aber, per Definition ener Primzahl, gilt und erreichen wir einen Widerspruch. Durch die Ex falso quod libet Regel, reicht das, um den Fall zu beweisen.

• Wir müssen noch den Induktionsschritt beweisen ().

• Da , ist die Gruppe nicht-trivial: . Sei ein solches Element und sei die durch erzeugte Untergruppe von . Dann .

  • Wenn , haben wir unmittelbar . Genau, da , gilt .
  • Wenn , da und eine Primzahl ist, muss (Lemma von Euklid). Da , können wir die Induktionsannahme anwenden.

Induktionsschritt

• Per Induktion, gibt es eine Nebenklasse in (mit additiven Notation), sodass .

• Setzen wir und . Da , gilt auch

• Daher muss ein Teiler von sein. Da gilt, muss auch gelten.

• Das heißt, wir haben ein Element in gefunden, so dass und dies beendet die Induktion.

Übung 2

• Sei ein Gruppenhomomorphismus, wobei und nicht unbedingt abelsch sind.

• Sei und nehmen Sie an, dass endliche Ordnung in hat.

  1. Zeigen Sie, dass endliche Ordnung in hat.
  2. Zeigen Sie, dass .

Zerlegung in primäre Anteile

• Wir wissen nun, nach diesem Satz und diesem Satz, dass . Daher ist die Menge aller Primzahlen sodass , genau die Menge von Primfaktoren von .

• Das folgende Ergebnis erklärt die Nützlichkeit von -primären Anteile.

  Satz. Sei eine endliche abelsche Gruppe und sei , mit Primfaktorzerlegung . Dann gibt es einen Gruppenisomorphismus

  wobei der -primäre Anteil von ist.

• Explizit werden wir einen solchen Isomorphismus so definieren: für jedes , setzt man

Beweis für die Zerlegung in primäre Anteile

• Wir betrachten die folgende Abbildung.

• Diese Abbildung ist ein Gruppenhomomorphismus (Übung).

• Wir werden beweisen:

  1. . Das heißt, dass injektiv ist.
  2. . Das heißt, dass surjektiv ist.

Injektivität

• Dass injektiv ist, bedeutet:

• Wir werden das durch endliche Induktion auf zeigen. Das heißt, wir betrachten den folgenden Satz:

• Der Fall ist klar: , wenn , dann .